Παν είναι αριθμός, ”tutto è numero” era il motto dei Pitagorici. E per numeri si intendevano quelli interi, i numeri naturali, quelli che servono per contare, per mettere in ordine.

Disintossicato dal Continuo e dall'Infinito, lasciatemi alle spalle le teorie di Cantor e la filosofia di Parmenide, voglio assaporare il Discreto, godere del Finito. Voglio elencare, numerare, mettere in ordine.

E mettere le cose in rapporto con i numeri finalmente mi da pace.

sabato 8 maggio 2010

La teoria eliocentrica di Aristarco da Samo





Aristarco da Samo, astronomo e fisico greco visse tra il 310 a.C. e il 230 a.C. Egli fu il primo a sviluppare una teoria eliocentrica del cosmo togliendo alla terra l'attributo di centro dell'universo. Inoltre in base ad un sottile ed elegante ragionamento riuscì a determinare la distanza tra la terra ed il sole e la distanza tra la terra e la luna e quindi le dimensioni relative fra la terra la luna ed il sole. Furono proprio queste misure che gli fecero capire che il sole era molto più grande della terra e che si trovava molto lontano dalla coppia terra luna, tra loro invece relativamente vicine. Questa disparità di dimensioni e di distanza fu certamente lo spunto per considerare il sole, l’astro più grande, al centro del sistema. Inoltre il sistema eliocentrico permetteva di spiegare in maniera molto più semplice i moti apparenti dei pianeti.
Il ragionamento di Aristarco per il calcolo dei rapporti tra le distanze ed i diametri dei tre corpi celesti era basato su semplici osservazioni. La versione qui riprodotta ne segue le linee generali, anche se non ne segue per filo e per segno lo svolgimento. Resta comunque la bellezza del ragionamento che portò Aristarco e la civiltà greca a capire le dimensioni del cosmo e a mettere quindi  in discussione il geocentrismo e di conseguenza l’antropocentrismo.


 
Vediamo innanzitutto alcune definizioni:





Dts = distanza terra – sole
Dtl = distanza terra – sole
dso =  diametro sole
dte =  diametro terra
dlu =  diametro luna

Aristarco osservando le fasi della luna e la relativa posizione del sole aveva capito che la luna era illuminata dal sole è che nelle quadrature ( primo ed ultimo quarto) , quando la luna presentava il suo disco illuminato a metà le semirette che congiungevano il sole alla luna(SL) ed la terra alla luna (TL) formavano un angolo retto.

  

Aristarco individuò quindi il triangolo TLS rettangolo in L. Misurando l’angolo α tra la luna ed il sole durante le quadrature della luna Aristarco era in grado di conoscere tutti gli angoli del triangolo TLS. Infatti, l’angolo β la terra ed la luna visti dal sole poteva facilmente essere calcolato sapendo che la somma degli angoli di un triangolo era uguale all’angolo piatto (180°).  L’angolo luna-sole visto dalla terra comunque doveva essere minore di 90°. Infatti, quando la luna si torva in quadratura il sole non e poi molto distante ed i due astri si possono vedere insieme nel cielo diurno.  La misura effettuata da Aristarco diede il valore di 87°  (il valore moderno è di 89° 51’).







L'errore era tutt'altro che trascurabile ma la misura con i mezzi di allora non era di semplice esecuzione, inoltre la determinazione del esatto istante della quadratura della luna presentava difficoltà ancora maggiori. Aristarco capì comunque che essendo l’angolo luna-sole molto vicino a 90°, il rapporto tra la distanza terra-luna ed la distanza terra-sole era molto piccolo e che quindi il sole distava dalla terra molto più della luna. Aristarco stimò il valore compreso tra 18 e 20 mentre il valore moderno e di circa 400. Questo errore relativamente grande è dovuto dal fatto che nel triangolo rettangolo TLS se l'angolo tra il cateto minore e l'ipotenusa (nel nostra caso l’angolo luna–sole) è molto vicino a 90° anche piccoli errori nella stima di questo angolo generano grandi errori nel rapporto tra lo stesso cateto minore e l’ipotenusa. Infatti, già una  stima di 89° darebbe un rapporto di 57 mentre a 89° 51” il valore sale a 382.

Chiamiamo k il rapporto tra le distanze terra-sole e terra-luna:


Il rapporto tra le distanze si riflette subito sul rapporto delle grandezze, in quanto il sole e la luna sono visti dalla terra in sostanza sotto lo stesso angolo (ca. 0.5°). Infatti la dimensione apparente del sole e della luna è quasi uguale.




Questo si nota soprattutto durante le eclissi totali di sole, quando la luna copre tutto il sole èd il periodo di eclisse totale è di solito molto breve.


Inoltre le eclissi totali di sole sono visibili come tali solo in regioni ristrette, già muovendosi di poche centinaia di chilometri l’eclisse non è più totale ma solamente parziale. Come si po’ vedere nella mappa sottostante che indica in porpora  la zona della terra in cui era visibile l’eclisse totale del luglio 2009 mentre la zona blu indicava quella parte da dove l’eclisse era vista come parziale.   




La considerazione che il cono d’ombra solare potesse essere considerato un triangolo isoscele con base il diametro solare e come vetrice la terra (la sua superficie) indusse Aristarco ad un ragionamento che lo porto a calcolare il rapporto tra il diametro della terra ed il diametro lunare e quindi attraverso il rapporto già trovato del rapporto tra il diametro lunare e d il diametro solare al rapporto tra il diametro terreste ed il diametro del sole.



Definiamo quindi




Per calcolare questo valore Aristarco si servì di un altra osservazione relativa questa volta alle eclissi di luna. Infatti osservando le eclissi lunari Aristarco aveva notato che al contrario di quelle solari la loro durata non poteva essere considerata un istante. Anzi il passaggio della luna nel cono d’ombra della terra durava tipicamente parecchi minuti e si potevano chiaramente distinguere quattro distinti momenti.

A)   il momento in cui la luna tocca il cono d’ombra della terra
B) il momento in cui la luna è entrata completamente nel cono d’ombra della terra.
C) il momento in cui la luna inizia da uscire dal cono d’ombra della terra
D) il momento in cui la luna è uscita dal cono d’ombra della terra.













Aristarco riuscì a determinare il rapporto tra il diametro della luna ed il diametro del cono d’ombra della terra in corrispondenza dell’orbita lunare (dco) dal rapporto del tempo che intercorreva tra gli istanti A e B o C e D  (proporzionali al diametro lunare) ed il tempo che intercorreva tra gli istanti A e C oppure B e D (proporzionali al diametro del cono lunare in corrispondenza della orbita lunare).





Definito quindi dco come dimensione del cono d’ombra della terra in corrispondenza dell'orbita lunare

chiamiamo quindi 




il rapporto tra diametro del cono d’ombra della terra in corrispondenza dell’orbita lunare e del diametro lunare.

Aristarco trovo per m il valore 2 mentre il valore moderno risulta 2,7






Ne risultava subito che la dimensione della terra non poteva essere molto più grande del luna. Infatti, se il cono d’ombra della luna si riduceva di un diametro lunare sulla distanza terra luna durante l’eclissi di sole, il diametro del cono d’ombra durante l’eclissi di luna si doveva ridurre di una grandezza equivalenti. Questo vale solo se i triangoli definiti dai coni d’ombra della terra e della luna possono essere considerati triangoli simili. Aristarco considerò i due triangoli in sostanza molto simili poiché la distanza sole luna era molto maggiore della distanza terra luna e quindi gli angoli al vertice dei triangoli isoceli aventi come base il sole e come vertice la punta dei rispettivi coni d’ombra dovevano differire di una quantità esegua.




quindi







dalla definizione di m nella (1.3)



Sostituendo la (1.5) nella (1.4)




raggruppando  dlu 


e quindi evidenziando dlu



considerando la (1.2)


si ottiene 



Ricapitolando, Aristarco aveva trovato per k il valore di 19 mentre  per m il valore 2. Applicando questi valori alla (1.8)  e alla (1.10) le risultanti dimensioni del sistema solare sono ricapitolate nelle seguenti:








Aristarco aveva eseguito errori nella determinazione di m e k e aveva quindi sottostiamo sopratutto la distanza terra sole. I valori coretti per k ed m sarebbero stati rispettivamente 382  e 2,7. Usando questi valori il diametro lunare e quello solare risultano:

    
       
molto vicini ai valori moderni.

Pur sbagliando le misure astrometriche Aristarco aveva intuito che il sole era un oggetto celeste di gran lungo più grande della terra e quindi le toglieva il primato che era alla base della visone geocentrica del cosmo.
La teoria eliocentrica fu però fermamente osteggiatata da Claudio Tolomeo astronomo del II secolo d.C che nella sua opera Almagesto affermò la centralità ed immobilità della Terra nell'universo.
Il Cristianesimo in seguito avallò la cosmologia tolemaica in quanto compatibile con le Sacre Scritture. Infatti in Giosuè, cap. X, si legge "fermati, o sole!" e quindi secondo la chiesa era il sole a muoversi e non la terra.
Dovranno passare quasi 2000 anni prima che Nicolò Copernico e dopo di lui Galileo riaffermeranno la visone eliocentrica del sistema solare togliendo definitivamente alla terra la posizione privilegiata al centro del universo.

Nessun commento:

Posta un commento