Παν είναι αριθμός, ”tutto è numero” era il motto dei Pitagorici. E per numeri si intendevano quelli interi, i numeri naturali, quelli che servono per contare, per mettere in ordine.

Disintossicato dal Continuo e dall'Infinito, lasciatemi alle spalle le teorie di Cantor e la filosofia di Parmenide, voglio assaporare il Discreto, godere del Finito. Voglio elencare, numerare, mettere in ordine.

E mettere le cose in rapporto con i numeri finalmente mi da pace.

mercoledì 7 marzo 2007

La congettura di Ravà



Incontrai Tobia Ravà, artista veneziano, nel marzo del 2007 presso la sua casa, una villa veneta a Mirano, nell’hinterland di Venezia. Lo avevo cercato perché incuriosito da una sua opera raffigurata sulla copertina dei Racconti Matematici a cura di Claudio Bartocci edito da Enaudi, che ritraeva una donna realizzata con numeri e lettere ebraiche. Durante il nostro incontro Tobia mi parlò della tradizione esoterica ebraica, la cabbala, ed in particolare di una metodo di analisi delle scritture chiamato ghematria. Questo metodo sfrutta la proprietà della notazione numerica ebraica che rappresenta i numeri non usando simboli speciali, ma alla pari dei Greci, usa le lettere dell'alfabeto in una notazione additiva. Ogni parola scritta quindi oltre a rappresentare un concetto rappresenta quindi anche un numero. Questo permette lo studio delle parole e dei testi anche dal punto di vista numerologico. Ogni numero associato ad una parola può inoltre essere ridotto ad un unico numero minore di 10 sommandone le cifre ed ottenendo così un numero derivato. Se questo risulta maggiore o uguale di 10 questo processo viene ripetuto fino ottenere un numero ad una solo cifra. Tobia chiamava questo numero “numero teosofico” della parola o del numero di partenza. 

In matematica questo processo è definito come la radice digitale di un numero e trova applicazione nei criteri di divisibilità e nella “prova del nove” usata per il controllo della correttezza delle operazioni aritmetiche. 

I cabalisti, invece, usavano questi numeri per interpretare le scritture sacre. Secondo loro la struttura numerica della lingua ebraica e delle sacre scritture ne rivela la provenienza divina. Infatti, alcune coincidenze svelano un ordine nascosto nella lingua ebraica. Per esempio Tobia mi fece notare che la somma del numero teosofico della parola “padre” (av 3) e della parola “madre” (em 5) in ebraico risultava uguale al numero teosofico della parola “bambino”  (yeled 8)

Tobia aveva inoltre uno spiccato interesse per le sequenze numeriche specialmente per la sequenza di Fibonacci. Mi raccontò che aveva scoperto che se calcolava i numeri teosofici della sequenza questi si ripetevano ogni 24 numeri della sequenza. Tobia aveva testardamente verificato la veridicità di questa regolarità della sequenza fino ad indici elevati e supponeva che questa regolarità si potesse protrarre all’infinito. La verifica numerica, anche se protratta per indici molto elevati della sequenza, chiaramente non dimostrava nulla, ma si poteva solo congetturarne la veridicità. Gli promisi di dimostrare la sua congettura in maniera deduttiva al più presto.


Congettura di Ravà

Le radici digitali in base 10 (numeri teosofici) della sequenza di Fibonacci sono una sequenza periodica con periodo 24.

In realtà la congettura vale non solo per la base 10 ma per tutte le basi numeriche possibili, anche se in basi diverse la successione delle cifre si ripete con periodi diversi.. Affronteremo quindi la dimostrazione per una base qualsiasi b.

Definizione di radice digitale

La radice digitale dr di un intero n si ottiene con un processo costituito da successivi k passi riduttivi ciascuno dei quali consiste nel ricavare da un intero la somma delle sue cifre nella notazione in base b.

n è rappresentato nella base b come



la sua radice digitale è ottenuta il ripetendo la somma 




con nk+1 somma delle cifre che rappresentato nk nella base b come



fino a che nk+p  è rappresentato nel sistema a base b con una sola cifra.

il numero delle iterazioni p è chiamato persistenza additiva.




Chiameremo la radice digitale in base 10 di un numero il valore teosofico del numero.

La radice digitale di un intero n può essere calcolata usando la funzione modulo. Infatti il valore teosofico può anche essere calcolato come  (n) mod (b-1) che rappresenta il resto della divisone di n per (b-1). Nel caso della base 10 il numero teosofico può essere quindi calcolato anche come resto della divisione per 9. 




ovvero in forma compatta 



la (1.4) si può dimostrare a partire dalle proprietà additive e associative della funzione modulo.







infatti applicando la funzione modulo alla (1.1) per la proprietà additiva (1.3)




e quindi la (1.8)



ma (bkmod (b-1)=1 per ogni k e quindi



da cui si ricava la (1.4)

la seconda parte della (1.4) altro non è che il criterio di divisibilità per (b-1) dove b e la base della notazione numerica.



Proprietà della radice digitale

La radice digitale gode della proprietà additiva per cui la radice digitale dr della somma di due interi n e m è uguale alla radice digitale delle somme delle radici digitali degli addendi.

Infatti la somma delle radici digitali di m e n si può esprimere secondo la  (1.5) come:



applicando la proprietà additive della funzione modulo (1.6) ed (1.7)








e quindi


Successione di Fibonacci

La successione di Fibonacci è una successione di numeri interi naturali definibile assegnando i valori dei due primi termini, F0=0 ed F1=1, e chiedendo che per ogni  termine successivo sia Fn=Fn-1 + Fn-2 con n>1. Il termine F0 viene aggiunto nel caso si voglia fare iniziare la successione con 0; storicamente il primo termine della successione è F1= 1.

1,2,3,5,8,13,21,34,55,89......

Proprietà delle radici digitali della sequenza di Fibonacci

Ogni elemento della sequenza di Fibonacci è somma dei due predecessori e quindi in base alla (1.9) la radice digitale di un elemento della sequenza di Fibonacci è la radice digitale delle somme delle radici digitali dei due predecessori della sequenza di Fibonacci.



Dimostrazione della congettura

Chiamammo successione di Fibonacci radicale la sequenza delle radici digitali della sequenza di Fibonacci. Questa sequenza, in base alla (1.10), è una successione di Fibonacci nel Gruppo (0..b-1) formato dall’insieme degli interi {0,1,2,.. b-1} associato all’operazione binaria della radice digitale.

Se in questa sequenza ricompaiano ad un certo punto due elementi successivi nello stesso ordine e valore la sequenza diventa periodica.

Visto che la sequenza di Fibonacci radicale è composta da numeri ad una sola cifra, diversi da zero ad eccezione di F0, al più tardi dopo (b-1)2 passi la sequenza diventa periodica essendo (b-1)2 il numero massimo delle possibili combinazioni di due numeri scelti in {1,2,.. b-1}. Infatti, dopo al massimo (b-1)2 passi tutte le possibile coppie di numeri consecutivi si saranno esaurite e quindi la prossima coppia dovrà essere una coppia già comparsa nella sequenza. Da questo punto in poi la sequenza si riproporrà in maniera periodica. 

Qed.

La ripetizione di una coppia avviene di solito prima di (b-1)2 passi.

La sequenza di Fibonacci radicale di base 10 è detta sequenza di Fibonacci teosofica.

Nel caso della sequenza di Fibonacci teosofica la ripetizione di due elementi uguali avviene dopo 24 passi.

Le sequenze di Fibonacci radicali per le basi da 2 a 10 sono rappresentate nella tabella seguente

base
sequenza
periodo
2
1
1
3
1,2,1
3
4
1,2,3,2,2,1,3,1
8
5
1,2,3,1,4,1
6
6
1,2,3,5,3,3,1,4,5,4,4,3,2,5,2,2,4,1,5,1
20
7
1,2,3,5,2,1,3,4,1,5,6,5,5,4,3,1,4,5,3,2,5,1,6,1
24
8
1,2,3,5,1,6,7,6,6,5,4,2,6,1,7,1
16
9
1,2,3,5,8,5,5,2,7,1,8,1
12
10
1,2,3,5,8,4,3,7,1,8,9,8,8,7,6,4,1,5,6,2,8,1,9,1
24

venerdì 19 gennaio 2007

L’impossibilità della quadratura del cerchio



Il problema della quadratura del cerchio, ovvero di trovare a partire da un cerchio dato, usando solo riga e compasso, un segmento sul quale costruire un quadrato di area uguale a quello del cerchio di partenza è stato per millenni uno dei problemi più studiati della matematica. Menti eccelse si sono scervellate per risolvere l’antico problema ma solo nel 1882 Carl Louis Ferdinand von Lindemann pose le basi per una soluzione del problema dimostrando quindi la impossibilita di trovare una soluzione.

La dimostrazione dell’impossibilità della quadratura del cerchio usando riga e compasso è basata sulla proposizione (Formula di Eulero)


dove e rappresenta il numero di Eulero (2,7182..) , π rappresenta il rapporto tra diametro e circonferenza (3,1415…) mentre i rappresenta l’unita immaginaria definita come la radice di –1  



ovvero



La (1.1) è una delle formule più misteriosamente belle della matematica, infatti, collega e il numero di Eulero, legato alla crescita e al divenire con π legato all’immutabile e perfetto cerchio attraverso l’unita immaginaria il numero impossibile. Qui dimostreremo la (1.1) e faremo vedere come questa implichi, attraverso il teorema di von Lindeman (che non dimostreremo) e basandoci su alcune proprietà dei numeri algebrici, l’impossibilità della quadratura del cerchio.

Per dimostrare la (1.1)  consideriamo gli sviluppi di Taylor delle funzioni ex, cos(x) e sin(x)

 



oppure




   


    

per x=iπ la (1.7) diventa:


che a sua volta si può scrivere come:




per la (1.3) la (1.11) diventa:



li termini della (1.12) possono essere anche raggruppati in modo da dare la seguente relazione:


che messo in evidenziano i nella seconda parte diventa


che viste la (1.8) e la (1.9) si puo scrivere come



detta relazione di Eulero

ma  considerando che





risulta sostituendo la (1.16) e la (1.17) nella (1.15) si ottiene la (1.1)


QED


la (1.1) può essere rappresentata sul piano di Argand-Gauss in modo che i singoli termini del suo sviluppo in serie (1.12) sono rappresentati da vettori la cui parte reale e rappresentata sul asse delle x mentre la parte immaginaria sul asse delle y.





La (1.1) visualizza il legame tra eπ. La struttura della spirale é determinata dalla funzione esponenziale in funzione delle potenze dell'unita immaginaria mentre la lunghezza dei segmenti sono legate agli inversi delle potenze di πLa figura risultante parte dal punto 1,0 e converge velocemente nel punto -1,0. Un incredibile legame tra numeri complessi (mai nome fu più azzeccato) che può essere semplicemente ed empiricamente verificato.  

Definiamo ora alcune proprietà dei numeri:

  1. Un numero θ∈ℝ si dice algebrico se esiste un’equazione polinomiale.
    dove n 1 ed i coefficienti ai sono numeri razionali non tutti nulli e di cui il numero θ rappresenti una delle soluzioni.
  2. (1.19) Un numero si dice trascendente se è irrazionale, quindi non esprimibile come una frazione di interi, ma non è algebrico.

Nel 1882 Carl Louis Ferdinand von Lindeman, matematico tedesco allievo di Felix Klein, dimostrò, partendo dalla relazione di Eulero,  l'impossibilità della quadratura del cerchio. 

(1.20) Teorema di Carl von Lindemann (1882).

se θ è un numero algebrico non nullo, allora eθ è trascendente.

La dimostrazione fu pubblicata nel ventesimo volume dei Mathematische Annalen e si basava su un precedente lavoro di Charles Hermite che dimostrava che e è irrazionale ma non algebrico, e che quindi è trascendente. Il teorema fu generalizzato nel 1885 da Karl Weierstass e subito dopo David Hilbert ne fornì una dimostrazione semplificata. Negli anni sessanta il matematico americano Stephen Schaunel propose, come congettura, una formulazione ulteriormente generalizzata. La dimostrazione della congettura di Schaunel porterebbe alla non ancora dimostrata indipendenza algebrica di π ed e.

Ma torniamo alla dimostrazione della impossibilità della quadratura del cerchio. Questa si può ora ottenere dai seguenti passaggi.

Applicando il Teorema di von Lindeman alla (1.1) si deduce, visto che -1 non é trascendente, che iπ  non é algebrico. 

Ma si può dimostrare  che  

(1.21) Il prodotto di due numeri algebrici é algebrico.

Quindi dato che l’unita immaginaria i soddisfa l’equazione algebrica 

2+1 = 0


e quindi i é algebrico si deduce di conseguenza che π non é algebrico.


Quindi

(1.22) π non è soluzione di qualunque equazione algebrica.

Ma essendo π un numero irrazionale non algebrico, risulta in base alla definizione (1.19) trascendente.

Se π non è algebrico allora anche π½ non e algebrico. Infatti, se per assurdo π½ fosse algebrico allora per la (1.21) anche π, il quadrato di π½, sarebbe algebrico contraddicendo l’ipotesi di partenza.

Consideriamo ora insieme di tutti i punti sul piano le cui coordinate siano numeri razionali Chiameremo questo insieme campo di razionalità, . 

Un punto del piano si dice costruibile, a partire da punti del campo di razionalità, con riga e compasso, se è possibile costruirlo attraverso un procedimento che preveda unicamente le seguenti operazioni:

Tracciare rette tra punti dati
Tracciare circonferenze con un dato centro e passanti per un dato punto
Intersecare tali rette
Intersecare tali rette e tali circonferenze
Intersecare tali circonferenze.

Si dimostra che le operazioni eseguite con la riga a partire da due punti a e b del campo  di razionalità portano ad un altro punto del campo di razionalità in quanto le operazioni possibili sono equivalenti alla somma a+b, alla differenza a-b, alla moltiplicazione a*b e alla divisone a/b.

Si dimostra inoltre che aggiungendo il compasso si possono realizzare punti che rappresentano una estensione quadratica del campo di razionalità costruendo per ogni numero a del campo di il numero  a½ .

Applicano a sua volta l'estensione quadratica ai punti così ottenuti, attraverso una infinita regressione di estensioni quadratiche si aggiungono ad ogni numero a del campo di razionalità i numeri della forma  a1/2n . Il campo di razionalità così esteso è chiamato campo euclideo. I numeri del campo euclideo sono i numeri razionali estesi con un sottoinsieme dei numeri algebrici. Detto in termini analitici, le coordinate dei "punti costruibili" sono soluzioni di equazioni che hanno come massimo grado una potenza di 2

Abbiamo così dimostrato che 

(1.23) Ogni numero costruibile partendo dal segmento unitario con riga e compasso é algebrico

Ma avevamo dimostrato che π½ non è algebrico e quindi non costruibile in base alla (1.23) con riga è compasso.  Ma π½ è la lunghezza del lato di un quadrato avente la stessa area di una circonferenza di raggio unitario. 

Finalmente risulta quindi che non è possibile quadrare il cerchio con riga è compasso.