Παν είναι αριθμός, ”tutto è numero” era il motto dei Pitagorici. E per numeri si intendevano quelli interi, i numeri naturali, quelli che servono per contare, per mettere in ordine.

Disintossicato dal Continuo e dall'Infinito, lasciatemi alle spalle le teorie di Cantor e la filosofia di Parmenide, voglio assaporare il Discreto, godere del Finito. Voglio elencare, numerare, mettere in ordine.

E mettere le cose in rapporto con i numeri finalmente mi da pace.

domenica 15 maggio 2011

Il piacere del contare


Nel giugno 2008 ho partecipato ad un corso tenuto da Paolo Zellini, professore di Analisi Numerica presso l’Università di Roma Tor Vergata e autore del famoso “Breve storia dell’infinito” di cui Italo Calvino disse: “Tra i libri italiani degli ultimi anni quello che ho più letto, riletto e meditato è la Breve storia dell'infinito di Paolo Zellini”

Il corso dal titolo "Infinito e finito: dalla crisi dei fondamenti alla scienza del calcolo", tracciava il percorso della matematica a partire dalla scoperta, nei primi anni del 900, delle antinomie nate dal tentativo di trovare una sistemazione della teoria degli insiemi che tenesse conto anche degli insiemi infiniti. 

Si passava poi ad analizzare le conseguenze dei teoremi di incompletezza di Gödel, che mettevano fine alla crisi dei fondamenti innescata alle antinomie. Da un lato era la fine del sogno di David Hilbert di ridurre la matematica alla logica, dall’altro si evidenziava il concetto di algoritmo alla base dell’idea astratta di calcolabilità.

Nel proseguio il corso trattava le questioni del calcolo finito, quello basato sui numeri interi, quello per intenderci usato oggi dai calcolatori.

Fu durante il corso che definitivamente capii che la matematica dell’infinito non portava da nessuna parte e che l’aritmetica dei numeri interi era la sola matematica coerente.

A dire il vero Paolo Zellini, non era proprio di quest’opinione, anzi vedeva in certi problemi numerici, come per esempio l’inversione delle matrici mal condizionate, un limite teorico del calcolo digitale.

Io non condividevo la sua affermazione. Non solo la  mia esperienza lavorativa come ingegnere elettronico, ma anche riflessioni teoriche mi fanno pensare che ogni problema numerico poteva essere risolto con la precisione prestabilita, aumentato in modo appropriato il numero delle cifre usate per rappresentare i numeri all’interno dell’elaboratore elettronico e/o aumentando i cicli di iterazione. Infatti all'aumentare del numero di cifre usato per rappresentare i numeri all'interno di un elaboratore, la precisione del risultato non può peggiorare o restare immutata. Quindi anche se in alcuni casi molto lentamente la precisione desiderata è ottenibile,

Che poi il numero delle cifre o il numero delle iterazioni sono limitati dalla disponibilità di memoria e dalla frequenza di ciclo dell’elaboratore non mi sembrava un limite teorico.

Quindi definita una precisione a piacere, con cui si voglia ottenere la soluzione di un problema numerico realizzata con un algoritmo convergente, esiste un elaboratore numerico con memoria e frequenza di ciclo appropriati che farà convergere l’algoritmo, in un tempo finito, entro i limiti di precisione richiesti.

L’elaboratore, anche molto grande e molto veloce, sarà comunque finito e quindi in linea teorica costruibile.

In realtà durante il corso non capii se Paolo Zellini favorisse la matematica del continuo o quella del discreto, la matematica dell’infinito o quella numerica. Da vero intellettuale forse non voleva prendere posizione.

Io invece, che avevo appena letto “l’illusione di Dio” di David Dawkins, avevo accolto l’appello dell’autore agli intellettuali di smetterla di definirsi, al più, agnostici ed a non essere riluttanti a prendere posizioni più marcate quando è possibile applicare il principio della minima complessità.

Decisi quindi di prendere parte in maniera definitiva per il discreto, per il finito, lasciandomi alle spalle “il paradiso che Cantor ha costruito per noi", come aveva definito la teoria degli insiemi infiniti David Hilbert,

Ma se Paolo Zellini da un lato mi aveva privato del piacere delle elucubrazioni sull’infinito, dall’altro, aveva in me risvegliato l’interesse della matematica del finito che in fondo era più in sintonia con il resto della mia Weltanschauung. Mi ero scrollato di dosso gli ultimi rimasugli idealisti abbracciando in pieno la filosofia atomista.

Durante il corso Paolo Zellini ci raccontò di un passo dell’Odissea di Omero dove si associava l’elencare, il numerare, alla tranquillità del sonno. Tornato a casa, dopo il corso, mi misi a cercare e lo trovai nel IV libro dell’Odissea:

Il IV libro racconta di Telemaco che si era recato a Sparta da Menelao per chiedergli notizie del padre Ulisse. Menelao gli risponde raccontando un episodio del suo νόστος, il viaggio di ritorno da Troia, quando era finito in Egitto sull’isola di Faro, da dove non riusciva a ripartire a causa delle avverse condizioni del mare e dei venti.

Errando per l’isola Menelao incontrò Eidotea figlia dell’ antico dio marino Proteo, che vedendolo disperato decise di aiutarlo. Eidotea gli svelò come catturare nel sonno il padre Proteo, che ogni giorno a mezzogiorno si addormentava nella sua grotta in mezzo alle sue foche, dopo avere accuratamente contate. Proteo una volta catturato gli avrebbe indicato la via per tornare a Sparta e gli avrebbe anche raccontato quello che nel frattempo era successo nella sua reggia.

Su indicazione di Eidotea Menelao e i suoi compagni si travestirono coprendosi con pelli di foca ed eludendo così i controlli di Proteo riuscirono ad entrare nella grotta. Proteo appena addormentato venne sopraffatto da Menelao ed dai suoi compagni ed immobilizzato rivelò a Menelao il suo destino e quello di altri eroi achei tra i quali Aiace e Ulisse:

Odissea IV libro versi 450-453

νδιος δ' γέρων λθ' ξ λός, ερε δ φώκας
ζατρεφέας, πάσας δ' ρ' πχετο, λέκτο δ' αριθμόν.
ν δ' μέας πρώτους λέγε κήτεσιν, οδέ τι θυμ
ΐσθη δόλον εναι· πειτα δλέκτο κα ατός.


In seguito gli stessi versi nella bellissima traduzione di Ippolito Pindemonte (IV 565-569)

Uscio sul mezzogiorno il gran vegliardo
E trovò foche corpulente e grasse,
Che attento annoverò. Contò noi prima,
Nè di frode parea nutrir sospetto.
Ciò fatto, ei pur nella sua grotta giacque.

Ma soffermiamoci sull’ultima parte del secondo verso: λέκτο δ' αριθμόν. Qui compare la parola λέκτο che è, in una forma poetica, il piucheperfetto terza persona singolare di λέγωλέγω ha due significati (raccogliere, enumerare) oppure (dire, parlare). Infatti λόγος  che ha la stessa radice vuol dire il computare, il calcolare, la ragione, il rapporto oppure anche la parola, il discorso. Questo doppio significato ha portato un po’ di confusione nella traduzione dei vangeli dove la parola λόγος imperversa. Infatti non si sa se tradurla come “ragione” o “parola” (di Dio). In questo caso non c’è dubbio: l’accostamento con αριθμόν (numero) indica l’azione del contare.

Nell’ultimo verso ritroviamo di nuovo λέκτο, ma questa volta si tratta dell’aoristo indicativo terza persona singolare di λέχω giacere, dormire (la stessa radice si ritrova nel latino lectus da cui l’italiano letto, nel gotico ligan da cui il tedesco liegen).

E’ un caso? oppure Omero ha voluto creare un collegamento tra i due concetti, “contare” e “dormire”.  I due λέκτο, si trovano inoltre accentati nella stessa posizione nella struttura ritmica della metrica dell’esametro, esaltandone così la corrispondenza.

Ma indipendentemente dal fatto che Omero abbia voluto, in modo così sottile, collegare coscientemente i due concetti o che si tratti di un’interpretazione a posteriori dell’esegesi omerica in nessun modo si può negare l’incredibile bellezza e l’armonia di questi versi.  
Contare, mettere in relazione, mettere in ordine, elencare, strutturare, ragionare o per dirlo in termini matematici: mettere in corrispondenza biunivoca con l’insieme dei numeri naturali.... da pace.

Mi piace pensare che questo sia dovuto al fatto che contando, si è collegati, attraverso il processo di corrispondenza con l’insieme dei numeri naturali, all’essenza stessa dell’essere, all’αρχή pitagorico: il numero. E squarciato per un attimo il velo che lo nasconde, l’io profondo contemplando, appagato si rilassa:

λέκτο δ' αριθμόν… ἔπειτα δ λέκτο κα ατός

Contare, poi giacere, dormire