Παν είναι αριθμός, ”tutto è numero” era il motto dei Pitagorici. E per numeri si intendevano quelli interi, i numeri naturali, quelli che servono per contare, per mettere in ordine.

Disintossicato dal Continuo e dall'Infinito, lasciatemi alle spalle le teorie di Cantor e la filosofia di Parmenide, voglio assaporare il Discreto, godere del Finito. Voglio elencare, numerare, mettere in ordine.

E mettere le cose in rapporto con i numeri finalmente mi da pace.

mercoledì 29 marzo 2006

Isotachia degli atomi nella fisica di Epicuro









Nella Lettera ad Erodoto Epicuro parlando degli atomi dice: 

Gli atomi hanno moto continuo ed eterno (i loro moti sono equiveloci perché il vuoto lascia passare sia i più leggeri che i più pesanti) [Epistula ad Herodotum 43,4] 

Sempre nella Lettera ad Erodoto conferma: 

E inoltre bisogna che gli atomi siano equiveloci quando si muovono nel vuoto senza che niente li urti [Epistula ad Herodotum 61,1] 

Per quello che riguarda gli aggregati diremo che uno e più veloce dell’altro, pur essendo equiveloci in assoluto gli atomi [Epistula ad Herodotum 61,21]

Il suo pensiero é inoltre confermato nel frammento:

e assolutamente equiveloci sono gli atomi... per il fatto di muoversi in una sola direzione

[Deperditorum librorum reliquiae 37]

L’ipotesi epicurea per la quale gli atomi hanno, nel vuoto, in assenza di influssi, moto rettilineo fa pensare ad Epicuro come ad un precursore di Galileo, ma la caratteristica del moto rettilineo equiveloce può anche essere vista come una anticipazione della teoria della relatività. Infatti, secondo la teoria della relatività generale i corpi soggetti alla gravitazione percorrono traiettorie rettilinee in uno spazio pluridimensionale la cui metrica è deformata dalle masse. Inoltre, come vedremo, l’equivelocità degli atomi implica le trasformazioni di Lorenz, che satnno alla base della relatività ristretta..

Queste furono scoperte e pubblicate per la prima volta da Joseph Larmor nel 1897. Nel 1905, Henri Poincaré, battezzò queste trasformazioni in onore del fisico e matematico olandese Hendrik Antoon Lorentz, il quale aveva pubblicato la propria versione finale nel 1904. Fu lo stesso Poincarè che revisionò il formalismo delle trasformazioni per convertirle nella forma coerente e del tutto solida che conosciamo oggi.

Lorentz nel tentativo di dare una giustificazione all’esperimento di Michelson e Morley del 1881, scoprì nel 1900 che le trasformazioni in questione preservavano le equazioni di Maxwell, che regolavano la natura delle onde elettromagnetiche.

L'esperimento di Michelson e Morley era nato per misurare la velocità della terra rispetto al etere, attraverso l’influsso del vento d’etere che la terra generava con il suo moto intorno al sole. Infatti a quei tempi si riteneva, secondo la concezione meccanicistica della fisica, che l’etere fosse il mezzo di trasporto delle onde elettromagnetiche. Infatti, Michelson e Morley misurarono la velocità della luce su percorsi mutuamente ortogonali al moto della terra. Velocità che si sarebbe dovuta addizionare o sottrarre al moto della terra stessa ma che invece risulto sempre uguale indipendentemente dalla velocità relativa del osservatore. Lorenz non capi le implicazioni continuando a credere nell'ipotesi dell'etere.

Fu Albert Einstein che nel 1905 diede un appropriato fondamento alle trasformazioni di Lorenz nel contesto della teoria della relatività ristretta. Infatti nella teoria della relatività le trasformazioni di Lorenz sono conseguenza della assunzione (verificata sperimentalmente) della invarianza della velocità della luce. Le trasformata di Lorentz sono trasformazioni lineare che ci permettono di ricavare, a partire dalle coordinate spazio-temporali di un sistema di riferimento R(t,x,y,z), le coordinate rispetto al sistema di riferimento R'(t',x',y',z') in moto a velocità v rispetto a R. In particolare ci permettono di calcolare il rapporto tra il tempo t dell'osservatore in quiete rispetto al tempo t' dell'osservatore in moto.



Infatti il tempo del osservatore in moto scorre più lentamente di in fattore. 



Nelle applicazioni normali (non relativistiche) v è molto più piccolo della velocità della luce c e quindi     è molto piccolo da cui risulta che 





è molto vicino ad uno e quindi t e t' sono praticamente uguali ma a velocità più grandi l'effetto, sempre presente, si fa misurabile. Questo ragionamento aveva fatto formulare nel 1911 ad Albert Einstein il famoso "paradosso dei gemelli". In questo paradosso due gemelli si ritrovavano dopo che uno era partito con un astronave, a velocità vicina a quella della luce, verso le stelle mentre l'altro era rimasto sulla terra. Al ritorno il gemello, che si era allontanato dalla terra, risultava più giovane: per lui il tempo era trascorso più lentamente.
Dalle trasformazioni di Lorenz risultava in maniera evidente che la velocità della luce è una velocità limite che non può essere oltrepassata. Infatti se la v=c allora la (1.3) assume valore 0 e essendo la (1.3) al denominatore della (1.2) la (1.2) diventa indefinita. Addirittura se le v fosse maggiore di c allora la (1.3) diventerebbe la radice di un numero negativo, che nell'algebra dei numeri reali non è possibile. Infatti la radice quadrata di un numero reale a è un numero reale b per cui a = b². Ma, per a numero negativo, non si può trovare un numer b che soddisfa questa proprietà: il numero b² è infatti sempre positivo (che b sia positivo o negativo), e quindi non può essere uguale ad a. 

Le trasformazioni di Lorenz possono però anche essere dedotte postulando, invece della costanza della velocità della luce, la isotachia nello spazio-tempo, considerando che i corpi si muovano nello spazio-tempo alla velocità costante c. Per ogni corpo in movimento lo spazio si riduce ed il tempo si contrae all'aumentare della velocità relativa  in modo che la traiettoria nello spazio-tempo sia sempre rettilinea ed equiveloce (isotachos).
Un corpo fermo nello spazio si muove quindi alla velocità della luce lungo la coordinata temporale. Un corpo che si muove nello spazio riduce in proporzione il suo moto lungo la coordinata temporale (il tempo scorre più lentamente) in modo che la risultante spazio-temporale sia costante. 
Vediamo come dal semplice assioma epicureo sia possibile derivare le trasformazioni di Lorenz

Consideriamo:



s = Spostamento spaziale.



d = Distanza spazio-temporale.



t = Tempo di riferimento dell'atomo in quiete (osservatore).



t’ = Tempo di riferimento dell'atomo in moto.



Poniamoci nella situazione galileana dove t=t’



Supponiamo che un atomo si muova di uno spazio s lungo una direzione spaziale nel tempo t rispetto ad un osservatore in quiete. Descriviamo il suo stato su un diagramma spazio-temporale rappresentando la sua traiettoria in un sistema di coordinate cartesiane dove l’asse delle x rappresenti la direzione spaziale e l’asse delle y rappresenti il tempo.




L’osservatore dopo il tempo t si troverà nel punto (0,t) mentre l’atomo in moto si troverà in (s,t). L'atomo in quiete (osservatore) avrà percorso nello spazio-tempo una distanza di lunghezza d mente l’atomo in moto avrà percorso una distanza d’. Naturalmente d>d’ e quindi l’atomo in moto avrà percorso una distanza spazio temporale maggiore.
In generale, atomi che si spostano in punti diversi nello stesso periodo temporale saranno rappresentati da segmenti di retta con pendenze diverse. La lunghezza di questi segmenti rappresenta lo spostamento nel sistema di riferimento spazio-temporale che risulterà diverso a secondo della spostamento spaziale.

Infatti, un oggetto che si è spostato maggiormente nello spazio percorrerà anche nel diagramma spazio temporale una distanza spazio-temporale maggiore di un oggetto che ha percorso una distanza spaziale inferiore nella stessa unita di tempo.

Imponiamo ora un vincolo alle distanze spazio-temporale percorribili in un’unità di tempo. Imponiamo che tutti gli atomi siano “isotachoi”, percorrano cioè una distanza spazio-temporale uguale indipendentemente dallo spostamento spaziale, cioè che i vettori di spostamento spazio-temporale siano tutti di lunghezza uguale indipendentemente dalla distanza spaziale che percorrono nell’unita di tempo e quindi della "velocità" con la quale viaggiano.

Uno spostamento nello spazio richiede a questo punto che sia ridotto il tempo necessario a percorrerlo rispetto alla situazione galileiana. Per mantenere la stessa distanza spazio-temporale indipendentemente dalla distanza spaziale percorsa nell’unità temporale è necessario che i riferimenti temporali siano diversi per l’atomo in quiete ed l’atomo in movimento. In particolare prendendo come riferimento l’unità temporale dell’atomo in quiete l’atomo in movimento ha percorso meno tempo. Il suo tempo si è rallentato.

Una prima conseguenza del vincolo di “isotachia” spazio-temporale e che esiste una distanza spaziale massima percorribile in un’unita di tempo e quindi una velocità massima.

Infatti, la distanza massima percorribile nello spazio si avrà nella situazione dove il tempo percorso dall’atomo in moto rispetto all’atomo in quiete sia nullo. In rapporto all’atomo in quiete questa è la distanza massima raggiungibile da un atomo in moto nell’unita di riferimento dell’atomo in quiete. Definiamo questa velocità misurata come spazio percorso rispetto all’atomo in quiete nell’unita di tempo dell’atomo in quiete con la lettera c.

Quale è la relazione che lega il tempo dell'atomo in quiete con il tempo trascorso sull’atomo in moto.

A questo scopo consideriamo il diagramma con sull’asse delle ascisse il rapporto tra spazio percorso dall’atomo in moto s = vt e dal massimo spazio percorribile ct e sull’asse delle ordinate il rapporto tra t’ il tempo dell’atomo in moto e t il tempo dell’atomo in quiete.



In questo diagramma la lunghezza della distanza spazio-temporale percorribile nell’unità di tempo e 1.

Vale la relazione:



sostituendo s con vt



semplificando e mettendo in evidenza t










La relazione trovata, imponendo il vicolo Epicureo di equivelocità agli atomi nello spazio-tempo, é la stessa usata da Einstein e che risolsero una sua insoddisfazione, rispetto ad alcune asimmetrie dell’elettrodinamica, quando si supponeva costante la velocità della luce per qualunque osservatore in moto.

La costanza della velocità della luce che Einstein aveva postulato da considerazione “estetiche” sulle equazione di Maxwell rivoluzionò la fisica del ventesimo secolo e le trasformazioni di Lorenz sono alla base della teoria della relatività ristretta che produsse oltre alla relativazione del concetto di tempo la equivalenza tra massa ed energia.

Grande è la meraviglia nel vedere che l’ipotesi epicurea di “isotachia”, così anti-intuitiva e allo stesso tempo così incredibilmente semplice, contenga in nuce la moderna teoria della relatività.