Παν είναι αριθμός, ”tutto è numero” era il motto dei Pitagorici. E per numeri si intendevano quelli interi, i numeri naturali, quelli che servono per contare, per mettere in ordine.

Disintossicato dal Continuo e dall'Infinito, lasciatemi alle spalle le teorie di Cantor e la filosofia di Parmenide, voglio assaporare il Discreto, godere del Finito. Voglio elencare, numerare, mettere in ordine.

E mettere le cose in rapporto con i numeri finalmente mi da pace.

giovedì 3 ottobre 2013

Lettera a Epicuro



Carissimo Epicuro

Scusa se ti scrivo solo adesso, ma questa la consideravo una lettera importante. Sei il mio filosofo preferito e mi considero un tuo seguace un “Epicuri de grege porcum” come si definì Orazio scrivendo al poeta Tibullo[1]. Ma prima di confrontarmi con te dovevo mettere a posto alcuni aspetti della mia “Weltanschauung”.

A essere sincero in un primo momento, quando in prima liceo incontrai la tua filosofia, non mi avevi un granché colpito. I motivi erano molteplici. Innanzitutto perché filosofo dell’Ellenismo, eri relegato alla fine del testo di storia della filosofia, trattato in poche pagine, dopo interi capitoli dedicati a Platone e Aristotele. La posizione nel libro di testo rispecchiava inoltre anche il periodo dell’anno scolastico durante il quale veniva affrontato il tuo pensiero. A ridosso della fine dell’anno scolastico, quando i giochi per la pagella erano ormai fatti, il mio interesse per la filosofia, messo tra l’altro a dura prova dal pensiero di Aristotele e dall’estate incombente non era certamente ai massimi livelli. Inoltre la nostra professoressa di filosofia, forse anche lei stufa di una classe indisciplinata, ti aveva abbastanza sorvolato. Mi eri comunque risultato simpatico: Il tuo concetto di amicizia, la ricerca del piacere e il fatto che la chiesa ti aveva osteggiato mi avevano colpito, ma in fondo non ti consideravo altro che un’espressione della decadenza della civiltà greca nel periodo dell’Ellenismo.

Ti ho incontrato nuovamente nel corso dell’ultimo anno di liceo durante le lezioni di letteratura greca. Al mio professore di greco e latino, che si chiamava Giorgio Daprà, piaceva, partendo dalla letteratura, spaziare nel campo della filosofia e della scienza e verso la fine dell’anno scolastico affrontò una delle controversie più importanti della filosofia: il problema del libero arbitrio, la contrapposizione tra libertà e necessità. Lo fece in maniera subdola ingaggiando con ognuno dei suoi allievi una discussione sulla coerenza concettuale delle filosofie correnti. Ognuno di noi doveva scegliere il suo filosofo preferito, prepararsi su come questo aveva affrontato la suddetta controversia (e non solo) e quindi durante la lezione difenderne le posizioni. Uno dopo l’altro smontò, certo anche grazie alla sua esperienza e capacità dialettica, filosofi come Cartesio, Kant, Kierkegaard e infine, con grande dispiacere della grande parte dei miei compagni di classe, Friedrich Nietzsche. Io ero l’ultimo ed ero sicuro di uscirne vincente grazie al mio assoluto credo nel materialismo dialettico. Fu un disastro, ricordo la difficoltà di salvare il libero arbitrio e la necessità di mutare il mondo in un contesto deterministico.  Mi è rimasta impressa la sensazione di impotenza logica difronte alle sue terribili obiezioni. Alla fine della discussione completamente disorientato chiesi: ma professore ma allora qual è una filosofia coerente che resiste a tutte queste obiezioni?  Il professore dopo aver consultato il suo orologio rimandò la risposta alla prossima lezione. Mi ricordo come se fosse ieri quel giorno, quando la mattina andando a scuola non vedevo l’ora di sentire la rivelazione da parte del professor Daprà. Ho ancora davanti ai miei occhi il professore, con la camicia come al solito senza cravatta, ma allacciata anche nell'ultimo bottone, sedersi alla cattedra e dopo aver compilato con calma il registro ed aver sistemato gli inseparabili libri sulla scrivania, alzare gli occhi, stupito dall’assoluto ed inusuale silenzio che aleggiava in classe, dire: Oggi vi parlerò di Epicuro.

Restammo profondamente delusi. Ci aspettavamo un filosofo moderno, non so Sartre oppure Popper. Quale contributo poteva dare un filosofo vissuto nell’Ellenismo, tra l’altro con fama di gozzovigliatore, alle nostre aspettative esistenziali.

Daprà ci riespose, rinfrescando quanto avevamo studiato in prima liceo, la tua filosofia:
La realtà è composta da atomi e vuoto, i primi lanciati su traiettorie deterministiche che ogni tanto erano deviate dalla parenclisi[2] il “movimentum ad latum” che Lucrezio, tuo seguace e divulgatore, chiamerà “clinamen”.  Il mondo era soggetto a leggi deterministiche, i fenomeni naturali potevano essere spiegati senza fare ricorso al sovrannaturale, e il libero arbitrio era reso possibile da un’indeterminazione casuale che era intrinseca al movimento altrimenti rettilineo ed equiveloce degli atomi.  Niente dualismo pensiero-materia. Il mondo era quello che percepiamo con i sensi. Solamente ed esclusivamente come appariva: pura "doxa". Quindi niente "aletheia" eleatica, niente "episteme" platonica, niente "res cogitans" cartesiana, niente "noumeno" kantiano, niente che vada oltre la sensazione sensoriale e quindi niente entità sovrannaturali, niente dio. A dire il vero gli dei non erano completamente esclusi ma erano relegati negli "intermundia" a occuparsi dei fatti loro, incuranti degli uomini e del loro destini. Destini che potevano quindi evolvere liberamente senza imbarazzare le capacita di preveggenza di esseri onniscienti[3].
Inoltre niente mondi sovrannaturali, niente vita dopo la morte e quindi niente paura della morte. L’etica non era basata su concetto delle punizioni o dei benefici divini[4], ma sulla necessità di sfuggire al dolore, sulla ricerca del piacere. Il piacere non era però qualcosa che andava continuamente alimentato ma, proprio perché inteso come privazione del dolore, non poteva aumentare d’intensità oltre ad un certo punto[5]. Raggiunta l’atarassia “l’assenza di agitazione” attraverso il tetrafarmaco, che permette di vincere la paura degli dei, della morte, della mancanza del piacere e del dolore, si raggiunge la salute dell'anima non più costretta ad un'affannosa ricerca della felicità.

In seguito, ormai studente universitario, comprai la raccolta delle tue opere in un’edizione a cura di Graziano Arrighetti edita da Giulio Enaudi. Ho letto e riletto la lettera a Erodoto, quella a Pitocle e quella a Meneceo, le Massime capitali, le Sentenze Vaticane. Ho seguito i tuoi insegnamenti, convinto assertore dell’atomismo e delle sue conseguenze etiche e morali. Ho vissuto nascostamente, evitando la politica e fondando sull’amicizia e sulla giustizia, intesa come sistema di regole vantaggiose per i rapporti sociali, le basi etiche del mio comportamento.

Ma c’era un aspetto della tua filosofia che mi lasciava insoddisfatto. Riguardava lo spazio in cui si muovevano gli atomi: Questo era secondo te infinito in estensione e durata. Ma la contrapposizione tra la natura discreta e quindi finita degli atomi e la natura continua ed infinita dello spazio mi disturbava. A dire il vero, rispetto agli atomisti più antichi avevi fatto un uso più cauto dell’infinito. Infatti, secondo Democrito gli atomi erano d’infinite tipologie[6]. Tu avevi capito che per generare la moltitudine delle cose non erano necessari altrettanti elementi primordiali. Il tuo seguace Lucrezio porterà come esempio le lettere dell’alfabeto, che anche se finite, possono generare innumerevoli parole.

In un primo momento il tuo ragionamento a favore dell’estensione infinita sia temporale che spaziale dello spazio mi era parso ineccepibile. Avevi applicato il ragionamento ontologico di Parmenide sull’essere al tutto:

Il tutto sempre fu com’è ora, e sempre sarà, poiché nulla esiste in cui possa tramutarsi, né oltre il tutto non vi è nulla che penetrandovi possa produrre mutazione
[Epistula ad Herodotum 39,2]

Il tutto è l’essere, il non essere non è, e quindi nulla è al di fuori del tutto. Ne consegue l’impossibilità teorica di un inizio e di una fine e l’immutabilità del tutto.
Parmenide applicando lo stesso ragionamento all’essere aveva negato il vuoto e quindi il movimento. Ma non era proprio partendo dalla confutazione sensoriale della non esistenza del movimento che avevi impostato la teoria atomistica?[7]. Non è contraddittorio, caro maestro, da un lato usare un ragionamento per postulare l’infinità del tutto e allo stesso tempo confutare le conseguenze dello stesso ragionamento sull’essere. Non sono poi l’essere e il tutto, rispetto al ragionamento ontologico, equivalenti?

La scuola eleatica, aveva confutato l’esistenza del movimento, relegandolo a pura apparenza e considerandolo fallace sensazione provenienti dai sensi.  Inoltre Zenone di Elea, allievo di Parmenide, per rafforzare il ragionamento sull’essere di Parmenide, che negava il movimento, aveva costruito una serie di esperimenti mentali che portavano a delle situazioni paradossali e che contraddicevano il concetto di movimento. Il più famoso, quello di Achille e la tartaruga, afferma che Achille, pur correndo più velocemente della tartaruga, non la raggiungerà mai, in quanto dovrà in un certo istante raggiungere la posizione in cui la tartaruga si trovava quando era partito[8]. Nel frattempo la tartaruga si era spostata in una nuova posizione e in un secondo istante Achille avrebbe dovuto raggiungere anche quel punto e così via all’infinito. Il paradosso presuppone che lo spazio e il tempo siano divisibili all’infinito e può essere formalmente risolto ricorrendo alla moderna analisi matematica applicando le proprietà delle serie infinite convergenti. La soluzione non lascia completamente soddisfatti e una moltitudine di matematici e filosofi continua a cercare soluzioni più convincenti. Ancora recentemente è apparsa su Le Scienze la notizia di una "definitiva" soluzione dei paradossi grazie a "caratteristiche fondamentali" dell’analisi non-standard[9].
I problemi legati al concetto di divisibilità infinita dello spazio e del tempo e le antinomie conseguenti sono state in fondo tra le motivazioni preponderanti dello sviluppo dell’atomismo. Il concetto di a-tomo (l’elemento indivisibile) nasceva proprio per ovviare alle contraddizioni prodotte dalla filosofia eleatica tra il mondo della ragione (aletheia) e mondo della percezione (doxa). E anche tu, caro Epicuro, in fondo hai risolto la questione dell’immutabilità dell’essere in maniera pragmatica al modo del cinico Diogene di Sinope che per confutare le tesi di Zenone contro l'esistenza del movimento si sarebbe semplicemente alzato, e messo a camminare (solvitur ambulando!)[10]. Anche tu, caro Epicuro, affermi che il vuoto esiste, a dispetto delle elucubrazioni di Parmenide, perché senza vuoto il movimento non è possibile. Il movimento fa parte della nostra esperienza quotidiana e quindi il vuoto esiste. Ora proprio in virtù del principio della supremazia della doxa sull’aletheia che la soluzione del paradosso di Zenone, attraverso l’applicazione dei metodi dell’analisi matematica, ci deve lasciare insoddisfatti. Infatti, il concetto della retta geometrica divisibile all’infinito attraverso il processo della dicotomia è un costrutto puramente teorico. Applicare questo concetto alla retta temporale è ancora più arbitrario. Il tempo è da noi percepito come successione di istanti ordinati, dove per ogni istante esiste un istante successivo ed uno precedente. Questo non vale nello spazio, dove per ogni punto della retta è possibile una volta definito un punto vicino, trovarne un altro ancora più vicino. Del resto, caro Epicuro, anche Emmanuel Kant considera il tempo una grandezza discreta alla base del processo di numerazione e quindi alla base dell’aritmetica in contrapposizione allo spazio, grandezza continua e quindi fondamento della geometria. Se non accettiamo la continuità del tempo, ma consideriamo quest’ultimo una successione discreta d’istanti, la distanza tra questi non può essere ridotta a piacere. Ma la somma infinita di eventi temporali finiti, la cui diminuzione in estensione è limitata, è infinita e quindi Achille non riuscirebbe mai a raggiungere la tartaruga. Caro Epicuro, è evidente che Achille raggiungerà la tartaruga e che quindi se consideriamo la retta temporale non divisibile all’infinito né segue che anche la retta spaziale deve possedere la stessa proprietà. Infatti, affinché il processo temporale non duri all’infinito, è necessario che la dicotomia spaziale abbia fine.  Quindi, al più tardi, quando Achille si avvicina alla tartaruga per meno di una lunghezza “atomica” (nel senso di non più divisibile) il processo dicotomico si interrompe per raggiunto limite[11]. Quindi non solo la materia ha nell’atomo il suo elemento primordiale indivisibile, ma anche lo spazio e il tempo non sono divisibili all’infinito[12]
Caro Epicuro, credo che l’atomismo non sia una caratteristica della sola materia ma che anche lo spazio ed il tempo non siano divisibili all’infinito. Del resto permettimi di dire che questa soluzione è più elegante della tua poiché materia, spazio e tempo hanno una struttura equivalente e questo permette di risolvere non poche questioni. Ho cercato di convincerti solo con considerazioni che potevano essere fatte anche ai tuoi tempi senza tirare in ballo le moderne teorie come la meccanica quantistica che si fonda proprio sul concetto di “quanto” e che ritiene che la natura dell’essere sia discreta e non continua.

A questo punto affrontiamo l’ultima questione: Il concetto di spazio infinito, senza limite, nel quale si muovono gli atomi e nel quale qualunque grandezza può essere aumentata a piacere, incrementata all’infinito. Concorderai che uno spazio che possa essere aumentato a piacere, quando invece non può essere ridotto indefinitamente, presenta una certa asimmetria e che quest’asimmetria da un certo fastidio.  

Il tuo concetto di spazio infinitamente esteso e temporalmente eterno proprio perché fondato sul ragionamento ontologico parmenideo rende il tuo infinito in atto. Il tuo infinito, caro Epicuro, esiste per se, non come infinito in potenza, fine cui tende una grandezza in espansione. È l’infinito categormatico della scolastica, l’infinito di Georg Cantor, che ha portato alla crisi dei fondamenti della matematica dell’inizio del novecento. Qualora si postuli la sua esistenza, ci s’imbatte in antinomie irrisolvibili. Queste contraddizioni dovrebbero fare concludere che l’ipotesi di partenza, l’esistenza dell’infinito in atto, è falsa.  

Per farti capire meglio i problemi che l’infinito in atto può generare, senza addentrarmi nella moderna teoria degli insiemi infiniti, permettimi di esporti una metafora escogitata da grande David Hilbert per illustrare il concetto di equipotenza degli insiemi infiniti. Devi sapere che la definizione d’insieme infinito si base proprio su questo concetto: Un insieme si dice infinito se esiste un’applicazione biunivoca dell’insieme stesso in un suo sottoinsieme.

David Hilbert aveva ipotizzato l’esistenza di un albergo con infinite stanze. Ci si trovava in alta stagione e tutte le stanze dell’albergo erano occupate. A un certo punto si presenta un nuovo cliente. L’addetto alla portineria, cui spettava il compito di sistemare gli ospiti nelle stanze, riesce a liberare una stanza con un semplice stratagemma: spostando l’ospite della stanza numero 1 in quella numero 2, quello della numero 2 nella 3 e così via per tutti gli ospiti dell’albergo, libera la stanza numero 1 dove può fare accomodare il nuovo ospite.
Con questo trucco riesce a sistemare anche un numero maggiore m di ospiti. Basta spostare l’ospite della stanza 1 nella stanza 1+m. quello della stanza 2 nella stanza 2+m e così via. Alla fine si liberano m stanze. Anche se arriva un numero infinito di ospiti nuovi, il furbo addetto alla portineria riesce a sistemare i nuovi arrivati. Basta spostare gli ospiti delle stanze nella stanza con il numero doppio rispetto a quello attuale (dalla 1 alla 2, dalla 2 alla 4, e così via). Tutte le stanze con il numero dispari, che sono infiniti, si liberano e quindi è possibile sistemare tutti gli ospiti.
Nella zona intorno all’albergo ci sono altri infiniti alberghi con infinite stanze e a causa di un evento, che David Hilbert non specifica, tutti gli alberghi tranne il nostro devono chiudere. Tutti gli ospiti degli infiniti alberghi con infinite stanze si presentano quindi alla portineria. Il nostro portinaio non si perde d’animo e consegna a ognuno dei vecchi e nuovi ospiti un cartello con scritta una coppia di numeri (n,m) in cui n indica l’albergo di provenienza e m la relativa stanza. Il portinaio chiede poi agli ospiti di disporsi in quadrato secondo il seguente schema:

(1,1)  (1,2)  (1,3)   (1,m)  

(2,1)  (2,2)  (2,3)    (2,m)  

(3,1)  (3,2)  (3,3)    (3,m)  

(4,1)  (4,2)  (4,3)    (4,m)  

                      …    

(n,1)  (n,2)  (1,3)    (n,m)  


                      …    

Il portinaio può ora assegnare una stanza ad ciascun ospite secondo un criterio ordinato, ad esempio numerando in successione gli ospiti disposti lungo le diagonali:

(1,1)→ 1; (2,1)→ 2; (1,2)→ 3; (1,3)→ 4; (2,2)→ 5; (3,1)→ 6; (4,1)→ 7; (3,2)→ 8;

con il numero assegnato ora ogni ospite può recarsi alla sua stanza e alla fine tutti gli infiniti ospiti degli infiniti alberghi trovano posto.

Come vedi, caro Epicuro l’infinito attuale crea non poche situazioni paradossali. Ora nell’albergo di Hilbert, che è pieno per definizione, si riescono a trovare delle stanze vuote anzi si riescono a trovare infinite stanze vuote. Devi ammettere che siamo difronte a una bella contraddizione. I matematici con queste situazioni ci vanno a nozze. Loro la fanno semplice: Oh guarda, sono inciampato in una cosa paradossale, logicamente contraddittoria, che non dovrebbe esistere. Ma andiamo a vedere cosa succede se invece la affermo come vera ed esistente, vediamo a cosa portano i ragionamenti successivi e conseguenti.  In questo modo sono state sviluppate alcune delle più interessanti teorie matematiche. Per esempio i numeri complessi sono nati proprio così. Alla domanda se esiste la radice quadrata di numero negativo, la risposta dovrebbe essere no. Infatti, ogni numero moltiplicato per se stesso, sia che sia positivo sia che sia che negativo, da una grandezza positiva e quindi la radice di un numero negativo non esiste. Nicolò Tartaglia nel XVI secolo definì, incurante della loro contraddittorietà, le radici dei numeri negativi rischiando il rogo per eresia. Cartesio in seguito chiamò la radice di meno uno il numero immaginario ed in seguito grazie ai lavori di sistemazione di Eulero e quindi di Gauss assunsero piena cittadinanza nel modo matematico con il nome di numeri complessi. Almeno i nomi attributi a questo numeri “che non dovrebbero esistere” testimoniano l’imbarazzo di chi li aveva proposti. I numeri complessi trovano oggi molte applicazioni semplificando molte teorie matematiche. La loro contraddittorietà però resta e le conseguente situazioni paradossali. Ad esempio retta y=ix, dove i è l’unità immaginaria, ha la stana proprietà che risulta ortogonale a se stessa[13].

Ma torniamo alla questione dell'infinito. Sul concetto d’insieme infinito come insieme in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme Georg Cantor ha basato la sua teoria degli transfiniti. Una teoria che creò un sacco di problemi ai fondamenti della matematica e che David Hilbert voleva a tutti costi ridurre al suo disegno logicistico, affermando che Nessuno riuscirà a cacciarci dal Paradiso che Cantor ha creato per noi [14], senza per altro riuscirvi. Infatti le antinomie intrinseche alla teoria portate alle estreme conseguenze da Kurt Goedel, portarono alla dimostrazione dell’incompletezza dell'aritmetica. Quindi caro Epicuro, rinunciare all’infinito in atto non salva unicamente la simmetria del tutto ma ci preserva anche da contraddizioni. Che si possa fare a meno dell’infinito in atto lo dimostra la matematica intuizionista che accetta solo le dimostrazioni in cui questo non compare. Per il principio di minima complessità l’esistenza dell’infinito attuale non è necessaria.

Il mondo è discreto e finito. Godiamocelo così come è.




 




[1] Orazio, Epist., I, 4, 10
[2] Lettera ad Erodoto, 42,10
[3] Framm. 374 Usener (in Manuale di filosofia. Dalle origini a oggi, ed. Lulu.com p.60)
[4] Lettera a Meneceo 123-124
[5] Lettera a Meneceo 128-129
[6] Diehls Kranz, Die Fragmente der Vorsokratiker, 67A 9
[7] Lettera ad Erodoto 36-42
[8] Diehls Kranz, Die Fragmente der Vorsokratiker, 29A 26, Aristotele Physica Z9.239 b 14
[9] “Per due millenni e mezzo i paradossi di Zenone sono stati fonte di discussione e oggetto di analisi, ma solo oggi, grazie a una formulazione dell'analisi matematica che è stata sviluppata nell'ultimo decennio, è possibile risolverli [...] Per molti secoli la logica di Zenone è rimasta pressoché intatta, e ciò dimostra la tenacia dei suoi argomenti” in William I. McLaughlin, "La risoluzione dei paradossi di Zenone sul moto", Le Scienze, N. 317, 1994, pp. 60-66.
[10] Diogene Laerzio, Vite e dottrine dei filosofi, Libro VI
[11] Già Aristotele nel commentare i paradossi di Zenone nella Fisica (Z9. 239 b9) affermava che questi presupponevano che il tempo dovesse essere divisibile allo stesso modo dello spazio.
[12] Nella fisica quantistica si definisce la lunghezza di Planck ricavata a partire dalle tre costanti fisiche fondamentali: la velocità della luce, la costante di Planck e la costante di gravitazione universale. La teoria corrente suggerisce che una lunghezza di Planck sia la più piccola distanza oltre la quale il concetto di dimensione perde ogni significato fisico.
[13] La retta y=ax ha per retta ortogonale la retta y=-(1/a)x. Se consideriamo la retta y=ix la sua retta ortogonale e y=-(1/i)x. Ma  se moltiplichiamo sia numeratore che denominatore di -(1/i) per i otteniamo -(1*i)/(i*i) che è uguale ad i. Quindi y=ix è ortogonale a y=ix, quindi a se stessa
[14] David Hilbert, Über das Unendliche, Mathematische Annalen, 1826, p 170

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