tag:blogger.com,1999:blog-56225014746610695452024-02-19T12:44:09.004+01:00Elogio del finitoFederico Giudiceandreahttp://www.blogger.com/profile/12558070611627765134noreply@blogger.comBlogger22125tag:blogger.com,1999:blog-5622501474661069545.post-45045685631976522312020-11-14T14:21:00.035+01:002023-03-06T16:54:19.859+01:00<p style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial; font-size: large;"><br /></span></p><p><span style="font-family: arial; font-size: large;"></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;"><span style="font-family: arial;"><span style="font-size: large;"></span><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjxg5Ks1-K3gPoZXn84dM5xxSTw2pB9inHCcAcR17eqR0uATOiymSJg3aFlZJFS_D7mTpunCPa2_C2ItZs1z9FuXseLnNr-zfqb0A8JfiAknzWIsKfWIY88mZu0RJzFEVhn_XTAGwJSbxA/s2614/Microtec+Facade.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="1203" data-original-width="2614" height="249" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjxg5Ks1-K3gPoZXn84dM5xxSTw2pB9inHCcAcR17eqR0uATOiymSJg3aFlZJFS_D7mTpunCPa2_C2ItZs1z9FuXseLnNr-zfqb0A8JfiAknzWIsKfWIY88mZu0RJzFEVhn_XTAGwJSbxA/w545-h249/Microtec+Facade.jpg" width="545" /></a></span></div><span style="font-family: arial;"><div style="font-size: x-large; text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><b><span style="font-size: xx-small;">La facciata della MiCROTEC: variazioni sugli esagoni di Escher</span></b></div></span><p></p><p style="text-align: left;"></p><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: xx-small;"><span style="font-family: arial;">L'artista olandese Maurits Cornelis Escher intraprese nel 1922, dopo aver </span><span style="font-family: arial;">concluso gli studi alla scuola di arti grafiche a Haarlem,</span><span style="font-family: arial;"> </span><span style="font-family: arial;">sulla scia di molti giovani artisti dell’Europa continentale, il Gran Tour in Italia alla ricerca delle radici della cultura occidentale. Rimase talmente affascinato dal paesaggio italiano che decise di stabilirsi a Roma e diventare un artista paesaggista. Ogni primavera intraprendeva viaggi nelle provincie italiane, eseguendo disegni e schizzi di villaggi e paesaggi. Tornato a Roma li trasformava in opere grafiche, inizialmente xilografie, in seguito anche litografie e mezzetinte. Ogni tanto si cimentava anche in opere geometriche più astratte e, molto probabilmente per economizzare lo sforzo dovuto all’incisione sulla matrice lignea, aveva sviluppato una tecnica per realizzare, usando un unico tassello, opere più complesse stampando il tassello l’uno accanto all’altro: in tal modo il piano veniva riempito con figure uguali, ma usando colori e orientazioni diverse veniva a crearsi un insieme in cui la monotona regolarità della ripetizione era mitigata e impreziosita dall’alternarsi dei colori e delle orientazioni. Le possibili operazioni su un tassello nel tentativo di riempire il piano con la stessa figura sono, oltre naturalmente all’essenziale traslazione, la rotazione e la riflessione. </span></span></div><p></p><p style="text-align: justify;"></p><table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhIViPILDSsFhGwWwBvE5xgXLlffunX4KVaqbYc5ahz2EEK0d-pnn3gms8_tiIBo7VdBOGNlnoo08Q6Ya5K12PqpVqyGI_i8bykedovwAG_sAK4ZbgPOUnRru5jPYjQ_W0VAleapkwBi-I/s350/image_1509492158_Lion_Printed_Tapestry_copy.jpg" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;"><img border="0" data-original-height="107" data-original-width="350" height="122" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhIViPILDSsFhGwWwBvE5xgXLlffunX4KVaqbYc5ahz2EEK0d-pnn3gms8_tiIBo7VdBOGNlnoo08Q6Ya5K12PqpVqyGI_i8bykedovwAG_sAK4ZbgPOUnRru5jPYjQ_W0VAleapkwBi-I/w400-h122/image_1509492158_Lion_Printed_Tapestry_copy.jpg" width="400" /></span></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: left;"><span style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;"><span>Figura 1 Sciarpa in seta stampata a mano 1925<br /></span><br /></span></span></td></tr></tbody></table><p></p><p style="text-align: justify;"></p><table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: left; margin-right: 1em; text-align: justify;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjQaTzGZLuNTfuK5I5g3ncbA9eJZ6QUU9La7I-xHmborNcYQ-MbOCqkjdCRI41om4ygjIOY1RzNFrsnP14SJPkb0fPaaiJuQq3UrD_de9EPBafKQD1CF2-5L-uX5rkB6tZdNtZj5ysKBZQ/s232/image_1509492088_Screen_Shot_2017-10-31_at_4.29.45_PM.jpg" style="clear: left; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;"><img border="0" data-original-height="116" data-original-width="232" height="171" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjQaTzGZLuNTfuK5I5g3ncbA9eJZ6QUU9La7I-xHmborNcYQ-MbOCqkjdCRI41om4ygjIOY1RzNFrsnP14SJPkb0fPaaiJuQq3UrD_de9EPBafKQD1CF2-5L-uX5rkB6tZdNtZj5ysKBZQ/w342-h171/image_1509492088_Screen_Shot_2017-10-31_at_4.29.45_PM.jpg" width="342" /></span></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;"><span><span>Figura 2 Tasselli per la stampa della sciarpa</span> <br /><br /></span><br /></span></td></tr></tbody></table><div style="text-align: justify;"><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;"><span>Mentre la rotazione era banalmente eseguita ruotando il tassello matrice, la riflessione richiede la costruzione di una seconda matrice con la figura speculare (figura 2). M.C. Escher si cimentò, durante la sua permanenza a Roma, in diversi tipi di tassellature stampando motivi regolari su tessuti, oltre a cimentarsi nel disegno delle piastrelle di ceramica usate per pavimentare la sua casa romana (figura 3). Nel 1936 Escher, a causa dell’inasprirsi della situazione politica e infastidito dalla propaganda nazionalista del regime fascista, abbandonò l’Italia per trasferirsi a Chateaux d’Aux in Svizzera. Ma la nostalgia per il paesaggio italiano, soprattutto per quello dell’Italia meridionale, lo spinse a intraprendere un ultimo viaggio per imprimere definitamente nella memoria le stratificazioni culturali e le diversità del paesaggio mediterraneo. Scrisse alla compagnia di navigazione Adria di Fiume, chiedendo di potersi imbarcare su una motonave che percorresse le rotte del Mediterraneo in cambio di 48 stampe risultanti </span>dalle incisioni basate sui disegni eseguiti durante il viaggio.</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;"><span><br /></span><span><table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEho1LddNZLfVkvOQu_pbOeUKlqU79jyZ1PjUykEgt9uLdDFd49Irup6ld089Qh0eg5rDQFmNhz8qD6rr4uGWTM1N8MpyP9xeAmOACCecKp_Tqh4y3vk1Dai85nfjPSWgq6bUa5hyTWhJl4/s408/Picture1.png" style="clear: left; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><span><img border="0" data-original-height="266" data-original-width="408" height="342" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEho1LddNZLfVkvOQu_pbOeUKlqU79jyZ1PjUykEgt9uLdDFd49Irup6ld089Qh0eg5rDQFmNhz8qD6rr4uGWTM1N8MpyP9xeAmOACCecKp_Tqh4y3vk1Dai85nfjPSWgq6bUa5hyTWhJl4/w521-h342/Picture1.png" width="521" /></span></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><div style="text-align: left;"><span>Figura 3 Disegno per le piastrelle della casa </span><span>in </span><span>via Poerio a Roma</span></div><span> </span></td></tr></tbody></table></span></span></div></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;">La compagnia di navigazione Adria accettò e quindi Escher si imbarcò il 27 Aprile 1936 sulla motonave Rossini. Il viaggio lo portò a toccare tanti porti del Mediterraneo, ma fu a Granada in Spagna che avvenne quello che mise definitivamente in secondo piano l’interesse di Escher per il paesaggio. Escher a Granada visitò l’Alhambra, la fortezza costruita dai mori nel 13mo secolo, durante il loro dominio sulla penisola Iberica. I mori per abbellire le loro dimore, dovendo seguire il precetto musulmano della proibizione della rappresentazione di figure animate, ricorrevano a ornamenti geometrici. Molto probabilmente, per le stesse ragioni di economia che avevano indotto Escher a usare una sola matrice per creare pattern più complessi, le pareti dell’Alhambra erano piastrellate con tasselli di ceramica che si ripetevano secondo diversi schemi simmetrici. La varietà degli schemi incuriosì Escher che fece molti schizzi delle diverse simmetrie (Figura 4). </span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;"> </span></div><p></p><table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhAPovUTXLKbBxWUG8yVnwM1Qos1rQzuLTVNbscgbQU6_j1LLPm9xEEXFo-VcB8MGn5fNlhOZSNm8RKTMzK0DOlwJ3nNGrnJO74EpxIKRyZo4ETEkzAAaVJBiw_NbmxJ-A1EwcYzaugilU/s908/Alhambra.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;"><img border="0" data-original-height="666" data-original-width="908" height="294" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhAPovUTXLKbBxWUG8yVnwM1Qos1rQzuLTVNbscgbQU6_j1LLPm9xEEXFo-VcB8MGn5fNlhOZSNm8RKTMzK0DOlwJ3nNGrnJO74EpxIKRyZo4ETEkzAAaVJBiw_NbmxJ-A1EwcYzaugilU/w400-h294/Alhambra.png" width="400" /></span></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: left;"><span style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;"><span>Figura 4 Disegno delle decorazioni murali dell’Alhambra eseguite da M.C. Escher nel 1936</span><br /><br /></span></span></td></tr></tbody></table><p style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;">Tornato a Chateau d’Aux, iniziò a studiare intensamente le diverse simmetrie che permettevano di tassellare il piano. Gli venne in aiuto il fratellastro Beer[1] , un insigne geologo che insegnava all’Università di Leida . Gli interessi scientifici di Beer Escher erano rivolti soprattutto alla vulcanologia, ma anche la cristallografia era tra i suoi campi d’interesse. I cristallografi, nell’intento di classificare tutti i tipi di cristalli, si erano cimentati nell’approcciare il problema con le tecniche della matematica. Il problema dei cristallografi era equivalente al problema della tassellatura. Infatti i cristalli sono composti da celle che ripetute formano il reticolo cristallino. Anche qui le trasformazioni possibili sono, oltre alle traslazioni, le rotazioni e le riflessioni, solo che invece di svilupparsi sul piano le trasformazioni si sviluppano nello spazio. I cristallografi, nell’intento di capire con quali metodi affrontare il problema dei cristalli nello spazio tridimensionale[2], affrontarono anche il problema più semplice, cercando di capire come le trasformazioni generano tutte le possibili tassellature del piano. Le trasformazioni che lasciano invariate la forma e le dimensioni di enti geometrici sono studiate dalla teoria dei gruppi e sono chiamate trasformazioni isometriche. Le operazioni isometriche, traslazioni, rotazioni e riflessioni, definisco un ‘gruppo’. La teoria dei gruppi era stata sviluppata da Evariste Galois[3] negli anni ‘30 del 19mo secolo allo scopo di determinare la solubilità delle equazioni polinomiali. Applicando le tecniche della teoria dei gruppi i cristallografi Fedorov, Schoenflies e Barlow nel 1891 avevano dimostrato che i differenti gruppi di trasformazioni atti a riempire una superficie piana con figure regolari sono in tutto 17. I gruppi delle isometrie del piano sono spesso chiamati “wallpaper group”, gruppo della carta da parati. Infatti, la carta da parati è il più delle volte decorata con disegni simmetrici tali da non evidenziare il passaggio da un foglio all’altro, in modo da dare alla parete una decorazione senza interruzione di continuità.</span></p><p style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;">Escher era venuto a conoscenza attraverso il fratellastro di un articolo di Pólya[4] del 1924 in cui le 17 possibilità erano state riscoperte e illustrate. Escher aveva poi spinto oltre la sua indagine (figura 5) considerando anche il colore come elemento distintivo (tasselli adiacenti non potevano condividere lo stesso colore) e catalogò in un suo originale schema le diverse possibilità sviluppando una vera e propria teoria[5].</span></p><table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj0XStjHUmKh8nPBjWSWATwMhBmiLOpKzeNFtQHxpWTFDBDoDlBIS4r4YdOlTEkQ9JcybnqaxEAD3FM6FDjZOzMP6UgNfhm_SuhEP9nJCZbgeMld2HPWBeQATAVr2Q88of6HuS_-x6BTgU/s720/Colored+tesselations.jpeg" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;"><img border="0" data-original-height="405" data-original-width="720" height="282" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj0XStjHUmKh8nPBjWSWATwMhBmiLOpKzeNFtQHxpWTFDBDoDlBIS4r4YdOlTEkQ9JcybnqaxEAD3FM6FDjZOzMP6UgNfhm_SuhEP9nJCZbgeMld2HPWBeQATAVr2Q88of6HuS_-x6BTgU/w499-h282/Colored+tesselations.jpeg" width="499" /></span></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: left;"><span style="font-size: xx-small;"><span style="font-family: arial;"><br />Figura 5 Tassellazioni con simmetrie identiche (traslazione e riflessione) ma che non possono essere colorate secondo lo stesso schema <br /><br /></span></span></td></tr></tbody></table><div style="text-align: justify;"><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;">Nel 1939, in seguito allo scoppio della seconda guerra mondiale, M.C. Escher si stabilì a Baarn, nella natia Olanda. Aveva passato gli ultimi anni studiando a fondo le isometrie del piano e aveva raccolto in un quaderno esempi di diverse tassellature. Le tassellature di Escher avevano una particolarità che prima di lui nessun altro aveva sistematicamente sviluppato[6]. Le sue erano tassellature animate: i suoi tasselli non erano semplici figure geometriche, ma avevano forma e soggetti riconoscibili come uccelli, pesci, rettili. Escher continuò a studiare le diverse tipologie di figure geometriche che avevano la proprietà di tassellare il piano. Nel 1937 il fratellastro Beer gli fece avere un articolo del cristallografo tedesco F. Haag[7] che descrive le proprietà di un particolare esagono costruito partendo da un triangolo equilatero e da un punto qualsiasi sul piano. Haag costruiva un primo lato dell’esagono congiungendo il punto F (un punto qualsiasi) con un vertice del triangolo equilatero, il punto A (Figura 6). Il secondo lato è costruito ruotando il primo di 120˚ intorno al vertice A del triangolo equilatero, quindi congiungendo l’estremo del secondo lato, il punto D, con il successivo vertice del triangolo equilatero, il punto B, seguendo il verso della rotazione e ripetendo la costruzione anche per l’ultimo vertice. Haag dimostrò che si formava un esagono e che questo esagono, proprio perché costruito sul reticolo dei triangoli equilateri, tassellava il piano. </span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;">Escher studiando gli esagoni di Haag, che in seguito chiameremo esagoni di Escher, notò che tracciando le diagonali queste si incontravano in un solo punto. Escher enunciò il suo risultato alla maniera formale dei matematici in forma di enunciato di un teorema (figura 7). Infatti, nell’enunciarlo usò il termine “stelling” la parola olandese per definire la tesi di un teorema. L’enunciato di Escher era corretto, anche se l’artista ne aveva solo verificato la validità per via grafica, testando la sua tesi su diversi esagoni e, da abile disegnatore, notando che le diagonali si incontravano sempre in un unico punto. </span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;"><br /></span></div></div><table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: justify;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg0mbSTW42Yr2tOAogCEvTJ1FvzRfZkEzmWa0dMbgqcgLTUUyC8Laeof_iVV4V5wiVicqlE_fa6j757G7-1dLkz_xSMI3dKnGmqKCeyTiN-hrxayfSZI963Ttj92aq-LTBcNZsO39MGE7E/s1257/Esagoni+di+Escher.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;"><img border="0" data-original-height="1138" data-original-width="1257" height="407" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg0mbSTW42Yr2tOAogCEvTJ1FvzRfZkEzmWa0dMbgqcgLTUUyC8Laeof_iVV4V5wiVicqlE_fa6j757G7-1dLkz_xSMI3dKnGmqKCeyTiN-hrxayfSZI963Ttj92aq-LTBcNZsO39MGE7E/w449-h407/Esagoni+di+Escher.png" width="449" /></span></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: left;"><span style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;">Figura 6 Esagoni di Escher</span></span></td></tr></tbody></table><p></p><p style="text-align: justify;"></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;"><span>Una dimostrazione matematica rigorosa, che si riferiva ad un caso più generale, era stata pubblicata nel 1825 da Karl Friedrich Andreas Jacobi</span>[8] un matematico tedesco da non confondere con il più famoso Carl Gustav Jacobi. Nel 1973 J.F. Rigby presentò una dimostrazione[9] che si basava sulle simmetrie di rotazione e di traslazioni della tassellatura di Haag. Questa dimostrazione, essendo basata sulla proprietà dell’esagono di tassellare il piano, sarebbe certamente piaciuta da Escher. </span></div><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;"><br /></span><p></p><table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: justify;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgCzMRtTSSM8_IoclarEgSf9tmRubiG_VyLAIy-leIJAfOPeOJzb1O5fKstRZpep_MFxeBDMiLB1JUVFxDe233suxpDLW5uFNyFJV76vZ9fCRiy_xXr9Vor5UcxakKaIfnHXNLrslDL-DQ/s2048/mc_escher_haags_gemeentemuseum_098_p1776-1779_Pagina_12.jpg" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;"><img border="0" data-original-height="1341" data-original-width="2048" height="312" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgCzMRtTSSM8_IoclarEgSf9tmRubiG_VyLAIy-leIJAfOPeOJzb1O5fKstRZpep_MFxeBDMiLB1JUVFxDe233suxpDLW5uFNyFJV76vZ9fCRiy_xXr9Vor5UcxakKaIfnHXNLrslDL-DQ/w477-h312/mc_escher_haags_gemeentemuseum_098_p1776-1779_Pagina_12.jpg" width="477" /></span></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: left;"><span style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;">Figura 7 M.C. Escher Appunti</span></span></td></tr></tbody></table><p style="text-align: justify;"></p><table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: left; text-align: justify;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjJMW5_Hwj_j8V8qCyrxg5WVjfIBzvT3eH-LZliAwXslnITFVeH0-BIJlW4jIyutEWp66sn_4qDZMxtfRlWGEYWlTYJVniRYrSvxecQ4ZZxrt4ZTxbx3Q-iz4MORQwNiuUGRG2tyz2y1oM/s1180/Napoleons+Theorem.png" style="clear: left; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;"><img border="0" data-original-height="1117" data-original-width="1180" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjJMW5_Hwj_j8V8qCyrxg5WVjfIBzvT3eH-LZliAwXslnITFVeH0-BIJlW4jIyutEWp66sn_4qDZMxtfRlWGEYWlTYJVniRYrSvxecQ4ZZxrt4ZTxbx3Q-iz4MORQwNiuUGRG2tyz2y1oM/s320/Napoleons+Theorem.png" width="320" /></span></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: left;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;"><span>Figura 8 Teorema di Napoleone</span><br /></span></td></tr></tbody></table><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;">Escher non era a conoscenza del lavoro di Jacobi e chiese a suo figlio George una dimostrazione. George si era laureato in ingegneria e intratteneva con il padre una fitta corrispondenza riguardo alle questioni matematiche sulle tassellature del piano. George Escher non riuscì ad accontentare il padre, ma osservò che gli esagoni di Escher, potevano essere costruiti anche in maniera differente. George fece notare al padre che i segmenti che sottendono gli angoli di 120˚ formati dai lati uguali dell’esagono di Escher definiscono un triangolo DEF e che i triangoli isosceli con vertice di 120˚, ruotati di +/- 120˚, formano triangoli equilateri costruiti sui lati del triangolo DEF. Inoltre, i centri di tali triangoli equilateri sono precisamente i vertici del triangolo equilatero iniziale ABC a partire dal quale, partendo dal punto F preso arbitrariamente, era stato costruito l’esagono di Escher. Pertanto, l’esagono di Escher ADBECF può anche essere costruito a partire da un triangolo qualsiasi DEF, costruendo sui suoi lati dei triangoli equilateri i cui centri A, B, C sono a loro volta vertici di un triangolo equilatero. Questo risultato era conosciuto in geometria come il teorema di Napoleone.</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;">Il teorema di Escher quindi era intimamente connesso attraverso gli esagoni a un altro teorema della geometria del triangolo che la tradizione attribuisce appunto a Napoleone Buonaparte[10], il quale, oltre ad essere un grande condottiero, era un valente matematico dilettante. La connessione è sorprendente anche in virtù del fatto che sia Escher che Napoleone erano appunto matematici dilettanti. Escher si rese certamente conto che i suoi esagoni, costruiti su un reticolo di triangoli equilateri, individuavano i triangoli di Napoleone, iscritti a loro volta in nuovi esagoni (non congruenti) determinati dai vertici dei triangoli di Napoleone e dai punti di incontro delle diagonali degli esagoni di Escher. </span></div><p style="text-align: justify;"></p><table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhY3l3meiGaxs1vOFKLoLq9aP7IrzmQxtiBQ3lTa1XxhxAzKw8PkndkziQENBnuuWCIq6Ynf2GzkMencVbGCfwtIwzv1k8qc4t5vS4MnW5EqLh4fFDbk8HXQCBUUNkPFmUNp29QC5FEBLg/s2048/IMG_3200.jpg" style="clear: left; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;"><img border="0" data-original-height="2048" data-original-width="1965" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhY3l3meiGaxs1vOFKLoLq9aP7IrzmQxtiBQ3lTa1XxhxAzKw8PkndkziQENBnuuWCIq6Ynf2GzkMencVbGCfwtIwzv1k8qc4t5vS4MnW5EqLh4fFDbk8HXQCBUUNkPFmUNp29QC5FEBLg/w261-h320/IMG_3200.jpg" width="261" /></span></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><div style="text-align: left;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;"><br /></span></div><div style="text-align: left;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;"><span>Figura 9 M.C Escher, Divisione regolare del piano Nr 10, </span><span>Acquarello 1942</span></span></div><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;"><div style="text-align: left;"><br /></div></span></td></tr></tbody></table><div style="text-align: justify;"><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;"><span><span style="text-align: left;"><span>Infatti, Escher nel maggio del 1942 disegna una tassellatura del piano (figura 9) nella quale sono chiaramente individuabili le diagonali degli esagoni di Escher e i triangoli di Napoleone. </span></span><span>Ma c’è un altro sorprendente aspetto nella pavimentazione di Escher che la collega a nomi di illustri matematici del XVII secolo. Indicati. infatti con A’, B’, C’ gli ulteriori vertici dei triangoli di Napoleone aventi come centri rispettivamente i punti A, B, C, anche gli esagoni A’DB’EC’F godono della proprietà che le loro diagonali si intersecano in un unico punto PF: ebbene, tale punto risulta essere, nel caso in cui il triangolo DEF non contenga angoli di ampiezza maggiore di 120°[11], il punto di minima distanza dai vertici di tale triangolo. Il punto PF è noto come punto di Fermat, in quanto fu proprio Pierre de Fermat ad individuarlo in risposta a un quesito posto da Evangelista Torricelli che diede luogo a una fitta corrispondenza tra i due grandi matematici. </span></span>La concorrenza delle diagonali
cosi costruite nel punto di Fermat è
conseguenza dello stesso teorema di Jacobi
del 1825. Inoltre nel 1870 Ludwig Kiepert dimostrò che il punto individuato da Escher ed il
punto d Fermat giacevano su una iperbole
equilatera che passa anche per i tre vertici del
triangolo di partenza, il suo ortocentro ed il suo
baricentro[12]</span></div>
<div style="text-align: justify;"><span><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;"><br /></span></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;"><span><span>Escher esegue anche un altro acquarello (figura 11) basato sugli esagoni di Escher, sovrapponendo quattro reticoli costruiti con tali esagoni. Al primo reticolo vengono sovrapposti gli altri tre traslati lungo tre vettori U2, V2, W2 (figura 13) che muovono il reticolo di metà del percorso che traslerebbero secondo i vettori U1, V1, W1, ognuno dei quali trasforma il reticolo in sé stesso. </span></span><span>Sul reticolo combinato si individua un nuovo punto concorrente. J.F. Rigby nel suo articolo del 1973 dimostra che questo punto è il centro del cerchio dei nove punti del triangolo DEF. Questo cerchio chiamato anche cerchio di Feuerbach[13], contiene infatti oltre ai punti medi dei lati del triangolo DEF anche i piedi delle sue altezze e i punti medi dei segmenti compresi fra i vertici e l'ortocentro.</span></span></div></div><table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: left; margin-right: 1em; text-align: justify;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjR6t67VqeG-jV4BYyvbBHdYAxvRV0gjDBPSlBQfs8BTXdIYtYEVIrDm9viZA_Wco2xnyJJE0kLFXZ5ObKCME7zkApr1nTfZWMHSLu1KESTcM8tKbWYoFUZc0nng_iRm9NliP5PRSq5Tis/s2048/Punto+di+Fermat.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;"><img border="0" data-original-height="2048" data-original-width="1959" height="291" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjR6t67VqeG-jV4BYyvbBHdYAxvRV0gjDBPSlBQfs8BTXdIYtYEVIrDm9viZA_Wco2xnyJJE0kLFXZ5ObKCME7zkApr1nTfZWMHSLu1KESTcM8tKbWYoFUZc0nng_iRm9NliP5PRSq5Tis/w290-h291/Punto+di+Fermat.png" width="290" /></span></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;">Figura 10 Punto di Fermat</span></td></tr></tbody></table><p></p><p></p><p style="text-align: left;"></p><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;"><span>A ogni esagono di Escher è associato, come aveva fatto notare il figlio George, un triangolo e le proprietà dell’esagono sono intimamente, e anche sorprendentemente, connesse con quelle dei triangoli. Ma le sorprese non sono finite. Infatti l’osservazione di Escher sulla concorrenza delle diagonali dell’esagono di Escher implica in base al teorema di Brianchon , che gli esagoni di Escher iscrivono un’ellisse[14]. Il teorema Brianchon afferma che, date sei rette tangenti a una conica che si intersecano a due a due in sei punti, le rette che congiungono i punti opposti si incontrano in un </span>punto. Il teorema ha come corollario che per un esagono circoscritto a una conica le rette congiungenti vertici opposti passano per uno stesso punto, detto punto di Brianchon.</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;">Il teorema vale anche nella sua versione inversa. Se le diagonali di un esagono si incontrano in un punto, è possibile iscrivere un’ellisse che è tangente a tutti i sei lati.</span></div><p style="text-align: justify;"></p><table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEidR6rHA_B7YTfxHfaTboxelSywSAmVVzNhsbIk68r3bKlrE6IRY_M99OVODTWcxUGNz0Jp4ikPN0OV2sRUNlAc_GF0hut0gtKxbfq0YfyxMm8ciX_uRMIUku07XKWEaumMNpnCLJKdGt8/s2048/IMG_3213.jpg" style="clear: left; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="2048" data-original-width="1582" height="400" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEidR6rHA_B7YTfxHfaTboxelSywSAmVVzNhsbIk68r3bKlrE6IRY_M99OVODTWcxUGNz0Jp4ikPN0OV2sRUNlAc_GF0hut0gtKxbfq0YfyxMm8ciX_uRMIUku07XKWEaumMNpnCLJKdGt8/w310-h400/IMG_3213.jpg" width="310" /></a><br /><span>Figura 11 <span style="text-align: left;">M.C Escher, Divisione regolare del piano, Nr 11 </span><span style="text-align: left;">Acquarello 1942</span></span></span></td></tr></tbody></table><p style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;">Gli esagoni di Escher e la proprietà delle diagonali individuata da Escher mettono in evidenza tutta una serie di risultati della geometria piana e, in particolare, della geometria del triangolo che vanno molto oltre la trattazione fatta da Euclide nel 300 a.C. nei suoi Elementi e che fanno intravedere la ricchezza e la complessità delle questioni legate a costruzioni geometriche apparentemente semplici. </span></p><p style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;"> </span></p><table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjZXMzgW5SdTgJSuAcueVRLUuDN4GERdyqxACQekZZ-Dz0so4Qt1GcaOsJS0m6pi9xWPsoZCsb1npaN-9reMldOGYNLUXOtSaR3NDzVUE7XLP33eEfm3IzWAtxhs1NpB6jb-tCKWBaf7wU/s1166/Screenshot+2020-10-12+at+15.11.53.png" style="clear: left; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;"><img border="0" data-original-height="1035" data-original-width="1166" height="459" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjZXMzgW5SdTgJSuAcueVRLUuDN4GERdyqxACQekZZ-Dz0so4Qt1GcaOsJS0m6pi9xWPsoZCsb1npaN-9reMldOGYNLUXOtSaR3NDzVUE7XLP33eEfm3IzWAtxhs1NpB6jb-tCKWBaf7wU/w519-h459/Screenshot+2020-10-12+at+15.11.53.png" width="519" /></span></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><div style="text-align: left;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;"><span><span>Figura 12 </span><span>U1, V1, W1 i tre vettori di traslazione che </span></span><span><span>trasformano </span></span><span>il reticolo in sé stesso</span></span></div></td></tr></tbody></table><p></p><p style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;"><span>Per celebrare il genio olandese la ditta MiCROTEC di Bressanone ha voluto costruire la facciata della nuova sede ispirandosi alla tassellatura generata dalle diagonali degli esagoni di Escher, integrata qua e là dai triangoli di Napoleone. </span>La tassellatura si prestava per essere costruita in modo modulare. Infatti tutto il reticolo poteva essere costruito a partire da un unico elemento a Y il quale opportunamente ruotato ed inserito nel sottostante reticolo dei triangoli equilateri generava tutta la struttura. Questa proprietà, che ha decisamente semplificato la costruzione della facciata, è stata notata dall’architetto Richard Hassell[16] dello studio WOHA di Singapore. Richard Hassell, oltre ad essere un esperto e collezionista delle opere di M.C. Escher, è a sua volta un abile tassellatore, specializzato nelle tassellature aperiodiche scoperte da Roger Penrose nel 1972. </span></p><p style="text-align: justify;"></p><table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: justify;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjxg5Ks1-K3gPoZXn84dM5xxSTw2pB9inHCcAcR17eqR0uATOiymSJg3aFlZJFS_D7mTpunCPa2_C2ItZs1z9FuXseLnNr-zfqb0A8JfiAknzWIsKfWIY88mZu0RJzFEVhn_XTAGwJSbxA/s2614/Microtec+Facade.jpg" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;"><img border="0" data-original-height="1203" data-original-width="2614" height="255" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjxg5Ks1-K3gPoZXn84dM5xxSTw2pB9inHCcAcR17eqR0uATOiymSJg3aFlZJFS_D7mTpunCPa2_C2ItZs1z9FuXseLnNr-zfqb0A8JfiAknzWIsKfWIY88mZu0RJzFEVhn_XTAGwJSbxA/w555-h255/Microtec+Facade.jpg" width="555" /></span></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: left;"><span style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;">Figura 13 Facciata della sede della MiCROTEC in Via Julius Durst 98, 39042 Bressanone, BZ, Italia</span></span></td></tr></tbody></table><p style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;">Per rendere la facciata più dinamica l’architetto Elisabetta Ripamonti dello studio MMdesign di Milano ha introdotto una variante ispirata alle tassellature metamorfiche di Escher. Infatti molte delle opere di Escher sono costruite modificando i tasselli in modo da passare da una tassellatura ad un’altra. L’esempio più conosciuto è la serie delle tre xilografie Metamorphose[17] considerate da molti come le opere più importanti dell’artista olandese. </span></p><table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: justify;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhn4jfXtqS7JgIygPkxrvSgeWCZ-zhR1NNka_RE8nBNFq4kg-qaPWMqDncDzbMGWFTS4AxQXUdPiUnxkSpnvakHU2UtsuCHX6gE4RO5Zh6T6rgthmc8D4yiSQ9dvTrkI8Kg9pbrfb7e60g/s7241/320+Metamorphose+II+2+colors+copy.jpg" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;"><img border="0" data-original-height="434" data-original-width="7241" height="39" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhn4jfXtqS7JgIygPkxrvSgeWCZ-zhR1NNka_RE8nBNFq4kg-qaPWMqDncDzbMGWFTS4AxQXUdPiUnxkSpnvakHU2UtsuCHX6gE4RO5Zh6T6rgthmc8D4yiSQ9dvTrkI8Kg9pbrfb7e60g/w659-h39/320+Metamorphose+II+2+colors+copy.jpg" width="659" /></span></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;"><span>Figura 14 M.C. Escher, Metamorphose II, xilografia a due colori, 1940 didascalia</span><br /></span></td></tr></tbody></table><p style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;">Nel caso della facciata la metamorfosi è generata come variazione su tre diversi esagoni di Escher, costruiti sullo stesso reticolo di triangoli, ma modificando il punto arbitrario di partenza in modo da generare tre diversi reticoli di esagoni di Escher sul quale poi costruire il reticolo finale unicamente con le semi-diagonali. </span></p><p style="text-align: justify;"></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjaiF0bqeG7cB1rATo-DcYiRVuFOAsU92s1AVyYjvRfgxNhZsoXF87Rab3jV9rilrJyJ8Gq1bDiJWalld5MMw2ZQkiehCz0t3O9zds9OG0JsOYAXEK_7k8wf5fR6fbUf_DJX9VfxWgscbE/s1002/MT_Logo+positiv.jpg" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em; text-align: justify;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;"><img border="0" data-original-height="147" data-original-width="1002" height="50" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjaiF0bqeG7cB1rATo-DcYiRVuFOAsU92s1AVyYjvRfgxNhZsoXF87Rab3jV9rilrJyJ8Gq1bDiJWalld5MMw2ZQkiehCz0t3O9zds9OG0JsOYAXEK_7k8wf5fR6fbUf_DJX9VfxWgscbE/w341-h50/MT_Logo+positiv.jpg" width="341" /></span></a></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;">Per richiamare il logo della MiCROTEC i triangoli di Napoleone e il reticolo sono realizzati nei colori del corporate design dell’azienda. Un set completo di triangoli di Napoleone è realizzato in rosso per richiamare il caratteristico punto rosso sulla i del logo MiCROTEC. </span></div><p></p><p style="text-align: justify;"></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;">Escher in alcune delle sue opere metteva in evidenza il principio generatore alla base dell’opera[17]. In questo senso il set completo dei triangoli di Napoleone che individuano il triangolo di partenza, evidenziati in rosso, vuole anche essere un riferimento al principio generatore dell’intera struttura.</span></div><p style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;">Il progetto esecutivo è stato realizzato dall’architetto Marco Sari di Treviso e la costruzione realizzata dalla ditta LignoAlp di Bressanone nel periodo da luglio a settembre del 2020. La nuova sede della MiCROTEC è stata inaugurata in occasione del 40mo anniversario dell’azienda il 25 Settembre del 2020. Oltre alle persone già citate vorrei ringraziare anche Mark Veldhuysen e il Gemeentemuseum di den Haag per aver messo a disposizione i loro archivi per la documentazione iconografica. Un particolare ringraziamento va a Piergiorgio Odifreddi per le lunghe chiacchierate sull’argomento e a Doris Schnattschneider e Luigi Grasselli per il loro supporto da matematici professionisti. Vorrei ringraziare inoltre Alex Terzariol di MMDesign per il contributo alla ideazione e Nicola Cella della MiCROTEC per il coordinamento dei fornitori e della messa in opera.</span></p><p style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;">L’arte di M.C. Escher mi ha accompagnato lungo il percorso della mia vita a partire dall’adolescenza. La sua arte ed in particolare la tassellazione del piano, come metafora della struttura quantizzata dell’universo, mi ha sempre affascinato[18]. La tassellazione con gli esagoni di Escher si presta più di altre a questa metafora: la griglia degli esagoni a rappresentare lo spazio quantizzato e i triangoli, le particelle subatomiche indivisibili[19]. </span></p><p style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;">Studiare, analizzare, contemplare queste strutture mi aiuta a superare il malessere esistenziale derivante dalle dicotomie del continuo e dell’infinito e quindi ad accettare con convinzione il discreto e il finito. </span></p><p style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;">L’ultimo ringraziamento va quindi al maestro: Grazie Maurits! </span></p><div style="text-align: left;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;">Note:</span></div><div style="text-align: left;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;"><br /></span></div><div style="text-align: left;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;">[1] Berend George Escher, https://en.wikipedia.org/wiki/Berend_George_Escher, Wikipedia 2020</span></div><div style="text-align: left;"><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;">[2] il numero delle possibili tassellature dello spazio con solidi soggetti a isometrie è limitato, 230, per la precisione. Ciò fu dimostrato dal cristallografo Evgraf S. Fedorov nel 1890.</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;">[3] Évariste Galois (Bourg-la-Reine, 25 ottobre 1811 – Parigi, 31 maggio 1832) è stato un matematico francese. Ancora adolescente, fu in grado di determinare una condizione necessaria e sufficiente affinché un polinomio sia risolubile per radicali, risolvendo quindi un problema vecchio di oltre 350 anni. I suoi lavori hanno portato alla nascita della teoria di Galois e della teoria dei gruppi, due importanti branche dell'algebra astratta. Morì all'età di 20 anni, a causa delle ferite riportate in un duello.</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;">[4] George Pólya (13 dicembre 1887-7 settembre 1985) era un matematico ungherese. È stato professore di matematica dal 1914 al 1940 all'ETH di Zurigo e dal 1940 al 1953 alla Stanford University.</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;">[5] Doris Schattenschneider, Visions of Symmetry, Revised edition published by W. Freeman, 1990</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;">[6] Prima di Escher Koloman Moser (1869 – 1918) esponente della Secessione Viennese in più riprese pubblicò sulla rivista Ver Sacrum tassellature periodiche basate su figure che rappresentavano elementi naturali destinati a essere usati </span></div><div><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;">[7] Friedrich Haag, Die regelmäßigen Planteilungen und Punktsysteme, Zeitschrift für Kristallographie, Volume 58, 1923, pp. 478–489</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;"><span>[8] </span><span>Karl Friedrich Jacobi, De triangulorum rectilineorum proprietatibus quibusdam nondum satis cognitis, Typis Klaffenbachii, 1825 decori per carta da parati.</span></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;">[9] J.F. Rigby, Napoleon, Escher and Tesselations, Mathematics Magazine 64, 1991, pp 242-246</span></div></div><div><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;">[10] Tale teorema è stato attribuito a Napoleone Bonaparte probabilmente più per riconoscergli un certo interesse nei riguardi della geometria che per merito della scoperta. Di certo è che Napoleone, sulla scia della Rivoluzione Francese, fondò o rifondò delle eccellenti scuole tecniche quali l'École Normale e l'École Polytechnique, scuole dove tenevano lezione i maggiori matematici del tempo quali Lagrange, Laplace, Monge, e che contribuirono non poco allo sviluppo e alla diffusione della matematica</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;">[11] in caso contrario il punto di minima distanza è il vertice dell’angolo maggiore di 120°</span></div></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;"><span>[12] </span><span>Federico Giudiceandrea, Luigi Grasselli, From M. C. Escher’s Hexagonal Tiling to the Kiepert Hyperbola, Journal for Geometry and Graphics Volume 25 (2021), No. 1, 79–95</span><span> </span></span></div><div><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;">[13] Nella geometria piana, consideriamo un triangolo ABC e i punti medi A', B' e C' dei suoi lati. Il cerchio che passa per i punti A', B' e C' prende il nome di cerchio di Feuerbach. Questo nome ricorda il suo scopritore, il matematico tedesco Karl Feuerbach (1800-1834). Il centro del cerchio di Feuerbach giace sulla retta che contiene l'ortocentro, il baricentro e il circocentro, ossia sulla retta di Eulero del triangolo ABC.</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;">[14] Un’ellisse, avendo 5 gradi di libertà, è unicamente determinata da 5 punti oppure 5 tangenti. A causa di questa caratteristica non ogni esagono iscrive al suo interno un’ellisse e quindi questa particolarità caratterizza ulteriormente il sottoinsieme degli esagoni di Escher rispetto all’insieme di tutti gli esagoni.</span></div></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;">[15] https://www.richardhassell.net/</span></div><div><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;">[16] Metamorphosis II è una xilografia creata ad M.C Escher, tra il novembre 1939 e il marzo 1940. Questa stampa misura 19,2 per 389,5 centimetri ed è stata stampata da 20 blocchi su 3 fogli combinati. Escher ha anche realizzato una versione più corta (90,7 cm) nel 1937: Metamorphosis I e una più lunga (680 cm) nel 1968: Metamorphosis III</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;">[17] Per esempio nelle opere di M.C. Escher Belvedere (1958) e Concavo e Convesso (1955) sono presenti riferimenti all’illusione ottica presente nel quadro.</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;">[18] La teoria dei gruppi che governa le tassellature del piano è anche alla base della fisica delle particelle elementari. In particolare il Modello Standard è una teoria che descrive insieme tre delle quattro forze fondamentali, cioè l’interazione nucleare forte, l’elettromagnetismo e l’interazione nucleare debole (queste ultime due unificate nell’interazione elettrodebole), nonché la funzione e le proprietà di tutte le particelle (note ed osservate) che costituiscono la materia. Si tratta di una teoria di campo quantistica, coerente sia con la meccanica quantistica che con la relatività speciale. Il comportamento delle particelle può essere descritto complessivamente in modo generale ed esatto usando un gruppo unitario chiamato gruppo di Gauge. </span></div></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial; font-size: xx-small;">[19] Il Modello Standard non considera i gravitoni, cioè le particelle che si pensa debbano mediare l’interazione gravitazionale. Le teorie che tentano di unificare il Modello Standard con relatività generale e quindi tengono conto della gravità, dette teorie del tutto, sono diverse e attendono di essere verificate sperimentalmente. Una cosa però le accomuna tutte: la quantizzazione dello spazio stesso. Questo implica che lo spazio che ci circonda non è divisibile all’infinito ma è quantizzato, composto di “a-tomi” di spazio indivisibili. Questi atomi riempiono lo spazio, senza lasciare “spazi vuoti” fra di loro.</span></div></div><p></p>Federico Giudiceandreahttp://www.blogger.com/profile/12558070611627765134noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5622501474661069545.post-9263380768185103892020-05-14T15:29:00.026+02:002020-11-14T16:02:05.641+01:00La poetica dei numeri primi<div class="MsoNormal" style="margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 14pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgLhlq2ogrrtQcSg__2y0oTFcIk4n48ls92GtGUNQXHWex8hRbxGhUWuH0Rd5P8AtTmjL9k6lb7xZ-PgEdYmpsjScnJMX2OXetRn98ktZ-0Qv4xyARDXcs-TyKVd9g9ponI1s09a5-VkT4/s1600/grafico_riemann.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="277" data-original-width="581" height="190" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgLhlq2ogrrtQcSg__2y0oTFcIk4n48ls92GtGUNQXHWex8hRbxGhUWuH0Rd5P8AtTmjL9k6lb7xZ-PgEdYmpsjScnJMX2OXetRn98ktZ-0Qv4xyARDXcs-TyKVd9g9ponI1s09a5-VkT4/w400-h190/grafico_riemann.jpg" width="400" /></a></div>
<span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;"><b><br /></b></span>
<span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;"><b>La poetica dei numeri primi</b><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 14pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
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<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 14pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
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<span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;">Nel 2019 Matera è stata capitale europea della cultura. Il comitato organizzatore della manifestazione incaricò Piergiorgio Odifreddi di organizzare alcuni eventi di natura matematica inseriti in un progetto dal nome accattivante di “la poetica dei numeri primi”. Il progetto si sviluppava in due diversi sedi, Matera e Metaponto e doveva attraverso linguaggi diversi, quello della divulgazione e quello dell’arte, riproporre l’eredità intellettuale di Pitagora che proprio a Metaponto aveva trovato il suo ultimo riposo. Tra gli ospiti erano previsti, tra gli altri, il premio Nobel per la letteratura John Coetzee, scienziati del valore di Guido Tonelli e Ian Stewart e il più noto divulgatore italiano Pietro Angela. Era prevista anche una sezione dedicata all’arte ispirata alla matematica e Piergiorgio mi chiese di allestire una mostra sull’arte delle tassellazioni, l'uso di tasselli regolari, geometrici o dalla forma animata, per riempire il piano senza lasciare spazi vuoti. In particolare la mostra doveva, oltre a illustrare la teoria alla base della tassellazione regolare, esporre opere di artisti che si erano cimentati in questa difficile arte ed in particolar modo le opere dell’indiscusso maestro di questa disciplina: M.C Escher. Oltre alla mostra sulle tassellazioni, nella sezione dedicata all’arte erano previste altre mostre dedicate ad artisti che si erano ispirati alla matematica. Era prevista una mostra di Ugo Nespolo, una retrospettiva di Aldo Spizzichino e una mostra dell’artista veneziano Tobia Ravà, che per l’occasione aveva preparato la mostra “Elementi di calcolo trascendentale”. Conoscevo l’arte di Tobia basata sulla tradizione esoterica ebraica, la cabbala, ed in particolare sul metodo di analisi delle scritture chiamato ghematria. Questo metodo sfrutta la proprietà della notazione numerica ebraica, che rappresenta i numeri, senza usare simboli speciali ma con le lettere dell'alfabeto in una notazione additiva. Ogni parola scritta quindi oltre a rappresentare un concetto rappresenta quindi anche un numero. Questo permette lo studio delle parole e dei testi anche dal punto di vista numerologico. Ogni numero associato ad una parola può inoltre essere ridotto ad un unico numero minore di 10 sommando ripetutamente le cifre fino ottenere un numero ad una sola cifra. In matematica questo processo definisce la radice numerica di un numero. Tobia, con una tecnica divisionista, usava i numeri per formare le figure e visto che ai numeri corrispondevano parole e concetti, questi non erano disposti a caso, ma definivano percorsi descrittivi che formavano un ulteriore strato interpretativo dell'opera.<o:p></o:p></span></div>
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<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 14pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
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<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 14pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
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<span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;">Partecipava alla manifestazione anche Claudio Bartocci docente di fisica matematica e storia della matematica all'università d Genova, che aveva per l’occasione insieme a Luigi Civalleri allestito la mostra dal titolo: “Numeri nel tempo. Contare, misurare, calcolare”. Era stato Claudio a farmi conoscere 12 anni fa Tobia, infatti sul frontespizio di una antologia di racconti matematici del edita da Enaudi nel 2006 e da lui curata, era raffigurata il volto di una donna realizzato da Tobia con numeri colorati. Incuriosito dall’uso dei numeri per raffigurare figure mi misi in contatto con Tobia, diventando in seguito un estimatore della sua particolare arte.<o:p></o:p></span></div>
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<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 14pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
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<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 14pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;">Il giorno prima del solstizio ci trovammo tutti quanti a Matera per controllare gli allestimenti delle mostre. La sera, stanchi per il lavoro svolto e per il continuo andirivieni da Matera a Metaponto, ci incontrammo tutti insieme a cena in un ristorante nei sassi materani. Durante la cena Tobia mi parlò di una sua osservazione fatta mentre calcolava le radici numeriche, che lui chiamava numeri teosofici, dei numeri primi. Infatti si era accorto che questi non assumevano mai il valore 3, 6 o 9. </span><span style="text-align: left;"><font face="Cambria, serif"><span style="font-size: 14pt;">Di solito le affermazioni sulle regolarità o irregolarità dei primi sono difficili da affrontare e da dimostrare, ma in questo caso la </span><span style="font-size: 18.6667px;">soluzione</span><span style="font-size: 14pt;"> era abbastanza semplice e </span></font></span><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;">Claudio Bertocci la intuì subito. La dimostrazione di questa congettura è conseguenza di un teorema noto anche ai ragazzi delle scuole elementari: il teorema sulla divisibilità di un numero per 3 o 9. L'osservazione di Tobia aveva messo in risalto una proprietà dei primi, a posteriori abbastanza logica ma a prima vista interessante e sorprendente.</span></div>
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<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 14pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
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<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 14pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
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<span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;">Tobia mi chiese se potevo fargli avere, in modo da pubblicarla nel catalogo di una mostra che stava allestendo a Venezia, una dimostrazione formale del criterio di divisibilità di un numero per 9, 6 o 3. Intrapresi quindi la dimostrazione della congettura di Tobia, che chiamai seconda congettura di Ravà, in quanto già al nostro primo incontro 12 anni prima, Tobia mi aveva esposto una sua congettura sulla periodicità dei numeri teosofici della sequenza di Fibonacci. Per rendere la dimostrazione più generica mi proposi di dimostrarla per i numeri primi espressi in qualsiasi base numerica e non solo in quella di base 10. Infatti le altre basi numeriche non dovevano subire alcuna discriminazione nelle questioni di teoria dei numeri. La base 10 è una base numerica non ottimale, che deve la sua fortuna unicamente all'atteggiamento antropocentrico di alcune culture antiche, che hanno preferito facilitare il “tener di conto” con le dita della mano invece che rendere più semplice le operazioni di divisione. Infatti la base 12, come quella usata dai babilonesi, e ancora oggi in uso per misurare il tempo, è certamente più efficiente avendo 12 ben 4 divisori e non solamente 2 come 10.<o:p></o:p></span></div>
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<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 14pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
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<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 14pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
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<span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;"><b>Seconda congettura di Ravà</b><o:p></o:p></span></div>
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<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 14pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
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<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 14pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;">Le radici digitali, detti anche numeri teosofici, dei numeri primi espressi in base 10 non assumono mai il valore di 3, 6 o 9 in quanto i numeri la cui radice digitale e 3, 6 o 9 hanno per divisore 3 e quindi non possono essere primi<o:p></o:p></span></div>
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<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 14pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
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<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 14pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;">Un numero rappresentato in base 10 con radice digitale 3,6, o 9 è divisibile per 3 per il criterio di divisibilità dimostrato qui in seguito: <o:p></o:p></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 14pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
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<br /></div>
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<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 14pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;">Un numero <i>n</i> può essere rappresentato nel sistema posizionale in base <i>b</i> nel seguente modo:</span></div><div style="text-align: justify;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj5IiyJJTy-XjFbc06p5vKV132QYzrHWcXmkPxFN5xQjPL72-3auerFLC3b5CFWjfZsuvwqgEiG5DvS0BmzW_-BOaap8WDtv9O6gD_jcDIodQsFHGtqO-mG7K8hYO_GadBeQqpiiufVndo/" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: left;"><img border="0" data-original-height="51" data-original-width="117" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj5IiyJJTy-XjFbc06p5vKV132QYzrHWcXmkPxFN5xQjPL72-3auerFLC3b5CFWjfZsuvwqgEiG5DvS0BmzW_-BOaap8WDtv9O6gD_jcDIodQsFHGtqO-mG7K8hYO_GadBeQqpiiufVndo/" /></a></div></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 14pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;"><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt; text-align: justify;">Sostituendo </span><i style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt; text-align: justify;"><i style="font-size: 18.6667px;">b</i><sub>k</sub><sup><sub> </sub></sup></i><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt; text-align: justify;">con (</span><i style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt; text-align: justify;"><i style="font-size: 18.6667px;">b</i><sub>k </sub></i><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt; text-align: justify;">− 1 + 1) si ottiene:</span></div></div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 14pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;"> </span></div>
<br />
</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjSOGpXGuvGYiQbTwljNrqf0NtlCC-b5AKeOVyHClCihHnKigPlDU1l1IGA0Urs8ocxprKZfm9LltnpzoLFgE3SNurUKPl7LkyR8pHJK3VRMLICfA0h591u2Ylljter_fS7Tig8xx3FPGw/" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="51" data-original-width="194" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjSOGpXGuvGYiQbTwljNrqf0NtlCC-b5AKeOVyHClCihHnKigPlDU1l1IGA0Urs8ocxprKZfm9LltnpzoLFgE3SNurUKPl7LkyR8pHJK3VRMLICfA0h591u2Ylljter_fS7Tig8xx3FPGw/" /></a></div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="font-size: 14pt;">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;"><br /></span></div>
</div>
<div style="font-size: 14pt;">
<div style="text-align: justify;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh9Z10p03WA7A5_z6jg4_IGEJuYQrnHPbW-emlegers7OP-uetl3LW6F58DTv4PoJWmJDQ_MfbU6bXdpjr18PVaflVtI-8hEGUEAeyxue2sY59uEldjdhcbYtayFtxxFZc5XPPGKkango0/" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="51" data-original-width="231" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh9Z10p03WA7A5_z6jg4_IGEJuYQrnHPbW-emlegers7OP-uetl3LW6F58DTv4PoJWmJDQ_MfbU6bXdpjr18PVaflVtI-8hEGUEAeyxue2sY59uEldjdhcbYtayFtxxFZc5XPPGKkango0/" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div></div></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;">La 3) rappresenta <i>n</i> parzialmente come somma di fattori moltiplicati per </span><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;">(</span><i style="font-size: 14pt; text-align: justify;"><i style="font-family: cambria, serif; font-size: 18.6667px; text-align: start;">b</i><sup>k </sup></i><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;">− 1)</span><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;"><span style="font-size: 14pt;"> che, essendo il numero che precede <i style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; text-align: justify;"><i style="font-family: cambria, serif; font-size: 18.6667px; text-align: start;">b</i><sup>k</sup></i>, è espresso come sequenza ripetuta della cifra più alta della base numerica. Per esempio nel caso della base 10, </span></span><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;"><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;">(</span><i style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 14pt; text-align: justify;"><i style="font-family: cambria, serif; font-size: 18.6667px; text-align: start;">b</i><sup>k </sup></i><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;">− 1)</span>) è rappresentato come </span><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;"><i style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; text-align: justify;"><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 18.6667px; font-style: normal;">(99…9)</span><sub>k </sub></i>ossia la cifra 9 ripetuta k volte.</span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 14pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 14pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;">Ora <i style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; text-align: justify;"><span style="font-family: "cambria math", serif; font-size: 14pt; font-style: normal;">𝑎</span><span style="font-size: small; font-style: normal;"></span><sub>k</sub></i> (<i style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 14pt; text-align: justify;"><i style="font-family: cambria, serif; font-size: 18.6667px; text-align: start;">b</i><sup>k </sup></i><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;">− 1</span>) è divisibile per (<i style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 14pt; text-align: justify;"><i style="font-family: cambria, serif; font-size: 18.6667px; text-align: start;">b</i><sup> </sup></i><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;">− 1</span>) in quanto </span><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;"><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;"> </span><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;">(</span><i style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; text-align: justify;"><i style="font-family: cambria, serif; font-size: 18.6667px; text-align: start;">b</i><sup>k </sup></i><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;">− 1)</span> è uguale a </span><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;"><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;"> </span><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;"><i style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; text-align: justify;"><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 18.6667px; font-style: normal;">(11…1)</span><sub>k</sub></i></span> * (<i>b </i>− 1)<o:p></o:p></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;">La somma <a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiXI5YIE869ieWsV5c7SvPLGSxNcNU4HYtR-IJY4XltaDlUzxPPU7uV6WMURQVrvthdI8KCFEwycSzC6RPS3kgd2MbnTZrG_vMuV1pAZDbZLnGDWGRAORLOzj6ol_xS1DBtxYV-TfD1xUs/" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img border="0" data-original-height="20" data-original-width="116" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiXI5YIE869ieWsV5c7SvPLGSxNcNU4HYtR-IJY4XltaDlUzxPPU7uV6WMURQVrvthdI8KCFEwycSzC6RPS3kgd2MbnTZrG_vMuV1pAZDbZLnGDWGRAORLOzj6ol_xS1DBtxYV-TfD1xUs/" /></a></span><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;">è quindi sempre divisibile per (</span><i style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;">b </i><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;">− 1</span><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;">). </span><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;">In base alla 3) <i>n</i> sarà divisibile per (<i>b</i>-1) se anche<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiaoBTdSyBshgKVJkawhkEnZcJMjIqXTNmqV1bvENd2E-kHX-aUYJKwpJa0YS1wbhfIZcdbOmckONfCpVjmV65pWfS7waapj97xgprKLkYiWN3IYFE05a7iDn2w0lUOVWf7PjT_IhmxFnw/" style="font-size: 14pt; margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img border="0" data-original-height="19" data-original-width="61" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiaoBTdSyBshgKVJkawhkEnZcJMjIqXTNmqV1bvENd2E-kHX-aUYJKwpJa0YS1wbhfIZcdbOmckONfCpVjmV65pWfS7waapj97xgprKLkYiWN3IYFE05a7iDn2w0lUOVWf7PjT_IhmxFnw/" /></a></span><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;">è divisibile per <o:p></o:p></span><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;">(</span><i style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;">b </i><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;">− 1</span><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;">) </span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;">Ne consegue che un numero espresso in base dieci è divisibile per 9 se e solo se la sua radice digitale è divisibile per 9.<o:p></o:p></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;">Qualora (<i>b </i>− 1) sia a sua volta scomponibile in fattori</span></div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi1eXpABsQZo6zo39gVJVbv8-paaY2kK7jtXrH2_tIH8nQMksyivUf__4t5mcEJb62Q3t6otUOS4FSGgWWKPM7uJCYHFt1RQAPz08v6e4qDG5-SStCEMSXapRLwRVM4icO4ao3bZ3EgP_I/" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="42" data-original-width="139" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi1eXpABsQZo6zo39gVJVbv8-paaY2kK7jtXrH2_tIH8nQMksyivUf__4t5mcEJb62Q3t6otUOS4FSGgWWKPM7uJCYHFt1RQAPz08v6e4qDG5-SStCEMSXapRLwRVM4icO4ao3bZ3EgP_I/" /></a></div><div style="text-align: justify;"><br /></div></div><div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;"><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;">allora </span><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiXI5YIE869ieWsV5c7SvPLGSxNcNU4HYtR-IJY4XltaDlUzxPPU7uV6WMURQVrvthdI8KCFEwycSzC6RPS3kgd2MbnTZrG_vMuV1pAZDbZLnGDWGRAORLOzj6ol_xS1DBtxYV-TfD1xUs/" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img border="0" data-original-height="20" data-original-width="116" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiXI5YIE869ieWsV5c7SvPLGSxNcNU4HYtR-IJY4XltaDlUzxPPU7uV6WMURQVrvthdI8KCFEwycSzC6RPS3kgd2MbnTZrG_vMuV1pAZDbZLnGDWGRAORLOzj6ol_xS1DBtxYV-TfD1xUs/" /></a> sarà divisibile anche per qualsiasi dei suoi fattori <i style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt;"><i style="font-family: cambria, serif; font-size: 18.6667px; text-align: start;">b</i><sub>j</sub></i> e di conseguenza se </span><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiaoBTdSyBshgKVJkawhkEnZcJMjIqXTNmqV1bvENd2E-kHX-aUYJKwpJa0YS1wbhfIZcdbOmckONfCpVjmV65pWfS7waapj97xgprKLkYiWN3IYFE05a7iDn2w0lUOVWf7PjT_IhmxFnw/" style="font-size: 14pt; margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img border="0" data-original-height="19" data-original-width="61" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiaoBTdSyBshgKVJkawhkEnZcJMjIqXTNmqV1bvENd2E-kHX-aUYJKwpJa0YS1wbhfIZcdbOmckONfCpVjmV65pWfS7waapj97xgprKLkYiWN3IYFE05a7iDn2w0lUOVWf7PjT_IhmxFnw/" /></a> è a sua volta divisibile per <i style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt;"><i style="font-family: cambria, serif; font-size: 18.6667px; text-align: start;">b</i><sub>j </sub></i>allora <i>n</i> per la 3) sarà divisibile per <o:p></o:p></span><i style="font-size: 12pt;"><i style="font-family: cambria, serif; font-size: 18.6667px; text-align: start;">b</i><sub>j</sub></i></div></div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;">Quindi se la radice digitale di un numero <i>n</i> rappresentato in una base <i>b</i> è uguale a (<i>b </i>− 1), a un fattore <i style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt;"><i style="font-family: cambria, serif; font-size: 18.6667px; text-align: start;">b</i><sub>j</sub></i> di (<i>b </i>− 1) o a un multiplo di <i style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt;"><i style="font-family: cambria, serif; font-size: 18.6667px; text-align: start;">b</i><sub>j</sub></i> allora <i>n</i> è un multiplo di <i style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt;"><i style="font-family: cambria, serif; font-size: 18.6667px; text-align: start;">b</i><sub>j</sub></i> è quindi non può essere primo. Le radici digitali dei numeri primi possono quindi essere solo numeri che sono coprimi con il numero predecessore della base numerica in cui il primo è rappresentato. Dove per coprimi di un numero si intendono i</span><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 18.6667px;"> numeri minori di un numero che non sono fattori o multipli dei fattori del numero stesso.</span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 14pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;">Nel caso della base 10 se la radice digitale di un numero n è uguale a 9 allora n è divisibile per 9, se invece la radice numerica di n è uguale a 3 o 6 allora n è divisibile per 3. Quindi in questo caso quando la radice digitale di un numero e 3, 6 o 9 allora il numero è divisibile per 3.<o:p></o:p></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 14pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 14pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;">Le radici digitali (o numeri teosofici) dei numeri primi espresse in base 10 non saranno quindi mai multipli di 3.<o:p></o:p></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;">I numeri teosofici dei primi in base 10 non saranno quindi mai 3, 6 o 9.<o:p></o:p></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;">Qualora i numeri fossero espressi in altre basi le loro radici numeriche non assumerebbero mai il valore della cifra più alta della base o il valore di uno dei suoi fattori o di un multiplo di uno dei fattori qualora questo sia ancora inferiore alla cifra più alta della base. Le radici numeriche dei primi espressi in una base b possono essere unicamente i coprimi di <i>n</i> dove <i>n </i>= <i>b </i></span><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 18.6667px;">− </span><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;">1</span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;">In seguito è riportata una tabella delle radici mancati nei primi espressi in diverse basi numeriche. Nel caso della base 2 ogni numero ha per radice digitale il numero 1, infatti tutti i numeri sono divisibile per 1.<o:p></o:p></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<table border="1" cellpadding="0" cellspacing="0" class="MsoTable15Grid1LightAccent3" style="border-collapse: collapse; border: none;"><tbody>
<tr><td style="border-color: rgb(219, 219, 219) rgb(219, 219, 219) rgb(201, 201, 201); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 1pt 1pt 1.5pt; padding: 0cm 5.4pt; width: 49.9pt;" valign="top" width="67"><div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<br /></div>
</td><td style="border-bottom: 1.5pt solid rgb(201, 201, 201); border-left: none; border-right: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-top: 1pt solid rgb(219, 219, 219); padding: 0cm 5.4pt; width: 104.7pt;" valign="top" width="140"><div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
Radici digitali mancanti nei primi<o:p></o:p></div>
</td><td style="border-bottom: 1.5pt solid rgb(201, 201, 201); border-left: none; border-right: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-top: 1pt solid rgb(219, 219, 219); padding: 0cm 5.4pt; width: 57.8pt;" valign="top" width="77"><div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
n=(b-1)<o:p></o:p></div>
</td><td style="border-bottom: 1.5pt solid rgb(201, 201, 201); border-left: none; border-right: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-top: 1pt solid rgb(219, 219, 219); padding: 0cm 5.4pt; width: 162.7pt;" valign="top" width="217"><div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
Possibili valori della radice digitale nei primi (coprimi di n)<b><o:p></o:p></b></div>
</td><td style="border-bottom: 1.5pt solid rgb(201, 201, 201); border-left: none; border-right: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-top: 1pt solid rgb(219, 219, 219); padding: 0cm 5.4pt; width: 106pt;" valign="top" width="141"><div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
Numero dei coprimi<o:p></o:p></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-image: initial; border-left: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-right: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-top: none; padding: 0cm 5.4pt; width: 49.9pt;" valign="top" width="67"><div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
3<o:p></o:p></div>
</td><td style="border-bottom: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-left: none; border-right: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-top: none; padding: 0cm 5.4pt; width: 104.7pt;" valign="top" width="140"><div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
2<o:p></o:p></div>
</td><td style="border-bottom: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-left: none; border-right: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-top: none; padding: 0cm 5.4pt; width: 57.8pt;" valign="top" width="77"><div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
2<o:p></o:p></div>
</td><td style="border-bottom: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-left: none; border-right: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-top: none; padding: 0cm 5.4pt; width: 162.7pt;" valign="top" width="217"><div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
1<o:p></o:p></div>
</td><td style="border-bottom: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-left: none; border-right: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-top: none; padding: 0cm 5.4pt; width: 106pt;" valign="top" width="141"><div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
1<o:p></o:p></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-image: initial; border-left: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-right: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-top: none; padding: 0cm 5.4pt; width: 49.9pt;" valign="top" width="67"><div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
4<o:p></o:p></div>
</td><td style="border-bottom: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-left: none; border-right: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-top: none; padding: 0cm 5.4pt; width: 104.7pt;" valign="top" width="140"><div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
3<o:p></o:p></div>
</td><td style="border-bottom: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-left: none; border-right: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-top: none; padding: 0cm 5.4pt; width: 57.8pt;" valign="top" width="77"><div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
3<o:p></o:p></div>
</td><td style="border-bottom: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-left: none; border-right: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-top: none; padding: 0cm 5.4pt; width: 162.7pt;" valign="top" width="217"><div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
1,2<o:p></o:p></div>
</td><td style="border-bottom: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-left: none; border-right: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-top: none; padding: 0cm 5.4pt; width: 106pt;" valign="top" width="141"><div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
2<o:p></o:p></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-image: initial; border-left: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-right: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-top: none; padding: 0cm 5.4pt; width: 49.9pt;" valign="top" width="67"><div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
5<o:p></o:p></div>
</td><td style="border-bottom: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-left: none; border-right: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-top: none; padding: 0cm 5.4pt; width: 104.7pt;" valign="top" width="140"><div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
4,2<o:p></o:p></div>
</td><td style="border-bottom: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-left: none; border-right: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-top: none; padding: 0cm 5.4pt; width: 57.8pt;" valign="top" width="77"><div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
4<o:p></o:p></div>
</td><td style="border-bottom: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-left: none; border-right: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-top: none; padding: 0cm 5.4pt; width: 162.7pt;" valign="top" width="217"><div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
1,3<o:p></o:p></div>
</td><td style="border-bottom: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-left: none; border-right: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-top: none; padding: 0cm 5.4pt; width: 106pt;" valign="top" width="141"><div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
2<o:p></o:p></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-image: initial; border-left: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-right: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-top: none; padding: 0cm 5.4pt; width: 49.9pt;" valign="top" width="67"><div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
6<o:p></o:p></div>
</td><td style="border-bottom: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-left: none; border-right: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-top: none; padding: 0cm 5.4pt; width: 104.7pt;" valign="top" width="140"><div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
5<o:p></o:p></div>
</td><td style="border-bottom: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-left: none; border-right: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-top: none; padding: 0cm 5.4pt; width: 57.8pt;" valign="top" width="77"><div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
5<o:p></o:p></div>
</td><td style="border-bottom: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-left: none; border-right: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-top: none; padding: 0cm 5.4pt; width: 162.7pt;" valign="top" width="217"><div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
1,2,3,4<o:p></o:p></div>
</td><td style="border-bottom: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-left: none; border-right: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-top: none; padding: 0cm 5.4pt; width: 106pt;" valign="top" width="141"><div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
4<o:p></o:p></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-image: initial; border-left: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-right: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-top: none; padding: 0cm 5.4pt; width: 49.9pt;" valign="top" width="67"><div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
7<o:p></o:p></div>
</td><td style="border-bottom: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-left: none; border-right: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-top: none; padding: 0cm 5.4pt; width: 104.7pt;" valign="top" width="140"><div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
6,4,3,2<o:p></o:p></div>
</td><td style="border-bottom: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-left: none; border-right: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-top: none; padding: 0cm 5.4pt; width: 57.8pt;" valign="top" width="77"><div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
6<o:p></o:p></div>
</td><td style="border-bottom: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-left: none; border-right: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-top: none; padding: 0cm 5.4pt; width: 162.7pt;" valign="top" width="217"><div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
1,5<o:p></o:p></div>
</td><td style="border-bottom: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-left: none; border-right: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-top: none; padding: 0cm 5.4pt; width: 106pt;" valign="top" width="141"><div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
2<o:p></o:p></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-image: initial; border-left: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-right: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-top: none; padding: 0cm 5.4pt; width: 49.9pt;" valign="top" width="67"><div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
8<o:p></o:p></div>
</td><td style="border-bottom: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-left: none; border-right: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-top: none; padding: 0cm 5.4pt; width: 104.7pt;" valign="top" width="140"><div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
7<o:p></o:p></div>
</td><td style="border-bottom: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-left: none; border-right: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-top: none; padding: 0cm 5.4pt; width: 57.8pt;" valign="top" width="77"><div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
7<o:p></o:p></div>
</td><td style="border-bottom: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-left: none; border-right: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-top: none; padding: 0cm 5.4pt; width: 162.7pt;" valign="top" width="217"><div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
1,2,3,4,5,6<o:p></o:p></div>
</td><td style="border-bottom: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-left: none; border-right: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-top: none; padding: 0cm 5.4pt; width: 106pt;" valign="top" width="141"><div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
6<o:p></o:p></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-image: initial; border-left: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-right: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-top: none; padding: 0cm 5.4pt; width: 49.9pt;" valign="top" width="67"><div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
9<o:p></o:p></div>
</td><td style="border-bottom: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-left: none; border-right: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-top: none; padding: 0cm 5.4pt; width: 104.7pt;" valign="top" width="140"><div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
8,6,4,2<o:p></o:p></div>
</td><td style="border-bottom: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-left: none; border-right: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-top: none; padding: 0cm 5.4pt; width: 57.8pt;" valign="top" width="77"><div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
8<o:p></o:p></div>
</td><td style="border-bottom: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-left: none; border-right: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-top: none; padding: 0cm 5.4pt; width: 162.7pt;" valign="top" width="217"><div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
1,3,5,7<o:p></o:p></div>
</td><td style="border-bottom: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-left: none; border-right: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-top: none; padding: 0cm 5.4pt; width: 106pt;" valign="top" width="141"><div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
4<o:p></o:p></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-image: initial; border-left: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-right: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-top: none; padding: 0cm 5.4pt; width: 49.9pt;" valign="top" width="67"><div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
10<o:p></o:p></div>
</td><td style="border-bottom: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-left: none; border-right: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-top: none; padding: 0cm 5.4pt; width: 104.7pt;" valign="top" width="140"><div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
9,6,3<o:p></o:p></div>
</td><td style="border-bottom: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-left: none; border-right: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-top: none; padding: 0cm 5.4pt; width: 57.8pt;" valign="top" width="77"><div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
9<o:p></o:p></div>
</td><td style="border-bottom: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-left: none; border-right: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-top: none; padding: 0cm 5.4pt; width: 162.7pt;" valign="top" width="217"><div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
1,2,4,5,7,8<o:p></o:p></div>
</td><td style="border-bottom: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-left: none; border-right: 1pt solid rgb(219, 219, 219); border-top: none; padding: 0cm 5.4pt; width: 106pt;" valign="top" width="141"><div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
6<o:p></o:p></div>
</td></tr>
</tbody></table>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="font-size: 12pt; text-align: justify;"><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;"><br /></span></div><div style="font-size: 12pt; text-align: justify;"><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh9YUpGCBz9x2p06iL4NcaJMigd-7DAEvcH6_jcY0u-krrYWS9hwAT3USbSDKvCbXEgdwbETRrJpbqrTJki803vMNGRWo1Rq6X2jmQmupBsUusOSMz2D6hnmtup0KlS-IlrQAxAAphUEqU/" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="905" data-original-width="1200" height="301" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh9YUpGCBz9x2p06iL4NcaJMigd-7DAEvcH6_jcY0u-krrYWS9hwAT3USbSDKvCbXEgdwbETRrJpbqrTJki803vMNGRWo1Rq6X2jmQmupBsUusOSMz2D6hnmtup0KlS-IlrQAxAAphUEqU/w400-h301/1200px-EulerPhi.svg.png" width="400" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><font size="4">Andamento della 𝜑(<i style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt; text-align: justify;">n</i><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt; text-align: justify;">) fino a 1000</span></font></td></tr></tbody></table><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;"><font size="4"><font style="line-height: 1.15;">Mandai la dimostrazione anche a Claudio che mi confermò la correttezza dei ragionamenti facendomi notare che la sequenza che avevo evidenziato era una famosa sequenza numerica molto studiata in teoria</font></font></span><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 18.6667px;"> </span><span style="font-family: cambria, serif; font-size: large;">dei numeri, la sequenza numerica del numero di coprimi di un numero </span><i style="font-family: cambria, serif; font-size: large; line-height: 1.15;">n</i><span style="font-family: cambria, serif; font-size: large;"> chiamata funzione di Eulero 𝜑(</span><i style="font-family: cambria, serif; font-size: large; line-height: 1.15;">n</i><span style="font-family: cambria, serif; font-size: large;">) o toziente.</span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt; line-height: 1.15;">Questa funzione fu scoperta da Eulero, matematico svizzero, che è considerato il più importante matematico del Settecento, e uno dei massimi della storia. È noto per essere tra i più prolifici di tutti i tempi e ha fornito contributi storicamente cruciali in svariate aree: analisi infinitesimale, funzioni speciali, meccanica razionale, meccanica celeste, teoria dei numeri, teoria dei grafi. Sembra che Pierre Simon Laplace abbia affermato "Leggete Eulero; egli è il maestro di tutti noi".<o:p></o:p></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;">Eulero dimostrò che la funzione 𝜑(<i>n</i>), che per ogni <i>n</i> indica il numero dei coprimi minori di <i>n</i> di <i>n</i>, può essere espressa anche come<o:p></o:p></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi7UaG390Mdpsdbs15lLjuiEX-CSPHrh0faoTxsQ4DsOX46Ok7jNqssdQpksgCv07t-83MsnkhAtnWeZst879-R0pGZDmgRlwC4sjwybnacskkLG79-S1tVLPrbBBpHngPFPmCWr2RCHio/s1600/CodeCogsEqn+%25287%2529.gif" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img border="0" data-original-height="50" data-original-width="165" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi7UaG390Mdpsdbs15lLjuiEX-CSPHrh0faoTxsQ4DsOX46Ok7jNqssdQpksgCv07t-83MsnkhAtnWeZst879-R0pGZDmgRlwC4sjwybnacskkLG79-S1tVLPrbBBpHngPFPmCWr2RCHio/s1600/CodeCogsEqn+%25287%2529.gif" /></a> </span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;">Dove <i>p</i></span><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;">∥</span><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;"><i>n</i> sono tutti e solo i primi che contribuiscono alla fattorizzazione di <i>n.</i></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;"><i><br /></i></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;">Eulero partì dalla constatazione che ogni numero per il teorema fondamentale dell’aritmetica può essere espresso come<o:p></o:p></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi7LD8Rk4CJdHClHQe3w_SqcDXT7YSARcbsOXmrybdo4w6-vBN7ZB20ZgfygT6p-nYOYvnStfZQx6WpV9VmH0rPqajz7z5_sx2r0u_rzXApybeEA5lrkFuzETNK5BvSRZsJO0RBiL9VmV0/" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="50" data-original-width="189" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi7LD8Rk4CJdHClHQe3w_SqcDXT7YSARcbsOXmrybdo4w6-vBN7ZB20ZgfygT6p-nYOYvnStfZQx6WpV9VmH0rPqajz7z5_sx2r0u_rzXApybeEA5lrkFuzETNK5BvSRZsJO0RBiL9VmV0/d/CodeCogsEqn+%252828%2529.gif" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt; text-align: justify;"><br /></span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt; text-align: justify;">dove </span><i style="font-size: 12pt; text-align: justify;"><i style="font-family: cambria, serif; font-size: 18.6667px; text-align: start;">p</i><sub>i</sub></i><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt; text-align: justify;"> è un primo fattore di <i>n</i> e <i>r</i> è il numero dei diversi fattori primi di <i>n </i></span><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt; text-align: justify;">e quindi per 𝜑(<i>n</i>), vale</span><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt; text-align: justify;"> </span></div></div><div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;"><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgRB7zeaN7gEPxW130svyipZw5Ntajx5sbKW-9J8OdEdoErVFWs1I2sZ8YhQwRY4BuzrrW2cMmAF_EO89bcP5SuFp8BFsULPuEz5s6t6kD3DtyHU2JX1KltSEtOOuUUE8Wa_3pAAtLv8tI/s1600/CodeCogsEqn+%252810%2529.gif" style="clear: left; display: inline; font-family: cambria, serif; font-size: 14pt; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img border="0" data-original-height="50" data-original-width="288" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgRB7zeaN7gEPxW130svyipZw5Ntajx5sbKW-9J8OdEdoErVFWs1I2sZ8YhQwRY4BuzrrW2cMmAF_EO89bcP5SuFp8BFsULPuEz5s6t6kD3DtyHU2JX1KltSEtOOuUUE8Wa_3pAAtLv8tI/d/CodeCogsEqn+%252810%2529.gif" /></a></div></div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;"><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;">ma la funzione 𝜑(</span><i style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;">n</i><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;">) di Eulero è moltiplicativa: per ogni coppia di interi </span><i style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt;"><span style="font-family: "cambria math", serif; font-size: 14pt; font-style: normal;">𝑎</span></i><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;"> e </span><i style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;">b</i><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;"> che siano coprimi, cioè tali che MCD(</span><i style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt;"><span style="font-family: "cambria math", serif; font-size: 14pt; font-style: normal;">𝑎</span></i><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;">, </span><i style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;">b</i><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;">)=1, si ha:</span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhLTelGJmNuuxua8u4LDUswY8X7yw18pBNrj-OCpM-pbGDycLbo8k26bQJYTRq-yFCdV9IhMi-cEWAv6-0uwJ97RuBqnlvUwfyi5PqKy1dDmBUriduy6rWuoNzdPMTsmqtP_E4U5H5O0Tw/s1600/CodeCogsEqn+%252811%2529.gif" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="19" data-original-width="135" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhLTelGJmNuuxua8u4LDUswY8X7yw18pBNrj-OCpM-pbGDycLbo8k26bQJYTRq-yFCdV9IhMi-cEWAv6-0uwJ97RuBqnlvUwfyi5PqKy1dDmBUriduy6rWuoNzdPMTsmqtP_E4U5H5O0Tw/s1600/CodeCogsEqn+%252811%2529.gif" /></a></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;"><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;">Ma i valori </span><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;"><i style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt;"><i style="font-family: times; font-size: medium;"><i style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt;"><span style="font-family: "cambria math", serif; font-size: 14pt;">p</span></i></i><sub>i</sub><sup>k<sub>i</sub></sup></i> essendo potenze di primi sono coprimi tra loro e quindi</span><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;"> </span></div></div><div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;"> </span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;"></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEinbs6n77pQFnwYYEAGPtllmZCt7NqSbo3J7Ao-yjm4m3jKSkWwoahQedG0i96-ScjmXZVxWoU8bUfn6m9p_XiVOBY5wP1mUn2Rw6elpeit5sZT_0fhsitRrhsBnmyO-p_1oN_3N_rnCUQ/s1600/CodeCogsEqn+%252813%2529.gif" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="50" data-original-width="339" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEinbs6n77pQFnwYYEAGPtllmZCt7NqSbo3J7Ao-yjm4m3jKSkWwoahQedG0i96-ScjmXZVxWoU8bUfn6m9p_XiVOBY5wP1mUn2Rw6elpeit5sZT_0fhsitRrhsBnmyO-p_1oN_3N_rnCUQ/d/CodeCogsEqn+%252813%2529.gif" /></a></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;"><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;">in seguito Eulero dimostra che </span><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 18.6667px;">𝜑(</span><i style="font-size: 12pt;"><i style="font-family: times; font-size: medium;"><i style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt;"><span style="font-family: "cambria math", serif; font-size: 14pt;">p</span></i></i><sub>i</sub><sup>k<sub>i</sub></sup></i><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;">) può essere espresso come:</span></div></div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;"><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;"> </span></div></div><div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi8cWVOVex51xdN6OXr9nNSx8LEk2M0ScjR366THyLarqPt_z5evzaf34xOFOcoxOo1DQiPqtYEWlKfYWPGJPj_bRhmzXUnzuqsvfe9vG8jCrh7pxlZVqspKHaQBp7F6Uzpfp0U4Jb30QE/s1600/CodeCogsEqn+%252814%2529.gif" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="22" data-original-width="189" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi8cWVOVex51xdN6OXr9nNSx8LEk2M0ScjR366THyLarqPt_z5evzaf34xOFOcoxOo1DQiPqtYEWlKfYWPGJPj_bRhmzXUnzuqsvfe9vG8jCrh7pxlZVqspKHaQBp7F6Uzpfp0U4Jb30QE/s1600/CodeCogsEqn+%252814%2529.gif" /></a></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;"><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;">Infatti i numeri non coprimi di </span><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;"><i style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt;"><i style="font-family: times; font-size: medium;"><i style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt;"><span style="font-family: "cambria math", serif; font-size: 14pt;">p</span></i></i><sub>i</sub><sup>k<sub>i</sub></sup></i> essendo <i style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt;"><i style="font-family: times; font-size: medium;"><i style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt;"><span style="font-family: "cambria math", serif; font-size: 14pt;">p</span></i></i><sub>i</sub></i> primo sono tutti i multipli di <i style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt;"><i style="font-family: times; font-size: medium;"><i style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt;"><span style="font-family: "cambria math", serif; font-size: 14pt;">p</span></i></i><sub>i</sub></i> fino a </span><i style="font-size: 12pt;"><i style="font-family: times; font-size: medium;"><i style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt;"><span style="font-family: "cambria math", serif; font-size: 14pt;">p</span></i></i><sub>i</sub><sup>k<sub>i</sub>-1</sup></i></div></div>
<div class="MsoNormal" style="margin: 0cm 0cm 0.0001pt;"><div style="text-align: justify;"><div style="text-align: center;"><div style="text-align: left;"><i><i style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt;"><span style="font-family: "cambria math", serif; font-size: 14pt;"><br /></span></i></i></div><div style="text-align: left;"><i><i style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt;"><span style="font-family: "cambria math", serif; font-size: 14pt;">p</span></i><sub><span face="calibri, sans-serif"><span style="font-size: 12pt;">i</span></span></sub></i><span face="calibri, sans-serif" style="font-size: 16px;">,</span><i style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; text-align: justify;"><sub><span face="calibri, sans-serif"><span style="font-size: 12pt;"> </span></span><span style="font-family: cambria, serif;"><span style="font-size: 18.6667px;"> </span></span></sub></i><span face="calibri, sans-serif" style="font-size: 16px;">2</span><i style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; text-align: justify;"><i style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt;"><span style="font-family: "cambria math", serif; font-size: 14pt;">p</span></i><sub><span face="calibri, sans-serif"><span style="font-size: 12pt;">i </span></span></sub></i><span face="calibri, sans-serif" style="font-size: 16px;">,</span><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 18.6667px;"> </span><i style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; text-align: justify;"><i style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt;"><span style="font-family: "cambria math", serif; font-size: 14pt;"><span face="calibri, sans-serif" style="font-size: 16px; font-style: normal;">3</span>p</span></i><sub><span face="calibri, sans-serif"><span style="font-size: 12pt;">i</span></span></sub></i><span face="calibri, sans-serif" style="font-size: 16px;">, ...</span><i style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt;"><i style="font-size: 12pt;"><i style="font-family: times; font-size: medium;"><i style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt;"><span style="font-family: "cambria math", serif; font-size: 14pt;">p</span></i></i><sub>i</sub><sup>k<sub>i</sub>-1</sup></i></i></div>
</div>
</div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;">Questo insieme ha </span><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;"><i style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt;"><i style="font-family: times; font-size: medium;"><i style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt;"><span style="font-family: "cambria math", serif; font-size: 14pt;">p</span></i></i><sub>i</sub><sup>k<sub>i</sub>-1</sup></i> membri<o:p></o:p></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;">Quindi </span><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 18.6667px;">𝜑</span><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;">(</span><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;"><i style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt;"><i style="font-family: times; font-size: medium;"><i style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt;"><span style="font-family: "cambria math", serif; font-size: 14pt;">p</span></i></i><sub>i</sub><sup>k<sub>i</sub></sup></i>) il numero dei coprimi di </span><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;"><i style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt;"><i style="font-family: times; font-size: medium;"><i style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt;"><span style="font-family: "cambria math", serif; font-size: 14pt;">p</span></i></i><sub>i</sub><sup>k<sub>i</sub></sup></i>, sarà dato dalla differenza tra la quantità dei numeri minore o uguale a </span><i style="font-size: 12pt;"><i style="font-family: times; font-size: medium;"><i style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt;"><span style="font-family: "cambria math", serif; font-size: 14pt;">p</span></i></i><sub>i</sub><sup>k<sub>i</sub></sup></i><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;"> cioè </span><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;"><i style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt;"><i style="font-family: times; font-size: medium;"><i style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt;"><span style="font-family: "cambria math", serif; font-size: 14pt;">p</span></i></i><sub>i</sub><sup>k<sub>i</sub></sup></i> e la quantità dei numeri non coprimi di </span><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;"><i style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt;"><i style="font-family: times; font-size: medium;"><i style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt;"><span style="font-family: "cambria math", serif; font-size: 14pt;">p</span></i></i><sub>i</sub><sup>k<sub>i</sub></sup></i> e quindi:</span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: cambria, serif; font-size: 18.6667px;">𝜑</span><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;">(</span><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;"><i style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt;"><i style="font-family: times; font-size: medium;"><i style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt;"><span style="font-family: "cambria math", serif; font-size: 14pt;">p</span></i></i><sub>i</sub><sup>k<sub>i</sub></sup></i>)=</span><i style="font-size: 12pt;"><i style="font-family: times; font-size: medium;"><i style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt;"><span style="font-family: "cambria math", serif; font-size: 14pt;">p</span></i></i><sub>i</sub><sup>k<sub>i</sub></sup></i><i style="font-size: 12pt; text-align: center;"><i style="font-size: 12pt;"><i style="font-family: times; font-size: medium;"><i style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt;"><span style="font-family: "cambria math", serif; font-size: 14pt;"><span style="font-family: cambria, serif; text-align: justify;">−</span>p</span></i></i><sub>i</sub><sup>k<sub>i</sub>-1</sup></i></i></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;"><br /></span>
<span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;">Da qui si ottiene la 8)<o:p></o:p></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjSJGVyFqEZM_aZV6zNS8hd_zcycxb3TNUSqxNjp4U0iaNY1_oCg_Lavwo3vkxMnmNAn1p1kMNJqOpU1KkoCclMvAaNP5EjdgqxITqdjqrwV68dehxCWEiKlBfoz-LmFL1OpT-7pQrY5SI/s1600/CodeCogsEqn+%25284%2529+copy.gif" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="22" data-original-width="167" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjSJGVyFqEZM_aZV6zNS8hd_zcycxb3TNUSqxNjp4U0iaNY1_oCg_Lavwo3vkxMnmNAn1p1kMNJqOpU1KkoCclMvAaNP5EjdgqxITqdjqrwV68dehxCWEiKlBfoz-LmFL1OpT-7pQrY5SI/s1600/CodeCogsEqn+%25284%2529+copy.gif" /></a></div>
<br /></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;">Ora sostituendo la 8) nella 7) si ottiene<o:p></o:p></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg9-zXPdyWlu4lPIkEtVcwe8C8ZBRK1tNC-SmZb-Tz62g1KggPb_jYYGteytD-lXVVRX6X-8x60BX8b3mYgL-XMOgCcAg5LQKBDPx930Q_pPiA4aUgsSnFLuvnlVIt1I5KQHcbCGp2jRjs/s1600/CodeCogsEqn+%252815%2529.gif" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="50" data-original-width="180" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg9-zXPdyWlu4lPIkEtVcwe8C8ZBRK1tNC-SmZb-Tz62g1KggPb_jYYGteytD-lXVVRX6X-8x60BX8b3mYgL-XMOgCcAg5LQKBDPx930Q_pPiA4aUgsSnFLuvnlVIt1I5KQHcbCGp2jRjs/s1600/CodeCogsEqn+%252815%2529.gif" /></a></div>
<br /></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;"><br /></span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;"><br /></span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;">Moltiplicando e dividendo per <o:p></o:p></span><i style="font-size: 12pt; text-align: center;"><i style="font-size: 12pt;"><i style="font-family: times; font-size: medium;"><i style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt;"><span style="font-family: "cambria math", serif; font-size: 14pt;">p</span></i></i><sub>i</sub></i></i></div>
</div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgyu_pkXzk6IX3jJzOziYDOYGbQvdLzgLcI48g0ygqhRz7o1_4n5BN-9w13Jxt8f66n5G5ObTJiQm8PNhaefk799fzHY6zSlNlzZft6JdwenreQoSpHs4bHcIBuOY4xt7tmIvZFbsNEgkE/s1600/CodeCogsEqn+%252816%2529.gif" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="51" data-original-width="201" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgyu_pkXzk6IX3jJzOziYDOYGbQvdLzgLcI48g0ygqhRz7o1_4n5BN-9w13Jxt8f66n5G5ObTJiQm8PNhaefk799fzHY6zSlNlzZft6JdwenreQoSpHs4bHcIBuOY4xt7tmIvZFbsNEgkE/s1600/CodeCogsEqn+%252816%2529.gif" /></a></div>
<br /></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;"><br /></span>
<span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;"><br /></span>
<span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;">Per la proprietà commutativa della moltiplicazione</span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgJkSsM95avGo4dxkW8yUPOA6kjb7aoQAkeoKttt9vN4c-QU-blzwhoLd-URJGBBPD6BfyZKbLBPhJQ1juzdlNbM0uI9mFTE7SOv0Xdbua_VsxEESRhas3ZrL2kH4ernF3KkBfX_VfGk34/s1600/CodeCogsEqn+%252817%2529.gif" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="50" data-original-width="170" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgJkSsM95avGo4dxkW8yUPOA6kjb7aoQAkeoKttt9vN4c-QU-blzwhoLd-URJGBBPD6BfyZKbLBPhJQ1juzdlNbM0uI9mFTE7SOv0Xdbua_VsxEESRhas3ZrL2kH4ernF3KkBfX_VfGk34/s1600/CodeCogsEqn+%252817%2529.gif" /></a></div>
<br /></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiuUyYeB-riHRXD0lL3nJb5lsAGSZxT2NmfwMAoFPns5h7MtZTRws0ni01V2JObr81L-LpRXWU_tVEomEcviL3h4rkxZC3otVHsFsZK71ZGVA8Y44553qTTHQiF8pnaNhhZr26_Ou84ABQ/s1600/CodeCogsEqn+%252818%2529.gif" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="50" data-original-width="167" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiuUyYeB-riHRXD0lL3nJb5lsAGSZxT2NmfwMAoFPns5h7MtZTRws0ni01V2JObr81L-LpRXWU_tVEomEcviL3h4rkxZC3otVHsFsZK71ZGVA8Y44553qTTHQiF8pnaNhhZr26_Ou84ABQ/s1600/CodeCogsEqn+%252818%2529.gif" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEipTImdfBRTZJYdtLiepsSubkLUathK9iXvW2RtaM7cxqgtpPTAemAABY5Itqh92a00S6KcE_oFANpqOJrxTm61uwtN64WvQEdycMrg9ozaHJeHCvpPakF2RlhH8uWQcCRHFqYHTmzk6f8/s1600/CodeCogsEqn+%252819%2529.gif" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="50" data-original-width="196" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEipTImdfBRTZJYdtLiepsSubkLUathK9iXvW2RtaM7cxqgtpPTAemAABY5Itqh92a00S6KcE_oFANpqOJrxTm61uwtN64WvQEdycMrg9ozaHJeHCvpPakF2RlhH8uWQcCRHFqYHTmzk6f8/s1600/CodeCogsEqn+%252819%2529.gif" /></a></div>
<br /></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;"><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;">ma</span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;"><br /></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgPLcO9sPbGnCbsssdakyRKkooa72nFQ99D8ikums4tJLQiDUjC59qIMlI3u7CA9fO8qsT3W4N3epLhT6Zz-OLmKG-TEQ05S-l1Bsxhn6VAn_R4-awmy5b7qE9vKmYUl2kdZx9ijW1amaw/s1600/CodeCogsEqn+%252820%2529.gif" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="50" data-original-width="82" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgPLcO9sPbGnCbsssdakyRKkooa72nFQ99D8ikums4tJLQiDUjC59qIMlI3u7CA9fO8qsT3W4N3epLhT6Zz-OLmKG-TEQ05S-l1Bsxhn6VAn_R4-awmy5b7qE9vKmYUl2kdZx9ijW1amaw/s1600/CodeCogsEqn+%252820%2529.gif" /></a></div>
</div></div><div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;"><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;">e quindi</span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjszIjx5HnitmfMv6faglXdulb4kXT1VVOMyk3Sq06n4FeJgEMfUJUqnqP-mwa9hzZY3n1dM00XruTNjIvQxj7SsrLlyzvX3lDnmDDpG7W1V2D6gqgWlL_cpELVyugTGUPhWwXrg4pKe20/s1600/CodeCogsEqn+%252821%2529.gif" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="50" data-original-width="149" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjszIjx5HnitmfMv6faglXdulb4kXT1VVOMyk3Sq06n4FeJgEMfUJUqnqP-mwa9hzZY3n1dM00XruTNjIvQxj7SsrLlyzvX3lDnmDDpG7W1V2D6gqgWlL_cpELVyugTGUPhWwXrg4pKe20/s1600/CodeCogsEqn+%252821%2529.gif" /></a></div>
<br /></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;"><br /></span>
<span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;"><br /></span>
<span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;"><br /></span>
<span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;">QED<o:p></o:p></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;">Eulero si pose la domanda quale valore avrebbe assunto il prodotto</span><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiD51T1_4FvzUCRwQXy09uK-mlUMZRaVBTaBFuSt7xM-5xa2qJhvsyzhTNHKR57nxJi-xAMx3533dIa-b17HUDp4HN_YwvZMhzvcUKyUnPbkyjuzOpLEYqv4PoJVq9qe49DJgIG2aA_Jbo/" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: large; margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img border="0" data-original-height="26" data-original-width="112" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiD51T1_4FvzUCRwQXy09uK-mlUMZRaVBTaBFuSt7xM-5xa2qJhvsyzhTNHKR57nxJi-xAMx3533dIa-b17HUDp4HN_YwvZMhzvcUKyUnPbkyjuzOpLEYqv4PoJVq9qe49DJgIG2aA_Jbo/" /></a><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt; text-align: justify;">per tutti gli infiniti numeri primi.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt; text-align: justify;">Ora Eulero nel 1737 dimostro che l'inversa di</span><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiD51T1_4FvzUCRwQXy09uK-mlUMZRaVBTaBFuSt7xM-5xa2qJhvsyzhTNHKR57nxJi-xAMx3533dIa-b17HUDp4HN_YwvZMhzvcUKyUnPbkyjuzOpLEYqv4PoJVq9qe49DJgIG2aA_Jbo/" style="font-size: 14pt; margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img border="0" data-original-height="26" data-original-width="112" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiD51T1_4FvzUCRwQXy09uK-mlUMZRaVBTaBFuSt7xM-5xa2qJhvsyzhTNHKR57nxJi-xAMx3533dIa-b17HUDp4HN_YwvZMhzvcUKyUnPbkyjuzOpLEYqv4PoJVq9qe49DJgIG2aA_Jbo/" /></a> <span style="font-family: cambria, serif; font-size: 18.6667px; text-align: justify;">, ovvero</span><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiIOIdx1JB0gBpKzHZMKmC1LZGS3KtEC5XF3rLS2QM_PpC4egn8AWN7umZxNaU3uPuOkFv4_AdUM5cbHHvstpJewW_z-NFZCahCMcwG7CnMs5ynDdjYKnfoFvGE-Q-0k1V2NRxO7Uajex8/" style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt; margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img border="0" data-original-height="26" data-original-width="112" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiIOIdx1JB0gBpKzHZMKmC1LZGS3KtEC5XF3rLS2QM_PpC4egn8AWN7umZxNaU3uPuOkFv4_AdUM5cbHHvstpJewW_z-NFZCahCMcwG7CnMs5ynDdjYKnfoFvGE-Q-0k1V2NRxO7Uajex8/" /></a><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;"> </span><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 18.6667px;">è </span><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;">uguale alla somma della serie armonica:</span></div><p class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt; text-align: start;"><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;"><o:p></o:p></span></p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<i style="font-family: "cambria math", serif; font-size: 18.6667px; text-align: justify;"><br /></i></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgR5wfwl0e48cL9s4fNT89wbRB6iu7Ove7E5lxRJmk5Lxc5w6p_UywKPSlYR8uTYoeBsdMSFTms7LRO9-eQ07Qiv0TAK8i6oE2qZ7kjIgandpuDJE7gZZE9doEEwZlKG-jhn65ER0kSihQ/" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="53" data-original-width="409" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgR5wfwl0e48cL9s4fNT89wbRB6iu7Ove7E5lxRJmk5Lxc5w6p_UywKPSlYR8uTYoeBsdMSFTms7LRO9-eQ07Qiv0TAK8i6oE2qZ7kjIgandpuDJE7gZZE9doEEwZlKG-jhn65ER0kSihQ/d/CodeCogsEqn+%252810%2529.gif" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt; text-align: justify;">Ma la serie armonica diverge e quindi </span><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiD51T1_4FvzUCRwQXy09uK-mlUMZRaVBTaBFuSt7xM-5xa2qJhvsyzhTNHKR57nxJi-xAMx3533dIa-b17HUDp4HN_YwvZMhzvcUKyUnPbkyjuzOpLEYqv4PoJVq9qe49DJgIG2aA_Jbo/" style="font-size: 14pt; margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img border="0" data-original-height="26" data-original-width="112" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiD51T1_4FvzUCRwQXy09uK-mlUMZRaVBTaBFuSt7xM-5xa2qJhvsyzhTNHKR57nxJi-xAMx3533dIa-b17HUDp4HN_YwvZMhzvcUKyUnPbkyjuzOpLEYqv4PoJVq9qe49DJgIG2aA_Jbo/" /></a><span style="font-size: 12pt; text-align: justify;"> tende a zero.</span></div></div></div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;">Eulero estesa la 9) definendo la funzione ζ(x) <o:p></o:p></span><span style="font-size: 12pt; text-align: left;">, oggi </span><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt; text-align: left;">chiamata funzione zeta o prodotto di Eulero.</span></div><div style="text-align: justify;"><br /></div></div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi7sCAs7e78wQ6P4tmga8Lm2SjDr-VZ23pvSLrHUiiW3gZVvXxLREFVPaH3jeoW7lQDlc4iVuPEU9eCF27EX-SjuWqQwzJdVm_a91LST0fXasxdEGkRzVHyQHKhq9evljWvtX0bXi9vyK4/" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="48" data-original-width="185" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi7sCAs7e78wQ6P4tmga8Lm2SjDr-VZ23pvSLrHUiiW3gZVvXxLREFVPaH3jeoW7lQDlc4iVuPEU9eCF27EX-SjuWqQwzJdVm_a91LST0fXasxdEGkRzVHyQHKhq9evljWvtX0bXi9vyK4/d/CodeCogsEqn+%25289%2529.gif" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div>
<br /></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;"><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;">Dove x e un numero reale maggiore di 1 e dimostrò che</span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEifvT6MZV8jNTrvGcTXu3P7vXzzIai6Bk9v5fp0uaupJn5HBMnj9Bzy5qHJEYNxf78q80eCwtPdF2MqEWdpY6TQi3XNjloR_n9zcM30ATokmexcQQi8YksKdEVArsohqVs9QzHku7YCdVk/" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="53" data-original-width="459" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEifvT6MZV8jNTrvGcTXu3P7vXzzIai6Bk9v5fp0uaupJn5HBMnj9Bzy5qHJEYNxf78q80eCwtPdF2MqEWdpY6TQi3XNjloR_n9zcM30ATokmexcQQi8YksKdEVArsohqVs9QzHku7YCdVk/d/CodeCogsEqn.gif" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div>
</div></div><div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;"><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;">Bernhard Riemann, matematico tedesco, in un articolo pubblicato nel 1859 dal titolo “Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe” estese la funzione zeta di Eulero nel dominio dei numeri complessi e ne studio le caratteristiche. </span></div></div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiqqiIGzpi2I7jb4w-9Ws-USjenqobBXxOiNrOgexSg0hn-pXOXBfGkEyYGbXywt9v_c8xlgs1M27aS3_D_XIHmPswt9HNQ7Flc7uaLE4261KO81nX1CYJA0SWO7Duy0swRfiN-c-E2Bec/" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="53" data-original-width="453" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiqqiIGzpi2I7jb4w-9Ws-USjenqobBXxOiNrOgexSg0hn-pXOXBfGkEyYGbXywt9v_c8xlgs1M27aS3_D_XIHmPswt9HNQ7Flc7uaLE4261KO81nX1CYJA0SWO7Duy0swRfiN-c-E2Bec/d/CodeCogsEqn.gif" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; font-family: cambria, sans-serif; font-size: 14pt; text-align: center;"><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt; text-align: justify;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><p class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;"><span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;">La funzione zeta estesa ai numeri complessi, chiamata zeta di Riemann, come risulta dalla 9), ha un polo in Re[1]Im[0]. Inoltre gli zeri della zeta di Riemann sono di due tipi. Gli zeri cosiddetti banali che si trovano tutti sull’asse reale negativo del piano immaginario in corrispondenza dei multipli di Re[-2]Im[0]. Oltre a questi, secondo l’ipotesi formulata da Riemann, la funzione ha zeri non banali che dovrebbero trovarsi tutti sulla retta parallela all’asse imaginario passante per Re[1/2]Im[0].<o:p></o:p></span></p><p class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;"><br /></p></div></div></div><div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;"><div style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; text-align: justify;"></div></div><div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;"><div style="text-align: justify;"><br /></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;">La dimostrazione o la refutazione dell’ipotesi di Riemann oggi conosciuta come la congettura di Riemann è il problema più importante della teoria dei numeri e forse di tutta la matematica. La soluzione della congettura di Riemann getterebbe luce sulla legge che governa la distribuzione dei numeri primi. Si spera che dalla risoluzione e dalle conseguenze della dimostrazione possa finalmente scaturire una formula che indichi la quantità di primi minori di un numero dato. Chissà che poi questo non apri la strada per trovare il sacro Graal della matematica: la formula che esprima solo e tutti i numeri primi e che quindi squarci il velo che gli avvolge misteriosamente.<o:p></o:p></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: cambria, serif; font-size: 14pt;">Durante le conferenze e le mostre di quel solstizio d’estate materano i numeri primi e la congettura di Riemann furono un argomento ricorrente. Tobia Ravà con la sua osservazione sulle radici numeriche dei numeri primi aveva contribuito forse più di altri alla loro poetica dando pieno senso al nome della manifestazione.<o:p></o:p></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: calibri, sans-serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<br /></div>
</div>
<br />Federico Giudiceandreahttp://www.blogger.com/profile/12558070611627765134noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5622501474661069545.post-48497363166007989602015-02-16T14:53:00.000+01:002015-07-17T07:36:41.054+02:00L’influenza dell’Italia sull’arte di M.C. Escher<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj-4IdJV8q8NU42CcmT5z_lTo9EYJWDNIibRJ23LzZfu544q-Vx1bGG3tPiPgBh-qRST2tB7OUAbnlg1tbnmQd5Wwdh7ymytzlTArXm83-NqFE7n_2pHqzcSiVBgI7xFjLVoOFraJOEwes/s1600/Escher+a+Cariati+1930.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="400" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj-4IdJV8q8NU42CcmT5z_lTo9EYJWDNIibRJ23LzZfu544q-Vx1bGG3tPiPgBh-qRST2tB7OUAbnlg1tbnmQd5Wwdh7ymytzlTArXm83-NqFE7n_2pHqzcSiVBgI7xFjLVoOFraJOEwes/s1600/Escher+a+Cariati+1930.jpg" width="354" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<span lang="IT" style="mso-ansi-language: IT;">Il primo contatto con l’Italia avvenne nel
marzo 1921. Insieme ai suoi genitori, Escher intraprese quell’anno un viaggio
di 20 giorni lungo le coste del Mediterraneo, percorrendo prima il sud della
Francia e quindi costeggiando la Côte d’Azur fino alla Liguria. Escher
all’epoca aveva 22 anni ed era ancora studente alla scuola di architettura ed
arti decorative di Haarlem sotto la guida di Jesserun de Mesquita, uno dei più
importanti esponenti dell’Art Noveau olandese.<o:p></o:p></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<div style="text-align: justify;">
<span lang="IT" style="mso-ansi-language: IT;">Escher scrisse al suo amico Jan van der
Does di non essere particolarmente impressionato dal paesaggio mediterraneo: “all’inizio
sembra tutto travolgente ma dopo una settimana tutto diventa ordinario.” <span style="text-align: start;">[1]</span>.
<o:p></o:p></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<div style="text-align: justify;">
<span lang="IT" style="mso-ansi-language: IT;">L’anno dopo Escher ultimò i suoi studi ed
iniziò la sua attività di incisore ad Haarlem; l’impatto con la vita lavorativa
non fu dei migliori e presto arrivarono le prime delusioni. I suoi lavori non
trovarono grande accoglienza così che, alla ricerca di nuova ispirazione decise,
sulle orme dei grandi artisti mitteleuropei dell’ottocento, di intraprendere
con due amici, il <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Gran Tour</i>, un viaggio
in Italia, visitando le regioni centro-settentrionali. Fu particolarmente
colpito dalla campagna e dalle città della Toscana, in particolare da San Gimignano
e Siena. Ricordandosi del viaggio in calesse alla volta di San Gimignano scrisse:
“</span><span lang="EN-US" style="mso-ansi-language: EN-US;">while the 17 towers of
San </span><span lang="IT" style="mso-ansi-language: IT;">Gimignano</span><span lang="IT" style="mso-ansi-language: EN-US;"> </span><span lang="EN-US" style="mso-ansi-language: EN-US;">drew nearer and nearer. It was like a dream, witch
could not possible be real”</span><span style="text-align: start;">[2].</span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<div style="text-align: justify;">
<span lang="IT" style="mso-ansi-language: IT;">Innamoratosi dell’Italia, del suo
paesaggio, della sua natura, della sua arte antica Escher venne in contatto
anche con l’arte contemporanea italiana visitando la Biennale di Venezia dove quell’anno era
rappresentata la prima retrospettiva di Modigliani. <o:p></o:p></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<div style="text-align: justify;">
<span lang="IT" style="mso-ansi-language: IT;">Tornato in Olanda non riuscì a trovare
pace e pochi mesi dopo nell’autunno del 1922, dopo un viaggio in Spagna, tornò
in Italia fermandosi a Genova, Pisa, Roma e si spinse per la prima volta nel
meridione sulla costiera Amalfitana, dove nel 1923 conoscerà la sua futura
moglie Jetta Umiker, figlia di un industriale svizzero.<o:p></o:p></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<div style="text-align: justify;">
<span lang="IT" style="mso-ansi-language: IT;">L’Italia ebbe un effetto positivo sul
carattere introverso e malinconico di Escher tanto che nel 1923, dopo il
matrimonio con Jetta a Viareggio, si stabilì a Roma.<o:p></o:p></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<div style="text-align: justify;">
<span lang="IT" style="mso-ansi-language: IT;">In quel periodo si confronta con diversi
movimenti artistici dei primi del novecento. Lo sviluppo di nuove teorie
scientifiche, anticonvenzionali e anti intuitive come la teoria della relatività
e la meccanica quantistica, avevano messo in discussione la visione euclidea
dello spazio che era alla base delle leggi della prospettiva scientifica. Primo fra tutti il
cubismo andava affermando che nessuna rappresentazione del vero, nessun disegno
né quadro poteva competere con la realtà e che quindi tanto vale sfruttare le
possibilità della rappresentazione bidimensionale sul foglio o sulla tela per
sperimentare la simultaneità dei punti di vista e la mutazione delle immagini. <span style="mso-spacerun: yes;"> </span>Sulla stessa scia si muovevano anche i
movimenti artistici come le avanguardie divisioniste, simboliste e futuriste. <o:p></o:p></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<div style="text-align: justify;">
<span lang="IT" style="mso-ansi-language: IT;">Escher fu introdotto nell’ambiente romano
dal suo amico ed estimatore Goedfridus, Johannes Hoogewerff, direttore
dell’istituto storico olandese dal 1924, che lo spinse a seguire le lezioni di
storia dell’arte di Adolfo Venturini all’Università “La Sapienza” di Roma che
lo spinse ad approfondire e ampliare la sua conoscenza sulla grafica antica e
di trovare nuovi stimoli dall’esperienza diretta di opere d’arte e di architettura
sparse nella capitale italiana.<o:p></o:p></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<div style="text-align: justify;">
<span lang="IT" style="mso-ansi-language: IT;">Escher era affascinato dall’architettura
medievale, molto presente negli antichi borghi italiani e aveva una
predilezione per Borromini, a cui si sentiva spiritualmente affine </span><span style="text-align: start;">[3]</span>.</div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: left; margin-right: 1em; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiWksHSGm2Gp5KefXl3i5FfMyYqAIPULWzRriF7Bm3IKOmQelyEioK6ca0oMBBxMnsN_81TBG3_wOftwWD0rvHQEiZW1bmG3xxUtbTeRdMULVQ5DAcl5hQz5ahwdmOSWAetv3wFvHBrTs8/s1600/fig.01+Balla,+Mano+del+Vilinista.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="143" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiWksHSGm2Gp5KefXl3i5FfMyYqAIPULWzRriF7Bm3IKOmQelyEioK6ca0oMBBxMnsN_81TBG3_wOftwWD0rvHQEiZW1bmG3xxUtbTeRdMULVQ5DAcl5hQz5ahwdmOSWAetv3wFvHBrTs8/s1600/fig.01+Balla,+Mano+del+Vilinista.jpg" width="200" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">fig.1 Giacomo Balla, <br />
Mano di Violinista, 1912</td></tr>
</tbody></table>
<div style="text-align: justify;">
<span lang="IT" style="mso-ansi-language: IT;">Hoogewerff mise in contatto Escher con il
Gruppo Romano Aristi Incisori, la cui sede era a palazzo Venezia a Roma, dove
nel 1926 Federico Hermaninn, che era il fondatore del gruppo, organizzò per
Escher una mostra personale.<o:p></o:p></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<div style="text-align: justify;">
<span lang="IT" style="mso-ansi-language: IT;">Escher venne inoltre in contatto con
l’ambiente artistico italiano attraverso l’amicizia con Haas Triverio, un artista
grafico svizzero, che aveva conosciuto a Siena. Triverio che viveva a Roma da più
di dieci anni, lo introdusse nell’ambiente artistico che si era formato intorno
alla rivista “L’Eroica”.<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>Qui Escher conobbe
lo scultore e incisore Publio Morbiducci, gli incisori Bruno da Osimo, Dario
Neri e Lorenzo Viani<span style="text-align: start;">[4]</span>.
In questo contesto ebbe modo di ulteriormente approfondire sia i linguaggi
artistici del passato e di aprirsi a quelli a lui contemporanei. <span style="mso-spacerun: yes;"> </span>Possono infatti essere notate influenze
divisioniste nella sua opera grafica di quel periodo: in modo particolare in
incisioni come <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Rossano</i>, <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Morano</i>, <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Chiostro di Monreale</i>. Anche nella serie dei <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Notturnali Romani</i> le immagini scaturiscono dal sapiente uso di motivi
ricorrenti, linee o brevi trattini ortogonali, che ricordano le tecniche
divisioniste. <o:p></o:p></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="page-break-after: avoid; text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: left; margin-right: 1em; text-align: justify;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjrPptw7FwI-NGD5luu0WUTTNF1ZJrb0ewMMzonHTTgXxIpGmxKuOKMPY0lX_v_LKqvhpLbE2blSbTRcoxknq_Dm5uebTJQwkEValCZwCmSDQbpDIlroezRpQImGCKb01nziX59zxDkImw/s1600/fig.02+Balla,+Compensazione+Irridescente.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="200" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjrPptw7FwI-NGD5luu0WUTTNF1ZJrb0ewMMzonHTTgXxIpGmxKuOKMPY0lX_v_LKqvhpLbE2blSbTRcoxknq_Dm5uebTJQwkEValCZwCmSDQbpDIlroezRpQImGCKb01nziX59zxDkImw/s1600/fig.02+Balla,+Compensazione+Irridescente.jpg" width="155" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">fig 2 Giacomo Balla,<br />
Compenetrazione Iridescente, 1912</td></tr>
</tbody></table>
<div style="text-align: justify;">
<span lang="IT" style="mso-ansi-language: IT;">Escher venne
certamente in contatto con il nascente movimento futurista come si nota
nell’incisione <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Vuurslag</i>, <i style="mso-bidi-font-style: normal;">L’Acciarino,</i> numero X della serie <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Emblemata,</i> dove il movimento delle mani,
che si industriano a provocare le scintille sfregando la pietra focaia, appare
così frenetico da ricordare quello di <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Mano
del Violinista</i> (Londra, Tate Gallery) dipinta nel 1912 da Giacomo Balla
(fig.1). Fu molto probabilmente attraverso il suo amico Triverio, che esponeva
nelle mostre dei Sindacati Regionali Fascisti, che Escher ebbe modo di vedere
l’opera di Giacomo Balla che era considerato l'artista del fascismo per
eccellenza, apprezzatissimo dalla critica di regime. Il gusto delle
suddivisioni geometriche nella serie delle “<i style="mso-bidi-font-style: normal;">Compenetrazione
iridescente</i>” del 1912 (fig.2), che segnano il passaggio di Balla dal
divisionismo al futurismo, può aver contribuito a fare rafforzare in Escher
quella vena geometrica già espressa in opere come la xilografia <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Beauty</i>, del 1921 realizzata per
illustrare il libretto <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Flor de Pascua</i>,
scritto dal suo amico Aad van Stockl, che prelude insieme ad altre opere come <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Scapegoat</i> e <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Otto Teste</i>, alla fase dell’analisi geometrica delle possibilità del
riempimento del piano. Escher iniziò ad analizzare metodi per tassellare il
piano già durante il periodo romano, sperimentando con tasselli di figure animate
e realizzando diversi arazzi colorati.<span style="mso-spacerun: yes;"> </span></span><o:p></o:p></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: left; text-align: justify;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiCVG9z8ob0LjssSt4ZPeKnkDov789iKT_weJNc0668KpsQCEJ3RIIMcSG2MkbWtteWT2jG2KKcxTRFMABEVwD0yPhvdFXAuOd6TMPAf1ZD_wDAiZEn1F_ULX-KUhLQdwiVsehViCecimc/s1600/fig.03+Dottori,+Aurora+Umbra.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="133" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiCVG9z8ob0LjssSt4ZPeKnkDov789iKT_weJNc0668KpsQCEJ3RIIMcSG2MkbWtteWT2jG2KKcxTRFMABEVwD0yPhvdFXAuOd6TMPAf1ZD_wDAiZEn1F_ULX-KUhLQdwiVsehViCecimc/s1600/fig.03+Dottori,+Aurora+Umbra.jpg" width="200" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">fig. 3 Gherardo Dottori,<br />
Aurora Umbra, 1923</td></tr>
</tbody></table>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Un altro parallelo tra il linguaggio
futurista e il modo in cui a Escher piaceva usare la prospettiva può essere intravisto
in alcune opere come <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Scilla</i> o <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Fiumara di Stilo</i>. Queste sono ritratte
dall’alto com’era in voga in una declinazione dello stile futurista codificato
nel Manifesto dell'Aeropittura, redatto nel 1929 da esponenti del
movimento futurista tra cui Marinetti, Balla, Depero, Dottori[5]. Soprattutto in opere
di quest’ultimo, come <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Aurora umbra</i>,
1923 (Museo del Novecento, Milano) (fig. 3),oppure <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Aurora
sul Golfo</i>, 1935 (Consiglio regionale dell’Umbria, Perugia) (fig. 4) i paralleli, legati all’uso della prospettiva
aerea, sono evidenti. Un altro riferimento diretto all’Areopittura si trova nell’incisone
<i style="mso-bidi-font-style: normal;">Aeroplane above a Snowy Landscape</i> del
1934 che Escher fece per illustrare la copertina della edizione invernale della
rivista <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Timotheus</i>. Questa immagine fu
usata da Escher successivamente come base per <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Night and Day</i> del febbraio del 1938, la prima stampa concettuale basata sulle tassellature.</div>
<span lang="IT" style="mso-ansi-language: IT;"><table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: left; margin-right: 1em; text-align: justify;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj5cReoHkmsm3esX_gFQAbry9fmbAfsISmPt2MT7RJ668qRdSag6jeT29s6YmCvwO2UkS6s6tu3qaTOoaBSuD7yLkJ_paJ2hu3WXA4XV2NNUy3ZpT8imqRp3_OnWyO0G0_caseD_jqYez8/s1600/fig.04+Dottori,+Aurora+sul+golfo.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="200" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj5cReoHkmsm3esX_gFQAbry9fmbAfsISmPt2MT7RJ668qRdSag6jeT29s6YmCvwO2UkS6s6tu3qaTOoaBSuD7yLkJ_paJ2hu3WXA4XV2NNUy3ZpT8imqRp3_OnWyO0G0_caseD_jqYez8/s1600/fig.04+Dottori,+Aurora+sul+golfo.jpg" width="200" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><span style="font-size: 12.8000001907349px;">fig. 4 Gherardo Dottori,</span><br />
<span style="font-size: 12.8000001907349px;">Aurora sul Golfo, 1923</span></td></tr>
</tbody></table>
</span><br />
<div style="text-align: justify;">
<span lang="IT" style="mso-ansi-language: IT;">Quest’opera esemplifica
quanto Marinetti aveva affermato circa la nuova visone della realtà terrestre,
trasfigurata dalla visione dall’alto, nella quale i campi arati, le montagne,
il laghi, le strade si trasformano in altrettante linee astratte e figure
geometriche contigue<span style="text-align: start;">[5]</span>.
Del resto l’uso di un impianto prospettico con il punto di fuga al Nadir era
già stato usato in <i style="mso-bidi-font-style: normal;">San Pietro</i> del
1935, commissionata da Hoogewerff a Escher, e prima ancora in <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Torre di Babe</i>le nel 1928. L’uso della <span style="mso-spacerun: yes;"> </span>prospettiva dall’alto da sempre attrae Escher,
difatti durante i suoi viaggi nei periodi primaverili per le regioni d’Italia,
accompagnato dal suo amico Triverio, spesso si soffermava sui bordi di un
precipizio, laddove lo sguardo poteva spaziare senza limiti che non fosse l’orizzonte.
Per un nordico, abituato alla visione di un orizzonte basso, ampio e lineare,
le ripide e scoscese montagne della dorsale appenninica, i paesini di pietra
arroccati sulle colline della Calabria, le coste altissime a picco sul mare
della penisola amalfitana esercitavano un fascino irresistibile. Molto
probabilmente aveva potuto vedere durante i suoi studi con Adolfo Venturini i
trattati prospettici rinascimentali, dove a titolo esemplificativo spesso erano
illustrate prospettive con il punto di fuga al Nadir o allo Zenith. </span></div>
<span lang="IT" style="mso-ansi-language: IT;">
<table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: left; margin-right: 1em; text-align: justify;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg10MX5y-_yUb-gsQNFU4Jrn8z6OeyzIFsDEpPffCjNZMpNCb9LJrHfCrruFoz4n8rU1WMNEiEWhd8DHhtXJ4FALB9tQZKIcqd8hR1UIQ0nkpkY-DgnuVQ9IOEBzWcFILECfz-iLFMuvko/s1600/fig.06+Borromini,+Scala+elittica++Palazzo+Barberini.JPG" imageanchor="1" style="clear: left; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="150" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg10MX5y-_yUb-gsQNFU4Jrn8z6OeyzIFsDEpPffCjNZMpNCb9LJrHfCrruFoz4n8rU1WMNEiEWhd8DHhtXJ4FALB9tQZKIcqd8hR1UIQ0nkpkY-DgnuVQ9IOEBzWcFILECfz-iLFMuvko/s1600/fig.06+Borromini,+Scala+elittica++Palazzo+Barberini.JPG" width="200" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><span style="font-size: 12.8000001907349px;">fig. 5 Franceso Borromini,</span><br />
<span style="font-size: 12.8000001907349px;">Scalone a Palazzo Borromini, Roma</span><span style="font-size: 12.8000001907349px;"> </span></td></tr>
</tbody></table>
</span><br />
<div style="text-align: justify;">
<span lang="IT" style="mso-ansi-language: IT;">Anche se non
particolarmente attratto dall’architettura barocca, Escher fu certamente sollecitato,
nel dedicarsi a queste prospettive insolite, dalle opere del architetto che lui
preferito, Francesco Borromini, come lo scalone di palazzo Barberini. (fig. 5) Anche
un altro artista italiano, il veneziano Giovanni Battista Piranesi vissuto nella
Roma del 700, influenzò in Escher lo sviluppo dell’approccio alla prospettiva.
Escher, pur non nominandolo mai direttamente, conosceva Giovanni Battista
Piranesi. Ne è conferma l’ampia biografia redatta da Wim Hazeu<span style="text-align: start;">[6]</span>,
nella quale si ricorda che alcune stampe di Piranesi, acquistate a Roma,
avevano un posto d’onore nello studio dell’artista a Chateau d’Oex in Svizzera,
dove Escher si era trasferito nel 1935. Escher inoltre avrebbe potuto conoscere
in maniera approfondita le stampe di Piranesi attraverso la monografia che
Federico Hermanin dedicò all’artista nel 1923 dove era rappresentata la celebre
serie delle <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Carceri d’invenzione</i>,
edita nel 1761. Il turbinio di scale e le prospettive audaci lasciarono
certamente un segno nella modalitá con cui Escher affronterà la prospettiva. Una
particolare menzione merita la tavola XIV delle<i style="mso-bidi-font-style: normal;"> </i><span style="mso-bidi-font-style: normal;">Carceri, Capriccio di Scale e </span></span></div>
<span lang="IT" style="mso-ansi-language: IT;">
<span style="mso-bidi-font-style: normal;"><table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: left; margin-right: 1em; text-align: justify;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgI8oQFyVpA_xsL6TGJSiArs-wPhhnm-7MmAL7JVBZc5_OpplUNWAhhMB2SPU3dpJ-cUrFwFlGqaIOEB-ri-IsU4VAOtW9E-J-BPn2b6uWYTx1uL0n9ug6BqzQa-e87gkv0hK6UpOxYjkI/s1600/fig.07+Piranesi,+Carceri+d'Invenzioni%2BPlate%2BXIV.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="155" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgI8oQFyVpA_xsL6TGJSiArs-wPhhnm-7MmAL7JVBZc5_OpplUNWAhhMB2SPU3dpJ-cUrFwFlGqaIOEB-ri-IsU4VAOtW9E-J-BPn2b6uWYTx1uL0n9ug6BqzQa-e87gkv0hK6UpOxYjkI/s1600/fig.07+Piranesi,+Carceri+d'Invenzioni%2BPlate%2BXIV.jpg" width="200" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><span style="font-size: 12.8000001907349px;">fig. 6 Giovanni Battista Piranesi,</span><br />
<span style="font-size: 12.8000001907349px;">Carceri d'Invenzioni, tavola XIV, 1761</span></td></tr>
</tbody></table>
</span></span><br />
<div style="text-align: justify;">
<span lang="IT" style="mso-ansi-language: IT;"><span style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="mso-bidi-font-style: normal;">Capriate </span>(fig.6)<span style="mso-bidi-font-style: normal;">. </span>In questa incisione<span style="mso-bidi-font-style: normal;"> </span>Piranesi
con un abile gioco prospettico unisce due muri, che si trovano su due piani
diversi, con un arco parallelo a ciascuno dei due muri, creando così una
costruzione impossibile. Questa costruzione può essere considerata un
precursore del triangolo di Penrose, usato con grade maestria da Escher in due
dei suoi capolavori del periodo della maturità <span style="mso-bidi-font-style: normal;">Belvedere</span> del 1958 e <span style="mso-bidi-font-style: normal;">Waterfall</span>
del 1961.</span></span></div>
<span lang="IT" style="mso-ansi-language: IT;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;">
</i><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<div style="text-align: justify;">
<span lang="IT" style="mso-ansi-language: IT;">Non si sa se Escher notò la costruzione
impossibile, certo sarebbe un’incredibile coincidenza se Escher, che diventerà
il maestro incontrastato delle architetture paradossali e impossibili, non
avesse notato quello che può essere considerato uno dei primi edifici
impossibili raffigurati nella storia dell’arte<span style="text-align: start;">[7]</span>.
<o:p></o:p></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<div style="text-align: justify;">
<span lang="IT" style="mso-ansi-language: IT;">Escher lasciò l’Italia nel 1936, a causa
del clima politico sfavorevole dovuto all’inasprimento del fascismo,
stabilendosi in Svizzera. Prima di partire l’istituto Olandese organizzò una
sua ultima mostra. Questa fu recensita dall’”<i style="mso-bidi-font-style: normal;">Osservatore romano</i>”, il quotidiano della Santa Sede con queste
parole: “<i style="mso-bidi-font-style: normal;">A vero dire Escher è una vecchia
conoscenza per chi frequenta il mondo artistico romano. Chi non conosce
quell’alto biondo pittore olandese, che beve il sole con gli occhi…A forza di
vivere in Italia non è più l’olandese fantastico e pur analitico di quando
illustrava libri di leggende nordiche.</i>”<o:p></o:p></span><span style="text-align: start;">[8]</span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<div style="text-align: justify;">
<span lang="IT" style="mso-ansi-language: IT;">Escher lascia l’Italia con un bagaglio di
esperienze che ha influenzato in maniera decisiva il suo percorso artistico. Egli
non era uno sprovveduto in fatto di arte e il soggiorno italiano non passò su
di lui senza lasciare traccia, facendogli assorbire, attraverso un’elaborazione
del tutto personale, i diversi linguaggi che durante i primi del novecento si
andavano sviluppando in Italia e nel mondo. Sia gli antichi maestri italiani
che olandesi, sia i movimenti artistici dei primi del novecento come l’art noveau,
il divisionismo, il futurismo fino al simbolismo plasmarono durante il
soggiorno italiano il suo linguaggio pittorico. Escher era un uomo dei suoi
tempi, e anche se quello che successe alla sua espressione artistica dopo il
1937 può essere considerato un <i style="mso-bidi-font-style: normal;">unicum</i>
nella storia dell’arte, il suo linguaggio pittorico ha forti radici nel
contesto culturale del suo tempo in un intreccio continuo tra correnti
artistiche contemporanee e la memoria storica dei grandi maestri del passato.<o:p></o:p></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<div style="text-align: justify;">
<span lang="IT" style="mso-ansi-language: IT;">Nel 1937 Escher intraprese un viaggio con
una motonave della compagnia Adria che lo porterà per un’ultima volta lungo le
coste del Mediterraneo. Toccherà la Sicilia, Malta e in particolare Granada in
Spagna, dove era già stato nel 1922 poco prima che si stabilisse permanentemente
in Italia. Qui, come aveva già fatto nel 1922, visitò l’Alhambra dove studiò,
questa volta in maniera più approfondita, le tassellature moresche che ne
decoravano le pareti. Questa visita, oltre a suggellare la chiusura di un ciclo
della sua vita, innescò in maniera definitiva il suo linguaggio espressivo: lo
studio sistematico del riempimento regolare del piano che caratterizzerà
l’opera di Escher dopo l’illuminazione sulla strada dell’Alhambra. Se si
prescinde da un periodo di transizione, durante il quale continuerà a produrre
incisioni con paesaggi e edifici, Escher iniziò a usare le tassellature come
base per le sue opere. Queste erano raccolte in diversi quaderni, contenenti 137
motivi base di tassellature, diligentemente catalogati secondo un suo originale
schema logico<span style="text-align: start;">[9]</span>. <o:p></o:p></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: left; text-align: justify;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgBJMSd5Kv1QOle1ACqHLoFG2JesnYeSY2JFsVx-SOco35qZgDYipZtB9aCoJDyBTbjI6hrOM4u30ohKcbC7a6Ar2S80fi9LKaX84D-pIZ0FtbjjiOVSlJ5h4fVoueqycnrb5yhhoz1Bq8/s1600/fig.08+MCE,+drawing+Savona.jpeg" imageanchor="1" style="clear: left; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="200" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgBJMSd5Kv1QOle1ACqHLoFG2JesnYeSY2JFsVx-SOco35qZgDYipZtB9aCoJDyBTbjI6hrOM4u30ohKcbC7a6Ar2S80fi9LKaX84D-pIZ0FtbjjiOVSlJ5h4fVoueqycnrb5yhhoz1Bq8/s1600/fig.08+MCE,+drawing+Savona.jpeg" width="153" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><span style="font-size: 12.8000001907349px;">fig. 7 M.C Escher,</span><br />
<span style="font-size: 12.8000001907349px;">Savona, disegno 1936</span></td></tr>
</tbody></table>
<div style="text-align: justify;">
<span lang="IT" style="mso-ansi-language: IT;">Nel 1941, a causa della guerra in Europa,
Escher, che nel frattempo si era trasferito in Belgio, tornò nella natia Olanda
stabilendosi nel paese di Baarn. Abbandona il paesaggio che non lo ispira più e
si rivolse a strutture mentali interiori. In un primo momento l’ispirazione scaturiva
principalmente dalle tassellature e le loro trasformazioni metamorfiche. In una
seconda fase, dal contatto con la comunità dei matematici, avvenuto in
occasione della sua mostra, in concomitanza con il congresso internazionale
mondiale di matematica ad Amsterdam del 1954, inizia una proficua collaborazione
con alcuni di essi. Queste frequentazioni dirette ed epistolari provocarono
nuovi motivi d’ispirazione come le strutture impossibili rivelategli da Roger
Penrose<span style="text-align: start;">[10]</span> o le proiezioni del piano infinito sul disco di Poincarè, stimolate da Harold
Coexter<span style="text-align: start;">[11]</span>.
A contorno di questi nuovi temi, sia per l’uso di elementi figurativi che per l’ambientazione
paesaggistica, Escher ricorrerà alla memoria, ai ricordi e ai molteplici
disegni realizzati durante i viaggi in Italia e lungo le coste del
Mediterraneo. Primi esempi di fusione di elementi paesaggistici con elementi
figurativi estranei al paesaggio stesso, si trovano in due incisioni di chiara
influenza surrealista. La prima è <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Still
Live with Mirror</i> del 1934<i style="mso-bidi-font-style: normal;">, </i>una
natura morta con una toeletta da camera con relativi oggetti personali, il cui specchio
riflette, in maniera paradossale un vicolo della città di Siena. La seconda è <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Still Life with Street </i>del 1937 nella
quale Escher, ormai lontano dall’Italia, rappresenta una natura morta con
diversi oggetti posti su un tavolo tra cui anche alcuni libri che si appoggiano
direttamente ai palazzi di una veduta cittadina, con il tavolo che si confonde
con la strada. Escher riprende l’immagine della strada da un disegno da lui fatto
a Savona nel giugno del 1936 (fig.7). <o:p></o:p></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: left; text-align: justify;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgE9Shf79_bbsxfE5mKHyADA3QMqDmjH1nPuMhyFDNNFQqJ7PURi1os_cW6aqzSMsC6KWZ_n2rtgvLGVaGplsdketDzkIhaZUiQBdfEFBJg4WLhiLGQETQxTcVNcf2Nd4l1gcJoE3Ccn5s/s1600/fig.09+MCE,+Tropea+Aloe+drawing.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="155" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgE9Shf79_bbsxfE5mKHyADA3QMqDmjH1nPuMhyFDNNFQqJ7PURi1os_cW6aqzSMsC6KWZ_n2rtgvLGVaGplsdketDzkIhaZUiQBdfEFBJg4WLhiLGQETQxTcVNcf2Nd4l1gcJoE3Ccn5s/s1600/fig.09+MCE,+Tropea+Aloe+drawing.jpg" width="200" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><span style="font-size: 12.8000001907349px;">fig. 8 M.C Escher,</span><br />
<span style="font-size: 12.8000001907349px;">Tropea, disegno 1930</span></td></tr>
</tbody></table>
<div style="text-align: justify;">
<span lang="IT" style="mso-ansi-language: IT;">Il riferimento all’uso del paesaggio
italiano è evidente in <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Cycle, </i>in cui
l’elemento principale è una tassellatura del piano che si collega, attraverso un
processo di trasformazione, a una realtà ormai presente nei suoi ricordi. La
tassellatura è la 21ma del suo personale catalogo, realizzata nel 1938 a Ukkel
in Belgio. L’architettura che fa da contorno alla metamorfosi del tassello che
si immerge nel piano privo di spazi vuoti, s’ispira alle tipiche case della
costiera Amalfitana già rappresentate in incisioni come <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Houses of Positano del 1934</i> mentre il paesaggio, che dietro le case
sfuma verso l’orizzonte, è ripreso da <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Fiumara
di Stilo </i>stampa realizzata in seguito al suo viaggio in Calabria nel 1930. <o:p></o:p></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<div style="text-align: justify;">
<span lang="IT" style="mso-ansi-language: IT;">Legato ai suoi ricordi italiani è anche <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Another World,</i> dove è rappresentato il <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Simorgh, </i>uccello<i style="mso-bidi-font-style: normal;"> </i>mitologico della religione mazdaica che fu regalato a Jetta dal
padre, di ritorno da un viaggio in Baku in Azerbaijan. Escher lo teneva in
bella vista sul tavolino nel salotto della sua casa in via Poerio a Roma e ne aveva
fatto diversi disegni, usati poi anche per l’incisione <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Still Life with Spherical Mirror</i> del 1934. <o:p></o:p></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<div style="text-align: justify;">
<span lang="IT" style="mso-ansi-language: IT;">Riferimenti all’Italia sono molteplici e
compaiono in molte delle sue opere concettuali.<o:p></o:p></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: left; text-align: justify;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjOqZxzXTFkZgLownGad1j8wZvlNGoadWzzlJ9CtONCnyV2WzWyZCSwOBchjSJMl8QFqM6tst6ZejNiHV9lkiysCDhkG1F8uXy_fv_6SFMQ5EKlZ5BrIX7stwh9fLO0R7G1j9FJIXuKGW4/s1600/fig.11+Pacioli,+Solido+Platonico+(Dodecaedro).jpg" imageanchor="1" style="clear: left; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="156" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjOqZxzXTFkZgLownGad1j8wZvlNGoadWzzlJ9CtONCnyV2WzWyZCSwOBchjSJMl8QFqM6tst6ZejNiHV9lkiysCDhkG1F8uXy_fv_6SFMQ5EKlZ5BrIX7stwh9fLO0R7G1j9FJIXuKGW4/s1600/fig.11+Pacioli,+Solido+Platonico+(Dodecaedro).jpg" width="200" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><div style="font-size: 12.8000001907349px;">
<span style="font-size: 12.8000001907349px;">fig. 9 Luca Pacioli,</span></div>
<div style="font-size: 12.8000001907349px;">
<span style="font-size: 12.8000001907349px;">Solidi Platonici, Dodecaedro</span></div>
</td></tr>
</tbody></table>
<div style="text-align: justify;">
<span lang="IT" style="mso-ansi-language: IT;">In <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Reptile</i>
del 1943 la pianta in primo piano a sinistra è un’agave, pianta tipica
dell’Italia meridionale, disegnata a Tropea in Calabria nel 1930 (fig.8).<span style="mso-spacerun: yes;"> </span></span>In <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Up
and Down </i>del 1947, oltre all’arco bicolore tipico dell’architettura
mediterranea s’intravede una palma e in secondo piano le case di Calvi in
Corsica disegnate nel 1933.</div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<div style="text-align: justify;">
<span lang="IT" style="mso-ansi-language: IT;">In <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Stars</i>
la costruzione dei solidi geometrici ricalca il modo in cui Leonardo da Vinci o
Luca Pacioli rappresentavano i solidi regolari (fig.9). <o:p></o:p></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<div style="text-align: justify;">
<i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span lang="IT" style="mso-ansi-language: IT;">Puddle,
</span></i><span lang="IT" style="mso-ansi-language: IT;">una stampa che Escher realizzò
dopo aver osservato le pozzanghere camminando nelle campagne intorno a Baarn, a
prima vista sembrerebbe esente da riferimenti italiani, ma gli alberi che si
specchiano nell’acqua della pozzanghera sono presi in prestito dall’incisione <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Pineta a Calvi</i> del 1933. <o:p></o:p></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<div style="text-align: justify;">
<span lang="IT" style="mso-ansi-language: IT;">In <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Cubic
Space Division</i> del 1952, Escher s’ispira alle costruzioni reticolari del
rinascimento italiano, molto probabilmente a un fregio della pavimentazione del
Duomo di Siena<span style="text-align: start;">[12]</span>, visitato
più volte durante i suoi soggiorni nella città toscana (fig.10).</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span lang="IT" style="mso-ansi-language: IT;"></span></div>
<span lang="IT" style="mso-ansi-language: IT;"> <o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<div style="text-align: justify;">
<span lang="IT" style="mso-ansi-language: IT;">Le case arroccate di <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Tetrahedral Planetoid </i>del 1954<i style="mso-bidi-font-style: normal;">
</i>assomigliano a quelle di <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Goriano Sicoli</i>
e di <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Morano</i>. <o:p></o:p></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: left; text-align: justify;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiCILTgWpsuXFUA-teCM63XTUvbHPhZs8FXqnY5A7DvcP1c_1Es02BZeO5Voma6UZGxnjHWb-_rD_vykuH8vRwL6zQzeri4oGMZ80xe1NKoyti2AeUmR3_ieJiUTX8DFH0A4SJUgXlb8fc/s1600/fig.12+Floor+of+the+Dome+of+Siena.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="84" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiCILTgWpsuXFUA-teCM63XTUvbHPhZs8FXqnY5A7DvcP1c_1Es02BZeO5Voma6UZGxnjHWb-_rD_vykuH8vRwL6zQzeri4oGMZ80xe1NKoyti2AeUmR3_ieJiUTX8DFH0A4SJUgXlb8fc/s1600/fig.12+Floor+of+the+Dome+of+Siena.jpg" style="cursor: move;" width="200" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><div style="font-size: 12.8000001907349px;">
<span style="font-size: 12.8000001907349px;">fig. 10 Fregio della pavimentazione</span></div>
<div style="font-size: 12.8000001907349px;">
<span style="font-size: 12.8000001907349px;"> del Duomo di Siena</span></div>
</td></tr>
</tbody></table>
<div style="text-align: justify;">
<span lang="IT" style="mso-ansi-language: IT;">Le incisioni <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Print gallery</i> del 1956 e <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Balcony</i>
del 1945 sono tutte e due derivate da schizzi fatti durante l’ultimo viaggio
nel mediterraneo nel 1936 durante una sosta nel porto di Senglea a Malta da cui
ricavò anche la litografia omonima. <o:p></o:p></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<div style="text-align: justify;">
<span lang="IT" style="mso-ansi-language: IT;">In <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Belvedere
</i>del 1958 i riferimenti all’Italia sono molteplici. Innanzitutto il
paesaggio ripreso da un disegno del paese di Pettorano affacciato sulla valle del
Gizio, eseguito durante uno dei suoi viaggi nell’appennino abruzzese.
L’architettura dell’edificio si ispira alla loggia presente in <i style="mso-bidi-font-style: normal;">The Bridge, </i>litografia realizzata da
Escher nel 1929 dopo un viaggio, in compagnia del suo amico Haas Triverio nelle
montagne Abruzzesi. Escher, di solito molto meticoloso, non segnò sul disegno
il nome del luogo. Il ponte raffigurato in questa incisione è una costruzione
quasi irreale che nessuno conosceva e faceva pensare a una composizione di
fantasia o alla combinazione di più vedute prese da disegni diversi. Infatti Escher,
nella realizzazione delle incisioni, non seguiva sempre con fedeltà gli schizzi
realizzati sul luogo e spesso usava per un’incisone più disegni. </span></div>
<table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: left; text-align: justify;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgeuBQq3psHfmd2-WQIMEH-YHJvc5QWHVZRbD6MGjE75v7kUmU1Y9ZZcbyxLcmQecgQAcR20kswuM2XfIbw-eDLq_oKrCJK2q2dZrM6oG6cQAWl3F3tDRyjxXCxqSVdLUx5xsmESyafNak/s1600/fig.14+MCE+Drawing+Mantis.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="200" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgeuBQq3psHfmd2-WQIMEH-YHJvc5QWHVZRbD6MGjE75v7kUmU1Y9ZZcbyxLcmQecgQAcR20kswuM2XfIbw-eDLq_oKrCJK2q2dZrM6oG6cQAWl3F3tDRyjxXCxqSVdLUx5xsmESyafNak/s1600/fig.14+MCE+Drawing+Mantis.jpg" width="152" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><div style="font-size: 12.8000001907349px;">
<span style="font-size: 12.8000001907349px;">fig. 11 M.C Escher,</span></div>
<div style="font-size: 12.8000001907349px;">
<span style="font-size: 12.8000001907349px;">Pentedattilo, disegno 1930</span></div>
</td></tr>
</tbody></table>
<div style="text-align: justify;">
<span lang="IT" style="mso-ansi-language: IT;">Ne è un
esempio <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Dream</i> dell’aprile 1935 nella
quale Escher unisce tre disegni realizzati durante i suoi viaggi nel sud
dell’Italia: una mantide religiosa disegnata a Pentedattilo nel 1930 (fig.11), gli
archi della </span>Chiesa dell’Ospedale di Ravello disegnati nel 1923 ed un disegno
di sarcofago disegnato in data non nota. </div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<div style="text-align: justify;">
<span lang="IT" style="mso-ansi-language: IT;">L’ultimo riferimento esplicito all’Italia
si trova in <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Waterfall </i>del 1961, in
cui l’architettura è sempre quella tipica della costiera amalfitana con le case
dal tipico tetto a cupola mentre il paesaggio che fa da sfondo è ripreso da
alcuni schizzi dell’aprile 1925 raffiguranti i terrazzamenti nell’entroterra di
Ravello.<o:p></o:p></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<div style="text-align: justify;">
<span lang="IT" style="mso-ansi-language: IT;">Escher mori nel 1972. In tutti questi anni,
a partire dal 1936, pur intraprendendo lunghi viaggi negli Stati Uniti e in
Canada, non tornò mai più in Italia. Forse voleva che le immagini di quei
paesaggi restassero ancorati ai ricordi di quello che certamente fu il periodo
più bello della sua vita. Sulla porta dell’armadio del suo studio, dove teneva
stipati, con funzione di memoria fisica, i disegni di quel periodo felice,
erano collocate, fermate con puntine da disegno, immagini di cose a lui care: i
figli, il suo maestro Jesserun de Mesquita, Anna Frank, un Buddha, una Madonna.
In cima capeggiava una grande fotografia di Ravello, sulla costa Amalfitana, il
luogo che Escher ha certamente amato più di tutti gli altri e che immortalò
nella più importante delle sue stampe: <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Metamorphose<span style="font-style: normal; text-align: start;">[14]</span>.</i>
<o:p></o:p></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEicjnYbLAgiQ5eaHjnz7N5zkF_MjNAaY5mAJV5SH64cgr_TScvREHY3IbknnUP9wuMOXSbVcH5S3D26VE8EYuxgNoVioLMJLH9q_Pz_MPs_NTKbV4vVowj-KejenCGLPR0IIh-xs55jOEg/s1600/320+part+of+Metamorfose.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="179" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEicjnYbLAgiQ5eaHjnz7N5zkF_MjNAaY5mAJV5SH64cgr_TScvREHY3IbknnUP9wuMOXSbVcH5S3D26VE8EYuxgNoVioLMJLH9q_Pz_MPs_NTKbV4vVowj-KejenCGLPR0IIh-xs55jOEg/s1600/320+part+of+Metamorfose.jpg" width="640" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">M.C. Escher dettaglio di Metamorphose, 1939-1940</td></tr>
</tbody></table>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<!--EndFragment-->
<br />
<div style="mso-element: footnote-list;">
<div style="text-align: justify;">
<!--[if !supportFootnotes]--><br clear="all" /></div>
<hr size="1" style="text-align: left;" width="33%" />
<!--[endif]-->
<br />
<div id="ftn1" style="mso-element: footnote;">
<div class="MsoFootnoteText">
<div style="text-align: justify;">
<span style="text-align: start;">[1]</span> F.H
Bool, J.R. Kist J.L Locher MC Escher His Life and Complete Grafic Work p 19 <o:p></o:p></div>
</div>
</div>
<div id="ftn2" style="mso-element: footnote;">
<div class="MsoFootnoteText">
<div style="text-align: justify;">
<span style="text-align: start;">[2]</span> F.H
Bool, J.R. Kist J.L Locher MC Escher His Life and Complete Grafic Work p 21<o:p></o:p></div>
</div>
</div>
<div id="ftn3" style="mso-element: footnote;">
<div class="MsoFootnoteText">
<div style="text-align: justify;">
<span style="text-align: start;">[3]</span> <span lang="IT" style="mso-ansi-language: IT;">A.H Luijdjjens, <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Incontri Romani con Escher</i> in MC Escher, catalogo della mostra
(Roma Istituto Nazionale per la Grafica) Roma 1978 pp 11-12. Luijdjjens era
segretario di<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>Goedfridus Johannes
Hoogewerf e frequentò le lezioni di Venturini insieme ad Escher.<o:p></o:p></span></div>
</div>
</div>
<div id="ftn4" style="mso-element: footnote;">
<div class="MsoFootnoteText">
<div style="text-align: justify;">
<span lang="IT" style="mso-ansi-language: IT;"><span style="text-align: start;">[4]</span> Francesca Pirani, Antichi maestri e ricerche
d’avanguardia: le molteplici visioni di Escher in Italia, in F. Pirani, B
Treffers (a cura di) <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Nell’occhio di
Escher </i>catalogo della mostra (Roma, Musei Capitolini, ottobre 2004- gennaio
2005) pp 29-49<o:p></o:p></span></div>
</div>
</div>
<div id="ftn5" style="mso-element: footnote;">
<div class="MsoFootnoteText">
<div style="text-align: justify;">
<span style="text-align: start;">[5]</span> <span lang="IT" style="mso-ansi-language: IT;">Francesca Pirani, Un olandese a Roma,
Studi incontri, visioni di Escher tra il 1923 ed il 1035, catalogo per la
mostra di Escher a Roma, Chiostro del Bramante 20 settembre 2014- 22 febbraio
2015.<o:p></o:p></span></div>
</div>
</div>
<div id="ftn6" style="mso-element: footnote;">
<div class="MsoFootnoteText">
<div style="text-align: justify;">
<span lang="IT" style="mso-ansi-language: IT;"><span style="text-align: start;">[6</span></span><span style="text-align: start;">]</span> W. Hazeu, M.C. Escher Een Biografie,
Baarn,1998</div>
</div>
</div>
<div id="ftn7" style="mso-element: footnote;">
<div class="MsoFootnoteText">
<div style="text-align: justify;">
<span style="text-align: start;">[7]</span> In Marco Bussagli, Escher: paradossi grafici e memoria dall'arte, catalogo per la mostra di Escher a Roma, Chiostro del Bramante 20 settembre 2014- 22 febbraio 2015 sono menzionate altre due due opere con
architetture impossibili anteriori alla <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Carceri
</i>di Piranesi: <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Papa Onorio IV concede
l’abito bianco ai Carmelita</i>ni di Pietro Lorenzetti del 1329 e <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Gazza sulla Forca</i> di Bruegel il Vecchio
del 1568.<br />
<o:p></o:p></div>
</div>
</div>
<div id="ftn8" style="mso-element: footnote;">
<div class="MsoFootnoteText">
<div style="text-align: justify;">
<span style="text-align: start;">[8]</span> <span lang="IT" style="mso-ansi-language: IT;">Recensione riportata in J.Offerhaus, <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Escher e l’Italia, </i>1985 p 6</span><o:p></o:p></div>
</div>
</div>
<div id="ftn9" style="mso-element: footnote;">
<div class="MsoFootnoteText">
<div style="text-align: justify;">
<span style="text-align: start;">[9]</span> Doris
Schnattscheider, M.C.Escher Visions of Symmetrie.<o:p></o:p></div>
</div>
</div>
<div id="ftn10" style="mso-element: footnote;">
<div class="MsoNormal">
<div style="text-align: justify;">
<span style="text-align: start;">[10]</span> <span lang="IT" style="mso-ansi-language: IT;">Sir Roger Penrose (Colchester, 8
agosto 1931) è un<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>matematico, fisico, cosmologo
e filosofo britannico noto per il suo lavoro nel campo della fisica
matematica. Nel 1958 pubblicò insieme al padre L.S. Penrose l’articolo <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Impossible objects: a special type of visual
illusion</i> in British Journal of Psychology. L’articolo presentava
sia il triangolo impossibile che la scala usati in seguito da Escher.<o:p></o:p></span></div>
</div>
</div>
<div id="ftn11" style="mso-element: footnote;">
<div class="MsoNormal">
<div style="text-align: justify;">
<span style="text-align: start;">[11]</span> <span lang="IT" style="mso-ansi-language: IT;">Harold Scott MacDonald
Coxeter (Londra, 9 febbraio 1907 – Toronto, 31 marzo 2003 è stato un
matematico inglese. Inglese di nascita, svolse la maggior parte della sua
attività in Canada; il suo campo principale d’investigazione è stata
la geometria. <o:p></o:p></span></div>
</div>
</div>
<div id="ftn12" style="mso-element: footnote;">
<div class="MsoFootnoteText">
<div style="text-align: justify;">
<span style="text-align: start;">[12]</span> Marco Bussagli, op cit. pag 17<i style="mso-bidi-font-style: normal;">.</i></div>
</div>
</div>
<div id="ftn13" style="mso-element: footnote;">
<div class="MsoFootnoteText">
<div style="text-align: justify;">
<span style="text-align: start;">[13]</span> <i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span lang="IT" style="mso-ansi-language: IT;">Metamorphose</span></i><span lang="IT" style="mso-ansi-language: IT;"> fu realizzata in tre versioni. <span style="mso-spacerun: yes;"> </span>Il paese di Ravello è presente in tutte e tre
le versioni che differiscono per lunghezza e numero di trasformazioni
geometriche e logiche. La prima lunga 90 cm fu realizzata nel 1937, la seconda
lunga 389,5 cm nel 1939-1940 mentre la terza commissionata ad Escher nel 1967
per decorare l’ufficio postale dell’Aia è lunga 680 cm.<o:p></o:p></span></div>
</div>
</div>
</div>
Federico Giudiceandreahttp://www.blogger.com/profile/12558070611627765134noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5622501474661069545.post-68937611458481572142014-10-06T07:28:00.004+02:002020-05-14T18:59:07.696+02:00In architettura lo stile non esiste<div class="p1">
<div style="text-align: justify;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiGCLeDqeTBAHWb9gcY61nhCWsMTBehRg8yk6g6CfHEfYB8nPP4bmunciSY4JTM9czbw0hgHELbrVFZDF529bIpEt5wGi-LfzhFByY3x7teudtR1Vub6csuOkLyB_VNVv4Z0ypRWizefFU/s1600/IMG_3953.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiGCLeDqeTBAHWb9gcY61nhCWsMTBehRg8yk6g6CfHEfYB8nPP4bmunciSY4JTM9czbw0hgHELbrVFZDF529bIpEt5wGi-LfzhFByY3x7teudtR1Vub6csuOkLyB_VNVv4Z0ypRWizefFU/s1600/IMG_3953.jpg" height="320" width="267" /></a></div>
<br />
Ogni anno, a febbraio, Arrigo e Ina Cipriani organizzano un piacevolissimo cenacolo nella loro meravigliosa estancia “Gin Tonic” a la Barra nelle vicinanze di Punta del Este in Uruguay.<br />
<br /></div>
</div>
<div class="p1">
<div style="text-align: justify;">
Viziati da Arrigo, a mo’ di seguaci epicurei ci trastulliamo nella cura dell’ozio tra deliziosi convivi e abbondanti libagioni a base di Martini e Whiskey saur. L’abilità di Arrigo ed Ina nella scelta degli ospiti innesca complesse interazioni sociali che sfociano spesso e volentieri in piacevoli e dotte discussioni sui più svariati argomenti.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div class="p1">
<div style="text-align: justify;">
La dinamica di gruppo è fluidificata dalla costante attenzione di Arrigo che, elevata l’ospitalità a scienza esatta, ne studia e ne enuncia i principi, rendendoci partecipi, in qualità di fortunate cavie, delle sue intuizioni ed esperimenti.</div>
</div>
<div class="p1">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div class="p1">
<div style="text-align: justify;">
Disintossicati dal quotidiano e finalmente rilassati nel corpo e nella mente, spesso in occasione dei canonici momenti di aggregazione come le cene e i pranzi, si creano situazioni di forte risonanza mentale tra i partecipanti, per cui anche quelli che solitamente preferiscono mantenere le proprie intime elucubrazioni protette nel profondo dell’io, fanno “outing” sbilanciandosi in affermazioni, non più filtrate dal comodo agnosticismo culturale, e di cui però si intuisce la profonda elaborazione interiore.</div>
</div>
<div class="p1">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div class="p1">
<div style="text-align: justify;">
Sono momenti meravigliosi di cui sarò eternamente grato a Ina e Arrigo.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div class="p1">
<div style="text-align: justify;">
Uno di questi momenti mi è rimasto particolarmente impresso, forse a causa del particolare contrasto tra la dirompenza dell’affermazione e la particolare riservatezza e il soppesato equilibrio di chi la affermava: quando, secondo me catalizzato dai meravigliosi tagliolini al ragù di Arrigo, Paolo Morachiello, che ha insegnato per una vita storia dell’architettura all’Università di Venezia, persona schiva ed equilibrata, affermò in un modo che non lasciava alcun dubbio sulla personale convinzione di quanto andava dicendo, che in architettura lo "stile" non esiste.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div class="p1">
<div style="text-align: justify;">
Fui colpito da quell’affermazione così forte, enunciata da uno che per tutta la sua vita aveva ordinato e catalogato i modi in cui l’umanità organizzava lo spazio in cui viveva: Lo “stile” non esiste! Ogni edificio è unico, al massimo si può affermare che chi lo aveva progettato lo aveva in parte copiato da un altro. Ora il concetto di "stile" altro non è che il tentativo di unificare tanti edifici particolari in un concetto universale. Immagino che Paolo volesse affermare che in architettura, come in molte altre scienze non esatte, affermazioni assolute non sono possibili e i confini tra concetti universali sono evanescenti. Non so se la sua affermazione volesse mettere in dubbio l’esistenza stessa dei concetti universali.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div class="p1">
<div style="text-align: justify;">
La sua era probabilmente una negazione di esistenza “debole”, che mette in luce le difficoltà cui si va incontro quando si vogliono definire i confini di un concetto, ma non credo che volesse mettere in discussione la intima essenza del concetto stesso. Ma il contrasto tra la natura mite di chi affermava e la forza dell’affermazione mi fece prendere in considerazione anche la versione in cui Paolo invece avesse voluto affermare una negazione “forte” dell’esistenza dei concetti, una negazione della natura autonoma dell’idea stessa.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div class="p1">
<div style="text-align: justify;">
La quaestio de universalibus, cioè se i concetti universali “esistono” oppure sono solamente costrutti ausiliari soggettivi che possono essere ridotti al mero nome, al solo <i>flatus vocis</i>, aveva permeato tutta la storia della filosofia. Già la filosofia greca aveva con Platone introdotto la dicotomia tra idee e realtà, affermando che il mondo “vero” era quello delle idee e dei concetti e che la realtà altro non era che una, non meglio definita, “proiezione” di quest’ultimi.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div class="p1">
<div style="text-align: justify;">
In seguito la Scolastica aveva discusso della realtà delle idee, partendo dai concetti aristotelici di sostanza e accidente, nel tentativo di ovviare alle dicotomie dell’idealismo platonico. La questione restò irrisolta e il dualismo tra la realtà e le idee continuò a permeare la storia della filosofia riaffiorando nella differenza tra la <i>res estensa</i> e la <i>res cogitants</i> di Cartesio così come nel dualismo tra noumeno e fenomeno nella gnoseologia kantiana.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div class="p1">
<div style="text-align: justify;">
Negare gli universali è operazione ardua: essi permeano il nostro pensare e in qualche modo siamo portati a dire che riconosciamo un oggetto poiché lo confrontiamo nella nostra mente con qualcosa che ha tutte le principali proprietà dell’oggetto stesso, cioè con l’oggetto idealizzato. Per raccontarla come Platone nel mito della caverna, riconosciamo il cavallo perché esso altro non è che un’ombra della cavallinità, idea che risiede nell’iperuranio, proiettata sul muro della realtà. Oppure, seguendo il ragionamento di Kant nella Critica della ragion pura, riconosciamo il cavallo perché la nostra mente osservando il cavallo coglie, in un processo di sintesi tra materia e forma razionale innata, <i>das Ding an sich</i>, la cosa in sè, che è inconoscibile e indescrivibile, base immutabile della realtà fenomenica e che può essere conosciuta solo da un'eventuale intelligenza divina superiore.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div class="p1">
<div style="text-align: justify;">
Che Paolo, nella versione “forte” della sua affermazione, dopo aver analizzato a fondo il caso particolare degli stili degli edifici, avesse intuito la soluzione al problema? Che avesse trovato il modo di negare in modo “forte” l’esistenza delle idee come concetti di "natura" diversa alla realtà? La questione non è da poco: infatti nel caso si accettasse questa "natura" diversa, finiremmo per ingarbugliarci in un tortuoso labirinto concettuale. La "natura" delle idee, qualora non fosse della stessa "natura" della realtà, di che "natura" sarebbe? E da qui è breve il passo verso concetti incasinati come l<span class="s1">’</span>iperuranio platonico oppure la mente di Dio.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div class="p1">
<div style="text-align: justify;">
Ho sempre considerato l’idealismo, che afferma la natura distinta delle idee, come la più grande iattura del pensiero occidentale. In nome delle idee (entità universali e incorruttibili a causa della loro diversa natura) sono stati commessi i più atroci crimini. Questa è una delle ragioni per la quale mi dichiaro materialista, seguace di Democrito, Epicuro e Lucrezio, ma, a dire il vero, sempre con un certo distacco agnostico, tipico degli uomini di scienza, per i quali in fondo ogni affermazione “forte” va evitata.</div>
</div>
<div class="p1">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div class="p1">
<div style="text-align: justify;">
Così mi piace pensare che Paolo quel giorno, avviluppato e un po’ stordito dal piacere dei sensi e dal prolungato ozio, abbia invece intravisto la soluzione all’annosa questione in maniera talmente chiara e inequivocabile da fargli affermare “fortemente”, vincendo la sua innata prudenza e riservatezza, che ad esistere è solo la materia.</div>
</div>
<div class="p1">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<br />
<div class="p1">
Punta del Este il 17 febbraio 2013</div>
Federico Giudiceandreahttp://www.blogger.com/profile/12558070611627765134noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5622501474661069545.post-74142463802972039032013-10-03T21:59:00.000+02:002019-07-13T21:50:04.858+02:00Lettera a Epicuro<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgolQ1NQajeRN7abESAPb8dyE0w_Ut_uidFbNJ40mIBqjRusanLGZiC-oi6ew-Ur-xfEhtL4A6VwXRcDKT7YT0Ngp3ODVHZxXQAgunqV-3eakCDSGk4SDk1MujXd9XOSd2wtxdhuDCbpfM/s1600/Epicuro.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgolQ1NQajeRN7abESAPb8dyE0w_Ut_uidFbNJ40mIBqjRusanLGZiC-oi6ew-Ur-xfEhtL4A6VwXRcDKT7YT0Ngp3ODVHZxXQAgunqV-3eakCDSGk4SDk1MujXd9XOSd2wtxdhuDCbpfM/s1600/Epicuro.jpg" /></a></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
Carissimo Epicuro<o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
Scusa
se ti scrivo solo adesso, ma questa la consideravo una lettera importante. Sei
il mio filosofo preferito e mi considero un tuo seguace un “Epicuri de grege
porcum” come si definì Orazio scrivendo
al poeta Tibullo[1]. Ma prima
di confrontarmi con te dovevo mettere a posto alcuni aspetti della mia “Weltanschauung”.
<o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
A
essere sincero in un primo momento, quando in prima liceo incontrai la tua filosofia,
non mi avevi un granché colpito. I motivi erano molteplici. Innanzitutto perché
filosofo dell’Ellenismo, eri relegato alla fine del testo di storia della filosofia,
trattato in poche pagine, dopo interi capitoli dedicati a Platone e Aristotele.
La posizione nel libro di testo rispecchiava inoltre anche il periodo dell’anno
scolastico durante il quale veniva affrontato il tuo pensiero. A ridosso della
fine dell’anno scolastico, quando i giochi per la pagella erano ormai fatti, il
mio interesse per la filosofia, messo tra l’altro a dura prova dal pensiero di Aristotele
e dall’estate incombente non era certamente ai massimi livelli. Inoltre la
nostra professoressa di filosofia, forse anche lei stufa di una classe
indisciplinata, ti aveva abbastanza sorvolato. Mi eri comunque risultato
simpatico: Il tuo concetto di amicizia, la ricerca del piacere e il fatto che
la chiesa ti aveva osteggiato mi avevano colpito, ma in fondo non ti consideravo altro che un’espressione
della decadenza della civiltà greca nel periodo dell’Ellenismo.<o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
Ti ho
incontrato nuovamente nel corso dell’ultimo anno di liceo durante le lezioni di
letteratura greca. Al mio professore di greco e latino, che si chiamava Giorgio
Daprà, piaceva, partendo dalla letteratura, spaziare nel campo della filosofia e
della scienza e verso la fine dell’anno scolastico affrontò una delle controversie
più importanti della filosofia: il problema del libero arbitrio, la
contrapposizione tra libertà e necessità. Lo fece in maniera subdola
ingaggiando con ognuno dei suoi allievi una discussione sulla coerenza
concettuale delle filosofie correnti. Ognuno di noi doveva scegliere il suo
filosofo preferito, prepararsi su come questo aveva affrontato la suddetta controversia
(e non solo) e quindi durante la lezione difenderne le posizioni. Uno dopo
l’altro smontò, certo anche grazie alla sua esperienza e capacità dialettica,
filosofi come Cartesio, Kant, Kierkegaard e infine, con grande dispiacere della
grande parte dei miei compagni di classe, Friedrich Nietzsche. Io ero l’ultimo
ed ero sicuro di uscirne vincente grazie al mio assoluto credo nel materialismo
dialettico. Fu un disastro, ricordo la difficoltà di salvare il libero arbitrio
e la necessità di mutare il mondo in un contesto deterministico. Mi è rimasta
impressa la sensazione di impotenza logica difronte alle sue terribili
obiezioni. Alla fine della discussione completamente disorientato chiesi: ma
professore ma allora qual è una filosofia coerente che resiste a tutte queste
obiezioni?<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>Il professore dopo aver
consultato il suo orologio rimandò la risposta alla prossima lezione. Mi
ricordo come se fosse ieri quel giorno, quando la mattina andando a scuola non
vedevo l’ora di sentire la rivelazione da parte del professor Daprà. Ho ancora davanti
ai miei occhi il professore, con la camicia come al solito senza cravatta, ma allacciata
anche nell'ultimo bottone, sedersi alla cattedra e dopo aver compilato con calma
il registro ed aver sistemato gli inseparabili libri sulla scrivania, alzare gli
occhi, stupito dall’assoluto ed inusuale silenzio che aleggiava in classe,
dire: Oggi vi parlerò di Epicuro.<o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
Restammo
profondamente delusi. Ci aspettavamo un filosofo moderno, non so Sartre oppure
Popper. Quale contributo poteva dare un filosofo vissuto nell’Ellenismo, tra
l’altro con fama di gozzovigliatore, alle nostre aspettative esistenziali.<o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
Daprà
ci riespose, rinfrescando quanto avevamo studiato in prima liceo, la tua
filosofia:<o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
La
realtà è composta da atomi e vuoto, i primi lanciati su traiettorie deterministiche
che ogni tanto erano deviate dalla parenclisi[2] il “movimentum
ad latum” che Lucrezio, tuo seguace e divulgatore, chiamerà “clinamen”. Il mondo era soggetto a leggi deterministiche,
i fenomeni naturali potevano essere spiegati senza fare ricorso al
sovrannaturale, e il libero arbitrio era reso possibile da un’indeterminazione
casuale che era intrinseca al movimento altrimenti rettilineo ed equiveloce
degli atomi. Niente dualismo
pensiero-materia. Il mondo era quello che percepiamo con i sensi. Solamente ed esclusivamente come appariva: pura "doxa". Quindi niente "aletheia" eleatica, niente "episteme" platonica, niente "res cogitans" cartesiana, niente "noumeno" kantiano, niente che vada oltre la sensazione
sensoriale e quindi niente entità sovrannaturali, niente dio. A dire il vero
gli dei non erano completamente esclusi ma erano relegati negli "intermundia" a
occuparsi dei fatti loro, incuranti degli uomini e del loro destini. Destini che potevano quindi evolvere liberamente senza imbarazzare le capacita di preveggenza di
esseri onniscienti[3].<br />
<o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
Inoltre
niente mondi sovrannaturali, niente vita dopo la morte e quindi niente paura
della morte. L’etica non era basata su concetto delle punizioni o dei benefici
divini[4], ma
sulla necessità di sfuggire al dolore, sulla ricerca del piacere. Il piacere
non era però qualcosa che andava continuamente alimentato ma, proprio perché inteso
come privazione del dolore, non poteva aumentare d’intensità oltre ad un certo punto[5]. Raggiunta
l’atarassia “l’assenza di agitazione” attraverso il tetrafarmaco, che permette
di vincere la paura degli dei, della morte, della mancanza del piacere e del
dolore, si raggiunge la salute dell'anima non più costretta ad un'affannosa
ricerca della felicità.<br />
<o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
In
seguito, ormai studente universitario, comprai la raccolta delle tue opere in un’edizione
a cura di Graziano Arrighetti edita da Giulio Enaudi. Ho letto e riletto la
lettera a Erodoto, quella a Pitocle e quella a Meneceo, le Massime capitali, le
Sentenze Vaticane. Ho seguito i tuoi insegnamenti, convinto assertore
dell’atomismo e delle sue conseguenze etiche e morali. Ho vissuto nascostamente,
evitando la politica e fondando sull’amicizia e sulla giustizia, intesa come
sistema di regole vantaggiose per i rapporti sociali, le basi etiche del mio
comportamento.<o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
Ma
c’era un aspetto della tua filosofia che mi lasciava insoddisfatto. Riguardava
lo spazio in cui si muovevano gli atomi: Questo era secondo te infinito in
estensione e durata. Ma la contrapposizione tra la natura discreta e quindi
finita degli atomi e la natura continua ed infinita dello spazio mi disturbava.
A dire il vero, rispetto agli atomisti più antichi avevi fatto un uso più cauto dell’infinito. Infatti, secondo Democrito gli atomi erano
d’infinite tipologie[6]. Tu
avevi capito che per generare la moltitudine delle cose non erano necessari
altrettanti elementi primordiali. Il tuo seguace Lucrezio porterà come esempio
le lettere dell’alfabeto, che anche se finite, possono generare innumerevoli
parole.<br />
<o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
In
un primo momento il tuo ragionamento a favore dell’estensione infinita sia
temporale che spaziale dello spazio mi era parso ineccepibile. Avevi applicato
il ragionamento ontologico di Parmenide sull’essere al tutto:<o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="background: white; line-height: 13.5pt; text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<i style="mso-bidi-font-style: normal;">Il
tutto sempre fu com’è ora, e sempre sarà, poiché nulla esiste in cui possa
tramutarsi, né oltre il tutto non vi è nulla che penetrandovi possa produrre
mutazione<o:p></o:p></i></div>
<div class="MsoNormal" style="background: white; line-height: 13.5pt; text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
[Epistula ad Herodotum 39,2]<o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
Il tutto
è l’essere, il non essere non è, e quindi nulla è al di fuori del tutto. Ne
consegue l’impossibilità teorica di un inizio e di una fine e l’immutabilità
del tutto.<o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
Parmenide
applicando lo stesso ragionamento all’essere aveva negato il vuoto e quindi il
movimento. Ma non era proprio partendo dalla confutazione sensoriale della non
esistenza del movimento che avevi impostato la teoria atomistica?[7]. Non è
contraddittorio, caro maestro, da un lato usare un ragionamento per postulare l’infinità
del tutto e allo stesso tempo confutare le conseguenze dello stesso
ragionamento sull’essere. Non sono poi l’essere e il tutto, rispetto al
ragionamento ontologico, equivalenti?<br />
<o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
La
scuola eleatica, aveva confutato l’esistenza del movimento, relegandolo a pura
apparenza e considerandolo fallace sensazione provenienti dai sensi.<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>Inoltre Zenone di Elea, allievo di Parmenide,
per rafforzare il ragionamento sull’essere di Parmenide, che negava il
movimento, aveva costruito una serie di esperimenti
mentali che portavano a delle situazioni paradossali e che contraddicevano il
concetto di movimento. Il più famoso, quello di Achille e la tartaruga, afferma
che Achille, pur correndo più velocemente della tartaruga, non la raggiungerà
mai, in quanto dovrà in un certo istante raggiungere la posizione in cui la
tartaruga si trovava quando era partito[8]. Nel
frattempo la tartaruga si era spostata in una nuova posizione e in un secondo
istante Achille avrebbe dovuto raggiungere anche quel punto e così via
all’infinito. Il paradosso presuppone che lo spazio e il tempo siano divisibili
all’infinito e può essere formalmente risolto ricorrendo alla moderna analisi
matematica applicando le proprietà delle serie infinite convergenti. La
soluzione non lascia completamente soddisfatti e una moltitudine di matematici
e filosofi continua a cercare soluzioni più convincenti. Ancora recentemente è
apparsa su <i>Le Scienze</i> la notizia di
una "definitiva" soluzione dei paradossi grazie a "caratteristiche fondamentali" dell’analisi non-standard[9].<br />
<o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-bottom: 12.0pt; mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
I problemi legati al concetto di divisibilità infinita dello spazio e del
tempo e le antinomie conseguenti sono state in fondo tra le motivazioni preponderanti
dello sviluppo dell’atomismo. Il concetto di a-tomo (l’elemento indivisibile)
nasceva proprio per ovviare alle contraddizioni prodotte dalla filosofia eleatica
tra il mondo della ragione (aletheia) e mondo della percezione (doxa). E anche tu,
caro Epicuro, in fondo hai risolto la questione dell’immutabilità dell’essere
in maniera pragmatica al modo del cinico Diogene di Sinope che per confutare le
tesi di Zenone contro l'esistenza del movimento si sarebbe semplicemente
alzato, e messo a camminare (solvitur ambulando!)[10]. Anche
tu, caro Epicuro, affermi che il vuoto esiste, a dispetto delle elucubrazioni di Parmenide, perché
senza vuoto il movimento non è possibile. Il movimento fa parte della nostra
esperienza quotidiana e quindi il vuoto esiste. Ora proprio in virtù del
principio della supremazia della doxa sull’aletheia che la soluzione del
paradosso di Zenone, attraverso l’applicazione dei metodi dell’analisi
matematica, ci deve lasciare insoddisfatti. Infatti, il concetto della retta
geometrica divisibile all’infinito attraverso il processo della dicotomia è un
costrutto puramente teorico. Applicare questo concetto alla retta temporale è ancora
più arbitrario. Il tempo è da noi percepito come successione di istanti
ordinati, dove per ogni istante esiste un istante successivo ed uno precedente.
Questo non vale nello spazio, dove per ogni punto della retta è possibile una
volta definito un punto vicino, trovarne un altro ancora più vicino. Del resto,
caro Epicuro, anche Emmanuel Kant considera il tempo una grandezza discreta alla
base del processo di numerazione e quindi alla base dell’aritmetica in
contrapposizione allo spazio, grandezza continua e quindi fondamento della
geometria. Se non accettiamo la continuità del tempo, ma consideriamo
quest’ultimo una successione discreta d’istanti, la distanza tra questi non può
essere ridotta a piacere. Ma la somma infinita di eventi temporali finiti, la cui diminuzione
in estensione è limitata, è infinita e quindi Achille non riuscirebbe mai a
raggiungere la tartaruga. Caro Epicuro, è evidente che Achille raggiungerà la
tartaruga e che quindi se consideriamo la retta temporale non divisibile
all’infinito né segue che anche la retta spaziale deve possedere la stessa
proprietà. Infatti, affinché il processo temporale non duri all’infinito, è
necessario che la dicotomia spaziale abbia fine.<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>Quindi, al più tardi, quando Achille si
avvicina alla tartaruga per meno di una lunghezza “atomica” (nel senso di non
più divisibile) il processo dicotomico si interrompe per raggiunto limite[11]. Quindi
non solo la materia ha nell’atomo il suo elemento primordiale indivisibile, ma
anche lo spazio e il tempo non sono divisibili all’infinito[12]<br />
<o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
Caro
Epicuro, credo che l’atomismo non sia una caratteristica della sola materia
ma che anche lo spazio ed il tempo non siano divisibili all’infinito. Del
resto permettimi di dire che questa soluzione è più elegante della tua poiché materia, spazio
e tempo hanno una struttura equivalente e questo permette di risolvere non
poche questioni. Ho cercato di convincerti solo con considerazioni che potevano
essere fatte anche ai tuoi tempi senza tirare in ballo le moderne teorie come la
meccanica quantistica che si fonda proprio sul concetto di “quanto” e che ritiene
che la natura dell’essere sia discreta e non continua.<br />
<br />
A questo punto
affrontiamo l’ultima questione: Il concetto di spazio infinito, senza limite, nel
quale si muovono gli atomi e nel quale qualunque grandezza può essere aumentata
a piacere, incrementata all’infinito. Concorderai che uno spazio che possa
essere aumentato a piacere, quando invece non può essere ridotto indefinitamente,
presenta una certa asimmetria e che quest’asimmetria da un certo fastidio. <span style="mso-spacerun: yes;"> </span><o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
Il
tuo concetto di spazio infinitamente esteso e temporalmente eterno proprio
perché fondato sul ragionamento ontologico parmenideo rende il tuo infinito in
atto. Il tuo infinito, caro Epicuro, esiste per se, non come infinito in
potenza, fine cui tende una grandezza in espansione. È l’infinito categormatico
della scolastica, l’infinito di Georg Cantor, che ha portato alla crisi dei
fondamenti della matematica dell’inizio del novecento. Qualora si postuli la
sua esistenza, ci s’imbatte in antinomie irrisolvibili. Queste contraddizioni
dovrebbero fare concludere che l’ipotesi di partenza, l’esistenza dell’infinito
in atto, è falsa.<span style="mso-spacerun: yes;"> </span><o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
Per
farti capire meglio i problemi che l’infinito in atto può generare, senza addentrarmi nella moderna teoria degli insiemi infiniti, permettimi
di esporti una metafora escogitata da grande David Hilbert per illustrare il
concetto di equipotenza degli insiemi infiniti. Devi sapere che la definizione d’insieme
infinito si base proprio su questo concetto: Un insieme si dice infinito se
esiste un’applicazione biunivoca dell’insieme stesso in un suo sottoinsieme. <o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
David
Hilbert aveva ipotizzato l’esistenza di un albergo con infinite stanze. Ci si
trovava in alta stagione e tutte le stanze dell’albergo erano occupate. A un
certo punto si presenta un nuovo cliente. L’addetto alla portineria, cui spettava il compito di sistemare gli ospiti nelle stanze, riesce a liberare una stanza
con un semplice stratagemma: spostando l’ospite della stanza numero 1 in quella
numero 2, quello della numero 2 nella 3 e così via per tutti gli ospiti dell’albergo,
libera la stanza numero 1 dove può fare accomodare il nuovo ospite.<o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
Con
questo trucco riesce a sistemare anche un numero maggiore m di ospiti. Basta
spostare l’ospite della stanza 1 nella stanza 1+m. quello della stanza 2 nella
stanza 2+m e così via. Alla fine si liberano m stanze. Anche se arriva un
numero infinito di ospiti nuovi, il furbo addetto alla portineria riesce a
sistemare i nuovi arrivati. Basta spostare gli ospiti delle stanze nella
stanza con il numero doppio rispetto a quello attuale (dalla 1 alla 2, dalla 2
alla 4, e così via). Tutte le stanze con il numero dispari, che sono infiniti,
si liberano e quindi è possibile sistemare tutti gli ospiti. <o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
Nella
zona intorno all’albergo ci sono altri infiniti alberghi con infinite stanze e
a causa di un evento, che David Hilbert non specifica, tutti gli alberghi tranne
il nostro devono chiudere. Tutti gli ospiti degli infiniti alberghi con
infinite stanze si presentano quindi alla portineria. Il nostro portinaio non
si perde d’animo e consegna a ognuno dei vecchi e nuovi ospiti un cartello con scritta
una coppia di numeri (n,m) in cui n indica l’albergo di provenienza e m la
relativa stanza. Il portinaio chiede poi agli ospiti di disporsi in quadrato
secondo il seguente schema:<o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">(1,1)<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>(1,2) </span><span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">(1,3)</span><span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> </span><span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">… </span><span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> </span><span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">(1,m)</span><span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> </span><span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">…</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"><br /></span>
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">(2,1)<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>(2,2)<span style="mso-spacerun: yes;"> </span></span><span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">(2,3) </span><span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">…</span><span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> </span><span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">(2,m)</span><span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> </span><span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">…</span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"><br /></span>
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">(3,1)<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>(3,2)<span style="mso-spacerun: yes;"> </span></span><span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">(3,3) </span><span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">…</span><span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> </span><span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">(3,m)</span><span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> </span><span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">…</span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"><br /></span>
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">(4,1)<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>(4,2)<span style="mso-spacerun: yes;"> </span></span><span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">(4,3) </span><span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">…</span><span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> </span><span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">(4,m)</span><span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> </span><span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">…</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"><span style="mso-spacerun: yes;"><br /></span></span>
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>…<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>…<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>…<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>…<span style="mso-spacerun: yes;"> </span></span><span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">… </span><span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">…</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"><br /></span>
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">(n,1)<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>(n,2)<span style="mso-spacerun: yes;"> </span></span><span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">(1,3) </span><span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">…</span><span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> </span><span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">(n,m)</span><span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> </span><span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">…</span></div>
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<!--EndFragment--><br />
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"><span style="mso-spacerun: yes;"><br /></span></span>
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>…<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>…<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>…<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>…<span style="mso-spacerun: yes;"> </span></span><o:p></o:p><span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">… </span><span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">…</span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
Il
portinaio può ora assegnare una stanza ad ciascun ospite secondo un criterio
ordinato, ad esempio numerando in successione gli ospiti disposti lungo le
diagonali:<o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">(1,1)→ 1; (2,1)→ 2;<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>(1,2)→ 3;<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>(1,3)→ 4;<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>(2,2)→ 5;<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>(3,1)→ 6;<span style="mso-spacerun: yes;"> </span></span><span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">(4,1)→ 7; </span><span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">(3,2)→ 8;</span><span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">…</span></div>
<o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
con
il numero assegnato ora ogni ospite può recarsi alla sua stanza e alla fine
tutti gli infiniti ospiti degli infiniti alberghi trovano posto.<o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
Come
vedi, caro Epicuro l’infinito attuale crea non poche situazioni paradossali. Ora
nell’albergo di Hilbert, che è pieno per definizione, si riescono a trovare
delle stanze vuote anzi si riescono a trovare infinite stanze vuote. Devi
ammettere che siamo difronte a una bella contraddizione. I matematici con
queste situazioni ci vanno a nozze. Loro la fanno semplice: Oh guarda, sono
inciampato in una cosa paradossale, logicamente contraddittoria, che non
dovrebbe esistere. Ma andiamo a vedere cosa succede se invece la affermo come
vera ed esistente, vediamo a cosa portano i ragionamenti successivi e
conseguenti.<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>In questo modo sono state
sviluppate alcune delle più interessanti teorie matematiche. Per esempio i
numeri complessi sono nati proprio così. Alla domanda se esiste la radice quadrata
di numero negativo, la risposta dovrebbe essere no. Infatti, ogni numero
moltiplicato per se stesso, sia che sia positivo sia che sia che negativo, da
una grandezza positiva e quindi la radice di un numero negativo non esiste.
Nicolò Tartaglia nel XVI secolo definì, incurante della loro contraddittorietà,
le radici dei numeri negativi rischiando il rogo per eresia. Cartesio in
seguito chiamò la radice di meno uno il numero immaginario ed in seguito grazie
ai lavori di sistemazione di Eulero e quindi di Gauss assunsero piena
cittadinanza nel modo matematico con il nome di numeri complessi. Almeno i nomi
attributi a questo numeri “che non dovrebbero esistere” testimoniano
l’imbarazzo di chi li aveva proposti. I numeri complessi trovano oggi molte
applicazioni semplificando molte teorie matematiche. La loro contraddittorietà
però resta e le conseguente situazioni paradossali. Ad esempio retta<span style="font-family: "stixgeneral";"> y=ix</span>, dove i è l’unità immaginaria, ha la stana proprietà che risulta
ortogonale a se stessa[13].<br />
<br />
Ma torniamo alla questione dell'infinito. Sul
concetto d’insieme infinito come insieme in corrispondenza biunivoca con un suo
sottoinsieme Georg Cantor ha basato la sua teoria degli transfiniti. Una teoria
che creò un sacco di problemi ai fondamenti della matematica e che David
Hilbert voleva a tutti costi ridurre al suo disegno logicistico, affermando che
<i>Nessuno riuscirà a cacciarci dal Paradiso
che Cantor ha creato per noi </i>[14]<i>, </i>senza
per altro riuscirvi. Infatti le antinomie intrinseche alla teoria portate alle
estreme conseguenze da Kurt Goedel, portarono alla dimostrazione
dell’incompletezza dell'aritmetica. Quindi caro Epicuro, rinunciare
all’infinito in atto non salva unicamente la simmetria del tutto ma ci preserva
anche da contraddizioni. Che si possa fare a meno dell’infinito in atto lo
dimostra la matematica intuizionista che accetta solo le dimostrazioni in cui
questo non compare. Per il principio di minima complessità l’esistenza
dell’infinito attuale non è necessaria.<br />
<br />
Il mondo è discreto e finito.
Godiamocelo così come è.<br />
<o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
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<div id="ftn1" style="mso-element: footnote;">
<div class="MsoNormal">
<span style="text-align: justify;">[1] </span>Orazio, Epist.,
I, 4, 10<o:p></o:p></div>
<div class="MsoFootnoteText">
<span style="text-align: justify;">[2]</span> Lettera
ad Erodoto, 42,10</div>
</div>
<div id="ftn2" style="mso-element: footnote;">
<div class="MsoNormal">
<o:p></o:p></div>
</div>
<div id="ftn3" style="mso-element: footnote;">
<div class="MsoNormal">
<span style="text-align: justify;">[3]</span> Framm.
374 Usener (in Manuale di filosofia. Dalle origini a oggi, ed. Lulu.com
p.60)<o:p></o:p></div>
</div>
<div id="ftn4" style="mso-element: footnote;">
<div class="MsoNormal">
<span style="text-align: justify;">[4]</span> Lettera
a Meneceo 123-124<o:p></o:p></div>
</div>
<div id="ftn5" style="mso-element: footnote;">
<div class="MsoNormal">
<span style="text-align: justify;">[5]</span> Lettera
a Meneceo 128-129<o:p></o:p></div>
</div>
<div id="ftn6" style="mso-element: footnote;">
<div class="MsoFootnoteText">
<span style="text-align: justify;">[6]</span> Diehls
Kranz, Die Fragmente der Vorsokratiker, 67A 9<o:p></o:p></div>
</div>
<div id="ftn7" style="mso-element: footnote;">
<div class="MsoFootnoteText">
<span style="text-align: justify;">[7]</span> Lettera
ad Erodoto 36-42<o:p></o:p></div>
</div>
<div id="ftn8" style="mso-element: footnote;">
<div class="MsoFootnoteText">
<span style="text-align: justify;">[8]</span> Diehls
Kranz, <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Die Fragmente der Vorsokratiker</i>,
29A 26, Aristotele Physica Z9.239 b 14<o:p></o:p></div>
</div>
<div id="ftn9" style="mso-element: footnote;">
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; text-autospace: none;">
<span style="text-align: justify;">[9]</span> “<i style="mso-bidi-font-style: normal;">Per due millenni e mezzo i paradossi di
Zenone sono stati fonte di discussione e oggetto di analisi, ma solo oggi,
grazie a una formulazione dell'analisi matematica che è stata sviluppata
nell'ultimo decennio, è possibile risolverli [...] Per molti secoli la logica
di Zenone è rimasta pressoché intatta, e ciò dimostra la tenacia dei suoi
argomenti</i>” in William I. McLaughlin, "La risoluzione dei paradossi di
Zenone sul moto", Le Scienze, N. 317, 1994, pp. 60-66.<o:p></o:p></div>
</div>
<div id="ftn10" style="mso-element: footnote;">
<div class="MsoFootnoteText">
<span style="text-align: justify;">[10]</span> Diogene
Laerzio, <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Vite e dottrine dei filosofi</i>,
Libro VI<o:p></o:p></div>
</div>
<div id="ftn11" style="mso-element: footnote;">
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; text-autospace: none;">
<span style="text-align: justify;">[11]</span> Già
Aristotele nel commentare i paradossi di Zenone nella Fisica (Z9. 239 b9)
affermava che questi presupponevano che il tempo dovesse essere divisibile allo
stesso modo dello spazio. <o:p></o:p></div>
</div>
<div id="ftn12" style="mso-element: footnote;">
<div class="MsoNormal">
<span style="text-align: justify;">[12]</span> Nella
fisica quantistica si definisce la lunghezza di Planck ricavata a partire dalle
tre costanti fisiche fondamentali: la velocità della luce, la costante di Planck
e la costante di gravitazione universale. La teoria corrente suggerisce che una
lunghezza di Planck sia la più piccola distanza oltre la quale il concetto di
dimensione perde ogni significato fisico.<o:p></o:p></div>
<div class="MsoFootnoteText">
<span class="MsoFootnoteReference"><span class="MsoFootnoteReference"><span style="text-align: justify;">[13</span></span></span><span style="text-align: justify;">]</span> La
retta <span style="font-family: "stixgeneral";">y=ax</span> ha per retta ortogonale
la retta <span style="font-family: "stixgeneral";">y=-(1/a)x</span>. Se
consideriamo la retta y=ix la sua
retta ortogonale e y=-(1/i)x.
Ma se moltiplichiamo sia numeratore che
denominatore di <span style="font-family: "stixgeneral";">-(1/i)</span> per <span style="font-family: "stixgeneral";">i</span> otteniamo<span style="font-family: "stixgeneral";"> -(1*i)/(i*i)</span> che è uguale ad <span style="font-family: "stixgeneral";">i</span>. Quindi <span style="font-family: "stixgeneral";">y=ix</span>
è ortogonale a <span style="font-family: "stixgeneral";">y=ix, quindi a se stessa</span></div>
</div>
<div id="ftn13" style="mso-element: footnote;">
<div class="MsoFootnoteText">
<o:p></o:p></div>
</div>
<div id="ftn14" style="mso-element: footnote;">
<div class="MsoFootnoteText">
<span style="text-align: justify;">[14]</span> David
Hilbert, Über das Unendliche, Mathematische Annalen, 1826, p 170<o:p></o:p></div>
</div>
</div>
Federico Giudiceandreahttp://www.blogger.com/profile/12558070611627765134noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5622501474661069545.post-9327777873784111582013-09-15T15:16:00.000+02:002013-10-29T21:10:28.241+01:00Dai Matematici agli Hippies, lo strano percorso dell’arte di M.C. Escher<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<h3>
<b><span style="font-family: Calibri; mso-ascii-theme-font: major-latin; mso-bidi-font-family: Calibri; mso-bidi-font-size: 12.0pt; mso-fareast-language: DE; mso-hansi-theme-font: major-latin;">Dai
Matematici agli Hippies, lo strano percorso dell’arte di M.C. Escher</span></b></h3>
</div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Escher è generalmente considerato l’artista, che più di altri, è caro
alle persone di scienza, in particolare ai matematici. Le sue opere, infatti,
sono spesso usate per illustrare libri di matematica e geometria. Si trovano sulle
copertine di libri di contenuto scientifico oppure illustrano, nelle pagine
culturali dei quotidiani, articoli di varia natura ma sempre in qualche modo
legati alla scienza. Ma Escher non è amato solo dai matematici, negli ultimi
decenni la sua fama si è estesa molto oltre l’ambiente scientifico e le sue
mostre, che ormai si tengono in tutto il mondo, battono tutti i record riguardo
al numero di visitatori</span><span style="font-family: Calibri; vertical-align: super;"><span style="font-size: x-small;">1</span></span><br />
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<table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: left; margin-right: 1em; text-align: left;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEinoSEKsM3lmdgrcJipVnQIJwHT3aeB4EPukbcbtMHY4E0S1kp2QmhsiDLF5b-i9xCuIT7jgaXdTvAaALG4rWHB5zpsJL_WmGssUK7_AHCK4_fBgo6rNzfcKhVPXqSmTc6ovvIc2K9X6Jw/s1600/1+eight+heads.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><img border="0" height="319" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEinoSEKsM3lmdgrcJipVnQIJwHT3aeB4EPukbcbtMHY4E0S1kp2QmhsiDLF5b-i9xCuIT7jgaXdTvAaALG4rWHB5zpsJL_WmGssUK7_AHCK4_fBgo6rNzfcKhVPXqSmTc6ovvIc2K9X6Jw/s320/1+eight+heads.jpg" width="320" /></span></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span style="font-size: small; text-align: justify;">fig. 1 Eight Heads (B90)</span><i style="font-size: medium; text-align: justify;">,</i><span style="font-size: small; text-align: justify;"> </span></span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: small; text-align: justify;">xilografia febbraio 1922</span></td></tr>
</tbody></table>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Escher in vita non ebbe questi riconoscimenti. Il suo rapporto con
il mondo dell’arte e specialmente con la critica era difficile. La sua maestria
tecnica come incisore era indiscussa, ma le sue opere erano considerate poco
artistiche. Ancora oggi alcuni critici d’arte, a dispetto del successo di
pubblico, considerano le sue opere cervellotiche e fredde</span><span style="font-family: Calibri; vertical-align: super;"><span style="font-size: x-small;">2</span></span><br />
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<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">In vita Escher dovette aspettare fino agli anni sessanta, quando
ormai aveva 60 anni, per avere qualche riconoscimento. L’occasione fu una
mostra tenuta nel 1954 ad Amsterdam in concomitanza con l’annuale congresso
mondiale di matematica. Fu in quell’occasione che il mondo della matematica
scopre Escher instaurando quel legame che ha portato la sua arte a essere
conosciuta in tutto il mondo. <o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Escher era molto interessato alla matematica, ma avendo avuto una
formazione matematica che non andava oltre quella delle scuole superiori, non
si considerava un matematico. Il suo interesse, mediato attraverso l'arte grafica, era rivolto sopratutto alla geometria ed in particolare alle proprietà delle figure e della rappresentazione dello spazio sul piano. Già da studente quando s’imbatté per la prima
volta nel problema della tassellatura del piano con forme irregolari Escher intuitivamente
si impose alcune regole, in modo da rendere il problema non banale, quale
quella che profili adiacenti dovevano avere colori contrastanti e che le figure
dovevano essere riconoscibili e concrete (fig. 1). La scoperta dei mosaici regolari
dell’Alhambra di Grenada, durante il suo primo viaggio in Spagna, nell’autunno
del 1922, risvegliò, per contrasto con le forme puramente geometriche delle tassellature arabe, l’interesse per la tassellatura con forme associabili a
oggetti o forme naturali. </span><br />
<table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><br />
<span style="clear: right; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj1UV4gI4z2k-pU-taQ-D30Xh5z0YoJIJAaZlCnCknuNlunX8LRB6ZK20DeO0xAmW81l5kppeFeImb2ldBtfblRpT9uU08a0Zf6C-jrPFwGeebJbjbsFp0qFKm23jqDuBXueAesVNoWVMA/s1600/2+piastelle+casa+via+pomezia+roma.jpg" imageanchor="1" style="clear: right; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="260" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj1UV4gI4z2k-pU-taQ-D30Xh5z0YoJIJAaZlCnCknuNlunX8LRB6ZK20DeO0xAmW81l5kppeFeImb2ldBtfblRpT9uU08a0Zf6C-jrPFwGeebJbjbsFp0qFKm23jqDuBXueAesVNoWVMA/s400/2+piastelle+casa+via+pomezia+roma.jpg" width="400" /></a></span></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: small; text-align: justify;">fig. 2 Disegno dei rivestimento da eseguire con piastrelle</span><br />
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: small; text-align: justify;"> quadrate di maiolica, acquerello 1926</span></td></tr>
</tbody></table>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span><br />
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">La prima </span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">occasione di affrontare il problema della tassellatura in
maniera sistematica Escher l’ebbe nel 1926 quando nella sua casa di Roma,
dovendo cambiare le piastrelle dello studio e della terrazza, decise di definirne
il disegno e si trovò ad affrontare il problema delle diverse possibili
simmetrie con le quali è possibile tassellare il piano (fig. 2) .
Escher affrontò il problema in maniera rigorosa e metodica</span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"> costruendo una
propria classificazione delle diverse simmetrie</span><sup><span style="font-family: Calibri;"><span style="font-size: x-small;">3</span></span></sup><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">. </span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Il suo era un approccio
geometrico basato sulla grafica che lo portò a enunciare addirittura un teorema
sulla proprietà dei triangoli</span><span style="font-family: Calibri; vertical-align: super;"><span style="font-size: x-small;">4</span></span><br />
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<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">L’uso della matematica nello sviluppo della sua arte si accentuò
dopo la mostra tenuta in concomitanza con il congresso internazionale di
matematica ad Amsterdam del 1954. Infatti, da quel momento molti matematici
tennero regolarmente contatti con Escher. Particolarmente intensi furono i
contatti con il matematico canadese H.S.M. Coexter che illustrò a Escher le tecniche
delle proiezioni iperboliche di Poincarè usate in seguito nelle tassellature al
limite</span><span style="font-family: Calibri; vertical-align: super;"><span style="font-size: x-small;">5</span></span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">.</span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"> Con il fisico e matematico britannico Sir Roger Penrose invece ci fu un intenso
scambio di articoli e lettere riguardanti le figure impossibili come il
triangolo di Penrose usato in </span><i style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Waterfall</i><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">
(B439) e la scala di Penrose usata in </span><i style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Ascending
e Descending </i><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">(B435</span><i style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">)</i><span style="font-family: Calibri; vertical-align: super;"><span style="font-size: x-small;">6</span></span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">. Intense e molto care a Escher erano inoltre le conversazioni con
la cristallografa MacGillavry</span><span style="font-family: Calibri; vertical-align: super;"><span style="font-size: x-small;">7 </span></span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">che portarono alla pubblicazione nel 1965 di </span><i style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Symmetrie Aspects in M.C. Escher Periodic Drawings.</i><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"> Regolarmente s’incontrava
con Hans de Rick, in arte Bruno Ernst, un monaco insegnante di matematica con
il quale amava discutere della struttura matematica delle sue opere. Escher divenne molto
popolare nel mondo scientifico e nell’aprile 1961 la rivista </span><i style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Scientific American</i><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"> gli dedicò la
copertina ed un articolo di Martin Gardner. </span><br />
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<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">L’amore tra Escher e i matematici era corrisposto e quindi questi
iniziarono a comprare le sue opere, a usarle per illustrare i propri articoli e
testi e a diffonderle appendendole nei propri studi ,nelle università e nelle scuole
dove insegnavano. <o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Molto probabilmente alcune delle opere di Escher finirono nei campus
della California e qui vennero scoperte dal nascente movimento hippie. Nacque
subito un altro fortissimo amore, questa volta però assolutamente non
corrisposto e che col tempo si trasformò in una vera avversione di Escher verso
i figli dei fiori. Gli hippies pubblicavano generalmente senza permesso le
opere di M.C. Escher trasformandole<span class="MsoFootnoteReference"><span style="mso-special-character: footnote;"><span class="MsoFootnoteReference"></span></span></span></span><span style="font-family: Calibri; vertical-align: super;"><span style="font-size: x-small;">8 </span></span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">ed abbinandole ad altre immagini con grande disappunto di M.C. Escher. Ma a
dispetto dell’amore non corrisposto, la presenza delle opere di M.C. Escher sui
poster psichedelici, sulle copertine degli LP e sulle T-shirt, contribuì più di
altri fattori alla divulgazione della sue opere.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">L’interesse della generazione hippie all’opera di Escher aveva naturalmente
tutta un’altra motivazione che quella dei matematici. I figli dei fiori avevano
associato le stranezze dei mondi escheriani alle esperienze psichedeliche e all'uso
di stupefacenti da parte di Escher stesso. Oltre alle stranezze e alle
deformazioni spaziali che potevano essere associati all’uso di allucinogeni, a sostegno
di questa interpretazione venivano indicati alcuni elementi iconografici dell’opera
di M.C. Escher. <o:p></o:p></span><br />
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<div style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em; text-align: left;">
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><img border="0" height="400" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgA_aF5T-hxpm9x4IDa8oeFmICDPgJUj9TRY_d9E-WX8POOT1nqum99s8bq2belLawHQZbCYZmLcGZPuh8HvZFMy8Ql-GnOSFbXf74QFm8KOcvy5vjPnnNNc_AHOngsz1h1Sw7EkZEieXk/s400/3+balcony.jpg" style="margin-left: auto; margin-right: auto;" width="310" /></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: small; text-align: justify;">fig, 3 Balcony (B334), litografia 1945</span></td></tr>
</tbody></table>
</div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">La prima indicazione iconografica si trovava nell’opera </span><i style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Balcony</i><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"> (fig. 3) dove al centro dell’opera, evidenziata e
risaltata dal rigonfiamento spaziale, secondo l’interpretazione degli hippies,
era posta una pianta di marijuana. Infatti, osservando la stampa in questione,
sul balcone al centro del quadro è rappresentata una pianta dalle foglie a
petalo che assomiglia a una pianta di canapa indiana. Le foglie sono picciolate
e palmate, con foglioline lanceolate a margine dentato-seghettato, proprio come
quelle della </span><i style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">cannabis indica.</i><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"> La pianta
si trova al centro del quadro messa in evidenza dalla prospettiva deformata. Ma
si trattava di una pura coincidenza ed Escher, come testimoniato dall’amico
fraterno Bruno Ernst</span><span class="MsoFootnoteReference" style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span class="MsoFootnoteReference"></span></span><span style="font-family: Calibri; vertical-align: super;"><span style="font-size: x-small;">9</span></span><i style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">,</i><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"> era lontanissimo da quel tipo di suggestioni.
Si trattava invece di una serie di stampe fatte sul tema delle deformazioni
spaziali che Escher sperimentò con paziente lavoro e che consisteva nel
proiettare un’immagine su di un nuovo piano, attraverso un reticolo che </span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">trasformava le line rette in linee curve. L’immagine
di partenza era una vista della città di Senglea a Malta.</span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"> </span><br />
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: left; margin-right: 1em; text-align: left;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj13RDLggMVfVUFCWRI3qF4C8RDjYwbCU6GyLvQXkh2le_9pyM_CDRl7R00S67p9rM4YzT_GcezV4YMy-TJNHZ08UNbssem2nKecabOiKxK7o95UazllfS280o6wc_HxY89Rvb5lowPCdo/s1600/4+sengela+malta.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="208" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj13RDLggMVfVUFCWRI3qF4C8RDjYwbCU6GyLvQXkh2le_9pyM_CDRl7R00S67p9rM4YzT_GcezV4YMy-TJNHZ08UNbssem2nKecabOiKxK7o95UazllfS280o6wc_HxY89Rvb5lowPCdo/s320/4+sengela+malta.jpg" width="320" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: small; text-align: justify;">fig 4 Senglea Malta (B276)</span><i style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: medium; text-align: justify;">,</i><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: small; text-align: justify;"> </span><br />
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: small; text-align: justify;">xilografia a tre colori 1935</span></td></tr>
</tbody></table>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Escher la disegnò durante uno dei suoi viaggi
nel mediterraneo nel 1935. Da quel viaggio nacque la xilografia <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Senglea</i> (fig 4) che sarebbe poi
servita come base per le sperimentazioni sulle deformazioni spaziali, sia per <i>Balcony,</i> sia per un’altra ancor più sorprendente
deformazione dello spazio realizzata in <i>Print
Gallery</i> (fig 5). La deformazione dell’immagine era realizzata attraverso un
ingrandimento associato a una rotazione, una trasformazione matematica, intuita
da Escher, ma definitivamente risolta dal matematico olandese Hendrik Lenstra nel 2003</span><span style="font-family: Calibri; vertical-align: super;"><span style="font-size: x-small;">10</span><span style="font-size: small;"> .</span></span><br />
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span>
<br />
<br />
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhoC2Q7gL6-oPd_gqD7UjMZjJg2ZSySE4I4Epxp0uem36_AdMeEsvgTWdKhS2yrXpdACZbRsoXdJJYUvIqRdQf5oL2V9RCECAD8NL7YQuhx9Kn_2D4OJiGCOenRxYN-tjhJQ7KpTLcQz8o/s1600/5+print+gallery.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="397" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhoC2Q7gL6-oPd_gqD7UjMZjJg2ZSySE4I4Epxp0uem36_AdMeEsvgTWdKhS2yrXpdACZbRsoXdJJYUvIqRdQf5oL2V9RCECAD8NL7YQuhx9Kn_2D4OJiGCOenRxYN-tjhJQ7KpTLcQz8o/s400/5+print+gallery.jpg" width="400" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: small; text-align: justify;">fig. 5 Print Gallery (B410)</span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: small; text-align: justify;">, litografia1956</span></td></tr>
</tbody></table>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">A dispetto di Escher gli hippies trovavano riferimenti
iconografici che alludevano ai mondi psichedelici, anche in altre sue opere. Tra
queste va citata in primo luogo <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Reptiles</i>
(fig 6 )
del 1943 una delle prime opere "surrealiste" di Escher. <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Reptiles</i> è un esempio di quelle opere di
M.C. Escher che partendo da una tassellatura bidimensionale compiono un ciclo
nello spazio. Il prototipo di queste opere è <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Cycle </i>(B395) del 1938. A questo filone appartengono anche<i style="mso-bidi-font-style: normal;">, Encount</i>er (B331) del 1944, <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Magic Mirror </i>(B338) del 1946 e <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Predestination </i>(B372) del 1951<i style="mso-bidi-font-style: normal;">. <o:p></o:p></i></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh68lHSYyAUM0kwa722xDc-5Xdx_k6pVjAAWZxWEQa_d9c9AB9AbnDIxI9ZAvoJBVEpl-38xpjkMSN35cmDIyaCmvc9lG5cl4ZkkXK350sh_DcMlQIy9xnACwbJWMjHsUo0COhCjG6jz1g/s1600/6+reptiles.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><img border="0" height="352" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh68lHSYyAUM0kwa722xDc-5Xdx_k6pVjAAWZxWEQa_d9c9AB9AbnDIxI9ZAvoJBVEpl-38xpjkMSN35cmDIyaCmvc9lG5cl4ZkkXK350sh_DcMlQIy9xnACwbJWMjHsUo0COhCjG6jz1g/s400/6+reptiles.jpg" width="400" /></span></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span style="font-size: small; text-align: justify;">fig 6 Reptiles (B327),</span><span style="font-size: small; text-align: justify;"> litografia 1943</span></span></td></tr>
</tbody></table>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">In <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Reptiles, </i>in risalto in
basso a destra, è ritratto un libretto con la scritta JOB. Si tratta di un
pacchetto di cartine per sigarette della marca JOB, azienda francese specializzata
in carta da tabacco. Le cartine JOB si diffusero nella California degli ultimi
anni 60 grazie alle confezioni ispirate all’arte psichedelica e ai formati
adatti al consumo della cannabis indiana. <table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: left; margin-right: 1em; text-align: left;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgq6ifZ3_L6Oh0TJN8unnPaOmsuOBGzUgXpJU9jJ85m1Qan4g_OwolXqx8dY1igCL6MD4DcvLybyT22Gb_3At8B7Vk9iyz_f-7ZZuntdvlwVXlu0n60YzaQfvlc3rQM-XA2wHse7wiJZvU/s1600/20130911180344612.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgq6ifZ3_L6Oh0TJN8unnPaOmsuOBGzUgXpJU9jJ85m1Qan4g_OwolXqx8dY1igCL6MD4DcvLybyT22Gb_3At8B7Vk9iyz_f-7ZZuntdvlwVXlu0n60YzaQfvlc3rQM-XA2wHse7wiJZvU/s320/20130911180344612.jpg" width="225" /></a></td></tr>
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<!--StartFragment--><span style="font-size: small;">fig 7 Poster pubblicitario delle <br />cartine JOB realizzato da<br /> Alphonse
Mucha<span style="font-family: Times;"> </span></span><!--EndFragment--></td></tr>
</tbody></table>
La presenza delle cartine JOB nella litografia
<i style="mso-bidi-font-style: normal;">Reptiles</i> era per il mondo hippie un
chiaro richiamo alle pratiche psichedeliche legato al consumo di stupefacenti (fig 7).
Il richiamo era rafforzato dalla raffigurazione, in alto a destra, di un pacchetto
di sigarette preconfezionate che escludeva l'uso delle cartine per la
produzione di sigarette "normali". Inoltre il rettile che si
materializzava da una tassellatura, saliva su un dodecaedro, sbuffando fumo per
ritornare poi ad appiattirsi nuovamente nella tassellatura, richiamando così l'azione
dell'assunzione di stupefacenti che allargavano la mente liberandola dalla
costrizione schematica del quotidiano rappresentata dalla tassellatura. Anche
in questo caso, però, Escher era lontanissimo da un’interpretazione di questo
genere. Del resto la stampa <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Rettili</i>
aveva suggerito anche altre suggestioni. Bruno Ernst riporta di una telefonata
giunta a Escher da parte di una donna che gli chiedeva se la litografia rappresentasse
la reincarnazione</span><span style="font-family: Calibri; vertical-align: super;"><span style="font-size: x-small;">11</span></span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">.
Infatti, il libretto con la scritta JOB era stato scambiato per il libro di
Giobbe (Job in inglese), uno dei sette libri sapienziali dell’Antico
testamento. Il libro tratta di come Dio castighi o premi le azioni degli uomini.
Giobbe non si da pace, essendo uomo giusto e pio chiede il perché delle sue
sofferenze. Tra l'altro disperato per i propri guai, egli suppone di pagare uno
scotto di chissà quali crimini compiuti in precedenti esistenze</span><span style="font-family: Calibri; vertical-align: super;"><span style="font-size: x-small;">12</span></span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">.
Bruno Ernst racconta che Escher rispose: “Signora, se questo è il modo in cui
lo vede, sarà proprio così”.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: left; margin-right: 1em; text-align: left;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjwOjp-pco4Yjq8ijDoNtC6bGAjtCtKya9tyazbOk0_8pZt26WxM-FKKDV-dzTJEECZYhBl9kBRnCeco0Dd-My6fo-VJymG-shHUZk6wbkEgrpbZt4JRMLpq3O9PT9937F9zJdNkwdMicQ/s1600/7+bad+trip.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjwOjp-pco4Yjq8ijDoNtC6bGAjtCtKya9tyazbOk0_8pZt26WxM-FKKDV-dzTJEECZYhBl9kBRnCeco0Dd-My6fo-VJymG-shHUZk6wbkEgrpbZt4JRMLpq3O9PT9937F9zJdNkwdMicQ/s320/7+bad+trip.jpg" width="224" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: small; text-align: justify;">fig 8 Bad Trip, serigrafia a<br /> colori fluorescenti 1968 </span></td></tr>
</tbody></table>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Gli hippies si sentivano in sintonia con il mondo escheriano e
iniziarono a usare le opere di M.C. Escher nella loro iconografia. Nel 1968 la
J.Casey Posters di New York, legata al mondo degli hippies, produsse, senza
autorizzazione, un poster usando l’immagine della xilografia <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Dream</i> (B272) una xilografia del 1935<i style="mso-bidi-font-style: normal;"> </i>colorandola con colori fosforescenti che brillavano
in presenza di luce ultravioletta (fig. 8). L’opera fu ribattezzata <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Bad Trip</i> a ricordare le sensazioni di un viaggio psichedelico
finito male. In seguito anche altri editori di poster legati al mondo hippie a
San Francisco e Chicago produssero, sempre senza autorizzazione, una serie di
poster usando le opere di M.C. Escher colorate con colori fosforescenti. Le
opere rappresentate erano <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Butterflies </i>(B369)
<i style="mso-bidi-font-style: normal;">1950, Inside St. Peter's </i>(B270<i style="mso-bidi-font-style: normal;">) 1935, </i><a href="http://www.worldofescher.com/store/P33.html"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="color: windowtext; mso-ascii-theme-font: major-latin; mso-bidi-font-size: 12.0pt; mso-hansi-theme-font: major-latin; text-decoration: none; text-underline: none;">Tower of Babel</span></i></a><i style="mso-bidi-font-style: normal;"> </i>(B118) 1928<i style="mso-bidi-font-style: normal;">, Stars </i>(B359) 1948<i style="mso-bidi-font-style: normal;">, Dragon </i>(379)
1952,<i style="mso-bidi-font-style: normal;"> Three Spheres </i>(B336) 1945,<i style="mso-bidi-font-style: normal;"> Cycle </i>(B305) 1938<i style="mso-bidi-font-style: normal;">. </i>Ad alcune, come era successo con <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Dream</i>, fu cambiato anche il
nome e così <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Three Speres<span style="mso-spacerun: yes;"> </span></i>divenne <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Peace on Earth</i>. Una versione di <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Reptiles</i>
colorata finì nel 1969 sulla copertina di un LP eponimo dei Mott the Hoople. <o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="MsoFootnoteText" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">In un primo momento Escher reagì in maniera divertita a questi apprezzamenti
da parte degli hippies. Rispondendo a un suo amico americano, il geologo Kurt Servos
che gli aveva raccontato delle T-shirt e dei poster psichedelici con impresse
le sue opere, Escher chiese cosa fosse esattamente una T-shirt. Chiedeva poi chi
fossero questi giovani, questi hippies come aveva sentito che venivano chiamati,
che giravano con le sue opere sul petto</span><span style="font-family: Calibri; vertical-align: super;"><span style="font-size: x-small;">13</span></span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">.
Escher respinse la proposta di Servos, che gli suggeriva di incaricare un
avvocato a procedere contro questi contraffattori, paventando le ingenti spese
in cambio della bassa probabilità di successo</span><span style="font-family: Calibri; vertical-align: super;"><span style="font-size: x-small;">14</span></span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">.
Escher era in realtà più seccato dall’uso improprio che da quello non
autorizzato. Solo successivamente iniziò a reagire in maniera più decisa per proteggere
il copyright delle sue opere. Infatti, in seguito a questo inasprimento verso
il mondo hippie, M.C Escher negò a Mike Jagger, che pure la aveva
preventivamente chiesta con modi gentili ed ammirati, la autorizzazione ad
usare le sue opere per una copertina del loro LP.</span></div>
<div class="MsoFootnoteText" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="MsoFootnoteText" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Nei primi giorni del 1969 Mick Jagger degli Rolling Stones iniziò
una corrispondenza con M.C.Escher per chiedergli di disegnare la copertina del
loro nuovo LP <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Let it Bleed</i>. <o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoFootnoteText" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="MsoFootnoteText" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">La corrispondenza fu pubblicata nel 1974 sulla rivista <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Holland Herald</i>: <o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoFootnoteText" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Caro Maurits,<o:p></o:p></span></i></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Per un bel po’ di tempo ho avuto
tra le mani il tuo libro (The Graphic Work of M.C. Escher) e non smetto mai di
stupirmi ogni volta che lo sfoglio! In realtà credo che il tuo lavoro sia
assolutamente incredibile e farebbe molto piacere a me e a molte altre persone
intorno a me comprendere meglio e capire esattamente cosa stai facendo.<o:p></o:p></span></i></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Nel mese di marzo o aprile di
quest'anno, abbiamo programmato il nostro prossimo disco, e mi farebbe molto
piacere riprodurre uno dei tuoi lavori sulla cover. Ti prego quindi di prendere
in considerazione la progettazione di una "immagine" per illustrare
la cover, o qualora tu avessi delle opere inedite si potrebbe anche pensare di usare
una di queste. L'idea di una delle tue "illusioni ottiche" mi
affascina, ma anche un’immagine come quella di "Evolution" sarebbe
ovviamente altrettanto adatta. Direi che è la stessa cosa. Si potrebbe anche usare
un’immagine lunga come "Metamorfosi", che potremmo poi riprodurre
come un pieghevole che si estrae. Potrebbe essere sia in bianco e nero sia a colori,
cosa che lascio decidere a te.<o:p></o:p></span></i></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Naturalmente, sia tu, che i tuoi
editori, potrete ottenere tutti i diritti e crediti sulla cover, e negozieremo
il giusto compenso qualora ti deciderai a farlo. Sarei molto grato se tu potessi
prendere contatto con Peter Swales o con la signorina Jo Bergman al suddetto
indirizzo o al numero di telefono indicato (in addebito al numero chiamato).
Sia l’uno, sia l’altra, ti daranno tutta l'assistenza necessaria. Tuttavia, io
non sono così fortunato da possedere un interprete olandese, e quindi se non
parli inglese o francese, ti sarei grato se tu potessi trovare qualcuno a Baarn
che ti faccia da interprete.<o:p></o:p></span></i></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Cordialmente,<o:p></o:p></span></i></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Mick Jagger<o:p></o:p></span></i></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">per Rolling Stones Ldt.<o:p></o:p></span></i></div>
<div class="MsoFootnoteText" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="MsoFootnoteText" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Escher rispose il 20 Gennaio indirizzando la missiva a Perter
Swales, come indicato da Jagger:<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoFootnoteText" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="MsoFootnoteText" style="text-align: justify;">
<i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Egregio Signore,<o:p></o:p></span></i></div>
<div class="MsoFootnoteText" style="text-align: justify;">
<i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Alcuni giorni fa ho ricevuto una
lettera dal signor Jagger che mi chiede di disegnare un quadro o di mettere a
disposizione un mio lavoro inedito da riprodurre sulla custodia per un LP.<o:p></o:p></span></i></div>
<div class="MsoFootnoteText" style="text-align: justify;">
<i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">La mia risposta a entrambe le richieste
deve essere no, in quanto voglio dedicare tutto il mio tempo e la mia attenzione
ai tanti impegni che ho contratto. Non posso assolutamente accettare ulteriori
incarichi o perdere tempo per la pubblicità.<o:p></o:p></span></i></div>
<div class="MsoFootnoteText" style="text-align: justify;">
<i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">A proposito, la prego di dire al
signor Jagger che non sono Maurits per lui, ma<o:p></o:p></span></i></div>
<div class="MsoFootnoteText" style="text-align: justify;">
<i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Molto sinceramente,<o:p></o:p></span></i></div>
<div class="MsoFootnoteText" style="text-align: justify;">
<i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">M. C. Escher.<o:p></o:p></span></i><br />
<i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></i></div>
<div class="MsoFootnoteText" style="text-align: justify;">
<table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: left; margin-right: 1em; text-align: left;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjkk6sj2hmbaWSjkAQYeeLNFjG_xvI6XgkacB6QtxpQyWrTESRiEaREPkwNkQr8H2a7MbxXODaxDi_tQrOGXtPvys3pts99yQLCiGrSRmWRsVJ9Mh_sEzc-Rp9yrdJT36uf3FvwSqgjQpk/s1600/8+verbum.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><img border="0" height="480" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjkk6sj2hmbaWSjkAQYeeLNFjG_xvI6XgkacB6QtxpQyWrTESRiEaREPkwNkQr8H2a7MbxXODaxDi_tQrOGXtPvys3pts99yQLCiGrSRmWRsVJ9Mh_sEzc-Rp9yrdJT36uf3FvwSqgjQpk/s640/8+verbum.jpg" width="640" /></span></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span style="font-size: small; text-align: justify;">fig. 9 </span><span style="font-size: small; text-align: justify;">Verbum [Earth, Sky and Water] (B326)</span><span style="font-size: small; text-align: justify;">, </span></span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: small; text-align: justify;">litografia 1942</span></td></tr>
</tbody></table>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">In una lettera successiva, Mick Jagger chiese il permesso di usare
l’immagine dell’opera <i>Verbum </i>(fig. 9). per la copertina della loro seconda
compilation ufficiale <i>Through The Past
Darkly</i>. La richiesta fu
nuovamente rifiutata. M.C. Escher rispose che egli non si sentiva offeso dalla
familiarità eccessiva con la quale Mike Jagger si era rivolto a lui ma dal fatto
che continuava a ricevere moltissime offerte di quel genere. E che per “fairness”
verso quelli che si erano sentiti rifiutare le proposte, non voleva fare
un’eccezione. La compilation <i>Through The
Past Darkly</i> uscì con una cover ottagonale con al posto di <i>Verbum</i> una insignificante immagine dei
componenti del gruppo (fig. 10<i>) </i>.</span><br />
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEipm3OXzLjI8QAENaNRHHT1WK4gHg4ekBdj9-UiFtNk904ZoDhPGT-IBKn7p-CCla9AM4g_2adHC8X5cTcY29ZgfDlyOqeHV5y3jagm80BP_J2SR7nEKdBQiNnlA1tav1W5NlP1X4tW7xo/s1600/9+Through+the+past+darkly.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><img border="0" height="400" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEipm3OXzLjI8QAENaNRHHT1WK4gHg4ekBdj9-UiFtNk904ZoDhPGT-IBKn7p-CCla9AM4g_2adHC8X5cTcY29ZgfDlyOqeHV5y3jagm80BP_J2SR7nEKdBQiNnlA1tav1W5NlP1X4tW7xo/s400/9+Through+the+past+darkly.jpg" width="397" /></span></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span style="font-size: small; text-align: justify;">fig. 10 Custodia di </span><span style="font-size: small; text-align: justify;">T</span><span style="font-size: small; text-align: justify;">hrough The Past Darkly,</span><i style="font-size: medium; text-align: justify;"> </i><span style="font-size: small; text-align: justify;">LP dei Rolling Stones 1969</span></span></td></tr>
</tbody></table>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Attraverso la Fondazione Escher, fondata nel 1968, Escher
intensificò la protezione dei suoi diritti di copyright</span><span style="font-family: Calibri; vertical-align: super;"><span style="font-size: x-small;">15</span></span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">.
La battaglia conto i contraffattori si rilevò particolarmente difficile negli
Stati Uniti, poiché la legge americana sui diritti d'autore prevedeva una
registrazione preventiva. Soltanto nel 1994 in occasione degli accordi GATT, Bill
Clinton accettò di estendere la legge sul copyright americano anche sulle opere
già protette originariamente in paesi firmatari della Convenzione del Copyright
di Berna</span><span style="font-family: Calibri; vertical-align: super;"><span style="font-size: x-small;">16</span></span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">. La fondazione Escher
continuo la sua battaglia contro i contraffattori e nel 1996 a 24 anni dalla morte
di Escher riuscì in un famoso processo, che fece giurisprudenza, a fare valer i
suoi diritti</span><span style="font-family: Calibri; vertical-align: super;"><span style="font-size: x-small;">17</span></span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">. Ma suo malgrado, proprio negli Stati Uniti, sono state le
magliette, le cravatte ed i posters a diffondere l’arte di M.C Escher.</span></div>
<div class="MsoFootnoteText" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="MsoFootnoteText" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">L’artista era stato amato in vita da due categorie di persone: dai
matematici e dagli hippies. I primi furono fortemente ricambiati, i secondi
fermamente osteggiati. Queste due categorie di persone favorirono la diffusione
della sua opera a dispetto della critica ufficiale che continuava a non capirlo
non riuscendo a catalogarlo in nessun movimento artistico. <o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoFootnoteText" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">L’arte è considerata vera arte se produce emozioni. Escher in un
primo impatto produsse queste emozioni in due comunità che apparentemente sembrano
non avere nulla in comune. Le motivazioni vanno cercate nella produzione
escheriana successiva al 1937. Escher smise in quel periodo di rappresentare quello
che i suoi sensi percepivano e si rivolse ad un modo interiore costruito solo sui
suoi ricordi</span><span style="font-family: Calibri; vertical-align: super;"><span style="font-size: x-small;">18</span></span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">. In questo mondo
interiore, svincolato dalle costrizioni concettuali imposte dai sensi, Escher
si rivolgeva a quello che andava oltre la </span><i style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">doxa</i><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">,
l’apparenza, cercando il </span><i style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">para-doxa,</i><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"> il
paradossale, quello che va oltre l’esperienza sensoriale.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Questo tipo di ricerca è alla base della ricerca filosofica
idealista. Parmenide il filosofo presocratico fondatore della scuola eleatica e
precursore dell’idealismo, contrapponeva alla <i style="mso-bidi-font-style: normal;">doxa</i> l’<i style="mso-bidi-font-style: normal;">aletheia, </i>la
verità, che poteva essere colta solo attraverso la ragione. La scuola eleatica
arrivò addirittura a negare la più ovvia delle esperienze, il movimento, in
base ai paradossi logici. In seguito Platone, con la sua dottrina delle idee,
diede sostanza ontologica a quel mondo interiore che è il mondo delle idee. La
ricerca matematica si muove in questo mondo, svincolata dai sensi, alla ricerca
delle connessioni tra enti astratti cercando di definirne la struttura. <o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Anche il movimento psichedelico degli anni settanta si rivolgeva a
mondi “artificiali”, distinti da quello proposto dall’apparenza, dall’esperienza
sensoriale. Gli hippies fuggivano dalla realtà, che comunque non era per loro
soddisfacente, alla ricerca di altro. La scoperta delle sostanze psicotrope,
che deformano le connessioni sinaptiche tra i sensi e la percezione, permetteva
di esplorare nuovi mondi, mondi artificiali, diversi.<i style="mso-bidi-font-style: normal;"> </i>Aldous Huxley autore di <span style="mso-spacerun: yes;"> </span><i style="mso-bidi-font-style: normal;">The Doors of Perception, </i>uno dei
manifesti del movimento hippie, che tratta dell’esperienza psichedelica indotta
da sostanze stupefacenti<i style="mso-bidi-font-style: normal;">,</i> affermava
che l’ordinaria esperienza percettiva è un elemento inibitorio dell’esperienza visionaria</span><span style="font-family: Calibri; vertical-align: super;"><span style="font-size: x-small;">19</span></span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">.
Gli aggregati sinaptici, alla base dei nostri concetti di spazio e tempo, sotto
l’influenza degli stupefacenti, si liberano dalle imposizioni dei sensi,
trovano nuove connessioni con altri aggregati creando così concetti che vanno
oltre l’esperienza sensoriale e quindi para-dossali</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">La matematica fa qualcosa di simile con le connessioni tra i
concetti astratti. Anche il matematico stacca la spina dei sensi e crea nella
mente nuovi percorsi tra idee astratte, crea inoltre nuovi concetti, che spesso
sono completamente astrusi dalla realtà, impensabili nel mondo dei sensi e
quindi per definizione paradossali.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="MsoFootnoteText" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">L’arte di M.C Escher visualizza questi mondi paradossali (nel
senso originale del termine para-doxa) in modo magistrale, deformando lo spazio
quando questo viene rappresentato sul piano del foglio da disegno. Infatti, la
rappresentazione bidimensionale dello spazio lascia certi gradi di libertà che permettono
la costruzione di mondi e realtà impossibili. Osservando con attenzione le
opere di Escher si possono intuire, naturalmente solo in maniera superficiale, sia
lo stupore che prova il matematico di fronte alla comprensione di verità non
banali, sia le sensazioni indotte da un’esperienza psichedelica. E questo fa,
non solo per matematici e hippies, di M.C. Escher un artista di assoluta
grandezza.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoFootnoteText" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
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<!--[if !supportFootnotes]--><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br clear="all" /></span>
<br />
<hr align="left" size="1" width="33%" />
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<br />
<div id="ftn1" style="mso-element: footnote;">
<div class="MsoFootnoteText">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">1) Nel
2011 in Brasile una retrospettiva su Escher organizzata dal Centro Cultural
Banco do Brasil ha registrato 1,2 milioni di visitatori, risultando la mostra
più visitata a livello mondiale del 2011.<span lang="DE" style="mso-ansi-language: DE; mso-ascii-theme-font: major-latin; mso-hansi-theme-font: major-latin;"><o:p></o:p></span></span></div>
</div>
</div>
<div id="ftn2" style="mso-element: footnote;">
<div class="MsoFootnoteText">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">2) Nel
2008 si tenne presso il MUMOK di Vienna la mostra “Genau und anders” su
matematica nell’arte da Dürer a Sol LeWitt con opere di più di cento artisti
nella quale non fu esposta neanche un’opera di Escher. Nel catalogo, edito dal
Verlag für moderne Kunst di Norimberga, uno dei curatori motivò questa scelta
con l’affermazione che l’opera di M.C. Escher non deve considerarsi arte.</span><br />
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">3) Una
completa esposizione della classificazione delle simmetrie del piano sviluppata
da M.C Escher si trova in </span><i style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: small;">Vision of
Symmetry</i><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"> di Doris Schnattschneider, pubblicato da W.H Freeman nel 1990 a
New York,</span></div>
</div>
</div>
<div id="ftn4" style="mso-element: footnote;">
<div class="MsoFootnoteText">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">4) Nel 1941 Escher studiando le proprietà di tassellature di un particolare esagono,</span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"> descritte dal matematico F.Haag in un articolo del 1923, che gli era stato inviato dal suo fratellastro Beer, enuncio un teorema sulle proprietà delle diagonali di esagoni che tassellano il piano.</span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"> </span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">Il Teorema di Escher fu definitivamente dimostrato da J.F. Rigby nel 1991.</span></div>
</div>
</div>
<div id="ftn5" style="mso-element: footnote;">
<div class="MsoFootnoteText">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">5) Lettere
al figlio Arthur del 9 novembre 1958 e del 7 dicembre 1958, lettera a Coexter
del 1 maggio 1960 e del 15 Marzo 1964, lettera a figlio George del 28 maggio
1960<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>pubblicate in <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Escher His Life and Complete Grafic Work</i> di F.H Bool, J.R Kist,
J.L. Locher e F.Wierda pubblicato da H.N Abrahams nel 1982 a New York.<o:p></o:p></span></div>
</div>
</div>
<div id="ftn6" style="mso-element: footnote;">
<div class="MsoNormal">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">6) Lettera
al figlio Arthur del 24 gennaio 1960, lettera a Lionel e Roger Penrose del 18
aprile 1960 pubblicata in <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Escher His Life
and Complete Grafic Work.</i><o:p></o:p></span></div>
</div>
</div>
<div id="ftn7" style="mso-element: footnote;">
<div class="MsoFootnoteText">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">7) Lettere al figlio George del 2 settembre 1959, del 30 ottobre 1962 e del 14
aprile 1963 in <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Escher His Life and
Complete Grafic Work.</i></span></div>
</div>
</div>
<div id="ftn9" style="mso-element: footnote;">
<div class="MsoFootnoteText">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">8) Lettera al figlio George 20 aprile 1969 pubblicata in <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Escher His Life and Complete Grafic Work</i>.<o:p></o:p></span></div>
</div>
</div>
<div id="ftn10" style="mso-element: footnote;">
<div class="MsoFootnoteText">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">9) Specchio magico di Bruno Ernst pubblicato da Taschen.<o:p></o:p></span></div>
</div>
</div>
<div id="ftn11" style="mso-element: footnote;">
<div class="MsoFootnoteText">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">10) <i style="mso-bidi-font-style: normal;">The Matematical Structure of Escher’s Print
Gallery </i>di B. de Smit and H.W. Lenstra<span style="mso-spacerun: yes;">
</span>in <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Notices to the American
Mathematical Society</i> del 2003.<o:p></o:p></span></div>
</div>
</div>
<div id="ftn12" style="mso-element: footnote;">
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">11) Lo specchio magico, Bruno Ernst, </span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">pubblicato da Taschen</span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">.<o:p></o:p></span></div>
</div>
<div id="ftn13" style="mso-element: footnote;">
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">12) Il libro di Giobbe
capitolo XIX: " Imperocché io so che vive il mio Redentore, che in un
nuovissimo giorno io risorgerò dalla terra. E di nuovo sarò rivestito della mia
pelle, e nella mia carne vedrò il mio Dio. ".<o:p></o:p></span></div>
</div>
<div id="ftn14" style="mso-element: footnote;">
<div class="MsoFootnoteText">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"><span lang="DE" style="mso-ansi-language: DE;">13) Lettera a Kurt Servos,<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>17 aprile 1971 collezione della fondazione
Escher.<o:p></o:p></span></span></div>
</div>
</div>
<div id="ftn15" style="mso-element: footnote;">
<div class="MsoFootnoteText">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">14) M.C.
Escher Een Biografie,i Wim Hazeu, 1998, Meulenhoff pag 492.<o:p></o:p></span></div>
</div>
</div>
<div id="ftn16" style="mso-element: footnote;">
<div class="MsoFootnoteText">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"><span lang="DE" style="mso-ansi-language: DE;">15) L</span>ettera al figlio George 24 maggio
1970 pubblicata in <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Escher His Life and
Complete Grafic Work</i>.<o:p></o:p></span></div>
</div>
</div>
<div id="ftn17" style="mso-element: footnote;">
<div class="MsoFootnoteText">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">16) Accordo TRIPS ufficializzato <span lang="DE" style="mso-ansi-language: DE;">al
termine del negoziato di rinnovamento </span>dal <span lang="DE" style="mso-ansi-language: DE;">GATT (General Agreement on Tarifs and Trade) detto
Uruguay Round a Marrakech nel 1994.<o:p></o:p></span></span></div>
</div>
</div>
<div id="ftn18" style="mso-element: footnote;">
<div class="MsoNormal">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"><span lang="DE" style="mso-ansi-language: DE;">17) United States District Court - Case No.
950863R, Judge Mr. John S. Roades.</span><o:p></o:p></span></div>
</div>
</div>
<div id="ftn19" style="mso-element: footnote;">
<div class="MsoFootnoteText">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">18) <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Rolling
Stone, </i>periodico
americano di musica pop, numero<i style="mso-bidi-font-style: normal;"> </i>del<i style="mso-bidi-font-style: normal;"> </i>febbraio 1970, pagina 40.<o:p></o:p></span></div>
</div>
</div>
<div id="ftn20" style="mso-element: footnote;">
<div class="MsoFootnoteText">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">19) <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Paradiso e Inferno</i> in <i style="mso-bidi-font-style: normal;">Le porte della percezione</i> (The Doors of
Perception), Aldous Huxley edito da Mondadori nel 2005, pag 72.</span><span style="mso-ansi-language: DE;"><span lang="DE"><o:p></o:p></span></span></div>
</div>
</div>
</div>
Federico Giudiceandreahttp://www.blogger.com/profile/12558070611627765134noreply@blogger.com3tag:blogger.com,1999:blog-5622501474661069545.post-24861576191847531872012-01-08T22:43:00.000+01:002015-11-14T23:39:24.083+01:00Lettera a Platone<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh2nCdT4vYPXlCChGgRW5nHHI5qOM_RR0RoeO_ibKvobpulpS8JDaKwTtoOpyH00BASgWfMmWJvtQoQlgZvyAddfxb6u7CcnYpNYqrx_61eJpsVgDg6SIqBsw-QxO-bHNH4kjzjxAWwDmU/s1600/1.jpeg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="400" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh2nCdT4vYPXlCChGgRW5nHHI5qOM_RR0RoeO_ibKvobpulpS8JDaKwTtoOpyH00BASgWfMmWJvtQoQlgZvyAddfxb6u7CcnYpNYqrx_61eJpsVgDg6SIqBsw-QxO-bHNH4kjzjxAWwDmU/s400/1.jpeg" width="328" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">Caro Platone </span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">Era un po’ che volevo scriverti. Non è stato facile, incuti un certa reverenza. Sei considerato il più importante dei filosofi greci. Certo c’è anche Aristotole, ma quest’ultimo è troppo cervellotico, e poi, onestamente, non ho poi mai capito quale grande contributo abbia dato alla filosofia se non quello di formalizzare in maniera sistematica quello che fino allora era stato detto. Tu invece sei considerato il "Filosofo”. C’e addirittura chi come Whitehaed, autore insieme a Bernard Russel dei <i>Principia Mathematica,</i> ha sostenuto che “<i>tutta la storia della filosofia occidentale non è che una serie di note a margine su Platone</i>” ¹⁾ e che quindi dopo di te non è stato detto in sostanza nulla di nuovo.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">Certo, anche io ti rispetto, e ritengo che nessun altro abbia influenzato più di te il destino della filosofia occidentale. Ma onestamente credo che, nel tentativo di sistemare quanto detto dai filosofi presocratici, ti sei fatto, da un lato, prendere la mano</span><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"> </span><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">da alcune questioni della politica dei tuoi tempi, e dall’altro influenzare un pò troppo dalle cervellotiche idee di Parmenide ignorando </span><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">completamente Democrito e la sua ipotesi atomistica</span><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">²</span><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">⁾</span><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">. Quando nei tuoi dialoghi parlavi delle sue teorie</span><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"> ti sei guardato bene dal citarlo e</span><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"> si dice che all’Accademia, la tua scuola, era addirittura vietato pronunciarne il nome.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">Capisco che la condanna a morte del tuo maestro Socrate ti abbia profondamente segnato. Come poteva “<i>il piu giusto tra gli uomin</i>i” ³⁾ essere considerato dalla politica un criminale? La filosofia e la politica sono così distanti? Ma non sono tutti, filosofi e politici, alla ricerca della conoscenza e della virtù? Ma il bene, la virtù, è conoscibile? E la conoscenza in generale è possibile? Giustamente ti sei posto con forza queste importanti questioni, anche perché intorno a te i sofisti andavano affermando che la conoscenza non era possibile. I</span><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">l loro argomento era un pò forzato ma logicamente ineccepibile: o non si conosce quello che si cerca e quindi non lo si può riconoscere quando lo si è trovato, oppure qualora si conosca già quello che si cerca la ricerca diventa inutile⁴⁾. Ogni affermazione quindi può essere vera o falsa, è solo un questione di retorica.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">Posso capire che affermazioni del genere possano averti dato fastidio, e quindi hai fatto bene a cercare dei principi, ad affermare che conoscere e quindi distinguere tra vero o falso era possibile. </span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">Dovendo gettare le basi di una gnoseologia a prova di sofista, hai pensato bene di partire dalla filosofia della conoscenza di Parmenide, che aveva fatto distinzione tra il mondo percepibile dalla mente (l</span><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">a verità, aleteia) e quello percettibile dai sensi (l'apparenza, </span><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">doxa), relegando però quest'ultimo a mera apparenza e svalutando così la conoscenza sensoriale.</span><br />
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">Tu hai ripreso il ragionamento di Parmenide introducendo un dualismo un poco più sofisticato, distinguendo tra doxa (conoscenza sensibile) ed episteme (conoscenza intellegibile). Nella tua visione la conoscenza sensoriale, rivalutata rispetto a Parmenide, fungeva da stimolo per fare riapparire le idee nella mente. Le idee continuavano però ad avere, come in Parmenide, caratteristiche opposte a quelle degli enti empirici: erano incorruttibili, ingenerate, eterne, non soggette a mutamento e stavano in un altro mondo, nell’iperuranio. Un'altra novità consisteva nel fatto che l</span><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">’anima aveva contemplato l'iperuranio e le idee, prima di materializzarsi nei nostri corpi⁵⁾. Quindi l’apprendere ed il conoscere in realtà è un ricordare (anàmnesis).</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">Capisco che questa visione risolveva in modo elegante le aporie sofistiche, che permetteva di stabilire l’unicità della verità e della virtù. Inoltre il processo di conoscenza era ridimensionato ad un fare emergere i ricordi dell’anima e quindi in questo vedevi affermata la funzione del filosofo come “levatrice” d’idee. Sono convinto che questo ultimo aspetto non è unicamente un tributo al tuo ego filosofico, ma ti dava anche la possibilita di dare fondamento al metodo del tuo maestro Socrate che della maieutica (l’arte dell'ostetricia filosofica) aveva fatto la sua bandiera. </span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">Ma per sistemare i sofisti hai dovuto complicarti non poco la visione del mondo: Innanzitutto il fastidioso dualismo tra il mondo empirico e quello delle idee ti deve aver procurato parecchi grattacapi, visto tutte le complicazioni che ti sei andato a cercare per risolvere le più che apparenti contraddizione logiche nel definire una differenza ontologica tra essere (idea) ed ente:</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<ul>
<li><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">Prima la teoria della partecipazione (methexsis), le entità particolari parteciperebbero ognuna dell'idea corrispondente⁶⁾. </span></li>
<li><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">Poi la teoria dell'imitazione (mimesis), secondo la quale gli enti naturali sarebbero imitazioni della loro rispettiva idea<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">⁷</span><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">⁾</span>. </span></li>
<li><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">Poi</span><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">, a modo di <i>deus ex machina</i> delle tragedie, </span><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"> hai introdotto la figura del demiurgo, un semidio che aveva il ruolo di mediatore tra i due mondi⁸⁾.</span></li>
<li><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">Alla fine, addirittura, ti sei rivoltato contro il tuo padre filosofico, Parmendide, commettendo quello che tu stesso hai definito un parricidio, e mettendo in discussione perfino l’immobilità dell’essere e delle idee introducendo il principio della divisione (diairesis) che permetteva di creare una gerarchia della realtà ontologica e quindi un suo avvicinamento “graduale” alla realtà empirica⁹⁾.</span></li>
</ul>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">Ma vada per il dualismo, ma dovevi proprio inventarti l’anima eterna che contempla le idee dell’iperuranio? Permettimi, ma è proprio una cosa ridicola: le anime che tra una reincarnazione e l’altra, simili a cocchi alati, riescono a scorgere tra gli squarci delle nuvole l’iperuranio dove risiedono le idee. Le anime poi, precipitano nei corpi, reincarnandosi, si dimenticano la loro visione delle idee e, prigioniere dei sensi, sono portate a identificare la realtà col mondo sensibile. I filosofi sarebbero poi quelli che hanno osservato le idee meglio degli altri ed il loro compito è quindi quello di aiutare le anime a ricordarsi di quella fugace visione dell'iperuranio¹⁰</span><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">⁾</span><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">Caro Platone con tutto il rispetto ma questa mi sembra proprio una grande boiata. Devo ammettere che da ragazzo ero affascinato da queste storie: il mito della caverna, il mito della biga alata, le idee incorruttibili. Del resto i giovani hanno bisogno di credere che la Verità e la Virtù (con la V maiuscola) esistano e quindi l’operazione che ti era riuscita con i sofisti funziona bene anche con loro. Ma con il senno del poi, forse era meglio se tu avessi ragionato un po’ di più sulla filosofia materialista di Leucippo e Democrito soprattutto vedendo i danni che, complici il tuo allievo Aristotele ed i padri della chiesa, hai apportato alla storia dell'occidente rallentando l’introduzione del metodo scientifico per quasi duemila anni. </span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">E poi quella storia dei filosofi che, tra una metempsicosi e l’altra, sono riusciti a contemplare meglio le idee perché quel giorno l'iperuranio era poco nuvolo, ebbene quella a pensarci bene, di danni ne ha fatti proprio parecchi!</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">Caro Platone scusa l’irriverenza, ma te possino…. </span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">Federico </span><br />
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">Note:</span><br />
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif; font-size: x-small;">1) A. N. Whitehead (1861-1947), filosofo e matematico britannico in Process and Reality, p. 39, Free Press, 1979 </span><br />
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif; font-size: x-small;">2) Platone,, Timeo </span><br />
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif; font-size: x-small;">3) Platone, Lettera VII, 324 e. </span><br />
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif; font-size: x-small;">4) Platone, Menone, 80 d-e. </span><br />
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif; font-size: x-small;">5) Platone, Menone </span><br />
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif; font-size: x-small;">6) Platone, Parmenide </span><br />
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif; font-size: x-small;">7) Platone, Parmenide </span><br />
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif; font-size: x-small;">8) Platone, Timeo </span><br />
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif; font-size: x-small;">9) Platone, Sofista, 241d </span><br />
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif; font-size: x-small;">10) Platone, Fedro, Mito del carro e dell'auriga, 246 a – 249 b</span></div>
<div>
<ol>
</ol>
</div>
Federico Giudiceandreahttp://www.blogger.com/profile/12558070611627765134noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-5622501474661069545.post-19825788496425998682011-07-11T20:55:00.000+02:002012-12-17T22:12:05.181+01:00Lettera a Leucippo e Democrito<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjdRue1-6u5JyNlRXwlj29HSrdJkCxtqXuKfO8L8ME_H75C-nZnLazA6zE3ogmvBm2CgVtepIMkh9sja6DUtQrbF66BibMTm5M_w0ZBPnYHNG0-YDCcX9W88h43dzluRtZl-1933d49CXo/s1600/Atomi.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="298" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjdRue1-6u5JyNlRXwlj29HSrdJkCxtqXuKfO8L8ME_H75C-nZnLazA6zE3ogmvBm2CgVtepIMkh9sja6DUtQrbF66BibMTm5M_w0ZBPnYHNG0-YDCcX9W88h43dzluRtZl-1933d49CXo/s400/Atomi.png" width="400" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Caro Leucippo, Caro Democrito<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Vi scrivo per ringraziarvi. Avete tentato di riportare la filosofia sui giusti binari. Voi del continente vi eravate lasciati sfuggire di mano la ricerca dell’essenza del mondo, dell’origine delle cose, dell’ἀρχή. Quei matti della Magna Grecia, ah les italiens…, ed in particolare quelli della scuola di Elea, avevano dato alla filosofia proprio una brutta piega:<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Negare il divenire ed il moto, in virtù di cervellotici ragionamenti sull’essere o sulla divisione all’infinito.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Negare l’evidenza in virtù di ragionamenti fallaci. Fallaci proprio perché portavano ad un assurdo.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Si racconta che almeno tu, Leucippo, ad Elea ci sei andato, che li hai incontrato Parmenide e quelli della sua scuola. Spero tanto che tu gliele abbia cantate.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Basta stupidaggini sul vuoto che non esiste e sulla divisione all’infinito. <o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Il non essere (il vuoto) che non è, altro non è che un abile gioco di parole del maestro Parmedide. <o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">La divisione all’infinito di Zenone sembra invece logicamente ineccepibile ma porta ai paradossi che negano il movimento. Negare il movimento è come negare lo spazio e il tempo, concetti che sono alla base della nostra esperienza; è semplicemente assurdo.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Ma se il risultato di un ragionamento che parte da una premessa (lo spazio si può dividere all’infinito) porta ad un assurdo allora la premessa del ragionamento non è vera. Quindi la divisone all’infinito non è possibile. Alla divisione quindi è posto un limite, ad un certo punto ci si imbatte in qualcosa che divisibile non lo è più, qualcosa che è α-τομος, in-divisibile.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Condivido assolutamente l’importanza che avete dato a questa proprietà della materia e che avete elevato l’indivisibile al rango di ἀρχή</span><b style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">.</b></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Il principio di tutto è quindi l’atomo, ατομος, l’indivisibile, la particella primordiale che non può essere più divisa in parti. E questa si muove e per muoversi ha bisogno dello spazio.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Nel primo novecento Joseph John Thomson, dopo la scoperta dell’elettrone, propose il primo modello fisico dell’atomo che però presto si rilevo tutt’altro che indivisibile. Purtroppo il nome è rimasto. Ma questo non invalida il vostro ragionamento, prima o poi se non si vuole riconsiderare la divisone all’infinito, con tutte le sue conseguenze, il processo di divisione deve avere fine. Oggi la fisica teorica postula la indivisibilità dei quark, le particelle primordiali di cui sono composti tutte le particelle subatomiche ad oggi note. Ma anche se si dovessero scoprire nuove particelle, che a loro volta sono parti dei quark, il vostro ragionamento resta sempre valido.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-bottom: 5.0pt; mso-layout-grid-align: none; mso-line-height-alt: 15.0pt; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Ma torniamo un attimo indietro: fino a che la filosofia era rimasta nelle colonie ioniche, erano tutti rimasti abbastanza con i piedi per terra. La ricerca dell’ἀρχή si concertava su elementi come terra acqua aria fuoco. A dire il vero c’era qualcuno come Anassimandro che aveva tirato in ballo l'ἄπειρον, l’illimitato, ma era l’eccezione che confermava la regola. Gli altri filosofi, in particolare quelli di Mileto, erano considerati “naturalisti”.<o:p></o:p></span><br />
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-bottom: 5.0pt; mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Del resto anche Pitagora, che individuava l’ἀρχή nel numero, in fondo non diceva una cosa poi tanto campata in aria. Effettivamente se tutte le cose potevano essere divise in parti e se queste parti potevano essere messe in relazione tra di loro pensare che il numero fosse quello che le accomunasse non era poi così sballato. In fondo era andato molto vicino al concetto di ατομος, se tutto è numero e le cose si relazionano tra di loro attraverso i numeri allora ogni cosa può essere suddivisa in parti, in modo tale che possa essere messa in rapporto con le parti delle altre cose. Quindi ogni cosa può essere espressa come numero di parti. Più questi rapporti erano semplici, più c’era sintonia tra le cose. Ma la concezione di Pitagora che tutte le cose potevano essere messe in relazione attraverso il rapporto (λόγος) numerico aveva vacillato quando venne dimostrata la incommensurabilità della diagonale del quadrato rispetto al suo lato. Praticamente era stato dimostrato che non era possibile trovare un rapporto numerico finito che mettesse in relazione le due parti del quadrato. La scuola pitagorica purtroppo non aveva usato questo risultato per fermare una volta per tutte le speculazione sulla divisione all’infinito, attestando le contraddizioni che nascevano quando si consideravano forme geometriche ideali divisibili all’infinito (cioè non composte da atomi) per relegare queste a meri costrutti ausiliari. Erano state, purtroppo, poste le basi per una dicotomia tra “ragione” ed “esperienza” e quindi del concetto di “idea” non come attributo del reale ma come realtà in sé. Le conseguenze nefaste non si fecero attendere. Infatti sempre dalle parti della penisola italica, in Sicilia, Empedocle di Agrigento riteneva che i quattro elementi primordiali, terra acqua aria e fuoco, l’<b> </b>ἀρχή della scuola di Mileto per capirci, in realtà si fondevano insieme in una sfera perfettamente omogenea: <o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-bottom: 5.0pt; mso-layout-grid-align: none; mso-line-height-alt: 15.0pt; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">ἀλλ’ ὅ γε πάντοθεν ἶσος <ἑοῖ> καὶ πάμπαν ἀπείρον Σφαῖρος κυκλοτερὴς μονίηι περιηγέι γαίων (Diels-Kranz Fr. B 28)<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-bottom: 5.0pt; mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<i><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Ma dappertutto eguale a se stesso e assolutamente senza limite è lo Sfero circolare, che gode della sua solitudine sferica. <o:p></o:p></span></i></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-line-height-alt: 15.0pt; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Qui la sostantivizzazione dell’idea e quindi la sua personificazione prede corpo. Lo “sfero” (Σφαῖρος con la sigma maiuscola!) gode! Il mondo delle idee, parallelo al nostro mondo, ormai è aperto a qualsiasi boiata.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-line-height-alt: 15.0pt; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Questi tipi di “ragionamenti” fioccavano ormai da tutte le parti culminando nella negazione totale dell’esperienza della scuola eleatica.</span><b style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"> </b><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">In nome della ragione si negavano le più semplici osservazioni basate sulla “fallace” esperienza, che era relegata ormai a pura apparenza. Il mondo vero era quello delle “idee”.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-line-height-alt: 15.0pt; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Cari amici, per fortuna ci avete pensato voi, avete mostrato che esiste una via semplice per spiegare il mondo, che il finito è sufficiente e che non è necessario introdurre "il mondo delle idee". So che non è servito a molto, l’idealismo imperverserà nella storia dell’umanità ed in nome delle “idee” si giustificheranno le più terribili nefandezze, logiche e non.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-line-height-alt: 15.0pt; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-line-height-alt: 15.0pt; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Grazie comunque<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-line-height-alt: 15.0pt; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-line-height-alt: 15.0pt; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Federico <o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: large;"><br />
</span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: large;"><br />
</span></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
Federico Giudiceandreahttp://www.blogger.com/profile/12558070611627765134noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5622501474661069545.post-9006634576393489142011-05-15T18:43:00.004+02:002020-05-10T18:43:14.286+02:00Il piacere del contare<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh2unR9TP-kPt1OzICll_HWUeEF-ZBj4fPQA8K7EG_0muDwOWAYK1HurbI19_NRn2qdw9Iymu-bG2rilMof-PluqLKhfl-RG2tXlFLcRnWxA18iAdrzHIT9KMUTbPMsOMCSc7IsN5_-grk/s1600/proteo.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="298" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh2unR9TP-kPt1OzICll_HWUeEF-ZBj4fPQA8K7EG_0muDwOWAYK1HurbI19_NRn2qdw9Iymu-bG2rilMof-PluqLKhfl-RG2tXlFLcRnWxA18iAdrzHIT9KMUTbPMsOMCSc7IsN5_-grk/s400/proteo.png" width="400" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><p class="MsoNormal" style="font-family: Cambria, serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 16pt;">Nel giugno 2008 ho partecipato ad un corso tenuto dal Prof Paolo Zellini, professore di Analisi Numerica presso l’Università di Roma Tor Vergata e autore del famoso “Breve storia del infinito” di cui Italo Calvino disse: “Tra i libri italiani degli ultimi anni quello che ho più letto, riletto e meditato è la Breve storia dell'infinito di Paolo Zellini”<o:p></o:p></span></p><p class="MsoNormal" style="font-family: Cambria, serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 16pt;"> <o:p></o:p></span></p><p class="MsoNormal" style="font-family: Cambria, serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 16pt;">Il corso dal titolo "Infinito e finito: dalla crisi dei fondamenti alla scienza del calcolo" tracciava il precorso del concetto di infinito fino alla scoperta delle antinomie nate dal tentativo di trovare una sistemazione della teoria degli insiemi che tenesse conto anche degli insiemi infiniti e che agli inizi del 900 avevano messo in crisi la matematica. Nel proseguo il corso poi, trattava le questioni del calcolo finito, quello basato sui numeri interi, quello per intenderci usato oggi dai calcolatori.<o:p></o:p></span></p><p class="MsoNormal" style="font-family: Cambria, serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 16pt;"> </span></p><p class="MsoNormal" style="font-family: Cambria, serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 16pt;">Fu durante il corso che definitamente capì che il concetto di infinito attuale era intrinsecamente incoerente e che l’aritmetica dei numeri interi era la sola matematica coerente.<o:p></o:p></span></p><p class="MsoNormal" style="font-family: Cambria, serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 16pt;"> </span></p><p class="MsoNormal" style="font-family: Cambria, serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt; text-align: start;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 16pt;">A dire il vero Zellini, non era proprio di quest’opinione, anzi vedeva in certi problemi numerici, come l’inversione delle matrici mal condizionate, un limite teorico del calcolo digitale. Effettivamente un problema numerico non poteva sempre essere risolto con una precisone prestabilita, anche aumentato in modo appropriato il numero delle cifre usate per rappresentare i numeri all’interno dell’elaboratore elettronico e/o aumentando i cicli di iterazione. Infatti all'aumentare del numero di cifre usato per rappresentare i numeri all'interno di un elaboratore, la precisione del risultato certamente non peggiora ma non si può essere certi che converga verso la precisone desiderata. Una situazione simile si ha nelle serie di somme infinite convergenti. Infatti anche se alla somma si aggiungono infiniti contributi di volta in volta più piccoli questa può converge ad un numero finito e quindi fissato un limite qualunque non si può affermate che la serie delle somme infinite lo possa raggiungere.<o:p></o:p></span></p><p class="MsoNormal" style="font-family: Cambria, serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 16pt;"> </span></p><p class="MsoNormal" style="font-family: Cambria, serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 16pt;">In realtà durante il corso non capì se Paolo Zellini favorisse la matematica del continuo o quella del discreto. Da vero intellettuale forse non voleva prendere posizione.<o:p></o:p></span></p><p class="MsoNormal" style="font-family: Cambria, serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 16pt;"> </span></p><p class="MsoNormal" style="font-family: Cambria, serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 16pt;">Io invece, che avevo appena letto “l’illusione di Dio” di David Dawkins, avevo accolto l’appello dell’autore agli intellettuali di smetterla di definirsi, al più, agnostici (coloro che non sanno) o di essere riluttanti a prendere posizioni più marcate quando è possibile applicare il Rasoio di Occam,</span> <span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 16pt;">il principio metodologico che suggerisce, al fine di decidere tra più ipotesi possibili, di scegliere quella più semplice. Infatti i problemi logici e le antinomie conseguenti all’introduzione di insiemi con infiniti elementi erano a mio avviso molto più gravi che non i problemi di convergenza di certi algoritmi numerici.<o:p></o:p></span></p><p class="MsoNormal" style="font-family: Cambria, serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 16pt;"> </span></p><p class="MsoNormal" style="font-family: Cambria, serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 16pt;">Decisi quindi di prendere parte in maniera definitiva per il discreto, per il finito lasciandomi alle spalle “il paradiso che Cantor ha costruito per noi", come la aveva chiamato David Hilbert,<o:p></o:p></span></p><p class="MsoNormal" style="font-family: Cambria, serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 16pt;"> </span></p><p class="MsoNormal" style="font-family: Cambria, serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 16pt;">Ma se Paolo Zellini da un lato mi aveva privato del piacere delle elucubrazioni sull’infinito, dall’altro, aveva in me risvegliato l’interesse della matematica del finito che in fondo era più in sintonia con il resto della mia “Weltanschaung”. Mi ero scrollato di dosso gli ultimi rimasugli idealisti abbracciando in pieno la filosofia atomista. Avevo finalmente compreso a fondo la lezione del grande Epicuro.<o:p></o:p></span></p><p class="MsoNormal" style="font-family: Cambria, serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 16pt;"> <o:p></o:p></span></p><p class="MsoNormal" style="font-family: Cambria, serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 16pt;">Durante il corso Paolo Zellini ci raccontò di un passo dell’Odissea di Omero dove si associava la numerazione alla tranquillità del sonno. Tornato a casa, dopo il corso, mi misi a cercare e lo trovai nel IV libro dell’Odissea:<o:p></o:p></span></p><p class="MsoNormal" style="font-family: Cambria, serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 16pt;"> </span></p><p class="MsoNormal" style="font-family: Cambria, serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 16pt;">Il IV libro racconta di Telemaco che si era recato a Sparta da Menelao per chiedergli notizie del padre Ulisse. Menelao gli risponde raccontando un episodio del suo </span><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 16pt;">ν</span><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 16pt;">ό</span><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 16pt;">στος,</span><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 16pt;"> il viaggio di ritorno da Troia, quando era finito in Egitto sull’isola di Faro, da dove non riusciva di ripartire a causa delle avverse condizioni del mare e dei venti.<o:p></o:p></span></p><p class="MsoNormal" style="font-family: Cambria, serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 16pt;">Errando per l’isola Menelao incontrò Eidiotea figlia dell’antico dio marino Proteo, che vedendolo disperato decise di aiutarlo. Eidodea gli svelò come catturare nel sonno il padre Proteo, che ogni giorno si addormentava nella sua grotta in mezzo alle sue foche dopo avere accuratamente contate. Proteo una volta catturato gli avrebbe indicato la via per tornare a Sparta e gli avrebbe anche raccontato quello che nel frattempo era successo nella sua reggia.<o:p></o:p></span></p><p class="MsoNormal" style="font-family: Cambria, serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 16pt;">Su indicazione di Eidotea Menelao e i suoi compagni si travestirono coprendosi con pelli di foca eludendo così i controlli di Proteo riuscendo ad entrare nella grotta. Proteo appena addormentato viene sopraffatto da Menelao ed i suoi compagni rivelando a Menelao il destino suo e di altri eroi achei tra i quali Aiace e Odisseo.<o:p></o:p></span></p><p class="MsoNormal" style="font-family: Cambria, serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 16pt;"> </span></p><p class="MsoNormal" style="font-family: Cambria, serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 16pt;">Odissea IV libro versi 450-453<o:p></o:p></span></p><p class="MsoNormal" style="font-family: Cambria, serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 16pt;"> </span></p><p class="MsoNormal" style="font-family: Cambria, serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 16pt;">ἔνδιος δ' ὁ γέρων ἦλθ' ἐξ ἁλός, εὗρε δὲ φώκας<o:p></o:p></span></p><p class="MsoNormal" style="font-family: Cambria, serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 16pt;">ζατρεφέας, πάσας δ' ἄρ' ἐπῴχετο, <b>λέκτο</b> δ' αριθμόν.<o:p></o:p></span></p><p class="MsoNormal" style="font-family: Cambria, serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 16pt;">ἐν δ' ἡμέας πρώτους λέγε κήτεσιν, οὐδέ τι θυμῷ<o:p></o:p></span></p><p class="MsoNormal" style="font-family: Cambria, serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 16pt;">ὠΐσθη δόλον εἶναι· ἔπειτα δὲ <b>λέκτο</b> καὶ αὐτός.<o:p></o:p></span></p><p class="MsoNormal" style="font-family: Cambria, serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 16pt;"> </span></p><p class="MsoNormal" style="font-family: Cambria, serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 16pt;"> </span></p><p class="MsoNormal" style="font-family: Cambria, serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 16pt;">In seguito gli stessi versi nella bellissima traduzione dell’Odissea di Ippolito Pindemonte (IV 565-569)<o:p></o:p></span></p><p class="MsoNormal" style="font-family: Cambria, serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 16pt;"> </span></p><p class="MsoNormal" style="font-family: Cambria, serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 16pt;">Uscio sul mezzogiorno il gran vegliardo<o:p></o:p></span></p><p class="MsoNormal" style="font-family: Cambria, serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 16pt;">E trovò foche corpulente e grasse,<o:p></o:p></span></p><p class="MsoNormal" style="font-family: Cambria, serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 16pt;">Che attento annoverò. Contò noi prima,<o:p></o:p></span></p><p class="MsoNormal" style="font-family: Cambria, serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 16pt;">Nè di frode parea nutrir sospetto.<o:p></o:p></span></p><p class="MsoNormal" style="font-family: Cambria, serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 16pt;">Ciò fatto, ei pur nella sua grotta giacque.<o:p></o:p></span></p><p class="MsoNormal" style="font-family: Cambria, serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 16pt;"> </span></p><p class="MsoNormal" style="font-family: Cambria, serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 16pt;">Ma soffermiamoci sull’ultima parte del secondo verso: λέκτο δ' αριθμόν. Qui compare la parola λέκτο che è, nella forma poetica, l’aoristo indicativo terza persona singolare di λέγο. λέγο ha due significati ( raccogliere, enumerare) oppure (dire, parlare). Infatti λόγος che ha la stessa radice vuol dire il computare, il calcolare, la ragione, il rapporto oppure anche parola, discorso. Questo doppio significato ha portato un po’ di confusione nelle traduzioni dei vangeli dove la parola λόγος imperversa e non si sa se tradurla come “ragione” o “parola” (di Dio). In questo caso non c’è dubbio l’accostamento con αριθμόν, (numero) indica l’azione del contare.<o:p></o:p></span></p><p class="MsoNormal" style="font-family: Cambria, serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 16pt;"> </span></p><p class="MsoNormal" style="font-family: Cambria, serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 16pt;">Nell’ultimo verso ritroviamo di nuovo λέκτο, ma questa volta si tratta del aoristo indicativo terza persona singolare di λέχο giacere, dormire (la stessa radice si ritrova nel latino lectus da cui l’italiano letto, nel gotico ligan da cui il tedesco liegen)<o:p></o:p></span></p><p class="MsoNormal" style="font-family: Cambria, serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 16pt;"> </span></p><p class="MsoNormal" style="font-family: Cambria, serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 16pt;">E’ un caso? oppure Omero ha voluto creare un collegamento tra i due concetti. I due λέκτο si trovano inoltre accentati nella stessa posizione nella struttura ritmica della metrica dell’esametro, esaltandone cosi la corrispondenza.<o:p></o:p></span></p><p class="MsoNormal" style="font-family: Cambria, serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 16pt;">Ma indipendentemente dal fatto che Omero abbia voluto, in modo così sottile, collegare coscientemente i due concetti o che si tratti di un’interpretazione a posteriori dell’esegesi omerica in nessun modo si può negare l’incredibile bellezza e l’armonia di questi versi. <o:p></o:p></span></p><p class="MsoNormal" style="font-family: Cambria, serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 16pt;">Contare, mettere in relazione, mettere in ordine, elencare, strutturare, ragionare o per dirlo in termini matematici: mettere in corrispondenza biunivoca con l’insieme dei numeri naturali da pace.<o:p></o:p></span></p><p class="MsoNormal" style="font-family: Cambria, serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 16pt;"> </span></p><p class="MsoNormal" style="font-family: Cambria, serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 16pt;">Mi piace pensare che questo sia dovuto al fatto che contando, ci si collega, attraverso il processo di corrispondenza con l’insieme dei numeri naturali, all’essenza stessa dell’essere, all’</span><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 16pt;">αρχ</span><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 16pt;">ή</span><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 16pt;"> pitagorico</span><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 16pt;">: il numero. E, squarciato per un attimo il velo che lo nasconde, </span><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 16pt;">l’anima, contemplando, appagata si rilassa:</span><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 16pt;"><o:p></o:p></span></p><p class="MsoNormal" style="font-family: Cambria, serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 16pt;"> </span></p><p class="MsoNormal" style="font-family: Cambria, serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 16pt;">λέκτο δ' αριθμόν… ἔπειτα δὲ λέκτο καὶ αὐτός<o:p></o:p></span></p><p class="MsoNormal" style="font-family: Cambria, serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 16pt;"> </span></p><p class="MsoNormal" style="font-family: Cambria, serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 16pt;">Contare, poi giacere, dormire<o:p></o:p></span></p><p class="MsoNormal" style="font-family: Cambria, serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 16pt;"> </span></p><p class="MsoNormal" style="font-family: Cambria, serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 16pt;"> </span></p><p class="MsoNormal" style="font-family: Cambria, serif; font-size: 12pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 16pt;"> </span></p></div>
Federico Giudiceandreahttp://www.blogger.com/profile/12558070611627765134noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5622501474661069545.post-35501822585277873782011-04-18T01:08:00.000+02:002012-11-11T10:56:11.342+01:00Lettera a Zenone<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhavLMoyH3wpQZmxGYr0TFb-wYOVGncltxRSrVjkNlvWSlBQZ5fRi6XZRlH9DlSpyqZbwTwu6vyWJk_sp1mK0j5ivaOQffm4zgFiCdW5V1nHAvWHZ9tMkO6IZMPP-kfAlbhnAHmlDK4jHk/s1600/Senza+titolo.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="300" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhavLMoyH3wpQZmxGYr0TFb-wYOVGncltxRSrVjkNlvWSlBQZ5fRi6XZRlH9DlSpyqZbwTwu6vyWJk_sp1mK0j5ivaOQffm4zgFiCdW5V1nHAvWHZ9tMkO6IZMPP-kfAlbhnAHmlDK4jHk/s400/Senza+titolo.png" width="400" /></a></div>
<div class="p1">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: large;"><br />
</span></span></div>
<div class="p1" style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></span>
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Caro Zenone,</span></span></div>
<div class="p2" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span class="s1"></span></span></div>
<div class="p1" style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">mi sei sempre stato simpatico, non solo per i tuoi divertenti paradossi, ma soprattutto per la strenua difesa delle opinioni del tuo maestro Parmenide. </span></span></div>
<div class="p1" style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Opinioni difficili da sostenere poiché Parmenide negava la più semplice delle esperienze: il movimento. Il tuo maestro, attraverso il ragionamento ontologico sulla non esistenza del non essere, aveva affermato l’inesistenza del vuoto e quindi del movimento. Infatti quest’ultimo senza vuoto non poteva avvenire, poiché se lo spazio è pieno e senza vuoti il movimento non è possibile. I corpi stanno, uno attaccato all’altro, senza vuoti tra di loro, aggregati come in un unico blocco all’interno del quale nulla si può muovere.</span></span></div>
<div class="p1" style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Tu, per dare man forte al tuo maestro, avevi inoltre tentato di dimostrare l’impossibilita del moto attraverso un ragionamento indipendente basato sui paradossi generati dalla divisione all’infinito: Achille che non raggiunge la tartaruga, e poi, quello che a me piace di più, la freccia che non raggiunge il bersaglio. Infatti questa deve, prima di raggiungere la meta, arrivare a metà del percorso e prima ancora a metà della metà e così via all’infinito. La freccia non partirà mai dovendo percorrere infiniti segmenti in un tempo finito. </span></span></div>
<div class="p2" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span class="s1"></span></span></div>
<div class="p1" style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Caro Zenone, quando mia moglie, in preda all’astinenza da nicotina, mi chiedeva di andarle a comprare le sigarette, ho tentato più volte, per evitare l’interruzione di qualche oziosa attività, di usare il tuo ragionamento per farle capire che anche se avessi voluto arrivare fino dal tabaccaio non avrei mai più potuto raggiungerlo dovendo prima arrivare a metà strada e prima ancora a metà della metà e così via. </span></span></div>
<div class="p1" style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Purtroppo mia moglie, che come la maggior parte delle donne ha i piedi saldamente per terra, non si faceva incantare da ragionamenti, ancorché rigorosi, che confutano l’esperienza.</span></span></div>
<div class="p2" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span class="s1"></span></span></div>
<div class="p1" style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Il ragionamento ontologico del maestro è sempre stato un po’ debole visto che giocava sui diversi significati del verbo essere. Inoltre la sostantivazione del verbo non implica che il così generato sostantivo esegua necessariamente l’azione descritta dal verbo e quindi “il non essere non è” è in realtà una forzatura</span></span></div>
<div class="p1" style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Il tuo ragionamento a prima vista sembra più difficile da confutare.</span></span></div>
<div class="p1" style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Sembrerebbe infatti, che la somma infinita di parti, ancorché piccole, è infinitamente grande e che quindi la freccia impiegherà un tempo infinito ad raggiungere il bersaglio, supposto che lo spazio da percorrere sia suddiviso in infinite parti attraverso la procedura di bisezione da te proposta.</span></span></div>
<div class="p2" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span class="s1"></span></span></div>
<div class="p1" style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Ma la somma di infiniti addendi, mio caro Zenone, è un problema insidioso.</span></span></div>
<div class="p2" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span class="s1"></span></span></div>
<div class="p1" style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Prendiamo per esempio la somma infinita 1+(−1)+1+(−1)+···, L’abate Guido Grandi (1671-1742) analizzandola trae conclusioni a dir poco temerarie:</span></span></div>
<div class="p1" style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Spostando le parentesi, da essa si ottiene sia 0 = (1 − 1) + (1 − 1) + (1-1)+…..<span class="Apple-tab-span"> </span>che 1 = 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + ··· </span></span></div>
<div class="p1" style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Da cui segue 0 = 1 ... ma allora l’idea della creazione ex nihilo risulterebbe plausibile!</span></span></div>
<div class="p2" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span class="s1"></span></span></div>
<div class="p1" style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Ma, caro Zenone, come già detto, le somme infinite sono insidiose. Qui l’abate fa un uso disinvolto della proprietà associativa della somma, che pero non vale in generale nel caso delle somme infinite.</span></span></div>
<div class="p2" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span class="s1"></span></span></div>
<div class="p1" style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Ancora più insidie si nascondono nelle somme di infiniti addendi sempre più piccoli. Infatti, queste serie a volte hanno somma infinita e a volte no.</span></span></div>
<div class="p2" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span class="s1"></span></span></div>
<div class="p1" style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Nicola d’Oresme (XIV sec.) mostra che la serie armonica:</span></span></div>
<div class="p2" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span class="s1"></span></span></div>
<div class="p1" style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">H(n)=1/2 +···+1/n +… ha somma infinita. </span></span></div>
<div class="p2" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span class="s1"></span></span></div>
<div class="p1" style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Infatti (1/2)+(1/3+1/4)+(1/5···+1/8)+··· ≥ 1/2 + 1/2 + 1/2 +··· → +∞.</span></span></div>
<div class="p2" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span class="s1"></span></span></div>
<div class="p1" style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">La dimostrazione parte dall’idea che, raggruppando opportunamente più termini consecutivi della serie armonica, si può costruire una sottosuccessione della successione che manifestamente diverge.</span></span></div>
<div class="p2" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span class="s1"></span></span></div>
<div class="p1" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span class="s1">A partire dal secondo termine, raggruppiamo i termini della serie armonica in blocchi costituiti da 1, 2, 4, 8, . . . addendi, in modo che l’ultimo termine di ciascun blocco sia del tipo 1/2</span><span class="s2"><sup>k</sup></span><span class="s1"> :</span></span><br />
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span class="s1"><br /></span></span></div>
<div class="p1" style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">(1/2) </span></span></div>
<div class="p1" style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">+ (1/3+1/4)</span></span></div>
<div class="p1" style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">+ (1/5+1/6+1/7+1/8) </span></span></div>
<div class="p1" style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">+ ......</span></span><br />
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></span></div>
<div class="p2" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span class="s1"></span></span></div>
<div class="p1" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span class="s1">In ciascuno dei blocchi entro parentesi l’ultimo addendo è il più piccolo, dunque le quantità entro parentesi sono tutte ≥ 1/2. Infatti il k-esimo blocco contiene 2</span><span class="s2"><sup>k-1</sup></span><span class="s1"> addendi tutti maggiori o uguali a 1/2</span><span class="s2"><sup>k</sup></span><span class="s1"> e quindi dato che 2</span><span class="s2"><sup>k-1</sup></span><span class="s1">/2</span><span class="s2"><sup>k </sup></span><span class="s1">= ½ </span></span></div>
<div class="p2" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span class="s1"></span></span></div>
<div class="p1" style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Che somme infinite davano un risultato finito l’aveva probabilmente intuito già Eudosso di Cnido (IV sec. a.C.) a cui viene attribuita da Euclide la dimostrazione, con il metodo dell’esaustione, che il volume di un cono e la terza parte del volume del cilindro con la stessa base.</span></span></div>
<div class="p2" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span class="s1"></span></span></div>
<div class="p1" style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Questo metodo basto sulla somma di infinite aree geometriche può essere usato per dimostrare che la freccia arriva al bersaglio infatti:</span></span></div>
<div class="p2" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span class="s1"></span></span></div>
<div class="p1" style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">La somma della serie geometrica: G(n)=1/2+1/4+1/8 ….. per infiniti elementi è uguale a 1.</span></span></div>
<div class="p1" style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjXXW5QLAscEL6eonKB9sasli2yOQH7WtRmorZM0NYGow4uxZvoxTVk5AG8D6kdLk5Uc4G4izyCJBVB2r4QCIPq8vTKSHWMfSxLsm645IwsvzvbxDVK-EmuELhKqaxwJWvLQIqdMyWo46M/s1600/divisione+all%253Finfinito.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="400" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjXXW5QLAscEL6eonKB9sasli2yOQH7WtRmorZM0NYGow4uxZvoxTVk5AG8D6kdLk5Uc4G4izyCJBVB2r4QCIPq8vTKSHWMfSxLsm645IwsvzvbxDVK-EmuELhKqaxwJWvLQIqdMyWo46M/s400/divisione+all%253Finfinito.png" width="400" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="p2" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span class="s1"></span></span></div>
<div class="p2" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">come si vede dal disegno, si parte dal primo triangolo, che ha un area equivalente alla metà del quadrato e si aggiungono quindi</span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"> </span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">triangoli di area grande la metà del triangolo precedente. Se si immagina di continuare questo processo all’infinito si vede che l’intera area del quadrato viene riempita e quindi si può affermare che la somma infinita delle aree sia uguale ad 1. Quindi la somma di infiniti elementi può essere finita e quindi la freccia colpisce il suo bersaglio.</span></div>
<div class="p2" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span class="s1"></span></span></div>
<div class="p1" style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Caro Zenone, sembrerebbe che non hai potuto aiutare il tuo maestro Parmenide più di tanto. Comunque come avrei notato trattare le somme infinite non è cosa tanto semplice, anzi ogni volta che c’è di mezzo l'infinito bisogna andarci coi piedi di piombo. Comunque hai messo un dito nella piaga. Ne discuteranno filosofi e matematici per i prossimi millenni, distinguendo sottilmente tra i tipi di infinito: attuale o potenziale, categormatico o sincategormatico, con la cardinalità dei numeri naturali o con la cardinalità del continuo. </span></span></div>
<div class="p2" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span class="s1"></span></span></div>
<div class="p1" style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Alla fine è risultato un gran casino. Il tentativo di includere gli insiemi infiniti in una teoria assiomatica degli insiemi ha prodotto addirittura affermazioni che sono sia coerenti, che non coerenti, all’interno della teoria stessa. Le fondamenta della matematica hanno per la prima volta subito un sussulto e alcuni matematici chiamati intuizionisti, a quali anche io mi associo, hanno rifiutato l’uso disinvolto dell’infinito attuale, rifondando la matematica e riportandola a trattare solo di quei enti che la mente può costruire, facendo a meno del concetto di infinito attuale o degli insiemi a cardinalità infinita. </span></span></div>
<div class="p2" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span class="s1"></span></span></div>
<div class="p1" style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">La somma della serie geometrica non “è” uguale a uno ma la successione delle somme parziali all’aumentare degli elementi si avvicina ad uno, senza pero mai raggiungerlo un quanto la somma “infinita” non esiste non essendo “costruibile”.</span></span></div>
<div class="p2" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span class="s1"></span></span></div>
<div class="p1" style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Caro Zenone, il tuo tentativo di “ragionare” con l’infinito ha generato un paradosso. Questo in parte è stato risolto utilizzando un formalismo che trattava insiemi con infiniti elementi, ma quando si è cercato di costruire una teoria degli insiemi che tenesse conto anche di quelli con cardinalità infinita sono nati altri paradossi, che questa volta però non si sono rilevati risolvibili. Il diavolo è uscito dalla porta per rientrare dalla finestra. </span></span></div>
<div class="p2" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span class="s1"></span></span></div>
<div class="p1" style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Quindi, caro Zenone, bisogna fare attenzione, l’uso improprio del concetto di infinito è pericoloso, e come ben sai non solo in logica. Affermando l’infinito si creano paradossi che sembrano confutare l'esperienza comune. Del resto anche lo scopo dei tuoi ragionamenti era di evidenziare una differenza sostanziale tra il mondo della ragione e quello della esperienza. </span></span></div>
<div class="p2" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span class="s1"></span></span></div>
<div class="p1" style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Sei quindi anche tu colpevole, come Parmenide, del fatto che l’occidente ha dovuto subire due millenni di delirio idealista, da Platone ai padri della Chiesa fino a Kant ed oltre. Voglio pensare che non era tua intenzione appiopparci tanto e quindi</span></span><br />
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></span></div>
<div class="p2" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span class="s1"></span></span></div>
<div class="p1" style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">ti saluto con simpatia</span></span><br />
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></span></div>
<div class="p2" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span class="s1"></span></span></div>
<div class="p1" style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Federico.</span></span></div>
<div class="p2" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: large;"><span class="s1"></span></span></div>
<div class="p2" style="text-align: justify;">
<span class="s1"></span></div>
Federico Giudiceandreahttp://www.blogger.com/profile/12558070611627765134noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-5622501474661069545.post-80560955027016062902010-05-08T14:03:00.000+02:002012-01-07T01:28:38.336+01:00La teoria eliocentrica di Aristarco da Samo<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br />
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhVJNN0y3VayZM5qac6i-BOokgMiZCSqN8yPoPmGAGRDeggEcmvFp9Z-xGvQVV_9sRBhF8dwhjvRkUexSTiId-7qEzYWGKvmUG1e3bOaio9I0xhxY9xJsk1wni9rG5FY1aC64HArc7HbKg/s1600/01+Arsitarco+di+samo.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><span style="font-size: large;"><img border="0" height="281" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhVJNN0y3VayZM5qac6i-BOokgMiZCSqN8yPoPmGAGRDeggEcmvFp9Z-xGvQVV_9sRBhF8dwhjvRkUexSTiId-7qEzYWGKvmUG1e3bOaio9I0xhxY9xJsk1wni9rG5FY1aC64HArc7HbKg/s400/01+Arsitarco+di+samo.png" width="400" /></span></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="font-size: large;"><br />
</span></div>
<span style="font-size: large;"></span><br />
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Aristarco da Samo, astronomo e fisico greco visse tra il 310 a.C. e il 230 a.C. Egli fu il primo a sviluppare una teoria eliocentrica del cosmo togliendo alla terra l'attributo di centro dell'universo. Inoltre in base ad un sottile ed elegante ragionamento riuscì a determinare la distanza tra la terra ed il sole e la distanza tra la terra e la luna e quindi le dimensioni relative fra la terra la luna ed il sole. Furono proprio queste misure che gli fecero capire che il sole era molto più grande della terra e che si trovava molto lontano dalla coppia terra luna, tra loro invece relativamente vicine. Questa disparità di dimensioni e di distanza fu certamente lo spunto per considerare il sole, l’astro più grande, al centro del sistema. Inoltre il sistema eliocentrico permetteva di spiegare in maniera molto più semplice i moti apparenti dei pianeti.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Il ragionamento di Aristarco per il calcolo dei rapporti tra le distanze ed i diametri dei tre corpi celesti era basato su semplici osservazioni. La versione qui riprodotta ne segue le linee generali, anche se non ne segue per filo e per segno lo svolgimento. Resta comunque la bellezza del ragionamento che portò Aristarco e la civiltà greca a capire le dimensioni del cosmo e a mettere quindi in discussione il geocentrismo e di conseguenza l’antropocentrismo.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhISdNBIUiQAc-z34_c4trxLg9DnvN9REzlpdm3oculVPFprroed0JAzwDPWG5qkxusTizvuQZWnc-XWfpOdae2TjZBdLUJPvsTxRePATvyXmqH17zH1Ubm2OJRB1UrtJhXS24Ff1fpEow/s1600/Arsitarco+di+samo.png" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span></a><o:p><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"> </span></o:p></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Vediamo innanzitutto alcune definizioni:<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEglQnIY3Lle_x_dg02sL2Dx8byR5d6Yb8UfaVhb_4h2WV7KT5dJVSvM8JtZcEKS7PN5-ehyphenhyphentfG-yHVMu6bpIWTw3U1_1od8F7Py28RUoJEl0IZYYblwPrWIQ3TfyVkk1j_t_y1MoKNAHcY/s1600/02+sole-terra-luna.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><img border="0" height="160" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEglQnIY3Lle_x_dg02sL2Dx8byR5d6Yb8UfaVhb_4h2WV7KT5dJVSvM8JtZcEKS7PN5-ehyphenhyphentfG-yHVMu6bpIWTw3U1_1od8F7Py28RUoJEl0IZYYblwPrWIQ3TfyVkk1j_t_y1MoKNAHcY/s400/02+sole-terra-luna.png" width="400" /></span></a></div>
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
</div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><i>D<sub>ts</sub></i> = distanza terra – sole<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><i>D<sub>tl</sub></i> = distanza terra – sole<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><i>d<sub>so</sub></i> = diametro sole<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><i>d<sub>te</sub></i> = diametro terra<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><i>d<sub>lu</sub></i> = diametro luna<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Aristarco osservando le fasi della luna e la relativa posizione del sole aveva capito che la luna era illuminata dal sole è che nelle quadrature ( primo ed ultimo quarto) , quando la luna presentava il suo disco illuminato a metà le semirette che congiungevano il sole alla luna(<i>SL</i>) ed la terra alla luna (<i>TL</i>) formavano un angolo retto.<o:p></o:p></span><br />
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh2Q6s6mmEbEjn_cTgkPBAfWPngxUUmuCvM1mptw4UNLq6GqSvJS6UD3a9j57CNxqRiAC5rvxN8mkGbOHd1IoMoE3qfA9GKMCuJdqeuAeVJDKM1unNWunxJFmwEspcHMSQHRcd3t2GtjsI/s1600/03+triangolo+TLS.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><img border="0" height="130" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh2Q6s6mmEbEjn_cTgkPBAfWPngxUUmuCvM1mptw4UNLq6GqSvJS6UD3a9j57CNxqRiAC5rvxN8mkGbOHd1IoMoE3qfA9GKMCuJdqeuAeVJDKM1unNWunxJFmwEspcHMSQHRcd3t2GtjsI/s400/03+triangolo+TLS.png" width="400" /></span></a></div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"> <o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Aristarco individuò quindi il triangolo <i>TLS</i> rettangolo in <i>L</i>. Misurando l’angolo α tra la luna ed il sole durante le quadrature della luna Aristarco era in grado di conoscere tutti gli angoli del triangolo <i>TLS</i>. Infatti, l’angolo β la terra ed la luna visti dal sole poteva facilmente essere calcolato sapendo che la somma degli angoli di un triangolo era uguale all’angolo piatto (180°).<sup> </sup> L’angolo luna-sole visto dalla terra comunque doveva essere minore di 90°. Infatti, quando la luna si torva in quadratura il sole non e poi molto distante ed i due astri si possono vedere insieme nel cielo diurno. La misura effettuata da Aristarco diede il valore di 87°<sup> </sup>(il valore moderno è di 89° 51’).</span><br />
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span><br />
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgSFz4PSXKnWim_NpkY7CGViQIF_prJ93uFuku10OBJqEtsI9XkEyaEk-TcncKbk9Q8Su9sJDqbt_DO7RQx5Ljz1zGzUHvzdKu7ytVhkAIGZ9-vrJTWCWLRt3QEw9FpL8SM-GmRuEogxWE/s1600/04+angolo+sole+luna.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><img border="0" height="226" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgSFz4PSXKnWim_NpkY7CGViQIF_prJ93uFuku10OBJqEtsI9XkEyaEk-TcncKbk9Q8Su9sJDqbt_DO7RQx5Ljz1zGzUHvzdKu7ytVhkAIGZ9-vrJTWCWLRt3QEw9FpL8SM-GmRuEogxWE/s400/04+angolo+sole+luna.png" width="400" /></span></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span></div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span><br />
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">L'errore era tutt'altro che trascurabile ma la misura con i mezzi di allora non era di semplice esecuzione, inoltre la determinazione del esatto istante della quadratura della luna presentava difficoltà ancora maggiori. Aristarco capì comunque che essendo l’angolo luna-sole molto vicino a 90°, il rapporto tra la distanza terra-luna ed la distanza terra-sole era molto piccolo e che quindi il sole distava dalla terra molto più della luna. Aristarco stimò il valore compreso tra 18 e 20 mentre il valore moderno e di circa 400. Questo errore relativamente grande è dovuto dal fatto che nel triangolo rettangolo <i>TLS</i> se l'angolo tra il cateto minore e l'ipotenusa (nel nostra caso l’angolo luna–sole) è molto vicino a 90° anche piccoli errori nella stima di questo angolo generano grandi errori nel rapporto tra lo stesso cateto minore e l’ipotenusa. Infatti, già una stima di 89° darebbe un rapporto di 57 mentre a 89° 51” il valore sale a 382.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Chiamiamo </span><span style="font-family: Times, 'Times New Roman', serif;"><i>k</i></span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"> <o:p></o:p></span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">il rapporto tra le distanze terra-sole e terra-luna:</span><br />
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?(1.1)\ k=\frac{D_{ts}}{D_{tl}}=\frac{1}{cos(\alpha )}=\frac{1}{sin(\beta )}" title="(1.1)\ k=\frac{D_{ts}}{D_{tl}}=\frac{1}{cos(\alpha )}=\frac{1}{sin(\beta )}" />
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
</div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Il rapporto tra le distanze si riflette subito sul rapporto delle grandezze, in quanto il sole e la luna sono visti dalla terra in sostanza sotto lo stesso angolo (ca. 0.5°). Infatti la dimensione apparente del sole e della luna è quasi uguale.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEit03HNYibfVLWCSdJ1ITI4kZa-B5lF40LGQ300MMnNe8Rn8riGGGGMccljV-VJymNG-hbKq9vTDNsIN_KVAstkqLfXjEkA4gmz3dSwXMdM-kCMIuDFyCPL7GWCZSdI1rOov3OIXuTc-jE/s1600/05+angolo+estensione+sole+luna.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><img border="0" height="400" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEit03HNYibfVLWCSdJ1ITI4kZa-B5lF40LGQ300MMnNe8Rn8riGGGGMccljV-VJymNG-hbKq9vTDNsIN_KVAstkqLfXjEkA4gmz3dSwXMdM-kCMIuDFyCPL7GWCZSdI1rOov3OIXuTc-jE/s400/05+angolo+estensione+sole+luna.png" width="300" /></span></a></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Questo si nota soprattutto durante le eclissi totali di sole, quando la luna copre tutto il sole èd il periodo di eclisse totale è di solito molto breve. <o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh7lTW3A11sl_XAZWUgfNk9LWl58Sp7LCiPVx8tMFBUMl4weYxaixhEeksmJCKzRn82QlIXfDO4lfujerB98DVwtSZHCA1Fdx-0K3jir3NmHyTa-AHkfcQGWq6QgJTLLw6I0j_daFjutRs/s1600/06+eclisse+totale.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><img border="0" height="311" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh7lTW3A11sl_XAZWUgfNk9LWl58Sp7LCiPVx8tMFBUMl4weYxaixhEeksmJCKzRn82QlIXfDO4lfujerB98DVwtSZHCA1Fdx-0K3jir3NmHyTa-AHkfcQGWq6QgJTLLw6I0j_daFjutRs/s400/06+eclisse+totale.png" width="400" /></span></a></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 2.0cm; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Inoltre le eclissi totali di sole sono visibili come tali solo in regioni ristrette, già muovendosi di poche centinaia di chilometri l’eclisse non è più totale ma solamente parziale. Come si po’ vedere nella mappa sottostante che indica in porpora la zona della terra in cui era visibile l’eclisse totale del luglio 2009 mentre la zona blu indicava quella parte da dove l’eclisse era vista come parziale. <o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiZPcP0K5PP-cIDvBsc5MsAg6BRxwzPqzVU_mmonbFuIT6RG9Ux2AFDHWJYgsS7ucj6kZALwGmzsgXs1WlVDiNdxICZiJFJUDj0h6Cm3TYfri1p37B4TnlJ0tTIjTcRucWPw2Uk1yKtGAM/s1600/07+percorso+eclisse.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><img border="0" height="238" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiZPcP0K5PP-cIDvBsc5MsAg6BRxwzPqzVU_mmonbFuIT6RG9Ux2AFDHWJYgsS7ucj6kZALwGmzsgXs1WlVDiNdxICZiJFJUDj0h6Cm3TYfri1p37B4TnlJ0tTIjTcRucWPw2Uk1yKtGAM/s400/07+percorso+eclisse.png" width="400" /></span></a></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">La considerazione che il cono d’ombra solare potesse essere considerato un triangolo isoscele con base il diametro solare e come vetrice la terra (la sua superficie) indusse Aristarco ad un ragionamento che lo porto a calcolare il rapporto tra il diametro della terra ed il diametro lunare e quindi attraverso il rapporto già trovato del rapporto tra il diametro lunare e d il diametro solare al rapporto tra il diametro terreste ed il diametro del sole.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjBzdb-jK87nD3fFqFozTg7aJoUOOnh-Wb-I2LFXaAaWvX98OBG9qqugch1aP4JpZLnHqn4209qG0mjoOXY1ECO3pSj3evKBZ03POrMxeBiCedI1w_BjqAal4C-wK8XQgz6_W-49x12-AA/s1600/08+schema+eclisse+di+sole.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><img border="0" height="101" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjBzdb-jK87nD3fFqFozTg7aJoUOOnh-Wb-I2LFXaAaWvX98OBG9qqugch1aP4JpZLnHqn4209qG0mjoOXY1ECO3pSj3evKBZ03POrMxeBiCedI1w_BjqAal4C-wK8XQgz6_W-49x12-AA/s400/08+schema+eclisse+di+sole.png" width="400" /></span></a></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Definiamo quindi<o:p></o:p></span><br />
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?(1.2)\ d_{so}=kd_{lu}" title="(1.2)\ d_{so}=kd_{lu}" />
<br />
<div class="MsoNormal" style="page-break-after: avoid; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span><br />
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Per calcolare questo valore Aristarco si servì di un altra osservazione relativa questa volta alle eclissi di luna. Infatti osservando le eclissi lunari Aristarco aveva notato che al contrario di quelle solari la loro durata non poteva essere considerata un istante. Anzi il passaggio della luna nel cono d’ombra della terra durava tipicamente parecchi minuti e si potevano chiaramente distinguere quattro distinti momenti.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpFirst" style="margin-left: 38.0pt; mso-add-space: auto; mso-list: l0 level1 lfo1; text-align: justify; text-indent: -20.0pt;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><i>A</i>)<span style="font: normal normal normal 7pt/normal 'Times New Roman';"> </span>il momento in cui la luna tocca il cono d’ombra della terra<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="margin-left: 38.0pt; mso-add-space: auto; mso-list: l0 level1 lfo1; text-align: justify; text-indent: -20.0pt;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><i>B</i>)<span style="font: normal normal normal 7pt/normal 'Times New Roman';"> </span>il momento in cui la luna è entrata completamente nel cono d’ombra della terra.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="margin-left: 38.0pt; mso-add-space: auto; mso-list: l0 level1 lfo1; text-align: justify; text-indent: -20.0pt;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><i>C</i>)<span style="font: normal normal normal 7pt/normal 'Times New Roman';"> </span>il momento in cui la luna inizia da uscire dal cono d’ombra della terra <o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpLast" style="margin-left: 38.0pt; mso-add-space: auto; mso-list: l0 level1 lfo1; text-align: justify; text-indent: -20.0pt;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><i>D</i>)<span style="font: normal normal normal 7pt/normal 'Times New Roman';"> </span>il momento in cui la luna è uscita dal cono d’ombra della terra.<o:p></o:p></span><br />
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiMDK3xxCny6O9z0o9P0G1MeSn6OYMIaskbFTkRzIzhStldDOZV1H9ntq1WOGv3Wl2OrQ9likHDX8O6FF0I1I5yffmxW0WSUqu1TLPLxzqXPQoWz9r2YQ2s1kLpwPZJwYXbdkJ0TVGOPC8/s1600/09+fasi+eclisse+luna.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><img border="0" height="167" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiMDK3xxCny6O9z0o9P0G1MeSn6OYMIaskbFTkRzIzhStldDOZV1H9ntq1WOGv3Wl2OrQ9likHDX8O6FF0I1I5yffmxW0WSUqu1TLPLxzqXPQoWz9r2YQ2s1kLpwPZJwYXbdkJ0TVGOPC8/s400/09+fasi+eclisse+luna.png" width="400" /></span></a></div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span><br />
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span><br />
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhGtQtJ2ufPvzvqKENThwQmtWISnyNwS3huUlj_qa8q62SsqSYyBVxN3Cwk8OXgUDGjSu8q5dTzuSuMi7DqdjbKewmR5tAPNqeYw-5D0qKDjaszkLU15RZM0zACMCNiZ-i3Rzw9j_8Bxwg/s1600/10+immagini+fasi+eclisse+luna.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><img border="0" height="250" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhGtQtJ2ufPvzvqKENThwQmtWISnyNwS3huUlj_qa8q62SsqSYyBVxN3Cwk8OXgUDGjSu8q5dTzuSuMi7DqdjbKewmR5tAPNqeYw-5D0qKDjaszkLU15RZM0zACMCNiZ-i3Rzw9j_8Bxwg/s400/10+immagini+fasi+eclisse+luna.png" width="400" /></span></a></div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span><br />
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span><br />
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span><br />
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Aristarco riuscì a determinare il rapporto tra il diametro della luna ed il diametro del cono d’ombra della terra in corrispondenza dell’orbita lunare (<i>d<sub>co</sub></i>) dal rapporto del tempo che intercorreva tra gli istanti <i>A</i> e <i>B</i> o <i>C</i> e <i>D</i> (proporzionali al diametro lunare) ed il tempo che intercorreva tra gli istanti <i>A</i> e <i>C</i> oppure <i>B</i> e <i>D</i> (proporzionali al diametro del cono lunare in corrispondenza della orbita lunare).</span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18.0pt; text-align: justify;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18.0pt; text-align: justify;">
</div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 160.0pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 160.0pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgFoLMOSAUMAWugHKdd5BDjyU3BOwusvscdyiJWNl_BuEFWOgExaTSKO7gnp6Ic1gr7Sug5LHqWJZnh-Cjv25aFpCGyWYhY9IqZhyphenhyphen7YfI_R6irGG-KQsgr-1CEJbxwyvo9tEHcfnm1px0w/s1600/11+schema+eclisse+luna.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><img border="0" height="108" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgFoLMOSAUMAWugHKdd5BDjyU3BOwusvscdyiJWNl_BuEFWOgExaTSKO7gnp6Ic1gr7Sug5LHqWJZnh-Cjv25aFpCGyWYhY9IqZhyphenhyphen7YfI_R6irGG-KQsgr-1CEJbxwyvo9tEHcfnm1px0w/s400/11+schema+eclisse+luna.png" width="400" /></span></a></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 160.0pt; text-align: justify;">
</div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 160.0pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 160.0pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Definito quindi <i>d<sub>co</sub></i> come dimensione del cono d’ombra della terra in corrispondenza dell'orbita lunare<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">chiamiamo quindi <o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span></div>
<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?(1.3)\ m=\frac{d_{co}}{d_{lu}}" title="(1.3)\ m=\frac{d_{co}}{d_{lu}}" />
<br />
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhAMxIxiHL0E7I70oEQ2t27NSDCIQlhfhBEhTxS6JEzdwT63kSBgR7bqjRaG-n9AjOesaLx6rdUGXIN2m7Xv1hZUGoC-9ntjDO6tyH50rbEoiaDU6B-w4BWr1QXhuuYWAhlFvgZm5juiE8/s1600/1.03+formula.png" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"></span></a></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 160.0pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span><br />
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">il rapporto tra diametro del cono d’ombra della terra in corrispondenza dell’orbita lunare e del diametro lunare.</span><br />
<div class="MsoNormal">
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span></div>
</div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Aristarco trovo per <i>m</i> il valore 2 mentre il valore moderno risulta 2,7</span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 160.0pt; text-align: justify;">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 160.0pt; text-align: justify;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi8Mh0y-DpTT28WuTLZ0jqZCm3op6m6ZEHrHQW00un7N5UR27oJjIpGCnF-ziUxflIp_ZUWxK3kmEwZYIWqPaFNrbpsC1oLufAyoQaBS65VcXlnLpks3AANOy5dr1nFRQ7h1p0M7chWHqs/s1600/12+schema+terra+sole.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><img border="0" height="113" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi8Mh0y-DpTT28WuTLZ0jqZCm3op6m6ZEHrHQW00un7N5UR27oJjIpGCnF-ziUxflIp_ZUWxK3kmEwZYIWqPaFNrbpsC1oLufAyoQaBS65VcXlnLpks3AANOy5dr1nFRQ7h1p0M7chWHqs/s400/12+schema+terra+sole.png" width="400" /></span></a></div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjqf0_WTOiCTQq81anE7vjX8rEA5-G-BW_yxpaaVeKgqeTN4Y_3lNbPw5OIaHHxnVwQZrZilC93tg_h44erturYCJYeg9515QspNK-x-uBf0vK1dbn2isSBpRc3yKD4NamMxAGk-5WGBoA/s1600/12+schema+terra+luna.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><img border="0" height="136" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjqf0_WTOiCTQq81anE7vjX8rEA5-G-BW_yxpaaVeKgqeTN4Y_3lNbPw5OIaHHxnVwQZrZilC93tg_h44erturYCJYeg9515QspNK-x-uBf0vK1dbn2isSBpRc3yKD4NamMxAGk-5WGBoA/s320/12+schema+terra+luna.png" width="320" /></span></a></div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span><br />
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 160.0pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 160.0pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Ne risultava subito che la dimensione della terra non poteva essere molto più grande del luna. Infatti, se il cono d’ombra della luna si riduceva di un diametro lunare sulla distanza terra luna durante l’eclissi di sole, il diametro del cono d’ombra durante l’eclissi di luna si doveva ridurre di una grandezza equivalenti. Questo vale solo se i triangoli definiti dai coni d’ombra della terra e della luna possono essere considerati triangoli simili. Aristarco considerò i due triangoli in sostanza molto simili poiché la distanza sole luna era molto maggiore della distanza terra luna e quindi gli angoli al vertice dei triangoli isoceli aventi come base il sole e come vertice la punta dei rispettivi coni d’ombra dovevano differire di una quantità esegua. <o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 160.0pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 160.0pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 160.0pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 160.0pt; text-align: justify;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjGzKZ__A1LylZ0jpOOKf9k5i4UhXPVpt4LTPZs7qWJtuSo8A-8LJFa2kXtTq-mRK21RyZImp02v5gxVqNNk-IwvbIA3jsjuL04TMkPTowoYYAXdu7inLIDcOqIu8JYVB2WeTG53UaWrfI/s1600/13+differenza+coni.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><img border="0" height="76" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjGzKZ__A1LylZ0jpOOKf9k5i4UhXPVpt4LTPZs7qWJtuSo8A-8LJFa2kXtTq-mRK21RyZImp02v5gxVqNNk-IwvbIA3jsjuL04TMkPTowoYYAXdu7inLIDcOqIu8JYVB2WeTG53UaWrfI/s400/13+differenza+coni.png" width="400" /></span></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; text-align: justify;"><br />
</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; text-align: justify;">quindi</span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 160.0pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 160.0pt; text-align: justify;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhbdp5oa71G69_BXVJTylI3uqe5LUX4332rHHc7zRIM_jhl6G51HfGPOYHeV6oLd6QYbH_e0JY5vKx29MDPLotNe0qSzMjtFbSC4e06UHvfpuTsfRqS1AOYj7EDdBVCtO-AW0u3-rqtJQM/s1600/14+schema+sole+terra+luna.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><img border="0" height="146" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhbdp5oa71G69_BXVJTylI3uqe5LUX4332rHHc7zRIM_jhl6G51HfGPOYHeV6oLd6QYbH_e0JY5vKx29MDPLotNe0qSzMjtFbSC4e06UHvfpuTsfRqS1AOYj7EDdBVCtO-AW0u3-rqtJQM/s400/14+schema+sole+terra+luna.png" width="400" /></span></a></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 160.0pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 160.0pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 3.0cm; text-align: justify;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiNVrV4Uc0GgT_bqUwfj4YSQNEA1LYCTPk-xRbe466gnTAtctR4F1C7eIZPqqQ8wpwxya-9QqaKx7cJryR9SWCLTSliR4DE82HBV1MxMxSwZndhtda688hTLeB-dSpyFcE7FOaHf-wvNpA/s1600/1.04+formula.png" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"></span></a></div>
<div class="MsoNormal" style="page-break-after: avoid; tab-stops: 160.0pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span></div>
<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?(1.4)\ d_{co}=d_{te-d_{lu}" title="(1.4)\ d_{co}=d_{te}-d_{lu}" />
<br />
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 160.0pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span><br />
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">dalla definizione di <i>m</i> nella (1.3)</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?(1.5)\ d_{co}=md_{lu}" title="(1.5)\ d_{co}=md_{lu}" />
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiAo4x5o5pRXUjqvexjae0P_MVyf6PXpFo_hcl0_BiddrZnfey0gIj3HEFEq_8PqXI5k25Qcrdp0Wb1Pt0fjYqb_N5LoSFg5hkn78blMv2YZnKQ0be1hdJ4iZu__Xu6c86kKLS5ZjHQtRo/s1600/1.05+formula.png" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"></span></a></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 160.0pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span><br />
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Sostituendo la (1.5) nella (1.4)</span></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 160.0pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?(1.6)\ md_{lu}=d_{te}-d_{lu}" title="(1.6)\ md_{lu}=d_{te}-d_{lu}" />
</span><br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhVP-7CPAoJNYmf9v-w-TYgIpCeRg8yF_KpzhjwiDgd6csQRVzmkGLF52EkA-JWtOhWZTSG8sXlwOlHPjm5nqgO3G4phZ6ufFVKyBmSGsX6fonLKWio7iT2hbdD506pLtDTNuxmPnwGwN8/s1600/1.06+formula.png" imageanchor="1" style="clear: left; display: inline !important; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"></span></a></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 160.0pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span><br />
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">raggruppando <i>d<sub>lu </sub></i></span><br />
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?(1.7)\ (m+1)d_{lu}=d_{te}" title="(1.7)\ (m+1)d_{lu}=d_{te}" />
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 160.0pt; text-align: justify;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgcs-Jv0EvcBlo0yzXWSplFhOgn3fi24YyLHI3H2gqMvL1IimqZxnnUtxN6Ikr-ivNou1GnKpVK5_YaPiAT0yoWu9nBADnHtIrQsY9iB5hNXR8vaWltJBjUas_CZgeVDwoN04WAKPEAhEs/s1600/1.07+formula.png" imageanchor="1" style="clear: left; display: inline !important; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"></span></a></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 160.0pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 160.0pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">e quindi evidenziando <i>d<sub>lu</sub></i></span></div>
<br />
<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?(1.8)\ d_{lu}=\frac{d_{te}}{(m+1)}" title="(1.8)\ d_{lu}=\frac{d_{te}}{(m+1)}" />
<br />
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 160.0pt; text-align: justify;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg7WwpDGRZFCTRrcIKLzsYGVqCRX1vuAtaqV_YMXwDrbmjZScVkxHDHHOpyLV-6XUp8ZB_MAMmhkhak0gcPuL38Kkw9pRrV3EIxireY7FPWLUfPbuvhss_ofMsFq9anrLBhdL9C_pqi9v4/s1600/1.08+formula.png" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"></span></a></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 160.0pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 160.0pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">considerando la (1.2)</span><br />
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?(1.9)\ \frac{d_{so}}{k}=\frac{d_{te}}{(m+1)}" title="(1.9)\ \frac{d_{so}}{k}=\frac{d_{te}}{(m+1)}" />
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 160.0pt; text-align: justify;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg8i6X8ZK5Vdv2iwD8owySLK7R2IGwrzBGl-QBgASqHeGN-QqgQF8tibVUojGpzjnWjve7897xHvsMh1r5gxoTLTb4UUq7kmx5sJTS4Zr8gHDO4FwAfLufEyYtZ78BG6bdx2khhH2D9Pt8/s1600/1.09+formula.png" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"></span></a></div>
<div class="MsoNormal" style="page-break-after: avoid; tab-stops: 160.0pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="page-break-after: avoid; tab-stops: 160.0pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">si ottiene </span><br />
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span></div>
<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?(1.10)\ d_{so}=\frac{d_{te}}{(m+1)}d_{te}" title="(1.10)\ d_{so}=\frac{d_{te}}{(m+1)}d_{te}" />
<br />
<div class="MsoNormal" style="page-break-after: avoid; tab-stops: 160.0pt; text-align: justify;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhDZFuy4Yliyu1_HtQZZ1by46FNCGsRFf4W-1Z5RHlaXIe_41WFuOArlXfMuPPMkB4RHd2OUxl8hWS1-ZrzodK2eacHfqIFLxKYUNvTWfNLfeu5T-gRbmtf9umPHwuPLVkCt5v32PMvxjg/s1600/1.10+formula.png" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"></span></a></div>
<div class="MsoCaption" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 160.0pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Ricapitolando, Aristarco aveva trovato per </span><i style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">k</i><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"> il valore di 19 mentre per </span><i style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">m</i><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"> il valore 2. Applicando questi valori alla (1.8) e alla (1.10) le risultanti dimensioni del sistema solare sono ricapitolate nelle seguenti:</span><br />
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal">
<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?d_{lu}=\frac{1}{3}d_{te}" title="d_{lu}=\frac{1}{3}d_{te}" />
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span><br />
<br /></div>
<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?d_{so}=\frac{19}{3}d_{te}" title="d_{so}=\frac{19}{3}d_{te}" />
<br />
<div class="MsoNormal">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgjh_ng1nYnw4OZy_Dfp-zHUMYMeXBki3QStl8d2BGr8d7iM4ksYfjU0cuRQkUF_EUjvnBubuVaxWsn0yHV45Py7OMKeimYIVgJ9TABO0K14cMNnxobpIfr9UbDMpKc7d6AwpnnC-MNISY/s1600/1.11+formula.png" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"></span></a><br />
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span><br />
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; text-align: justify;">Aristarco aveva eseguito errori nella determinazione di </span><i style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; text-align: justify;">m</i><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; text-align: justify;"> e </span><i style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; text-align: justify;">k </i><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; text-align: justify;">e aveva quindi sottostiamo sopratutto la distanza terra sole.</span><i style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; text-align: justify;"> </i><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; text-align: justify;">I valori coretti per </span><i style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; text-align: justify;">k</i><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; text-align: justify;"> ed </span><i style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; text-align: justify;">m</i><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; text-align: justify;"> sarebbero stati rispettivamente 382 e 2,7. Usando questi valori il diametro lunare e quello solare risultano:</span><br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal">
<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?d_{lu}=0.27d_{te}" title="d_{lu}=0.27d_{te}" /> <span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"> </span><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?d_{so}=106d_{te}" title="d_{so}=106d_{te}" /></div>
<div class="MsoNormal">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgfxXn-bzyYqMUY5wV8trw5vvUG0QssBnJX2R-hrY2A7ipXxzGy1rYzIQFgrU4w9rq2o2-NHFgUpsszHzJchntUeyfQ5Mc_5Z1cZ5hFp2H05KQc9oMZNhXXdvwCam-QacOIplzL_BHU0bI/s1600/1.13+formula.png" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"></span></a></div>
<div class="MsoNormal">
<div style="text-align: -webkit-auto;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span style="clear: left; display: inline !important; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"> </span><span style="clear: left; display: inline !important; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"></span></span></div>
<div style="text-align: -webkit-auto;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">molto vicini ai valori moderni.</span></div>
<div style="text-align: -webkit-auto;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Pur sbagliando le misure astrometriche Aristarco aveva intuito che il sole era un oggetto celeste di gran lungo più grande della terra e quindi le toglieva il primato che era alla base della visone geocentrica del cosmo.</span><br />
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: white; background-image: initial; background-origin: initial;">La teoria eliocentrica fu però fermamente osteggiatata da Claudio </span>Tolomeo astronomo del II secolo d.C<span style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: white; background-image: initial; background-origin: initial;"> che nella sua opera Almagesto affermò la centralità ed immobilità della Terra nell'universo.</span></span><br />
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span style="background-color: white;">Il Cristianesimo in seguito avallò la cosmologia tolemaica in quanto compatibile con le Sacre Scritture. </span><span style="background-color: white;">Infatti in </span><i style="background-color: white;">Giosuè, cap. X,</i><span style="background-color: white;"> si legge <i>"fermati, o sole!"</i> e</span><span style="background-color: white;"> quindi secondo la chiesa era il sole a muoversi e non la terra.</span></span><br />
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Dovranno passare quasi 2000 anni prima che Nicolò Copernico e dopo di lui Galileo riaffermeranno la visone eliocentrica del sistema solare togliendo </span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">definitivamente alla terra la posizione privilegiata al centro del universo.</span></div>
</div>Federico Giudiceandreahttp://www.blogger.com/profile/12558070611627765134noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-5622501474661069545.post-8568686213404719162010-04-17T18:54:00.000+02:002012-11-11T00:54:10.829+01:00Lettera a Parmenide<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEib2Fu3aopcL_OCp4tbuaYF-c76u2sYvgjGxXJn6Z_Y0zY5z_bTlwAzQ-LHOdIwj_8NJc11I8J0c8KCZn5A5IGVJSY9sqIKqwqNhpQa_c0chOwhTs9thMqYziulRIZSonUOYxfsEmSDcw4/s1600/Parmenide.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="298" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEib2Fu3aopcL_OCp4tbuaYF-c76u2sYvgjGxXJn6Z_Y0zY5z_bTlwAzQ-LHOdIwj_8NJc11I8J0c8KCZn5A5IGVJSY9sqIKqwqNhpQa_c0chOwhTs9thMqYziulRIZSonUOYxfsEmSDcw4/s400/Parmenide.png" width="400" /></a></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-line-height-alt: 14.0pt; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="color: #262626; font-family: Arial; font-size: 16pt;"><br />
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-line-height-alt: 14.0pt; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="color: #262626; font-family: Arial; font-size: 16pt;"><br />
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-line-height-alt: 14.0pt; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="color: #262626; font-family: Arial;">Caro Parmenide<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-line-height-alt: 14.0pt; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-line-height-alt: 14.0pt; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="color: #262626; font-family: Arial;">Lo so che la storia della radice di due, il rapporto tra lato del quadrato e la sua diagonale, era una bella rogna. I Pitagorici avevano dimostrato che non fosse esprimibile come rapporto di due numeri interi. Questo era del tutto inaspettato, contrario al senso comune e ha creato un bel casino nella concezione del mondo dei tuoi conterranei. Effettivamente a una prima analisi sembrava che intuizione e realtà non fossero sempre in sintonia, e che non tutte le cose “sono” come “sembrano”. Il fatto che la matematica, che è basata sulla ragione e sulla logica, non sia intuitiva, è qualcosa che non deve sconvolgerti più di tanto. Dopo di te negli ultimi 2000 anni è successo un sacco di volte che la matematica ha prodotto risultati inaspettati e assolutamente anti intuitivi. Basta che pensi ai numeri immaginari basati sulla radice di -1 oppure agli infiniti di ordine superiore di Cantor. Il grande John (Janos) von Neuman, diceva “In matematica non si capiscono le cose, semplicemente ci si abitua a esse”. Oggi ogni alunno delle scuole elementari accetta senza problemi che la radice di due ha infinite cifre dopo la virgola. E la cosa non lo sconvolge più di tanto. <o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-line-height-alt: 14.0pt; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="color: #262626; font-family: Arial;">Secondo me hai un po’ esagerato o forse ti sei compiaciuto a farlo. C’era proprio bisogno di dividere il mondo in due? Quello delle apparenze (doxa) e quello della verità/ragione (aletheia). Solo perchè alcuni ragionamenti sembrano dare risultati paradossali non c’è bisogno di negare i dati empirici. Buttare a mare l’esperienza dei sensi ogni qual volta la logica apparentemente la contraddice si rivela spesso atteggiamento affrettato. Può succedere che la nostra esperienza non sia sempre descrivibile in una particolare situazione logica ma appena si allargano gli orizzonti delle teorie, l’esperienza è sempre ritornata in sintonia con la tua “aletheia”. E’ poi caro Parmenide è facile tirare in ballo un altro mondo per spiegare cose che apparentemente nel “nostro” sono a prima vista contraddittorie. <o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-line-height-alt: 14.0pt; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="color: #262626; font-family: Arial;">Poi, scusami ma devo dirtelo, il tuo argomento ontologico è un po’ un gioco di parole. Dici che ”l’essere è e il non essere non è” per poi concludere che quindi il “non essere” non esiste. Ed essendo il “non essere” equivalente al vuoto quest’ultimo, il vuoto, non esiste. Non esistendo il vuoto lo spazio è pieno e quindi il moto è impossibile, non esiste. Tutto è fermo nulla si muove. <o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-line-height-alt: 14.0pt; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="color: #262626; font-family: Arial;">Potrei ribattere: E l’esperienza ? Io mi muovo quando voglio, anche tu, o no ? <o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-line-height-alt: 14.0pt; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="color: #262626; font-family: Arial;">Scusa dimenticavo, secondo te è solo un’illusione, apparenza. Conta solo la ragione e quella secondo te ci dice che non ci possiamo muovere. <o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-line-height-alt: 14.0pt; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="color: #262626; font-family: Arial;">Ma proprio qui sbagli. L’argomento ontologico poi tanto logico non è. Il problema logico nasce dalla sostantivazione dei verbi. Formalmente è semplice: basta aggiungere l’articolo determinativo all’infinito del verbo in questione. Nessuno ci dice, però, che questi sostantivi eseguono l’azione del verbo alla loro base. Forse ha senso dire che “il pensare pensa” ? <o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-line-height-alt: 14.0pt; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="color: #262626; font-family: Arial;">Chi ci dice che “l’essere è” e a maggior ragione che “il non essere non è”. E solamente un gioco di parole che tra l’altro non funziona in tutte le lingue: in inglese giustamente “the to be is” non ha senso. <o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-line-height-alt: 14.0pt; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="color: #262626; font-family: Arial;">Fortunati gli inglesi, che così si sono risparmiati il delirio ontologico continentale sfociato in quella troiata dell’idealismo kantiano. La loro lingua gli ha lasciati con i piedi per terra e così hanno potuto sviluppare un sano e pragmatico empirismo. <o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-line-height-alt: 14.0pt; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-line-height-alt: 14.0pt; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="color: #262626; font-family: Arial;">Caro Parmenide la ragione non nega l’esperienza e quindi non è necessario creare un altro mondo in contrapposizione a quello empirico. E poi per quale motivo bisogna creare un dualismo quando se ne può fare a meno? “Entia non sunt multiplicanda praeter necessitatem” dirà Guglielmo da Occam, guarda caso anche lui anglosassone.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-line-height-alt: 14.0pt; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-line-height-alt: 14.0pt; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="color: #262626; font-family: Arial;">Logicamente ed empiricamente tuo<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-line-height-alt: 14.0pt; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="color: #262626; font-family: Arial;">Federico</span><span style="font-family: Arial; font-size: 16pt;"><o:p></o:p></span></div>
Federico Giudiceandreahttp://www.blogger.com/profile/12558070611627765134noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5622501474661069545.post-61875621290883018582010-02-06T22:13:00.000+01:002012-11-11T01:05:07.054+01:00Lettera a Pitagora<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj7fYXAoHfaI508tW4KBW06W3Cy7-un0NsLBZ_vZ5PPJkC_ZWlIccZ_u0DMNcJk6tI_z3TlXVny2bKhdn3piLR04_xFv1cA091wvgQeBSi_7vNXrE9J3Bp3GPmvJIsSJ7ytasPpVhywf6g/s1600/Porticello_testa+del+filosofo_+tre+quarti+chiara.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><br />
<img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj7fYXAoHfaI508tW4KBW06W3Cy7-un0NsLBZ_vZ5PPJkC_ZWlIccZ_u0DMNcJk6tI_z3TlXVny2bKhdn3piLR04_xFv1cA091wvgQeBSi_7vNXrE9J3Bp3GPmvJIsSJ7ytasPpVhywf6g/s320/Porticello_testa+del+filosofo_+tre+quarti+chiara.jpg" width="201" /></a></div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Caro Pitagora</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">E’ tutta colpa tua! hai fatto proprio un bel casino.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Eri partito bene, convinto che a tutto poteva essere associato un numero, anzi ti eri spinto anche oltre affermando che ogni cosa era numero e che quindi ogni cosa poteva essere messa in rapporto con un'altra, bastava dividerle in parti sempre più piccole, fino a trovare un elemento di dimensione uguale. Le cose reali stavano in relazione tra di loro come i loro numeri associati. Più semplici erano questi rapporti e più in sintonia erano le cose tra loro. Infatti, avevi, con acume, notato che nella lira solo i suoni prodotti dalle stringhe di lunghezze tra di loro in semplice rapporto sono armoniosi.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Poi è arrivato quell’esaltato di Ippaso da Metaponto, tuo allievo a Crotone, che aveva dimostrato che la diagonale del quadrato non poteva essere messa in relazione con il lato. Ma che cosa andava cercando? Cose cervellotiche: anche se avessimo suddiviso il lato in parti sempre più piccole e lo stesso avessimo fatto con la diagonale, anche suddividendoli sempre di più, non si sarebbe mai arrivato a un elemento di dimensione comune. </span></div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"> </span><br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">
</span>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Ippaso aveva dimostrato che la lunghezza della diagonale del quadrato con il lato di lunghezza unitaria, che in base al tuo famoso teorema, era uguale alla radice di due non poteva essere espressa come rapporto di due numeri interi e quindi non poteva essere messa in relazione numerica con il lato stesso. La dimostrazione la conosci ma voglio fartene conoscere un'altra, più generica, la quale si può adattare per dimostrare incommensurabilità di tutte le radici dei numeri interi che non siamo quadrati. </span></div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">
</span>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">
</span>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Consideriamo quindi la diagonale d del quadrato di lato unitari e applichiamo il tuo teorema </span></div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">
</span>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">
</span>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?(1.1)\ d^{2}=1^{2}+1^{2}=2^{^{2}}" title="(1.1)\ d^{2}=1^{2}+1^{2}=2^{^{2}}" /></span><br />
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">
</span>
<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=(1.2)\%20d=\sqrt{2}" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?(1.2)\ d=\sqrt{2}" title="(1.2)\ d=\sqrt{2}" /></a>
<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">La dimostrazione, come del resto quella di Ippaso, è una dimostrazione per assurdo, nella quale si assume temporaneamente per vera una ipotesi e sviluppandone le conseguenze si giunge ad una conclusione assurda dimostrando cosi che l’assunto originale era falso. </span></div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">
</span>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">
</span>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Ipotizziamo quindi che la diagonale d possa essere espressa come rapporto di due numeri interi n e m </span></div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">
</span>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">
</span>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?(1.3)\ d=\frac{n}{m}" title="(1.3)\ d=\frac{n}{m}" />
</span></div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">
</span>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">
</span>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">allora sostituendo la (1.3) nella (1.1) </span></div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">
</span>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">
</span>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?(1.4)\ \frac{n^{2}}{m^{2}}=2" title="(1.4)\ \frac{n^{2}}{m^{2}}=2" />
</span></div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
in generale avremo </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?(1.5)\ \frac{n^{2}}{m^{2}}=k" title="(1.5)\ \frac{n^{2}}{m^{2}}=k" />
</div>
</span><br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">quindi</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
</div>
<div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?(1.6)\ kn^{2}=m^{2}" style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;" title="(1.6)\ kn^{2}=m^{2}" /><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">
</span></div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"></span><br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">
</span>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">ora per il teorema fondamentale dell’Aritmetica sia m che n possono essere espressi in prodotto di fattori primi, e questa rappresentazione è unica, se si prescinde dall’ordine in cui compaiono i fattori. </span></div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">
</span>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">
</span>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?(1.7)\ n=p_{n1}p_{n2}p_{n3}....p_{nr}" title="(1.7)\ n=p_{n1}p_{n2}p_{n3}....p_{nr}" />
</span></div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">
</span>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">
</span>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?(1.8)\ m=p_{m1}p_{m2}p_{m3}....p_{ms}" title="(1.8)\ m=p_{m1}p_{m2}p_{m3}....p_{ms}" />
</span></div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">
</span>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">
</span>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?(1.9)\ k=p_{k1}p_{k2}p_{k3}....p_{kt}" title="(1.9)\ k=p_{k1}p_{k2}p_{k3}....p_{kt}" />
</span></div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">
</span>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
all'interno di una singola fattorizzazione ci possono essere fattori ripetuti, naturalmente: ad esempio, 100 = 2×2×5×5 </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
ma ora </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?(1.10)\ \ n^{2}=p_{n1}^{2}p_{n2}^{2}p_{n3}^{2}....p_{nt}^{2}" title="(1.10)\ \ n^{2}=p_{n1}^{2}p_{n2}^{2}p_{n3}^{2}....p_{nt}^{2}" /></div>
</span></div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
</div>
<div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?(1.11)\ m^{2}=p_{m1}^{2}p_{m2}^{2}p_{m3}^{2}....p_{ms}^{2}" style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;" title="(1.11)\ m^{2}=p_{m1}^{2}p_{m2}^{2}p_{m3}^{2}....p_{ms}^{2}" /><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">
</span></div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"></span><br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">
</span>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">
</span>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">sostituendo nella (1.5)</span></div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">
</span>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">
</span>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?(1.12)\ (p_{k1}p_{k2}p_{k3}....p_{kt})(p_{k1}^{2}p_{k2}^{2}p_{k3}^{2}....p_{kt}^{2})=(p_{m1}^{2}p_{m2}^{2}p_{m3}^{2}....p_{ms}^{2})" title="(1.12)\ (p_{k1}p_{k2}p_{k3}....p_{kt})(p_{k1}^{2}p_{k2}^{2}p_{k3}^{2}....p_{kt}^{2})=(p_{m1}^{2}p_{m2}^{2}p_{m3}^{2}....p_{ms}^{2})" />
</span></div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">
</span>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">
</span>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">ora se k non è un quadrato nella sua fattorizzazione ci sarà almeno un fattore presente un numero dispari di volte. Ma i fattori primi di n² e di m² sono presenti tutti un numero pari di volte e quindi la uguaglianza non può essere vera in quando almeno un elemento fattore primo del lato sinistro e presente un numero dispari di volte mentre i fattori primi dell’ lato destro sono tutti pari. </span></div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">
</span>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">
</span>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">
<div style="text-align: justify;">
Quindi la nostra temporanea premessa (1.5) ci ha portato ad una contraddizione e quindi la premessa è falsa. </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Quindi non esiste un rapporto numerico (1.3) che possa esprimere la radice di un numero che non sia un quadrato di un numero intero. In particolare non essendo 2 il quadrato di un altro intero la radice di due non può essere espressa nella forma (1.3), non può essere un rapporto tra numeri interi, una “ratio”, la misura della diagonale del quadrato è un numero irrazionale. </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Per te che eri convinto che tutto era numero e logos (rapporto, ratio), vedere che la diagonale non era “logica”, ma “illogica” nel vero senso della parola, deve essere stato proprio un brutto colpo. </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Ma la tua reazione! La tua reazione! Va bene arrabbiarsi, ma tu, il povero Ippaso lo hai fatto fuori annegandolo. </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Concordo, se lo era meritato! Ma, non dovevi dare tutta questa importanza alla scoperta. Soprattutto non dovevi tenerla nascosta. Bastava annoverarla tra quelle curiosità paradossali che s’incontrano quando si gioca con questi elementi irreali come punti senza dimensione o linee senza spessore che si sono inventati quei matti dei geometri. Anzi era proprio la dimostrazione che questi “enti” geometrici (scusa ma mi fa un po’ ribrezzo usare il participio presente del verbo essere per descrivere questi cosi) in realtà non esistono, non si meritano l’attributo dell’esistenza. </div>
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<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Era quindi molto più semplice affermare, usando ancora una volta la la reductio ad absurdum: ecco ho appena dimostrato che la diagonale del quadrato (quello fatto con le linee senza spessore) non esiste, poiché la supposizione della sua esistenza porta ad un assurdo. Esistono solo le diagonali dei quadrati che disegniamo sulla sabbia o su un foglio, esistono solo le cose che possiamo costruire e non ogni stronzata che possiamo pensare o immaginare. Esiste forse l’Ippogrifo? </div>
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<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Hai tenuto tutto nascosto. Così hai avvallato il pensiero, che il grande Pitagora, quello che credeva che tutto fosse finito, numerabile, aveva paura del concetto della divisone all’infinito. Così hai dato adito a Platone di inventarsi quella iattura del mondo delle idee: dove oltre alle diagonali dei quadrati con le linee senza spessore può esistere qualunque cosa, addirittura il concetto più contraddittorio della logica: l’infinito. </div>
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<br /></div>
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Ma va ....... !!! </div>
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<br /></div>
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Sempre con stima (nonostante tutto) </div>
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<br /></div>
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Federico </div>
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<br /></div>
</span><br />
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Federico Giudiceandreahttp://www.blogger.com/profile/12558070611627765134noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5622501474661069545.post-62825991971540858482009-11-03T19:34:00.001+01:002012-02-15T12:05:04.767+01:00Riempiere il vuoto<div class="p1">
<div style="text-align: right;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi0vPCBeMG_T-GVsrsBr0gxOjTVZtIizOwvK46owwdPlT91H2fm6C2wfrLzK43p7l59XvMuVhU4Q52O685XId7k_NkHsDK4JuTCVF8fnUMvIBf5PdX2_e7UR2aZi47ekByhETPTmXxGUDM/s1600/tasselatura.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="400" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi0vPCBeMG_T-GVsrsBr0gxOjTVZtIizOwvK46owwdPlT91H2fm6C2wfrLzK43p7l59XvMuVhU4Q52O685XId7k_NkHsDK4JuTCVF8fnUMvIBf5PdX2_e7UR2aZi47ekByhETPTmXxGUDM/s400/tasselatura.png" width="395" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: left; margin-right: 1em; text-align: left;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhhOnn4JRsrw3JcG7yA8GUcQvHGgFNWzMNzMKCRUTmAu5HyHGHyCGo5xz-UIunrBQb7SJC9_EBSFcFY-4k966HE7A47HwVI2XZU8Qs7pUFrH53Rpj0y5Tlyau8RcBYnEfOTP7lxSeMyLZk/s1600/figura+01.png" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><img border="0" height="200" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhhOnn4JRsrw3JcG7yA8GUcQvHGgFNWzMNzMKCRUTmAu5HyHGHyCGo5xz-UIunrBQb7SJC9_EBSFcFY-4k966HE7A47HwVI2XZU8Qs7pUFrH53Rpj0y5Tlyau8RcBYnEfOTP7lxSeMyLZk/s200/figura+01.png" width="198" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><span style="font-size: small;">Figura 1</span></td></tr>
</tbody></table>
<div style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Nel 1957 Maurits Cornelis Escher ricevette dalla casa editrice De Roos Foundation l’incarico di scrivere un saggio sulla <i>divisione regolare di un piano</i>. Ai conoscitori della sua opera non erano sfuggiti i molti lavori che l’artista olandese aveva dedicato a questo ordine di problemi; Escher stesso, per parte sua, trovò occasione con quell’incarico di sistemare teoricamente tutta una serie di intuizioni e conoscenze che aveva accumulato nel suo lavoro di grafico. Il risultato di quella ricerca è un lungo articolo corredato da una serie di 6 incisioni. Nell’affrontare il problema, Escher parte dalla sua esperienza di illustratore notando: “un piano che sia considerato illimitato su tutti i lati, può essere riempito con, o diviso in, figure geometriche simili che confinano l’una con l’altra su tutti i lati senza lasciare spazi vuoti”. </span></span><span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Torneremo a parlare di questi spazi vuoti; per intanto occorre notare che, già prima di concepire quel saggio, l’incisore olandese aveva sviluppato ben 130 tavole con esempi di figure regolari capaci di riempire una superficie – tutte riconducibili a figure geometriche regolari accostate secondo schemi che si ripetevano. </span></span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Escher aveva avuto modo di raccogliere esempi e modelli durante una visita all’Alhambra di Granada, che accoglie un ricco repertorio di tali figure geometriche: gli artisti arabi, infatti, dovevano limitarsi ad esse nel decorare le superfici, dato che la loro religione proibisce le raffigurazioni realistiche (fig. 1). </span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span class="s1"></span></div>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: left; margin-right: 1em; text-align: left;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj6nBIloUuUHVx5kZ651sCdJ81b96QEw6hT1WQ09Z5cA9SWPeQiWVgxgZxnoSz5vOQhdlzPjOzx2o-cpPUoZzmx1FGH8xoDuE-UPYvAZhl6NN5I36AK_OShVCJhX7qZZC5Uf1ZmE8GQUJY/s1600/figura+02.png" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="200" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj6nBIloUuUHVx5kZ651sCdJ81b96QEw6hT1WQ09Z5cA9SWPeQiWVgxgZxnoSz5vOQhdlzPjOzx2o-cpPUoZzmx1FGH8xoDuE-UPYvAZhl6NN5I36AK_OShVCJhX7qZZC5Uf1ZmE8GQUJY/s200/figura+02.png" width="181" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><span style="font-size: small;">Figura 2</span></td></tr>
</tbody></table>
</div>
<div class="p2">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span class="s1"></span></span></div>
<div class="p1">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span class="s1">Tuttavia l’interesse per la divisibilità regolare (o periodica) dello spazio è decisamente più antico: i primi tentativi risalgono addirittura all’epoca degli antichi egizi, come testimoniano gli affreschi trovati nelle tombe della Valle dei Re. Il primo ad eseguire tassellazioni del piano usando figure non geometriche fu l’artista viennese Koloman Moser</span><span class="s2"><sup>1</sup></span><span class="s1">, uno dei fondatori della Secessione viennese che svolse gran parte della sua raffinata attività nel campo delle arti applicate, dedicandosi in particolar modo alla realizzazione di stoffe, vetrate e manifesti, creando altresì tassellature con elementi figurativi che rappresentavano oggetti animati (fig. 2).</span></span></div>
</div>
<div class="p2">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span class="s1"></span></span></div>
<div class="p1">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span class="s1">Le diverse possibilità di riempire il piano e lo spazio con figure uguali era stato campo d'interesse dei cristallografi che, nel tentativo di classificare le strutture cristalline, si erano chiesti in quanti diversi modi il piano o lo spazio potesse essere riempito con la stessa figura. Il problema specifico dalla tassellatura del piano venne affrontato dai cristallografi Fedorov, Schoenflies e Barlow nel 1891:, essi applicarono le tecniche della teoria dei gruppi algebrici elaborata nel 1832 dal giovane matematico francese Evariste Galois</span><span class="s2"><sup>2</sup></span><span class="s1"> alle trasformazioni che si possono applicare alle figure del piano. Essi considerarono il caso delle trasformazioni isometriche che lasciano inalterata la forma e le dimensioni delle figure e che possono essere raggruppate in tre categorie: traslazione, rotazione, riflessione</span><span class="s2"><sup>3</sup></span><span class="s1">. </span></span><br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: left; margin-right: 1em; text-align: left;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhm2owamrlB7cmAch9w8vi75uSvB7VzdN0Vhxt9vt-3sdmq9LAqmVz2YjI4K34jpY3jwxtvjX1P3XoWbdKSkTwgOsKH5h6M7B5uWRmL8jy5LbHSGpBjkeOE1RZgzMq8SprQXqHyneo7XY4/s1600/figura+03.png" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="400" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhm2owamrlB7cmAch9w8vi75uSvB7VzdN0Vhxt9vt-3sdmq9LAqmVz2YjI4K34jpY3jwxtvjX1P3XoWbdKSkTwgOsKH5h6M7B5uWRmL8jy5LbHSGpBjkeOE1RZgzMq8SprQXqHyneo7XY4/s400/figura+03.png" width="257" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="font-size: 13px; text-align: center;"><span style="font-size: small;">Figura 3</span></td></tr>
</tbody></table>
<div>
</div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Dimostrarono quindi che, nel caso isometrie del piano, le possibilità di riempire una superficie piana con figure regolari sono in tutto 17 (tali figure sono chiamate anche </span><i style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">wallpaper groups </i><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">(fig. 3)). Anche Escher aveva notato che il piano poteva essere riempito con la stessa figura ed aveva iniziato a formulare una propria metodologia di classificazione (vedi Doris Schattenschneider </span><i style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Visioni della Simmetria I disegni periodici di M.C. Escher</i><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"> Zanichelli 1992) riscoprendo per via grafica che erano diciassette i diversi modi in cui figure uguali potevano, giustapponendole senza lasciare spazi vuoti, riempire il piano. Egli era anche a conoscenza di un articolo di Pólya del 1924, inviatogli da suo fratellastro Beer Escher. (professore un geologia all' Università di Leida), in cui le 17 possibilità erano state riscoperte e illustrate. Escher aveva poi spinto oltre la sua indagine considerando anche il colore come elemento distintivo (tasselli adiacenti non potevano condividere lo stesso colore); catalogò in un suo originale schema le diverse possibilità sviluppando una vera e propria teoria .</span></div>
</div>
<div class="p3">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span class="s1"></span></span></div>
<div class="p2">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span class="s1"></span></span></div>
<div class="p1">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span class="s1">È il caso di mettere in evidenza un punto che ritegno fondamentale. Esso consiste nel fatto che il numero dei modi con i quali si può, usando una figura base, riempire il piano senza lasciare spazi vuoti applicando la traslazione la rotazione e la riflessione è appunto limitato: 17 nel caso di tasselli uniformi e 46 nel caso di tasselli a due colori. Tra l’altro, anche il numero delle possibili <i>tassellazioni</i> dello spazio con solidi soggetti ad isometrie è limitato, sia pure con un ventaglio assai maggiore di possibilità: 230, per la precisione. Anche ciò fu dimostrato dal cristallografo Evgraf S. Fedorov nel 1890. Il problema della suddivisione degli spazi generalizzati a <i>n</i> dimensioni era stato posto da David Hilbert durante il famoso secondo congresso mondiale della matematica tenutosi a Parigi nel 1900. In quell'occasione, Hilbert enunciò 23 problemi</span><span class="s2"><sup>4</sup></span><span class="s1"> allora irrisolti, alle cui soluzioni si adoperarono intere generazioni di studiosi e che hanno poi scandito la storia della matematica moderna. Nel 1920 Ludwig Bieberbach dimostrò che per tutti gli spazi a qualunque dimensione la suddivisione regolare mediante trasformazioni isometriche è limitata oppure, secondo il linguaggio dei matematici, che il numero dei gruppi spaziali per qualsiasi dimensione è limitato</span><span class="s2"><sup>5</sup></span><span class="s1">.</span></span></div>
</div>
<div class="p3">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div class="p1">
<div style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Queste conclusioni sono sorprendenti. Esse ci dicono che quella realtà che chiamiamo <i>spazio</i> è colmabile con forme uguali, o divisibile in elementi primordiali, non a piacere, ma solo partendo da determinate forme. Lo<i> </i>spazio insomma sembra esso stesso soggetto ad una legge che governa la sua struttura.</span></span></div>
</div>
<div class="p3">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span class="s1"></span></span></div>
<div class="p1">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span class="s1">E’ il momento di tornare ora su quegli <i>spazi vuoti</i>, che Escher aveva lucidamente riconosciuto come l’essenza del compito che gli era stato dato. Ricordiamo: figure regolari possono riempire una <i>superficie senza lasciare spazi vuoti.</i> Questo compito fa tornare in mente uno dei testi più importanti della filosofia e della cultura occidentale, il trattato <i>Della Natura</i> di Parmenide di Elea</span><span class="s2"><sup>6</sup></span><span class="s1">. Il passo che ci interessa è quello dove Parmenide scrive: “... l’essere all’essere è accosto<i>”.</i> : sentenza di non facile interpretazione, che ha fornito materia di discussione a generazioni di filosofi.</span></span></div>
</div>
<div class="p2">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span class="s1"></span></span></div>
<div class="p1">
<div style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Di null’altro si occupa Parmenide che dell’essere, cioè di cosa il mondo sia e di come esso sia. I nostri sensi ci dicono che il mondo è uno spazio dove si alternano corpi e vuoti. La prova più evidente di ciò è il movimento, del quale tutti facciamo esperienza seguendo ad esempio un corpo che occupa porzioni successive di spazio attraversando il vuoto. Ma i sensi e l’esperienza, secondo Parmenide, non rivelano la verità; solo la ragione, procedendo per deduzioni, può condurci a quella meta. Parmenide era stato certamente a contatto con la scuola pitagorica probabilmente quale discepolo del pitagorico Aminia. </span></span></div>
</div>
<div class="p1">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span class="s1">Pitagora fu il primo filosofo a distinguere tra la realtà rilevata dall'apparenza da quella rivelata dalla ragione: convinto che ogni grandezza potesse essere espressa in forma numerica come rapporto tra numeri, da lui considerati <i>l'archè</i> di tutte le cose. Nel tentativo di trovare il rapporto tra il lato e la diagonale di un quadrato si imbattè in un risultato inaspettato che andava contro il senso comune: trovò infatti che non era possibile esprimere il rapporto tra queste due grandezza, il lato e la diagonale di un quadrato, attraverso il rapporto tra due numeri interi. In altre parole, comunque si suddivida in parti uguali sia la diagonale che il lato di un quadrato, non si giungerà mai ad un segmento di lunghezza definita in modo tale che sia la diagonale che il lato ne rappresentino dei multipli interi. Pitagora aveva dimostrato l' incommensurabilità della diagonale del quadrato rispetto al lato</span><span class="s2"><sup>6</sup></span><span class="s1">. Questa scoperta andava, oltre che contro il senso comune, sopratutto contro la sua stessa opinione che ogni cosa fosse esprimibile come rapporto di numeri interi. Per non fare crollare la certezza della corrispondenza tra il mondo dell'apparenza ed il mondo della ragione, confinò la scoperta all'interno della sua scuola. Ma fu partendo proprio dalla considerazione che questi due mondi non necessariamente dovevano coincidere che Parmenide sviluppò i suoi ragionamenti. Il principio della filosofia di Parmenide che partiva da una semplice affermazione: <i>L’essere è, il non essere non è</i> si sviluppa secondo un ragionamento che possiamo così riassumere (riprendendo <i>l’elenchus</i> proposto da Karl Popper</span><span class="s2"><sup>7</sup></span><span class="s1">):</span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<i style="text-align: left;"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span></i><br />
<i style="text-align: left;"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">i) se il non essere non è, ciò comporta che</span></i></div>
<div style="text-align: justify;">
<div style="text-align: left;">
<i><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span></i></div>
<div style="text-align: left;">
<i><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">ii) il nulla non può esistere. Se il nulla non esiste, ciò</span></i></div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<div style="text-align: left;">
<i><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">comporta che</span></i></div>
<div style="text-align: left;">
<i><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span></i></div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<div style="text-align: left;">
<i><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">iii) il vuoto non esiste. Se il vuoto non esiste, ciò comporta</span></i></div>
<div style="text-align: left;">
<i><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">che</span></i></div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<div style="text-align: left;">
<i><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span></i></div>
<div style="text-align: left;">
<i><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">iv) il mondo è pieno. Se il mondo è pieno, ciò comporta </span></i><i><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">che</span></i></div>
<div style="text-align: left;">
<i><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span></i></div>
<div style="text-align: left;">
<i><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">v) non vi è spazio per il movimento e per il mutamento </span></i><i><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">(considerato una forma di movimento). La conclusione</span> </i><i><i><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">è che </span></i></i></div>
</div>
<div style="text-align: left;">
<i><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span></i></div>
<div style="text-align: left;">
<i><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">vi) il movimento e il mutamento sono impossibili. </span></i></div>
</div>
<div class="p5">
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
</div>
<div class="p4">
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
</div>
<div class="p4">
<br /></div>
<div class="p3">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span class="s1"><i></i></span></span></div>
<div class="p1">
<div style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">I fenomeni percepiti attraverso i nostri sensi, nella rivoluzionaria visione di Parmenide, </span></span><span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">sono apparenze ingannevoli. Il mondo è uno spazio pieno, unitario, immobile, senza tempo. </span></span></div>
<table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: left; margin-right: 1em; text-align: left;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj3nHBnaV1Mf7yi_B4OJ_c9WG5CBI4Rr61PF9HCTmGMGWM0KFAInlar69qKjb_mmH4veSIoC1FGdxccmU81yjW0xGOkBK9Iua1oad9fBBhN2xdrPUrOcL3CRnqN7DZVCsS2MAPevx5ixp0/s1600/figura+04.png" imageanchor="1" style="clear: left; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj3nHBnaV1Mf7yi_B4OJ_c9WG5CBI4Rr61PF9HCTmGMGWM0KFAInlar69qKjb_mmH4veSIoC1FGdxccmU81yjW0xGOkBK9Iua1oad9fBBhN2xdrPUrOcL3CRnqN7DZVCsS2MAPevx5ixp0/s320/figura+04.png" width="236" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><span style="font-size: small;">Figura 4</span></td></tr>
</tbody></table>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">È ora evidente a quale lido approda questo excursus nell’ontologia parmenidea</span><i style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">. “L’essere all’essere è accosto”</i><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">; ovvero, come abbiamo visto nella proposizione </span><i style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">iv) il mondo è pieno</i><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">. Riempire una superficie (o un volume) con forme regolari senza lasciare spazi vuoti è la missione di Escher (fig. 4). </span></div>
</div>
<div class="p3">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span class="s1"></span></span></div>
<div class="p2">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span class="s1"></span></span></div>
<div class="p1">
<div style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Parmenide illustrato da Escher, dunque? La risposta non è così semplice. Diciamo piuttosto che il filosofo e l’artista affrontano la stessa sfida: il primo con la ragione, deducendo il mondo da un assunto a priori; il secondo con le figure geometriche, studiando le loro combinazioni<i>. “Scienza e arte, percepite per lo più come attività e linguaggi differenti dell’uomo, indagano spesso sugli stessi oggetti e hanno forme di rappresentazione comuni”</i>, come nota il matematico Piergiorgio Odifreddi (cfr<i>. Penna, pennello e bacchetta – Le tre invidie del matematico,</i> Laterza, Bari, 2005). </span></span></div>
</div>
<div class="p3">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span class="s1"></span></span></div>
<div class="p1">
<div style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">La scuola filosofica di Elea, una volta affermato il dualismo tra apparenza e verità, aveva proseguito alla ricerca di ulteriori contraddizioni tra la δοξα (l'apparenza) e la αλεθεια (la ragione) trovando ulteriori paradossi (παρα δοξα = contro l'apparenza). In particolar modo Zenone, discepolo di Parmenide, aveva formulato diversi paradossi che evidenziavano l'illusorietà del movimento. Tra essi il più noto, legato alla suddivisione all'infinito dello spazio, è quello della freccia che non raggiunge mai il bersaglio: infatti la freccia, prima di raggiungere il bersaglio, deve percorrere metà della strada e quindi la metà della metà e poi la metà del rimanente percorso in una regressione all'infinto per cui alla fine non raggiungerà mai il bersaglio. In seguito, proprio nel tentativo di risolvere i paradossi generati dalla suddivisione all'infinito, Leucippo e Democrito (anch'essi filosofi della tradizione eleatica) introdussero il concetto di <i>atomo</i> (<i>a-tomo</i> dal greco τ<i>ομος </i>taglio, divisione, con l’aggiunta del-l’ α privativo) quale elemento primordiale indivisibile che compone il mondo.</span></span></div>
</div>
<div class="p3">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div class="p1">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span class="s1">Supposto il mondo pieno, sorge quindi spontanea la domanda come siano e come siano disposti gli <i>atomi</i></span><span class="s2"><i><sup>8</sup></i></span><span class="s1"> che lo compongono. Ora, come già è stato osservato, i modi attraverso i quali elementi uguali riempiono il piano (ma anche lo spazio) senza lasciare vuoti sono limitati e la rappresentazione delle limitate possibilità è magistralmente raffigurata nelle tassellazioni di M.C. Escher. E' quindi affascinante ritenere che le tassellature di Escher rispecchino in qualche modo l’essenza stessa dello spazio e del tempo. </span></span></div>
</div>
<div class="p1">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span class="s1">Questa suggestione si rafforza al pensiero che la moderna fisica delle particelle, che si pone in chiave moderna il problema della ricerca dell'atomo (nel senso di Leucippo e Democrito) usa, nel ricercare gli elementi costituenti la materia, lo stesso formalismo algebrico usato dai cristallografi per dimostrare la finitezza del <i>wallpaper group</i>. La ricerca di elementi che mantengono le loro proprietà alla presenza di trasformazioni sono alla base della moderna fisica teorica.</span><span class="s2"><sup>9</sup></span><span class="s1"> </span></span></div>
</div>
<div class="p1">
<table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: left; margin-right: 1em; text-align: left;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiBFHaIcANiC7NsDbU0tUEHnUJWM27vhyphenhyphenND2JjkQYvWD9VIw27X2KWbI7msEFOJ1psst8yCdKtiJxtQfVw7jvMLJWivRl2bbsKjsVOy_Vu2y2RO9JZOAdbE24MGf5sOM1ODhJkrQHl1LoI/s1600/figura+05.png" imageanchor="1" style="clear: left; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><img border="0" height="280" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiBFHaIcANiC7NsDbU0tUEHnUJWM27vhyphenhyphenND2JjkQYvWD9VIw27X2KWbI7msEFOJ1psst8yCdKtiJxtQfVw7jvMLJWivRl2bbsKjsVOy_Vu2y2RO9JZOAdbE24MGf5sOM1ODhJkrQHl1LoI/s320/figura+05.png" width="320" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><span style="font-size: small;">Figura 5</span></td></tr>
</tbody></table>
<div style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Ma la suggestione continua considerando le trasfor-mazioni di spazi tassellati, cioè quelle costruzioni che Escher chiamava <i>metamorfosi,</i> illustrate magistralmente in lavori </span></span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">come </span><i style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Verbum</i><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"> (fig. 5), oppure negli assoluti capolavori escheriani </span><i style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Metamorfosi II </i><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">e</span><i style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"> Metamorfosi III</i><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">, che suggeriscono mondi pieni, parmenidei, senza vuoti, ma in continua trasformazione. </span></div>
</div>
<div class="p1">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span class="s1">Questo modo di vedere il cambiamento come continuo passaggio tra mondi pieni, da una tassellatura all’altra, suggerisce una possibile soluzione della rappresentazione del tempo come ulteriore coordinata spaziale, così come esso viene considerato dalla teoria della relatività di Albert Einstein. Qui lo spazio-tempo è visto come un continuo ed il tempo è considerato come una ulteriore dimensione che si aggiunge alle tre dimensioni spaziali (alto-basso, destra-sinistra, avanti-indietro). Un punto quindi non si muove nello spazio ma rappresenta una traiettoria nello spazio-tempo: è come se ogni istante fosse già presente su di una pellicola cinematografica tridimensionale. In questo continuo spaziotemporale<i> atomi</i> quadridimensionali potrebbero riempire il tutto senza lasciare<i> spazi vuoti</i> e senza ostacolare il <i>movimento</i>, risolvendo in modo definitivo il paradosso del moto di Parmenide. Questa interpretazione piaceva allo stesso Albert Einstein che, almeno in questo senso, arrivò a definirsi parmenideo. L’occasione gliela offrì un colloquio con Karl Popper, il quale aveva prospettato a Einstein questa idea, ossia: <i>“che il mondo fosse un universo chiuso a quattro dimensioni, nel quale il cambiamento era un’illusione umana, o qualcosa di molto simile”.</i> Ricorda Popper: “Egli era d’accordo che questa fosse la sua opinione e discutendo di ciò io lo chiamai <i>Parmenide”.</i></span><span class="s2"><i><sup>10</sup></i></span><span class="s1"> </span></span></div>
</div>
<div class="p3">
<span class="s1"></span></div>
<div class="p3">
<span class="s1"> </span></div>
<div class="p3">
<span class="s1"></span></div>
<div class="p3">
<span class="s1"></span></div>
<div class="p1">
<table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: left; margin-right: 1em; text-align: left;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj5ndLzEPGF_fJHqgxvz_IWH-4jxv2RZ6bInwNSKTDMga1UEy9ZYPTH8YauSkNN2VqK1JMncpp0DrquBXpv2OVDKgGEwhmVNvtmXNMNfP37-R4rO_k_KABV15OfPaFGv7grHQGiqRY9XwU/s1600/figura+06.png" imageanchor="1" style="clear: left; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><img border="0" height="230" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj5ndLzEPGF_fJHqgxvz_IWH-4jxv2RZ6bInwNSKTDMga1UEy9ZYPTH8YauSkNN2VqK1JMncpp0DrquBXpv2OVDKgGEwhmVNvtmXNMNfP37-R4rO_k_KABV15OfPaFGv7grHQGiqRY9XwU/s400/figura+06.png" width="400" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><span style="font-size: small;">Figura 6</span></td></tr>
</tbody></table>
<div style="text-align: justify;">
<span class="s1" style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Fino al 1972, anno della sua morte, Escher produsse una serie di lavori stupefacenti basati sulla tassellazione del piano e dello spazio, esplorando 16 dei 17 gruppi di simmetrie. </span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Le figure da lui sviluppate su questa linea di ricerca combinano elementi contrapposti come il giorno e la notte (fig. 6), l’acqua e l’aria, il bene ed il male, raffigurati come</span><i style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"> atomi</i><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"> che compongono senza lasciare spazi vuoti il nostro mondo. Essi illustrano in maniera suggestiva la costrizione del determinismo e la conseguente negazione del movimento (fig. 7).</span></div>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhXM2TaS1Yp9vHXw4ijNnO2Bw-pQi0gsEbzruFXJtun3CqmwcMUOabf_iQbRCxXnCjxkndbfy5dXGOsEbWt809MDJen0vaPb5lN_zcOYDRCGHMxa0mNBG6YX-6zByq-UOAWNOoOnT00kM0/s1600/figura+07.png" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="395" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhXM2TaS1Yp9vHXw4ijNnO2Bw-pQi0gsEbzruFXJtun3CqmwcMUOabf_iQbRCxXnCjxkndbfy5dXGOsEbWt809MDJen0vaPb5lN_zcOYDRCGHMxa0mNBG6YX-6zByq-UOAWNOoOnT00kM0/s400/figura+07.png" width="400" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><span style="font-size: small;">Figura 7</span></td></tr>
</tbody></table>
<i> </i></div>
<div class="p7">
<div style="text-align: justify;">
<span class="s1"><i><sup>1 Koloman Moser (1869 – 1918) curava la rivista della Secessione viennese Ver Sacrum. In più riprese pubblicò sulla rivista tassellature periodiche basate su figure che rappresentavano elementi naturali destinati ad essere usati come decori per carta da parati.</sup></i></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span class="s1"><i><sup><br />
</sup></i></span></div>
</div>
<div class="p8">
<div style="text-align: justify;">
<i><sup>2 Evariste Galois (1811- 1832) ragazzo prodigio e geniale matematico, di carattere focoso venne espulso dall’Ecole Normale e poi due volte arrestato per le sua attiva militanza politica repubblicana. Morì durante un duello. Avendo intuito che sarebbe morto durante quel duello, passò tutta la notte precedente a cercare di sistemare i suoi lavori matematici, infatti vi sono delle annotazioni in cui afferma che gli manca il tempo per un’esposizione più completa e chiara. In quella notte completò la teoria algebrica dei gruppi, definendo i gruppi di permutazioni che descrivono le radici di un dato polinomio.</sup></i></div>
<div style="text-align: justify;">
<i><sup><br />
</sup></i></div>
</div>
<div class="p8">
<span class="s1"><i><sup></sup></i></span></div>
<div class="p7">
<div style="text-align: justify;">
<span class="s1"><i><sup>3 In termini più matematici, si chiama «isometria» una combinazione di traslazioni lungo una retta (verticale o orizzontale), rotazioni attorno a un punto (ad esempio, si passa da `b' a `p' mediante una rotazione di 180°, e riflessioni rispetto ad una retta (ad esempio, si passa da `b' a `d' mediante una riflessione rispetto ad una retta verticale, e da `b' a `p' mediante una riflessione rispetto ad una retta orizzontale). Una tassellazione è isoedrica se dati due qualunque tasselli esiste una isometria che sposta localmente uno dei due tasselli nell'altro, ma lascia globalmente invariata la tassellazione.</sup></i></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span class="s1"><i><sup><br />
</sup></i></span></div>
</div>
<div class="p8">
<span class="s1"><i><sup></sup></i></span></div>
<div class="p7">
<div style="text-align: justify;">
<span class="s1"><i><sup>4 La questione fu posta da Hilbert nella prima parte del 18mo problema: esiste per qualsiasi spazio pluridimensionale un numero finito di gruppi basati su trasformazioni isomorfe che riempiono senza vuoti lo spazio. Nella seconda parte del 18mo problema Hilbert si domandava quale fosse la migliore disposizione di sfere per riempire lo spazio minimizzando lo spazio vuoto. Questo problema apparentemente banale è risultato particolarmente ostico e solo nel 1998 è stato dimostrato da Tomas Hales con una tecnica che prevede l’uso del calcolatore che a tutt’oggi si trova ancora al vaglio della comunità matematica.</sup></i></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span class="s1"><i><sup><br />
</sup></i></span></div>
</div>
<div class="p8">
<span class="s1"><i><sup></sup></i></span></div>
<div class="p7">
<div style="text-align: justify;">
<span class="s1"><i><sup>5 Il numero di gruppi di simmetria in uno spazio a quattro dimensioni ammonta a 4783.</sup></i></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span class="s1"><i><sup><br />
</sup></i></span></div>
</div>
<div class="p8">
<span class="s1"><i><sup></sup></i></span></div>
<div class="p7">
<div style="text-align: justify;">
<span class="s1"><i><sup>6 Parmenide è un filosofo presocratico di Elea, colonia greca situata sulla costa della Campania a sud di Paestum. Secondo la testimonianza di Platone, Parmenide nacque tra il 515 e il 510 a.C.; secondo la cronologia di Apollodoro accettata da Diogene Laerzio nacque intorno al 540 a.C. Discepolo della scuola pitagorica, è considerato il fondatore della scuola di Elea che annoverò tra i suoi discepoli Zenone. Il suo pensiero è esposto in un poema didascalico in versi che la tradizione ha intitolato Intorno alla Natura.</sup></i></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span class="s1"><i><sup><br />
</sup></i></span></div>
</div>
<div class="p8">
<span class="s1"><i><sup></sup></i></span></div>
<div class="p7">
<div style="text-align: justify;">
<span class="s1"><i><sup>7 Karl R. Popper (1902 - 1994), epistemologo viennese considerato uno dei più influenti filosofi della scienza del Novecento. L’elenchus è tratto dal articolo di Popper Come la luna può rischiarare le due vie di Parmenide tratto da Il Mondo di Parmenide (2001) .</sup></i></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span class="s1"><i><sup><br />
</sup></i></span></div>
</div>
<div class="p8">
<span class="s1"><i><sup></sup></i></span></div>
<div class="p7">
<div style="text-align: justify;">
<span class="s1"><i><sup>8 L'atomo, nella concezione della fisica moderna venne introdotto nel 1808 da John Dalton che lo chiamò così perché inizialmente era considerato l'unita più piccola ed indivisibile della materia è la più piccola parte di ogni elemento esistente in natura che ne conserva le caratteristiche chimiche. Verso la fine dell'Ottocento (con la scoperta dell'elettrone) fu dimostrato che l'atomo non era indivisibile, bensì a sua volta composto da particelle più piccole (alle quali ci si riferisce con il termine "subatomiche"). </sup></i></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span class="s1"><i><sup><br />
</sup></i></span></div>
</div>
<div class="p8">
<span class="s1"><i><sup></sup></i></span></div>
<div class="p7">
<div style="text-align: justify;">
<span class="s1"><i><sup>9 Il Modello Standard della fisica delle particelle è una teoria che descrive insieme tre delle quattro forze fondamentali, cioè l’interazione nucleare forte, l’elettromagnetismo e l’interazione nucleare debole (queste ultime due unificate nell’interazione elettrodebole), nonché la funzione e le proprietà di tutte le particelle (note ed osservate) che costituiscono la materia. Si tratta di una teoria di campo quantistica, coerente sia con la meccanica quantistica che con la relatività speciale, basata sulla teoria dei gruppi. Il comportamento delle particelle può essere descritto complessivamente in modo generale ed esatto usando un gruppo unitario chiamato gruppo di Gauge. Il gruppo di Gauge dell’interazione forte è chiamato SU(3), mentre quello dell’interazione elettrodebole è chiamato SU(2)×U(1): perciò il modello Standard è noto anche come SU(3)×SU(2)×U(1). I gravitoni, cioè le particelle che si pensa debbano mediare l’interazione gravitazionale, non sono ancora considerati nel Modello Standard il gruppo che comprende anche la loro presenza e chiamato SU(5) o la teoria del tutto è ancora in attesa di essere convalidato ed accettato dalla comunità dei fisici.</sup></i></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span class="s1"><i><sup><br />
</sup></i></span></div>
</div>
<div class="p8">
<span class="s1"><i><sup></sup></i></span></div>
<div class="p7">
<div style="text-align: justify;">
<span class="s1"><i><sup>10 cfr. K. Popper, La ricerca non ha fine. Autobiografia intellettuale, p. 133</sup></i></span></div>
</div>
<div class="p8">
<span class="s1"><i><sup></sup></i></span></div>Federico Giudiceandreahttp://www.blogger.com/profile/12558070611627765134noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-5622501474661069545.post-54166181558469387222007-03-07T18:57:00.000+01:002019-07-15T15:59:12.140+02:00La congettura di Ravà<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEidwhIrpzZSiLpB6eX2aCRJhyphenhyphenjwLbxdMen4HkHfau3g965v65Nyf8ZjyvJq9eRe0mZz7jofnTtqLFyr-sM6nnuzm08xw-1iNPFKjKvUyZMs6IWOGcDM6VuRfZpoaZjPHVR6R_XEEA4_vRs/s1600/TOB-689.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img border="0" height="400" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEidwhIrpzZSiLpB6eX2aCRJhyphenhyphenjwLbxdMen4HkHfau3g965v65Nyf8ZjyvJq9eRe0mZz7jofnTtqLFyr-sM6nnuzm08xw-1iNPFKjKvUyZMs6IWOGcDM6VuRfZpoaZjPHVR6R_XEEA4_vRs/s400/TOB-689.jpg" width="340" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
</div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">Incontrai Tobia Ravà, artista veneziano, nel marzo del 2007 presso la sua casa, una v<span style="color: #262626;">illa veneta a Mirano, </span>nell’hinterland di Venezia. Lo avevo cercato perché incuriosito da una sua opera raffigurata sulla copertina dei Racconti Matematici a cura di Claudio Bartocci edito da Enaudi, che ritraeva una donna realizzata con numeri e lettere ebraiche. Durante il nostro incontro Tobia mi parlò della tradizione esoterica ebraica, la cabbala, ed in particolare di una metodo di analisi delle scritture chiamato ghematria. Questo metodo sfrutta la proprietà della notazione numerica ebraica che rappresenta i numeri non usando simboli speciali, ma alla pari dei Greci, usa le lettere dell'alfabeto in una notazione additiva. Ogni parola scritta quindi oltre a rappresentare un concetto rappresenta quindi anche un numero. Questo permette lo studio delle parole e dei testi anche dal punto di vista numerologico. Ogni numero associato ad una parola può inoltre essere ridotto ad un unico numero minore di 10 sommandone le cifre ed ottenendo così un numero derivato. Se questo risulta maggiore o uguale di 10 questo processo viene ripetuto fino ottenere un numero ad una solo cifra. Tobia chiamava questo numero “numero teosofico” della parola o del numero di partenza. </span><br />
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">In matematica questo processo è definito come la radice digitale di un numero e trova applicazione nei criteri di divisibilità e nella “prova del nove” usata per il controllo della correttezza delle operazioni aritmetiche. </span><br />
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">I cabalisti, invece, usavano questi numeri per interpretare le scritture sacre. Secondo loro la struttura numerica della lingua ebraica e delle sacre scritture ne rivela la provenienza divina. Infatti, alcune coincidenze svelano un ordine nascosto nella lingua ebraica. Per esempio Tobia mi fece notare che la somma del numero teosofico della parola “padre” </span><span style="background-color: white; text-align: -webkit-left;"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">(av 3) </span></span><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">e della parola “madre” <span style="background-color: white; text-align: -webkit-left;">(em 5) </span>in ebraico risultava uguale al numero teosofico della parola “bambino” <span style="background-color: white; text-align: -webkit-left;"> </span><span style="background-color: white; text-align: -webkit-left;">(yeled 8)</span>. </span><br />
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">Tobia aveva inoltre uno spiccato interesse per le sequenze numeriche specialmente per la sequenza di Fibonacci. Mi raccontò che aveva scoperto che se calcolava i numeri teosofici della sequenza questi si ripetevano ogni 24 numeri della sequenza. Tobia aveva testardamente verificato la veridicità di questa regolarità della sequenza fino ad indici elevati e supponeva che questa regolarità si potesse protrarre all’infinito. La verifica numerica, anche se protratta per indici molto elevati della sequenza, chiaramente non dimostrava nulla, ma si poteva solo congetturarne la veridicità. Gli promisi di dimostrare la sua congettura in maniera deduttiva al più presto.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br />
</span><br />
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><b>Congettura di Ravà</b></span><br />
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><b><br />
</b></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: left;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif; text-align: justify;">Le radici digitali in base 10 (numeri teosofici) della sequenza di Fibonacci sono una sequenza periodica con periodo 24.</span><br />
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif; text-align: justify;"><br /></span><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif; text-align: justify;">In realtà la congettura vale non solo per la base 10 ma per tutte le basi numeriche possibili, anche se in basi diverse la successione delle cifre si ripete con periodi diversi.. Affronteremo quindi la dimostrazione per una base qualsiasi <i style="font-family: Times;"><span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;"><b>b</b></span></i>.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="MTDisplayEquation">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif; text-align: justify;"><b>Definizione di radice digitale</b></span></div>
<div>
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br />
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">La radice digitale <b>dr</b> di un intero </span><span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;"><i><b>n</b></i></span><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"> si ottiene con un processo costituito da successivi <i><b>k</b></i> passi riduttivi ciascuno dei quali consiste nel ricavare da un intero la somma delle sue cifre nella notazione in base </span><i><span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;"><b>b</b></span></i><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">.</span></div>
<h1 style="margin-right: -2cm; text-align: left;">
<span style="font-size: small; font-weight: normal;"><span style="text-align: justify;"><i><span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;">n</span></i><sub> </sub></span><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif; text-align: justify;"><span style="font-weight: normal;">è rappresentato nella base </span><i style="font-family: Times; font-weight: normal;"><span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;"><b>b</b></span></i><span style="font-weight: normal;"> come</span></span></span></h1>
<div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: list 36.0pt; text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEho10LQ0I8vpRdilVej6H0lNpjqWevuVVLM5T2I5ApGdK7iP8H9pBbBt1XFDDWlxx1_tQ_HzkmdJkllW31CjJJnJ8NB0wee7ukl4WwOUbZDPOIEnvzVoRQWejZ8rALIrn21stm24K4Ke5I/s1600/f1.1.png" imageanchor="1" style="clear: left; display: inline !important; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"></span></a></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: list 36.0pt; text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjrLpvuGy-_k6ikmh3h0uL5M-6tT_RgK-VYAwcR-y07JnQ7zr1RQJJcEsBI4TGBgLqc5oT-n11I5-VcwiNK0Uu-id1OjOtLkgKayQKNCX_PXYKIjHOOzF2K7NyLEEQbiUWXFF8z45IPqBI/s1600/CodeCogsEqn.gif" imageanchor="1"><img alt="" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjrLpvuGy-_k6ikmh3h0uL5M-6tT_RgK-VYAwcR-y07JnQ7zr1RQJJcEsBI4TGBgLqc5oT-n11I5-VcwiNK0Uu-id1OjOtLkgKayQKNCX_PXYKIjHOOzF2K7NyLEEQbiUWXFF8z45IPqBI/s1600/CodeCogsEqn.gif" title="(1.1)\: \: n=a_{m}b^{m}+a_{m-1}b^{m-1}+....+a_{1}b+a_{0}" /></a><br />
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: list 36.0pt; text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">la sua radice digitale è ottenuta il ripetendo la somma </span></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: list 36.0pt; text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: list 36.0pt; text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjdieXbLdG02z7Oy3LCySUKpQqlKhsOpUNnsJRd-DOMD3aI2vqtEIj6mbftEhX4wLQy3H0N1OMwW-sg0Q5pVPS7I_Kw6Bg2imY9CAhtFP2X-2k4oOoM6xMlDimYlFx-7JSR60YqrHk3pGo/s1600/f1.2.png" imageanchor="1" style="clear: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"></span></a></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: list 36.0pt; text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgkHCAnixBATW4Ugu-TceXLFke66mM9Oc9fbumrRqQte-qohNQ7Zgys9MUoOjqs-ylHv4GBA5eqjNUJFhLUN98gvu4qlO3MOsgrR-helR57-aPwY29pkR58L2ZDvUNd14Kzzx14Is6U1eE/s1600/CodeCogsEqn-2.gif" imageanchor="1"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgkHCAnixBATW4Ugu-TceXLFke66mM9Oc9fbumrRqQte-qohNQ7Zgys9MUoOjqs-ylHv4GBA5eqjNUJFhLUN98gvu4qlO3MOsgrR-helR57-aPwY29pkR58L2ZDvUNd14Kzzx14Is6U1eE/s400/CodeCogsEqn-2.gif" /></a><br />
</span><br />
<br />
con <span style="text-align: justify;"><i><span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;"><b>n</b></span></i><sub><i><span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;"><b>k+1</b></span></i> </sub></span><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif; text-align: justify;">somma delle cifre che rappresentato </span><i><span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;"><b>n</b></span></i><sub><i><span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;"><b>k</b></span></i></sub><i><span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;"><b> </b></span></i><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">nella base </span><i><span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;"><b>b</b></span></i><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"> come</span><br />
<br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhAWAP8v9bPgo8AuWsLdzn3gqOqoMIPQZXJLU_DhlQRpXpVEpGdGJGv_ouYUQ9QpGmrsbrurbYYoxJKHo-x3aroowTY0dSxaFbezTH2ZMtT_7gOGMhFRp7xwhV67ScFEbE2UdojkuAYM7M/s1600/CodeCogsEqn-3.gif" imageanchor="1"><img alt="" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhAWAP8v9bPgo8AuWsLdzn3gqOqoMIPQZXJLU_DhlQRpXpVEpGdGJGv_ouYUQ9QpGmrsbrurbYYoxJKHo-x3aroowTY0dSxaFbezTH2ZMtT_7gOGMhFRp7xwhV67ScFEbE2UdojkuAYM7M/s1600/CodeCogsEqn-3.gif" title="n_{k}=a_{m_{k}}b^{m_{k}}+a_{m_{k}-1}b^{m_{k}-1}+....+a_{1}b+a_{0}" /></a><br />
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: list 36.0pt; text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">fino a che </span><i><span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;"><b>n<sub>k+p</sub></b></span></i><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"> è rappresentato nel sistema </span><i style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">a</i><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"> base </span><i><span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;"><b>b</b></span></i><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"> con una sola cifra.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: list 36.0pt; text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br />
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">il numero delle iterazioni </span><i><span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;"><b>p</b></span></i><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"> è chiamato persistenza additiva.<o:p></o:p></span><br />
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br /></span></div>
<img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?(1.3)%5C+dr(n)=n_%7Bk+p%7D%3D%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7Bm_%7Bk+p-1%7D%7Da_%7Bm_%7Bk+p-1%7D%7D" title="(1.3)\ dr(n)=n_{k+p}=\sum_{i=0}^{m_{k+p-1}}a_{m_{k+p-1}}" />
<br />
<br />
<br />
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">Chiameremo la radice digitale in base 10 di un numero il valore teosofico del numero.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br />
</span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">La radice digitale di un intero n può essere calcolata usando la funzione modulo. Infatti il valore teosofico può anche essere calcolato come <b>(</b></span><b><i><span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;">n</span></i><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">) mod (</span><i><span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;">b-1</span></i></b><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><b>)</b> che rappresenta il resto della divisone di </span><span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;"><i><b>n</b></i></span><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"> per <b>(</b></span><span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;"><i><b>b-1</b></i></span><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><b>)</b>. Nel caso della base 10 il numero teosofico può essere quindi calcolato anche come resto della divisione per 9. </span><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br />
</span><br />
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhkZ5fIqR5gMNBR1sWcNoXKFgLkSLx6t9QIiTBpb16YhyrgZ4rEjwgxkc9Fd7UgssVYnpgkYJ22UTPNbihYUbJ3ZtRO5Mc18PUQiOJLd-5IFaQo8ZLsRcMO5yukgBdLxAgVPuX7B7tfy4Y/s1600/CodeCogsEqn.gif" imageanchor="1"><img alt="" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhkZ5fIqR5gMNBR1sWcNoXKFgLkSLx6t9QIiTBpb16YhyrgZ4rEjwgxkc9Fd7UgssVYnpgkYJ22UTPNbihYUbJ3ZtRO5Mc18PUQiOJLd-5IFaQo8ZLsRcMO5yukgBdLxAgVPuX7B7tfy4Y/s1600/CodeCogsEqn.gif" title="(1.4)\ dr(n)= \begin{cases} (n)\mod\(b-1),& \text{per }(n)\mod\(b-1)\neq 0)\\ b-1,& \text{per }(n)\mod\(b-1)= 0) \end{cases}" /></a></span><br />
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">ovvero in forma compatta </span><br />
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<img alt="" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?(1.5)%5C+dr(n)=1+(n-1)%5Cmod%5C(b-1)" title="(1.5)\ dr(n)=1+(n-1)\mod\(b-1)" />
<br />
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">la (1.4) si può dimostrare a partire dalle proprietà additive e associative della funzione modulo.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br />
</span></div>
</div>
<img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?(1.6)%5C+(n+m)%5Cbmod%5C(b)=((n)%5Cbmod%5C(b)+(m)%5Cbmod%5C(b))%5Cbmod%5C(b)" title="(1.6)\ (n+m)\bmod\(b)=((n)\bmod\(b)+(m)\bmod\(b))\bmod\(b)" />
<br />
<br />
<img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?(1.7)%5C+(n+m)%5Cbmod%5C(b)=((n)%5Cbmod%5C(b)+m))%5Cbmod%5C(b)" title="(1.7)\ (n+m)\bmod\(b)=((n)\bmod\(b)+m))\bmod\(b)" />
<br />
<br />
<img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?(1.8)%5C+(an)%5Cbmod%5C(b)=(a(n)%5Cbmod%5C(b)%5Cmod%5C(b)" title="(1.8)\ (an)\bmod\(b)=(a(n)\bmod\(b)\mod\(b)" />
<br />
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgpLOcu_cHAn1bq_B-kPtJqNzt-ll5UZuXdy08ljfIBW37XemdfalzI5g2oxZ_u0LZmBhvruW2lzIzcPBp35bayw6B3LeVCFKpyWGX2fJibFfb2-H-OcmfYzm-KGG2Ep3kSF6WARqCeKAs/s1600/f1.6.png" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"></span></a><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">infatti applicando la funzione modulo alla (1.1) per la proprietà additiva (1.3)</span><br />
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br /></span>
</div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjEG5qS9hNdYN9v_QoxLJjCm48KxQxI7_u1HG7dTpazdrKAf0KjGo0e3VOc4h5Kl6dONWQcaYBp5R91OqI9RP8HWz74k5qPncszpM2vexrMY9laPLboF_DWuGhnw0RdbJK6z_3U5EWsXQw/s1600/f.8.1.png" imageanchor="1" style="clear: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"></span></a></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif; text-align: left;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhnvy_QaKe7R8cQg2CLu7Yt31iuCs5iKfjGyZgLUTq_Cd9gefhyphenhyphen_Lz7w16n7X3a5o4cesylCOdRRdHGhrG0iZMu8sytWz9mNk8MYBkWNGfZtnuxEWFDfFRMyh_1AhPDJY9HQPx7U5Fvl0o/s1600/CodeCogsEqn-4.gif" imageanchor="1"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhnvy_QaKe7R8cQg2CLu7Yt31iuCs5iKfjGyZgLUTq_Cd9gefhyphenhyphen_Lz7w16n7X3a5o4cesylCOdRRdHGhrG0iZMu8sytWz9mNk8MYBkWNGfZtnuxEWFDfFRMyh_1AhPDJY9HQPx7U5Fvl0o/s1600/CodeCogsEqn-4.gif" /></a><br />
</span><br />
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif; text-align: left;">e quindi la (1.8)</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEifyTgStHlzsbR7Krhk6ulKOFW1cFgwrRRlui7wXJ5K4qug7GspHxDX6KWu2Xyrok38tc-JU-G_SWdsCtT_vS_dIwi1D5Uw54SqgfGB4XFZxqGlP4ruN0FF6yBh1tC1xLi1Fk3u63bAtWk/s1600/CodeCogsEqn-5.gif" imageanchor="1"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEifyTgStHlzsbR7Krhk6ulKOFW1cFgwrRRlui7wXJ5K4qug7GspHxDX6KWu2Xyrok38tc-JU-G_SWdsCtT_vS_dIwi1D5Uw54SqgfGB4XFZxqGlP4ruN0FF6yBh1tC1xLi1Fk3u63bAtWk/s1600/CodeCogsEqn-5.gif" /></a></span><br />
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">ma (</span><i><span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;">b<sup>k</sup></span><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">) </span></i><span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;">mod </span><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">(</span><span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;"><i>b</i>-1</span><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">)=1 per ogni </span><i><span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;">k</span></i><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"> e quindi</span><br />
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br /></span></div>
<img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?(n)%5Cmod%5C(b-1)=(a_%7Bm%7D+...+a_%7B0%7D)%5Cmod%5C(b-1)" title="(n)\mod\(b-1)=(a_{m}+...+a_{0})\mod\(b-1)" /><br />
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">da cui si ricava la (1.4)</span><br />
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br /></span></div>
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif; text-align: justify;">la seconda parte della (1.4) altro non è che il criterio di divisibilità per (</span><span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif; text-align: justify;"><i>b-</i>1</span><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif; text-align: justify;">) dove </span><i style="text-align: justify;"><span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;">b</span></i><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif; text-align: justify;"> e la base della notazione numerica.</span><br />
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br />
</span><br />
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br />
</span></div>
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><b>Proprietà della radice digitale</b></span><br />
<div>
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br />
</span></div>
<div>
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif; text-align: justify;">La radice digitale gode della proprietà additiva per cui la radice digitale </span><i style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; text-align: justify;">dr</i><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif; text-align: justify;"> della somma di due interi </span><i style="text-align: justify;"><span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;">n</span></i><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif; text-align: justify;"> e </span><i style="text-align: justify;"><span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;">m</span></i><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif; text-align: justify;"> è uguale alla radice digitale delle somme delle radici digitali degli addendi.</span><br />
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br />
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">Infatti la somma delle radici digitali di </span><span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;"><i>m</i></span><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"> e </span><i><span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;">n</span></i><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"> si può esprimere secondo la (1.5) come:</span><br />
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi9o9rywIkIzo8CxZgNwzpvEyMN3eHmL7zXHVNso2Ez8FbQCE5qgBmYQO7b68yZnG-X3-KSisDU0EJmqlESfb2hzAco4iw865-mkDNltt3Qh1L7UIt9ZwWvqS8TnnSvaop-4Yq7OIvkF94/s1600/CodeCogsEqn-6.gif" imageanchor="1"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi9o9rywIkIzo8CxZgNwzpvEyMN3eHmL7zXHVNso2Ez8FbQCE5qgBmYQO7b68yZnG-X3-KSisDU0EJmqlESfb2hzAco4iw865-mkDNltt3Qh1L7UIt9ZwWvqS8TnnSvaop-4Yq7OIvkF94/s1600/CodeCogsEqn-6.gif" /></a></span><br />
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">applicando la proprietà additive della funzione modulo (1.6) ed (1.7)<o:p></o:p></span><br />
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br /></span>
<br />
<br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhzkDhgxUyd5BOrYbVG2OtZi92eAx3MUqnmThgmeGJSanJdOYkfFZGEcdEp4PM5xVHiItb9_n-fqdq_Ah1y37c6qgo7brDJCvQ4yrb-K7XVmsoSomNKEEGrUeKbderwnOP4a0NFFwdvu9A/s1600/CodeCogsEqn-7.gif" imageanchor="1"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhzkDhgxUyd5BOrYbVG2OtZi92eAx3MUqnmThgmeGJSanJdOYkfFZGEcdEp4PM5xVHiItb9_n-fqdq_Ah1y37c6qgo7brDJCvQ4yrb-K7XVmsoSomNKEEGrUeKbderwnOP4a0NFFwdvu9A/s1600/CodeCogsEqn-7.gif" /></a></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<br />
<br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhzaAo3AGKuvuszs9EoaQ2nRCMK0nYxHcwC7c8R-XgxIAtQq-yhdvY3h4XdjvayxYdBNoE2u-qy1egKcslSTPbS16VKug9nZAO5nAkVIXbOXKbOY_2YETDZIUc8DJQ-RU3eYkRtcBHTFzI/s1600/CodeCogsEqn-8.gif" imageanchor="1"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhzaAo3AGKuvuszs9EoaQ2nRCMK0nYxHcwC7c8R-XgxIAtQq-yhdvY3h4XdjvayxYdBNoE2u-qy1egKcslSTPbS16VKug9nZAO5nAkVIXbOXKbOY_2YETDZIUc8DJQ-RU3eYkRtcBHTFzI/s1600/CodeCogsEqn-8.gif" /></a><br />
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">e quindi</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?(1.9)%5C+dr(dr(n)+dr(m))=dr(n+m)" title="(1.9)\ dr(dr(n)+dr(m))=dr(n+m)" />
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br />
</span></div>
<h1 style="margin-right: -2.0cm; text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif; font-size: small;">Successione</span><b><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif; font-size: small;"> di Fibonacci<o:p></o:p></span></b></h1>
<div>
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif; text-align: justify;">La successione di Fibonacci è una successione di numeri interi naturali definibile assegnando i valori dei due primi termini, </span><span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif; text-align: justify;"><i>F<sub>0</sub></i><i>=</i>0</span><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif; text-align: justify;"> ed </span><span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif; text-align: justify;"><i>F<sub>1</sub></i><i>=</i>1</span><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif; text-align: justify;">, e chiedendo che per ogni termine successivo sia</span><i style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; text-align: justify;"> </i><i style="text-align: justify;"><span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;">F<sub>n</sub>=F<sub>n-1 </sub>+ F<sub>n-2</sub></span></i><i style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; text-align: justify;"><sub> </sub></i><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif; text-align: justify;">con </span><span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif; text-align: justify;">n>1</span><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif; text-align: justify;">. Il termine </span><i style="text-align: justify;"><span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;">F<sub>0</sub></span></i><i style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; text-align: justify;"><sub> </sub></i><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif; text-align: justify;">viene aggiunto nel caso si voglia fare iniziare la successione con 0; storicamente il primo termine della successione è </span><span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif; text-align: justify;"><i>F<sub>1</sub></i>= 1</span><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif; text-align: justify;">.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">1,2,3,5,8,13,21,34,55,89......</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br />
</span></div>
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><b>Proprietà delle radici digitali della sequenza di Fibonacci</b></span><br />
<div>
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br />
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">Ogni elemento della sequenza di Fibonacci è somma dei due predecessori e quindi in base alla (1.9) la radice digitale di un elemento della sequenza di Fibonacci è la radice digitale delle somme delle radici digitali dei due predecessori della sequenza di Fibonacci.</span></div>
<div class="MsoCaption" style="page-break-after: avoid; text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br />
</span></div>
<img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?(1.10)%5C+dr(F_%7Bn%7D)=dr(dr(F_%7Bn-1%7D)+dr(F_%7Bn-2%7D))" title="(1.10)\ dr(F_{n})=dr(dr(F_{n-1})+dr(F_{n-2}))" />
<br />
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjoemDLgML8qzU5pkk2KyXreUCWr4S_8SpZh5h5t0gV3qlwQPmS3y4X_GHoTgDZBEnEbiiAvXPYjiHm2lHuqS9eaUNar4fzYCBzHlOw8lFU2cP-RjpCNoZOoK24iQjbFgS631TTmJu_5BI/s1600/f1.10.png" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"></span></a></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br />
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<b style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Dimostrazione della congettura</b></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br />
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">Chiamammo successione di Fibonacci radicale la sequenza delle radici digitali della sequenza di Fibonacci. Questa sequenza, in base alla (1.10), è una successione di Fibonacci nel Gruppo </span><b style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">ℤ</b><sub style="font-style: italic;"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">(</span><span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;">0..b-1</span><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">) </span></sub><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">formato dall’insieme degli interi </span><span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;">{0,1,2,.. b-1}</span><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"> associato all’operazione binaria della radice digitale.</span><i style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><o:p></o:p></i></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br />
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">Se in questa sequenza ricompaiano ad un certo punto due elementi successivi nello stesso ordine e valore la sequenza diventa periodica. <o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br />
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">Visto che la sequenza di Fibonacci radicale è composta da numeri ad una sola cifra, diversi da zero ad eccezione di F<sub>0</sub>, al più tardi dopo </span><span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;">(<i>b</i><i>-</i>1)<sup>2</sup></span><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"> passi la sequenza diventa periodica essendo</span><i style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"> </i><span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;">(<i>b</i>-1)<sup>2</sup></span><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"> il numero massimo delle possibili combinazioni di due numeri scelti in </span><span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;">{1,2,.. <i>b</i>-1}</span><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">. Infatti, dopo al massimo </span><span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;">(<i>b</i><i>-</i>1)<sup>2</sup></span><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"> passi tutte le possibile coppie di numeri consecutivi si saranno esaurite e quindi la prossima coppia dovrà essere una coppia già comparsa nella sequenza. Da questo punto in poi la sequenza si riproporrà in maniera periodica. <o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br />
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">Qed. <o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br />
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">La ripetizione di una coppia avviene di solito prima di </span><span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;">(<i>b</i><i>-</i>1)<sup>2</sup></span><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"> passi.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br />
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">La sequenza di Fibonacci radicale di base 10 è detta sequenza di Fibonacci teosofica. <o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br />
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">Nel caso della sequenza di Fibonacci teosofica la ripetizione di due elementi uguali avviene dopo 24 passi.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br />
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">Le sequenze di Fibonacci radicali per le basi da 2 a 10 sono rappresentate nella tabella seguente<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br />
</span></div>
<table border="1" cellpadding="0" cellspacing="0" class="MsoNormalTable" style="border-collapse: collapse; border: none; margin-left: 14.2pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-insideh: .5pt solid windowtext; mso-border-insidev: .5pt solid windowtext; mso-padding-alt: 0cm 3.5pt 0cm 3.5pt;"><tbody>
<tr> <td style="border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 3.5pt 0cm 3.5pt; width: 67.3pt;" valign="top" width="67"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">base<o:p></o:p></span></div>
</td> <td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 3.5pt 0cm 3.5pt; width: 303.6pt;" valign="top" width="304"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">sequenza<o:p></o:p></span></div>
</td> <td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 3.5pt 0cm 3.5pt; width: 75.5pt;" valign="top" width="76"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">periodo<o:p></o:p></span></div>
</td> </tr>
<tr> <td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 3.5pt 0cm 3.5pt; width: 67.3pt;" valign="top" width="67"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">2<o:p></o:p></span></div>
</td> <td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 3.5pt 0cm 3.5pt; width: 303.6pt;" valign="top" width="304"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">1<o:p></o:p></span></div>
</td> <td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 3.5pt 0cm 3.5pt; width: 75.5pt;" valign="top" width="76"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">1<o:p></o:p></span></div>
</td> </tr>
<tr> <td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 3.5pt 0cm 3.5pt; width: 67.3pt;" valign="top" width="67"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">3<o:p></o:p></span></div>
</td> <td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 3.5pt 0cm 3.5pt; width: 303.6pt;" valign="top" width="304"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">1,2,1<o:p></o:p></span></div>
</td> <td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 3.5pt 0cm 3.5pt; width: 75.5pt;" valign="top" width="76"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">3<o:p></o:p></span></div>
</td> </tr>
<tr> <td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 3.5pt 0cm 3.5pt; width: 67.3pt;" valign="top" width="67"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">4<o:p></o:p></span></div>
</td> <td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 3.5pt 0cm 3.5pt; width: 303.6pt;" valign="top" width="304"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">1,2,3,2,2,1,3,1<o:p></o:p></span></div>
</td> <td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 3.5pt 0cm 3.5pt; width: 75.5pt;" valign="top" width="76"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">8<o:p></o:p></span></div>
</td> </tr>
<tr> <td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 3.5pt 0cm 3.5pt; width: 67.3pt;" valign="top" width="67"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">5<o:p></o:p></span></div>
</td> <td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 3.5pt 0cm 3.5pt; width: 303.6pt;" valign="top" width="304"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">1,2,3,1,4,1<o:p></o:p></span></div>
</td> <td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 3.5pt 0cm 3.5pt; width: 75.5pt;" valign="top" width="76"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">6<o:p></o:p></span></div>
</td> </tr>
<tr> <td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 3.5pt 0cm 3.5pt; width: 67.3pt;" valign="top" width="67"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">6<o:p></o:p></span></div>
</td> <td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 3.5pt 0cm 3.5pt; width: 303.6pt;" valign="top" width="304"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">1,2,3,5,3,3,1,4,5,4,4,3,2,5,2,2,4,1,5,1<o:p></o:p></span></div>
</td> <td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 3.5pt 0cm 3.5pt; width: 75.5pt;" valign="top" width="76"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">20<o:p></o:p></span></div>
</td> </tr>
<tr> <td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 3.5pt 0cm 3.5pt; width: 67.3pt;" valign="top" width="67"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">7<o:p></o:p></span></div>
</td> <td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 3.5pt 0cm 3.5pt; width: 303.6pt;" valign="top" width="304"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">1,2,3,5,2,1,3,4,1,5,6,5,5,4,3,1,4,5,3,2,5,1,6,1<o:p></o:p></span></div>
</td> <td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 3.5pt 0cm 3.5pt; width: 75.5pt;" valign="top" width="76"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">24<o:p></o:p></span></div>
</td> </tr>
<tr> <td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 3.5pt 0cm 3.5pt; width: 67.3pt;" valign="top" width="67"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">8<o:p></o:p></span></div>
</td> <td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 3.5pt 0cm 3.5pt; width: 303.6pt;" valign="top" width="304"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">1,2,3,5,1,6,7,6,6,5,4,2,6,1,7,1<o:p></o:p></span></div>
</td> <td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 3.5pt 0cm 3.5pt; width: 75.5pt;" valign="top" width="76"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">16<o:p></o:p></span></div>
</td> </tr>
<tr> <td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 3.5pt 0cm 3.5pt; width: 67.3pt;" valign="top" width="67"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">9<o:p></o:p></span></div>
</td> <td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 3.5pt 0cm 3.5pt; width: 303.6pt;" valign="top" width="304"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">1,2,3,5,8,5,5,2,7,1,8,1<o:p></o:p></span></div>
</td> <td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 3.5pt 0cm 3.5pt; width: 75.5pt;" valign="top" width="76"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">12<o:p></o:p></span></div>
</td> </tr>
<tr> <td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 3.5pt 0cm 3.5pt; width: 67.3pt;" valign="top" width="67"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">10<o:p></o:p></span></div>
</td> <td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 3.5pt 0cm 3.5pt; width: 303.6pt;" valign="top" width="304"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">1,2,3,5,8,4,3,7,1,8,9,8,8,7,6,4,1,5,6,2,8,1,9,1<o:p></o:p></span></div>
</td> <td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 3.5pt 0cm 3.5pt; width: 75.5pt;" valign="top" width="76"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">24</span></div>
</td></tr>
</tbody></table>
</div>
</div>
Federico Giudiceandreahttp://www.blogger.com/profile/12558070611627765134noreply@blogger.com0Via Goethe 29, 39042 Bressanone BZ, Italia46.711351099999987 11.652799146.710670599999986 11.6515651 46.712031599999989 11.6540331tag:blogger.com,1999:blog-5622501474661069545.post-28412111911248195492007-01-19T23:18:00.000+01:002013-09-22T19:25:58.706+02:00L’impossibilità della quadratura del cerchio<div class="MsoBodyText">
</div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEghlcc6Rfd8uwU031CRgdJrcoOjmifEBRtWg3PhtJdYGyf_pdr-z_Z_JVJJeqfHvN2nFKcXyCcPQwUqtDL6L4VaO7f4vHBOu9MkYW37vn_tKCaZ6kYaG5LbtXCr8aLqQLyM4GSVnK6GTWA/s1600/leonardo.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="298" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEghlcc6Rfd8uwU031CRgdJrcoOjmifEBRtWg3PhtJdYGyf_pdr-z_Z_JVJJeqfHvN2nFKcXyCcPQwUqtDL6L4VaO7f4vHBOu9MkYW37vn_tKCaZ6kYaG5LbtXCr8aLqQLyM4GSVnK6GTWA/s400/leonardo.png" width="400" /></a></div>
<span style="font-family: Arial; font-size: 14pt;"><br />
</span><br />
<span style="font-family: Arial;">Il problema della quadratura del cerchio, ovvero di trovare a partire da un cerchio dato, usando solo riga e compasso, un segmento sul quale costruire un quadrato di area uguale a quello del cerchio di partenza è stato per millenni uno dei problemi più studiati della matematica. Menti eccelse si sono scervellate per risolvere l’antico problema ma solo nel 1882 Carl Louis Ferdinand von </span><span style="font-family: Arial;">Lindemann pose le basi per una soluzione del problema dimostrando quindi la impossibilita di trovare una soluzione.</span><br />
<span style="font-family: Arial;"><br /></span></div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial;">La dimostrazione dell’impossibilità della quadratura del cerchio usando riga e compasso è basata sulla proposizione (Formula di Eulero)</span><br />
<span style="font-family: Arial;"><br /></span></div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial;"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\(1.1)\ e^{i\pi }=-1" title="\(1.1)\ e^{i\pi }=-1" /></span>
</div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial;">dove </span><i><span lang="DE" style="font-family: 'Times New Roman';">e</span></i><span style="font-family: Arial;"> rappresenta il numero di Eulero (2,7182..) , </span><i><span lang="DE" style="font-family: 'Times New Roman';">π </span></i><span style="font-family: Arial;">rappresenta il rapporto tra diametro e circonferenza (3,1415…) mentre </span><i><span lang="DE" style="font-family: 'Times New Roman';">i</span></i><span lang="DE" style="font-family: Arial;"> </span><span style="font-family: Arial;">rappresenta l’unita immaginaria definita come la radice di –1</span><span style="font-family: Times, 'Times New Roman', serif;"> </span><br />
<span style="font-family: Times, 'Times New Roman', serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Times, 'Times New Roman', serif;"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\(1.2)\ i=\sqrt{-1}" title="\(1.2)\ i=\sqrt{-1}" /></span><br />
<span style="font-family: Times, 'Times New Roman', serif;"><br /></span></div>
<div class="MsoCaption" style="page-break-after: avoid; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial;">ovvero</span><br />
<span style="font-family: Arial;"><br /></span></div>
<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\(1.3)\ i^{2}=-1" title="\(1.3)\ i^{2}=-1" />
<br />
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Times, 'Times New Roman', serif;"><br /></span></div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial;">La (1.1) è una delle formule più misteriosamente belle della matematica, infatti, collega </span><i><span lang="DE" style="font-family: 'Times New Roman'; font-size: large;">e</span></i><span style="font-family: Arial;"> il numero di Eulero, legato alla crescita e al divenire con </span><i><span lang="DE" style="font-family: 'Times New Roman';"><span style="font-size: large;">π</span> </span></i><span style="font-family: Arial;">legato all’immutabile e perfetto cerchio attraverso l’unita immaginaria il numero impossibile. Qui dimostreremo la (1.1) e faremo vedere come questa implichi, attraverso il teorema di von Lindeman (che non dimostreremo) e basandoci su alcune proprietà dei numeri algebrici, l’impossibilità della quadratura del cerchio.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial;">Per dimostrare la (1.1) consideriamo gli sviluppi di Taylor delle funzioni</span><i><span style="font-family: 'Times New Roman';"> <span lang="DE" style="font-size: large;">e<sup>x</sup></span></span></i><span style="font-family: Arial;">, </span><i><span lang="DE" style="font-family: 'Times New Roman'; font-size: large;">cos(x)</span></i><span lang="DE" style="font-family: Arial;"> e </span><i><span lang="DE" style="font-family: 'Times New Roman'; font-size: large;">sin(x)</span></i><span style="font-family: Arial; position: relative; top: 6pt;"><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<br />
<span style="font-family: Times, 'Times New Roman', serif;"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\(1.4)\ e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^{n}}{n!}" title="\(1.4)\ e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^{n}}{n!}" /> </span></div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
</div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\(1.5)\ \cos(x) =\sum_{n=0}^{\infty }(-1)\frac{x^{2n}}{2n!}" style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;" title="\ (1.5)\ \cos(x) =\sum_{n=0}^{\infty }(-1)\frac{x^{2n}}{2n!}" /></div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
</div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial;"><br />
</span></div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\(1.6)\ \sin(x) =\sum_{n=0}^{\infty }(-1)\frac{x^{2n+1}}{(2n-1)!}" title="\(1.6)\ \sin(x) =\sum_{n=0}^{\infty }(-1)\frac{x^{2n+1}}{(2n-1)!}" /></div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial;">oppure</span><br />
<span style="font-family: Arial;"><br /></span></div>
<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?(1.7)\ e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{4}}{4!}+......." title="(1.7)\ e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{4}}{4!}+......." />
<br />
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial;"><br /></span></div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?(1.8)\ \cos(x)) =1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!}+......." title="(1.8)\ \cos(x)) =1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!}+......." />
</div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial;"> <o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial;"><br /></span></div>
<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?(1.9)\ \sin(x) =x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+......." title="(1.9)\ \sin(x) =x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+......." />
<br />
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial;"> </span><span style="font-family: Arial;"> <o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial;">per </span><i><span lang="DE" style="font-family: 'Times New Roman';">x=i</span></i><i><span lang="DE" style="font-family: 'Times New Roman';">π</span></i><span style="font-family: Arial;"> </span><span style="font-family: Arial;">la (1.7) diventa:</span><br />
<span style="font-family: Arial;"><br /></span></div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?(1.10)\ e^{i\pi}=1+i\pi+\frac{(i\pi)^{2}}{2!}+\frac{(i\pi)^{3}}{3!}+\frac{(i\pi)^{4}}{4!}++\frac{(i\pi)^{5}}{5!}......." title="(1.10)\ e^{i\pi}=1+i\pi+\frac{(i\pi)^{2}}{2!}+\frac{(i\pi)^{3}}{3!}+\frac{(i\pi)^{4}}{4!}++\frac{(i\pi)^{5}}{5!}......." />
</div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial;">che a sua volta si può scrivere come:</span><br />
<span style="font-family: Arial;"><br /></span></div>
<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?(1.11)\ e^{i\pi}=1+i\pi+i^{2}\frac{\pi^{2}}{2!}+i^{2}i\frac{\pi^{3}}{3!}+i^{4}\frac{\pi^{4}}{4!}+i^{4}i\frac{\pi^{5}}{5!}......." title="(1.11)\ e^{i\pi}=1+i\pi+i^{2}\frac{\pi^{2}}{2!}+i^{2}i\frac{\pi^{3}}{3!}+i^{4}\frac{\pi^{4}}{4!}+i^{4}i\frac{\pi^{5}}{5!}......." />
<br />
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
</div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial;">per la (1.3) la (1.11) diventa:<o:p></o:p></span><br />
<span style="font-family: Arial;"><br /></span></div>
<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?(1.12)\ e^{i\pi}=1+i\pi-\frac{\pi^{2}}{2!}-i\frac{\pi^{3}}{3!}+\frac{\pi^{4}}{4!}+i\frac{\pi^{5}}{5!}......." title="(1.12)\ e^{i\pi}=1+i\pi-\frac{\pi^{2}}{2!}-i\frac{\pi^{3}}{3!}+\frac{\pi^{4}}{4!}+i\frac{\pi^{5}}{5!}......." />
<br />
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
</div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial;">li termini della (1.12) possono essere anche raggruppati in modo da dare la seguente relazione:</span><br />
<span style="font-family: Arial;"><br /></span></div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?(1.13)\ e^{i\pi}=1+\frac{\pi^{2}}{2!}+\frac{\pi^{4}}{4!}....+i\pi-i\frac{\pi^{3}}{3!}+i\frac{\pi^{5}}{5!}...." title="(1.13)\ e^{i\pi}=1+\frac{\pi^{2}}{2!}+\frac{\pi^{4}}{4!}....+i\pi-i\frac{\pi^{3}}{3!}+i\frac{\pi^{5}}{5!}...." />
</div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
</div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial;">che messo in evidenziano </span><i><span lang="DE" style="font-family: 'Times New Roman';">i</span></i><span style="font-family: Arial; position: relative; top: 2pt;"> </span><span style="font-family: Arial;">nella seconda parte diventa</span><br />
<span style="font-family: Arial;"><br /></span></div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?(1.14)\ e^{i\pi}=1+\frac{\pi^{2}}{2!}+\frac{\pi^{4}}{4!}....+i(\pi-i\frac{\pi^{3}}{3!}+i\frac{\pi^{5}}{5!}....)" title="(1.14)\ e^{i\pi}=1+\frac{\pi^{2}}{2!}+\frac{\pi^{4}}{4!}....+i(\pi-i\frac{\pi^{3}}{3!}+i\frac{\pi^{5}}{5!}....)" />
</div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
</div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial;">che viste la (1.8) e la (1.9) si puo scrivere come</span><br />
<span style="font-family: Arial;"><br /></span></div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?(1.15)\ e^{i\pi}=\cos(\pi)+isin(\pi)" title="(1.15)\ e^{i\pi}=\cos(\pi)+isin(\pi)" />
</div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
</div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial;"><br />
</span><br />
<span style="font-family: Arial;">detta relazione di Eulero</span></div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial;">ma considerando che<o:p></o:p></span><br />
<span style="font-family: Arial;"><br /></span></div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?(1.16)\ cos(\pi)=-1" title="(1.16)\ cos(\pi)=-1" />
<br />
<br /></div>
<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?(1.17)\ sin(\pi)=0" title="(1.17)\ sin(\pi)=0" />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; position: relative; top: 6pt;"></span></div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial;">risulta sostituendo la (1.16) e la (1.17) nella (1.15) si ottiene la (1.1)</span></div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\(1.1)\%20e^{i\pi%20}=-1" style="font-family: Arial;" title="\(1.1)\ e^{i\pi }=-1" /></div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial;">QED<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial;">la (1.1) può essere rappresentata sul piano di Argand-Gauss in modo che i singoli termini del suo sviluppo in serie (1.12) sono rappresentati da vettori la cui parte reale e rappresentata sul asse delle x mentre la parte immaginaria sul asse delle y.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial;"><br />
</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjZwLNvdhNTCCmnP1uxNWrbeb-X0iYIpljwU_jOMnswEpR8VFLqXnYDxcYP6zHb_NmHHfPAwTNnN7aI4Za2BHWdgtwj7KPpiVeOLQHGTFH798v4EbyNLFF4wM_cqllWGm7dypU9DFAhnR0/s1600/e+alla+ipi.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img border="0" height="400" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjZwLNvdhNTCCmnP1uxNWrbeb-X0iYIpljwU_jOMnswEpR8VFLqXnYDxcYP6zHb_NmHHfPAwTNnN7aI4Za2BHWdgtwj7KPpiVeOLQHGTFH798v4EbyNLFF4wM_cqllWGm7dypU9DFAhnR0/s400/e+alla+ipi.jpg" width="376" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial; text-align: justify;">La (1.1) visualizza il legame tra </span><span style="font-family: Times, 'Times New Roman', serif; font-size: large; text-align: justify;">e</span><span style="font-family: Arial; text-align: justify;"> e </span><span lang="DE"><i style="font-family: 'Times New Roman';"><span style="font-size: large;">π</span>. </i><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">L</span></span><span lang="DE" style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">a struttura della spirale é determinata dalla funzione esponenziale in funzione delle potenze dell'unita immaginaria mentre la lunghezza dei segmenti sono legate agli inversi delle potenze di </span><span lang="DE"><i style="font-family: 'Times New Roman';"><span style="font-size: large;">π</span>. </i></span><span style="font-family: Arial;">La figura risultante parte dal punto 1,0 e converge velocemente nel punto -1,0. Un incredibile legame tra numeri complessi (mai nome fu più azzeccato) che può essere semplicemente ed </span><span style="font-family: Arial;">empiricamente </span><span style="font-family: Arial;">verificato.</span><span style="font-family: Arial;"> </span><span style="font-family: Arial;"> </span><br />
<span style="font-family: Arial;"><br /></span>
<span style="font-family: Arial;">Definiamo ora alcune proprietà dei numeri:</span></div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<br />
<ol>
<li><span style="font-family: Arial;">Un numero </span><i><b><span style="font-family: 'Times New Roman';">θ</span><span style="font-family: Symbol;">∈ℝ</span></b></i><span style="font-family: Arial;"> si dice algebrico se esiste un’equazione polinomiale.</span><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?(1.18)\ a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}....+a_{1}x+a_{0}" title="(1.18)\ a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}....+a_{1}x+a_{0}" /><br /><span style="font-family: Arial;">dove </span><b><i><span style="font-family: 'Times New Roman';">n </span></i><i><span style="font-family: 'Times New Roman';">≥</span></i><i><span style="font-family: 'Times New Roman';">1</span></i></b><span style="font-family: Arial; position: relative; top: 3pt;"> </span><span style="font-family: Arial;">ed i coefficienti </span><i><span style="font-family: 'Times New Roman';"><b>a<sub>i</sub></b></span></i><span style="font-family: Arial;"> sono numeri razionali non tutti nulli e di cui il numero </span><i><span style="font-family: 'Times New Roman';"><b>θ</b></span></i><span style="font-family: Arial;"> rappresenti una delle soluzioni.</span></li>
<li><span style="font-family: Arial;">(1.19) Un numero si dice trascendente se è irrazionale, quindi non esprimibile come una frazione di interi, ma non è algebrico.</span></li>
</ol>
</div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
</div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial;">Nel 1882 Carl</span><span style="font-family: Arial;"> Louis Ferdinand </span><span style="font-family: Arial;">von Lindeman, matematico tedesco allievo di Felix Klein, dimostrò, partendo dalla relazione di Eulero, l'impossibilità della quadratura del cerchio. </span></div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial;">(1.20) Teorema di Carl von Lindemann (1882). <o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<i><span style="font-family: Arial;">se </span></i><i><span style="font-family: 'Times New Roman'; font-size: large;"><b>θ</b></span></i><i><span style="font-family: Arial;"> è un numero algebrico non nullo, allora </span></i><i><span style="font-family: 'Times New Roman'; font-size: large;">e<sup>θ</sup></span></i><i><span style="font-family: Arial;"> è trascendente.<o:p></o:p></span></i><br />
<i><span style="font-family: Arial;"><br /></span></i>
<span style="font-family: Arial;">La dimostrazione fu pubblicata nel ventesimo volume dei <i>Mathematische Annalen </i>e si basava su un precedente lavoro di Charles Hermite che dimostrava che </span><span style="font-family: Times, 'Times New Roman', serif; font-size: large;"><i>e</i></span><span style="font-family: Arial;"> è irrazionale ma non algebrico, e che quindi è trascendente. Il teorema fu generalizzato nel 1885 da Karl Weierstass e subito dopo David Hilbert ne fornì una dimostrazione semplificata. Negli anni sessanta il matematico americano </span><span style="font-family: Arial;">Stephen Schaunel</span><span style="font-family: Arial;"> </span><span style="font-family: Arial;">propose, come congettura, una formulazione ulteriormente</span><span style="font-family: Arial;"> generalizzata. La dimostrazione della congettura di Schaunel porterebbe alla non ancora dimostrata indipendenza algebrica di </span><i><span lang="DE" style="font-family: 'Times New Roman';"><span style="font-size: large;">π</span> </span></i><span style="font-family: Times, 'Times New Roman', serif;">ed </span><i><span lang="DE" style="font-family: 'Times New Roman';"><span style="font-size: large;">e</span>.</span></i></div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<br />
<span style="font-family: Arial;">Ma torniamo alla dimostrazione della impossibilità della quadratura del cerchio. Questa si può ora ottenere dai seguenti passaggi.</span><br />
<span style="font-family: Arial;"><br /></span><span style="font-family: Arial;">Applicando il Teorema di von Lindeman alla (1.1) si deduce, </span><span style="font-family: Arial;">visto che -1 non é trascendente, che </span><span style="font-size: large;"><i><span style="font-family: 'Times New Roman';">i</span></i><i><span lang="DE" style="font-family: 'Times New Roman';">π</span></i></span><span lang="DE" style="font-family: Arial;"> </span><span style="font-family: Arial;">non é algebrico.</span><span style="font-family: Arial;"> </span><br />
<span style="font-family: Arial;"><br /></span>
<span style="font-family: Arial;">Ma si può dimostrare che</span><span style="font-family: Arial;"> </span><br />
<i><span style="font-family: Arial;"><br /></span></i>
<i><span style="font-family: Arial;">(1.21) Il prodotto di due numeri algebrici é algebrico</span></i><span style="font-family: Arial;">.</span></div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial;">Quindi dato che l’unita immaginaria </span><i><span lang="DE" style="font-family: 'Times New Roman';">i</span></i><span style="font-family: Arial;"> soddisfa l’equazione algebrica </span><br />
<span style="font-family: Arial;"><br /></span>
<b><i><span style="font-family: 'Times New Roman';">i </span></i><i><span style="font-family: 'Times New Roman';"><span lang="DE"><sup>2</sup></span></span></i><i><span style="font-family: 'Times New Roman';">+1 = 0</span></i></b></div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
</div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial;"><br />
</span><br />
<span style="font-family: Arial;">e quindi </span><i><span style="font-family: 'Times New Roman'; font-size: large;">i</span></i><span style="font-family: Arial;"> é algebrico si deduce di conseguenza che </span><i><span lang="DE" style="font-family: 'Times New Roman';"><span style="font-size: large;">π</span> </span></i><span style="font-family: Arial;">non é algebrico.</span><br />
<span style="font-family: Arial;"><br /></span>
<br />
<div class="MsoBodyText">
<span style="font-family: Arial;">Quindi<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoBodyText">
<br /></div>
<div class="MsoBodyText">
<span style="font-family: Arial;">(1.22) </span><i><span lang="DE" style="font-family: 'Times New Roman';"><span style="font-size: large;">π</span> </span></i><span style="font-family: Arial;">non è soluzione di qualunque equazione algebrica.</span></div>
<span style="font-family: Arial;"><br /></span></div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial;">Ma essendo </span><i><span lang="DE" style="font-family: 'Times New Roman';"><span style="font-size: large;">π</span> </span></i><span style="font-family: Arial;">un numero irrazionale non algebrico, risulta in base alla definizione (1.19) trascendente.</span></div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial;">Se </span><i><span lang="DE" style="font-family: 'Times New Roman'; font-size: large;">π</span></i><span lang="DE" style="font-family: Arial;"> </span><span style="font-family: Arial;">non è algebrico allora anche</span><i><span style="font-family: 'Times New Roman';"> <span lang="DE" style="font-size: large;">π<sup>½</sup></span></span></i><span style="font-family: Arial;"> non e algebrico. Infatti, se per assurdo </span><span style="font-size: large;"><i><span lang="DE" style="font-family: 'Times New Roman';">π</span></i></span><i><sup><span lang="DE" style="font-family: 'Times New Roman';"><span style="font-size: large;">½</span> </span></sup></i><span style="font-family: Arial;">fosse algebrico allora per la (1.21) anche </span><i><span lang="DE" style="font-family: 'Times New Roman'; font-size: large;">π,</span></i><span style="font-family: Arial;"> il quadrato di </span><i><span lang="DE" style="font-family: 'Times New Roman'; font-size: large;">π<sup>½,</sup></span></i><span style="font-family: Arial;"> sarebbe algebrico contraddicendo l’ipotesi di partenza.</span><br />
<span style="font-family: Arial;"><br /></span>
<span style="font-family: Arial;">Consideriamo ora </span><span style="font-family: Arial;">insieme di tutti i punti sul piano le cui coordinate siano numeri razionali Chiameremo questo insieme </span><span style="font-family: Arial;">campo di razionalità, . </span></div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial;">Un punto del piano si dice costruibile, </span><span style="font-family: Arial;">a partire da punti del campo di razionalità,</span><span style="font-family: Arial;"> con riga e compasso,</span><span style="font-family: Arial;"> se è possibile costruirlo attraverso un procedimento che preveda unicamente le seguenti operazioni:</span></div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial;">Tracciare rette tra punti dati<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial;">Tracciare circonferenze con un dato centro e passanti per un dato punto<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial;">Intersecare tali rette<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial;">Intersecare tali rette e tali circonferenze<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial;">Intersecare tali circonferenze.<o:p></o:p></span><br />
<span style="font-family: Arial;"><br /></span>
<span style="font-family: Arial;">Si dimostra che le operazioni eseguite con la riga a partire da due punti </span><i><span lang="DE" style="font-family: 'Times New Roman'; font-size: large;">a</span></i><span style="font-family: Arial;"> e </span><i><span lang="DE" style="font-family: 'Times New Roman'; font-size: large;">b</span></i><span style="font-family: Arial;"> del campo di razionalità portano ad un altro punto del campo di razionalità in quanto le operazioni possibili sono equivalenti alla somma </span><i><span lang="DE" style="font-family: 'Times New Roman'; font-size: large;">a+b</span></i><span style="font-family: Arial;">, alla differenza</span><span style="font-family: Arial;"> </span><i><span lang="DE" style="font-family: 'Times New Roman'; font-size: large;">a-b</span></i><span style="font-family: Arial;">, alla moltiplicazione </span><i><span lang="DE" style="font-family: 'Times New Roman'; font-size: large;">a*b </span></i><span style="font-family: Arial;">e alla divisone </span><i><span lang="DE" style="font-family: 'Times New Roman'; font-size: large;">a/b</span></i><span style="font-family: Arial;">.</span><br />
<span style="font-family: Arial;"><br /></span>
<span style="font-family: Arial;">Si dimostra inoltre che aggiungendo il compasso si possono realizzare punti che rappresentano una estensione quadratica del campo di razionalità costruendo per ogni numero </span><i><span lang="DE" style="font-family: 'Times New Roman'; font-size: large;">a</span></i><span style="font-family: Arial;"> del campo di il numero </span><span style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 12.731481552124023px; line-height: 19.196685791015625px; text-align: start;"> </span><i><span lang="DE" style="font-family: 'Times New Roman';"><span style="font-size: large;">a</span><sup><span style="font-size: large;">½</span></sup></span></i><span style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 12.731481552124023px; line-height: 19.196685791015625px; text-align: start;"> .</span><br />
<br /></div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial;">Applicano a sua volta l'estensione quadratica ai punti così ottenuti, attraverso una infinita regressione di estensioni quadratiche si aggiungono ad ogni numero </span><i><span lang="DE" style="font-family: 'Times New Roman'; font-size: large;">a</span></i><span style="font-family: Arial;"> del campo di razionalità i</span><span style="font-family: Arial;"> numeri della forma <i> </i></span><i><span lang="DE" style="font-family: 'Times New Roman'; font-size: large;">a<sup>1/2n </sup></span></i><span style="font-family: Arial;">. Il campo di razionalità così esteso è chiamato campo euclideo. I numeri del campo euclideo sono i numeri razionali estesi con un sottoinsieme dei numeri algebrici. </span><span style="background-color: white; line-height: 19.196685791015625px; text-align: start;"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Detto in termini analitici, le coordinate dei "punti costruibili" sono soluzioni di equazioni che hanno come massimo grado una potenza di 2</span></span><span style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 12.731481552124023px; line-height: 19.196685791015625px; text-align: start;">. </span><br />
<span style="font-family: Arial;"><br /></span>
<span style="font-family: Arial;">Abbiamo così dimostrato che </span><br />
<span style="font-family: Arial;"><br /></span></div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial;">(1.23) </span><i><span style="font-family: Arial;">Ogni numero costruibile partendo dal segmento unitario con riga e compasso é algebrico</span></i></div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial;">Ma avevamo dimostrato che </span><i><span lang="DE" style="font-family: 'Times New Roman';"><span style="font-size: large;">π</span><sup><span style="font-size: large;">½</span> </sup></span></i><span style="font-family: Arial;">non è algebrico e quindi non costruibile in base alla (1.23) con riga è compasso. Ma </span><i><span lang="DE" style="font-family: 'Times New Roman';"><span style="font-size: large;">π</span><sup><span style="font-size: large;">½ </span></sup></span></i><span style="font-family: Arial;">è la lunghezza del lato di un quadrato avente la stessa area di una circonferenza di raggio unitario. </span><br />
<span style="font-family: Arial;"><br /></span>
<span style="font-family: Arial;">Finalmente risulta quindi che non è possibile quadrare il cerchio con riga è compasso.</span></div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
</div>
Federico Giudiceandreahttp://www.blogger.com/profile/12558070611627765134noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5622501474661069545.post-80352270888867954572006-03-29T00:02:00.001+02:002021-08-21T19:47:51.607+02:00Isotachia degli atomi nella fisica di Epicuro<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: -webkit-auto;">
<br /></div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhv43b4RhkvyVqCXZH9jlP9_x80nEUdtJ7rhfwnt_eQREW4hMcpDXf9yB0Gv4k9QfTh6qSu_OSV-MNX0i0mYHY5Cme1oDk8woEtGXUKAzIRdOok49-XwSW4diRFYBTd4C8JEhR-w0qEVYk/s1600/Senza+titolo.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img border="0" height="297" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhv43b4RhkvyVqCXZH9jlP9_x80nEUdtJ7rhfwnt_eQREW4hMcpDXf9yB0Gv4k9QfTh6qSu_OSV-MNX0i0mYHY5Cme1oDk8woEtGXUKAzIRdOok49-XwSW4diRFYBTd4C8JEhR-w0qEVYk/s400/Senza+titolo.png" width="400" /></a></div>
<br />
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif"><br /></span>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif">Nella Lettera ad Erodoto Epicuro parlando degli atomi dice: </span><br />
<i style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><i><br /></i></i>
<i style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><i>Gli atomi hanno moto continuo ed eterno (i loro moti sono equiveloci perché il vuoto lascia passare sia i più leggeri che i più pesanti)</i> </i><span face="Arial, Helvetica, sans-serif">[Epistula ad Herodotum 43,4] </span><br />
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif"><br /></span>
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif">Sempre nella Lettera ad Erodoto conferma: </span><br />
<i style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></i>
<i style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">E inoltre bisogna che gli atomi siano equiveloci quando si muovono nel vuoto senza che niente li urti </i><span face="Arial, Helvetica, sans-serif">[Epistula ad Herodotum 61,1] </span><br />
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif"><i><br /></i></span>
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif"><i>Per quello che riguarda gli aggregati diremo che uno e più veloce dell’altro, pur essendo equiveloci in assoluto gli atomi </i></span><span face="Arial, Helvetica, sans-serif">[Epistula ad Herodotum 61,21]</span><br />
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif"><br /></span>
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif">Il suo pensiero é inoltre confermato nel frammento:</span><br />
<i style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><i><br /></i></i>
<i style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><i>e assolutamente equiveloci sono gli atomi... per il fatto di muoversi in una sola direzione</i></i></div>
<div>
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif"><i>
</i></span>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif">[Deperditorum librorum reliquiae 37]</span><br />
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif"><br /></span>
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif">L’ipotesi epicurea per la quale gli atomi hanno, nel vuoto, in assenza di influssi, moto rettilineo fa pensare ad Epicuro come ad un precursore di Galileo, ma la caratteristica del moto rettilineo equiveloce può anche essere vista come una anticipazione della teoria della relatività. Infatti, secondo la teoria della relatività generale i corpi soggetti alla gravitazione percorrono traiettorie rettilinee in uno spazio pluridimensionale la cui metrica è deformata dalle masse. Inoltre, come vedremo, l’equivelocità degli atomi implica le trasformazioni di Lorenz, che stanno alla base della relatività ristretta..</span><br />
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif"><br /></span>
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif">Queste furono scoperte e pubblicate per la prima volta da Joseph Larmor nel 1897. Nel 1905, Henri Poincaré, battezzò queste trasformazioni in onore del fisico e matematico olandese Hendrik Antoon Lorentz, il quale aveva pubblicato la propria versione finale nel 1904. Fu lo stesso Poincarè che revisionò il formalismo delle trasformazioni per convertirle nella forma coerente e del tutto solida che conosciamo oggi.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<div>
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif"><br /></span></div>
<div>
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif">Lorentz nel tentativo di</span><span face="Arial, Helvetica, sans-serif"> dare una giustificazione all’esperimento di Michelson e Morley del 1881,</span><span face="Arial, Helvetica, sans-serif"> scoprì nel 1900 che le trasformazioni in questione preservavano le equazioni di Maxwell, che regolavano la natura delle onde elettromagnetiche.</span><br />
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif"><br /></span>
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif">L'esperimento di </span><span face="Arial, Helvetica, sans-serif">Michelson e Morley era</span><span face="Arial, Helvetica, sans-serif"> nato per misurare la velocità della terra rispetto all'etere, attraverso l’influsso del vento d’etere che la terra genera con il suo moto intorno al sole. Infatti a quei tempi si riteneva, </span><span face="Arial, Helvetica, sans-serif">secondo la concezione meccanicistica della fisica,</span><span face="Arial, Helvetica, sans-serif"> che l’etere fosse il mezzo di trasporto delle onde elettromagnetiche. Infatti, Michelson e Morley misurarono la velocità della luce su percorsi mutuamente ortogonali al moto della terra. Velocità che si sarebbe dovuta addizionare o sottrarre al moto della terra stessa ma che invece risulto sempre uguale indipendentemente dalla velocità relativa del osservatore. Lorenz non capi le implicazioni continuando a credere nell'ipotesi dell'etere.</span></div>
<div>
</div>
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif"><br /></span>
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif">Fu Albert Einstein che nel 1905 diede un appropriato fondamento alle trasformazioni di Lorenz nel contesto della teoria della relatività ristretta. Infatti nella teoria della relatività le trasformazioni di Lorenz sono conseguenza dell'assunzione (verificata sperimentalmente) della invarianza della velocità della luce</span><span face="Arial, Helvetica, sans-serif">. Le </span><span face="Arial, Helvetica, sans-serif">trasformata di Lorentz sono trasformazioni lineare che ci permettono di ricavare, a partire dalle coordinate spazio-temporali di un sistema di riferimento R(t,x,y,z), le coordinate rispetto al sistema di riferimento R'(t',x',y',z') in moto a velocità v rispetto a R. In particolare ci permettono di calcolare il rapporto tra il tempo t dell'osservatore in quiete rispetto al tempo t' dell'osservatore in moto.</span><br />
<br />
<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=(1.1)\%20t=\frac{t%27}{\sqrt{1-\left%20(\frac{v}{c}%20\right%20)^{2}}}" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?(1.1)\ t=\frac{t'}{\sqrt{1-\left (\frac{v}{c} \right )^{2}}}" title="(1.1)\ t=\frac{t'}{\sqrt{1-\left (\frac{v}{c} \right )^{2}}}" /></a><br />
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif"><br /></span>
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif">Infatti il tempo del osservatore in moto scorre più lentamente di in fattore. </span><br />
<br />
<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=(1.2)\%20\frac{1}{\sqrt{1-\left%20(\frac{v}{c}%20\right%20)^{2}}}" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?(1.2)\ \frac{1}{\sqrt{1-\left (\frac{v}{c} \right )^{2}}}" title="(1.2)\ \frac{1}{\sqrt{1-\left (\frac{v}{c} \right )^{2}}}" /></a>
<br />
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif"><br /></span>
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif">Nelle applicazioni normali (non relativistiche) v è molto più piccolo della velocità della luce c e quindi </span><span face="Arial, Helvetica, sans-serif"> </span><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\left (\frac{v}{c} \right )^{2}" style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;" title="\left (\frac{v}{c} \right )^{2}" /><span face="Arial, Helvetica, sans-serif"> </span><span face="Arial, Helvetica, sans-serif">è molto piccolo da cui risulta che </span><br />
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif"><br /></span>
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif"><br /></span>
<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=(1.3)\%20\sqrt{1-\left%20(\frac{v}{c}%20\right%20)^{2}}" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?(1.3)\ \sqrt{1-\left (\frac{v}{c} \right )^{2}}" title="(1.3)\ \sqrt{1-\left (\frac{v}{c} \right )^{2}}" /></a>
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif"></span><br />
<br />
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif"></span><br />
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif">è molto vicino ad uno e quindi t e t' sono praticamente uguali ma a velocità più grandi </span><span face="Arial, Helvetica, sans-serif">l'effetto, sempre presente, si fa misurabile. </span><span face="Arial, Helvetica, sans-serif">Questo ragionamento aveva fatto formulare nel 1911 ad Albert Einstein il famoso "paradosso dei gemelli". In questo paradosso due gemelli si ritrovavano dopo che uno era partito con un astronave, a velocità vicina a quella della luce, verso le stelle mentre l'altro era rimasto sulla terra. Al ritorno il gemello, che si era allontanato dalla terra, risultava più giovane: per lui il tempo era trascorso più lentamente.</span><br />
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif">Dalle trasformazioni di Lorenz risultava in maniera evidente che la velocità della luce è una velocità limite che non può essere oltrepassata. Infatti se la v=c allora la (1.3) assume valore 0 e essendo la (1.3) al denominatore della (1.2) la (1.2) diventa indefinita. Addirittura se le v fosse maggiore di c allora la (1.3) diventerebbe la radice di un numero negativo, che nell'algebra dei numeri reali non è possibile. Infatti la radice quadrata di un numero reale a è un numero reale b per cui a = b². Ma, per a numero negativo, non si può trovare un numero b che soddisfa questa proprietà: il numero b</span><span face="Arial, Helvetica, sans-serif">²</span><span face="Arial, Helvetica, sans-serif"> è infatti sempre positivo (che b sia positivo o negativo), e quindi non può essere uguale ad a. </span><br />
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif"><br /></span>
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif">Le trasformazioni di Lorenz possono però anche essere dedotte postulando, invece della costanza della velocità della luce, la isotachia nello spazio-tempo, considerando che i corpi si muovano nello spazio-tempo alla "velocità" costante c. Per ogni corpo in movimento lo spazio si riduce ed il tempo si contrae all'aumentare della velocità relativa in modo che la traiettoria nello spazio-tempo sia sempre rettilinea ed equiveloce (isotachos).</span><br />
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif">Un corpo fermo nello spazio si muove quindi alla velocità della luce lungo la coordinata temporale. Un corpo che si muove nello spazio riduce in proporzione il suo moto lungo la coordinata temporale (il tempo scorre più lentamente) in modo che la risultante spazio-temporale sia costante. </span><br />
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif">Vediamo come dal semplice assioma epicureo sia possibile derivare le trasformazioni di Lorenz</span><br />
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif"><br /></span>
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif">Consideriamo:</span></div>
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif">
</span>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif"><br /></span></div>
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif">
</span>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif">s = Spostamento spaziale.</span></div>
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif">
</span>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif"><br /></span></div>
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif">
</span>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif">d = Distanza spazio-temporale.</span></div>
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif">
</span>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif"><br /></span></div>
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif">
</span>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif">t = Tempo di riferimento dell'atomo in quiete (osservatore).</span></div>
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif">
</span>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif"><br /></span></div>
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif">
</span>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif">t’ = Tempo di riferimento dell'atomo in moto.</span></div>
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif">
</span>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif"><br /></span></div>
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif">
</span>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif">Poniamoci nella situazione galileana dove t=t’</span></div>
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif">
</span>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif"><br /></span></div>
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif">
</span>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif">Supponiamo che un atomo si muova di uno spazio s lungo una direzione spaziale nel tempo t rispetto ad un osservatore in quiete. Descriviamo il suo stato su un diagramma spazio-temporale rappresentando la sua traiettoria in un sistema di coordinate cartesiane dove l’asse delle x rappresenti la direzione spaziale e l’asse delle y rappresenti il tempo.</span></div>
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif">
</span>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif"><br /></span></div>
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif">
</span>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjYcemXNe7CuPcVfsasRD8ZacBQDGgfsndMEgXWijNyUP96vtejQP-CI1is5ZvTY0qlIBJ1Vy5zgbMSwRuB7L4LZq6oYqdxBIGQiThVXND0YNpMPknAXNd9JI98ZwgERb0tSANafC0yVwk/s1600/fig2.png"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjYcemXNe7CuPcVfsasRD8ZacBQDGgfsndMEgXWijNyUP96vtejQP-CI1is5ZvTY0qlIBJ1Vy5zgbMSwRuB7L4LZq6oYqdxBIGQiThVXND0YNpMPknAXNd9JI98ZwgERb0tSANafC0yVwk/s400/fig2.png" /></a></span></div>
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif">
</span>
<div style="text-align: justify;">
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif"><br /></span></div>
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif">
<div style="text-align: justify;">
L’osservatore dopo il tempo t si troverà nel punto (0,t) mentre l’atomo in moto si troverà in (s,t). L'atomo in quiete (osservatore) avrà percorso nello spazio-tempo una distanza di lunghezza <i>d</i> mente l’atomo in moto avrà percorso una distanza <i>d</i>’. Naturalmente <i>d>d’</i> e quindi l’atomo in moto avrà percorso una distanza spazio temporale maggiore.<br />
In generale, atomi che si spostano in punti diversi nello stesso periodo temporale saranno rappresentati da segmenti di retta con pendenze diverse. La lunghezza di questi segmenti rappresenta lo spostamento nel sistema di riferimento spazio-temporale che risulterà diverso a secondo della spostamento spaziale.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Infatti, un oggetto che si è spostato maggiormente nello spazio percorrerà anche nel diagramma spazio temporale una distanza spazio-temporale maggiore di un oggetto che ha percorso una distanza spaziale inferiore nella stessa unita di tempo.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Imponiamo ora un vincolo alle distanze spazio-temporale percorribili in un’unità di tempo. Imponiamo che tutti gli atomi siano “isotachoi”, percorrano cioè una distanza spazio-temporale uguale indipendentemente dallo spostamento spaziale, cioè che i vettori di spostamento spazio-temporale siano tutti di lunghezza uguale indipendentemente dalla distanza spaziale che percorrono nell’unita di tempo e quindi della "velocità" con la quale viaggiano.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Uno spostamento nello spazio richiede a questo punto che sia ridotto il tempo necessario a percorrerlo rispetto alla situazione galileiana. Per mantenere la stessa distanza spazio-temporale indipendentemente dalla distanza spaziale percorsa nell’unità temporale è necessario che i riferimenti temporali siano diversi per l’atomo in quiete ed l’atomo in movimento. In particolare prendendo come riferimento l’unità temporale dell’atomo in quiete l’atomo in movimento ha percorso meno tempo. Il suo tempo si è rallentato.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Una prima conseguenza del vincolo di “isotachia” spazio-temporale e che esiste una distanza spaziale massima percorribile in un’unita di tempo e quindi una velocità massima.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Infatti, la distanza massima percorribile nello spazio si avrà nella situazione dove il tempo percorso dall’atomo in moto rispetto all’atomo in quiete sia nullo. In rapporto all’atomo in quiete questa è la distanza massima raggiungibile da un atomo in moto nell’unita di riferimento dell’atomo in quiete. Definiamo questa velocità misurata come spazio percorso rispetto all’atomo in quiete nell’unita di tempo dell’atomo in quiete con la lettera c.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Quale è la relazione che lega il tempo dell'atomo in quiete con il tempo trascorso sull’atomo in moto.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
A questo scopo consideriamo il diagramma con sull’asse delle ascisse il rapporto tra spazio percorso dall’atomo in moto s = vt e dal massimo spazio percorribile ct e sull’asse delle ordinate il rapporto tra t’ il tempo dell’atomo in moto e t il tempo dell’atomo in quiete.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhzsePQ69SR_zTG5SUHnH5j2YW0lMLDZ_zorO4KvVx9ggfwkQTD1dd9oe9M36doMP4DJSSmIsDrY0OqZQaYO3COHg2T_IC5z1KdxCmwmUGCBPaG1HavRRKkYcK1cdAvmw1oODEGH9vBZNo/s1600/fig3.png"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhzsePQ69SR_zTG5SUHnH5j2YW0lMLDZ_zorO4KvVx9ggfwkQTD1dd9oe9M36doMP4DJSSmIsDrY0OqZQaYO3COHg2T_IC5z1KdxCmwmUGCBPaG1HavRRKkYcK1cdAvmw1oODEGH9vBZNo/s400/fig3.png" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
In questo diagramma la lunghezza della distanza spazio-temporale percorribile nell’unità di tempo e 1.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Vale la relazione:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\left (\frac{t'}{t} \right )^{2}+\left (\frac{s}{ct} \right )^{2}=1" title="\left (\frac{t'}{t} \right )^{2}+\left (\frac{s}{ct} \right )^{2}=1" /></span></div>
<div>
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif"><br /></span>
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif">sostituendo <i>s</i> con <i>vt</i></span><br />
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif"><i><br /></i></span></div>
<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\left (\frac{t'}{t} \right )^{2}+\left (\frac{vt}{ct} \right )^{2}=1" title="\left (\frac{t'}{t} \right )^{2}+\left (\frac{vt}{ct} \right )^{2}=1" /><br />
<br />
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif">semplificando e mettendo in evidenza <i>t</i></span><br />
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif"><br /></span>
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\left (\frac{t'}{t} \right )^{2}+\left (\frac{v}{c} \right )^{2}=1" title="\left (\frac{t'}{t} \right )^{2}+\left (\frac{v}{c} \right )^{2}=1" /></span><br />
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif"><br /></span>
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\left (\frac{t'}{t} \right )^{2}=1-\left (\frac{v}{c} \right )^{2}" title="\left (\frac{t'}{t} \right )^{2}=1-\left (\frac{v}{c} \right )^{2}" /></span><br />
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif"><br /></span>
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{t'}{t}=\sqrt{1-\left (\frac{v}{c} \right )^{2}}" title="\frac{t'}{t}=\sqrt{1-\left (\frac{v}{c} \right )^{2}}" /></span><br />
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif"><br /></span>
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?t=\frac{t'}{\sqrt{1-\left (\frac{v}{c} \right )^{2}}}" title="t=\frac{t'}{\sqrt{1-\left (\frac{v}{c} \right )^{2}}}" />
</span><br />
<div style="text-align: justify;">
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif">La relazione trovata, imponendo il vicolo Epicureo di equivelocità agli atomi nello spazio-tempo, é la stessa usata da Einstein</span><span face="Arial, Helvetica, sans-serif"> e che risolsero una sua insoddisfazione, rispetto ad alcune asimmetrie dell’elettrodinamica, quando si supponeva costante la velocità della luce per qualunque osservatore in moto.</span><br />
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif"><br /></span>
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif">La costanza della velocità della luce che Einstein aveva postulato da considerazione “estetiche” sulle equazione di Maxwell rivoluzionò la fisica del ventesimo secolo e le trasformazioni di Lorenz sono alla base della teoria della </span><span face="Arial, Helvetica, sans-serif">relatività ristretta che produsse oltre alla relativazione del concetto di tempo la equivalenza tra massa ed energia.</span><br />
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif"><br /></span>
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif">Grande è la meraviglia nel vedere che l’ipotesi epicurea di “isotachia”, così anti-intuitiva e allo stesso tempo così incredibilmente semplice, contenga in nuce la moderna teoria della relatività. </span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif"><br /></span></div>
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif"><br /></span>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
Federico Giudiceandreahttp://www.blogger.com/profile/12558070611627765134noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5622501474661069545.post-15737295828764184762004-11-04T20:39:00.000+01:002014-01-19T03:42:38.840+01:00Der Raum und die Leere<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi0vCAzTWJQcnfmI1efIWWST77SHghhBXXM_TVDlIK39dLDHSny4gbnyjmZakUulEfdsaMMp-xqmcvFX5GfiBDsnDgY0yv6WQ3CNLKvDw0n0LCP-NSk9jRA9jPbVsKhKfB2uhaUZm1fJuk/s1600/fig00.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi0vCAzTWJQcnfmI1efIWWST77SHghhBXXM_TVDlIK39dLDHSny4gbnyjmZakUulEfdsaMMp-xqmcvFX5GfiBDsnDgY0yv6WQ3CNLKvDw0n0LCP-NSk9jRA9jPbVsKhKfB2uhaUZm1fJuk/s400/fig00.png" height="397" width="400" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<br />
<br />
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span lang="DE"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Die Überlegungen über den Ursprung und der Natur des Seins waren der Anfang unser abendländischen Kultur. </span></span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Für Tales aus Milet war der Ursprung das Wasser,</span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"> </span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Anaximenes sah in der Luft den Ursprung der Dinge. </span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Während Pythagoras in der Zahlen die Natur des Seins suchte.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span lang="DE"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Parmenides lebte um 500 vor Christus in Elea, einer kolonialgriechischen Stadt in Unteritalien, in der Nähe von Paestum gelegen in der sich auch der etwa 40 Jahre ältere Xenophanes niedergelassen hatte. Der Überlieferung nach trat Parmenides zunächst mit Pythagoreern, aus dem nicht weit entfernten Kroton, in Verbindung. Doch bald entwickelte er seine eigene Lehre und somit eine unerreichten Höhe der Abstraktion.<o:p></o:p></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span lang="DE"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Die Lehre des Parmenides hüllt sich ins altertümlich-feierliche Gewand des hexametrischen Epos <o:p></o:p></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span lang="DE"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Hier ein Ausschnitte aus den Fragmenten 1 bis 8:<o:p></o:p></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<i><span lang="DE"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">“Die Rosse, die mich dahintragen, zogen mich fürder, soweit nur die Lust mich ankam.. <o:p></o:p></span></span></i></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<i><span lang="DE"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Dort ist das Tor der Bahnen von Nacht und Tag, das Tor selbst, das ätherische, hat eine Füllung von großen Türflügeln; davon verwaltet Dike, die vielstrafende, die wechselnden Schlüssel. .. <o:p></o:p></span></span></i></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<i><span lang="DE"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Und es nahm mich die Göttin huldreich auf, ergriff meine rechte Hand mit der ihren, und so sprach sie das Wort und redete mich an: "Jüngling, der du unsterblichen Wagenlenkern gesellt mit den Rossen, die dich dahintragen, zu unserem Hause gelangst, Freude dir! Denn keinerlei schlechte Fügung entsandte dich, diesen Weg zu kommen, sondern Gesetz und Recht. Nun sollst du alles erfahren, sowohl der wohlgerundeten Wahrheit unerschütterlich Herz wie auch der Sterblichen Schein-Meinungen, denen nicht innewohnt wahre Gewißheit. <o:p></o:p></span></span></i></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<i><span lang="DE"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Wohlan, so will ich denn sagen, welche Wege der Forschung allein zu denken sind: der eine Weg, daß <b>SEIN</b> ist und daß <b>NICHTSEIN</b> nicht ist, das ist die Bahn der Überzeugung , der andere aber, daß <b>NICHTSEIN</b> ist und daß <b>NICHTSEIN</b> erforderlich ist, dieser Pfad ist, so künde ich dir, gänzlich unerkundbar: denn weder erkennen könntest du das Nichtseiende noch aussprechen; <o:p></o:p></span></span></i></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<i><span lang="DE"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Aber nur noch ein Weg bleibt dann, daß <b>IST</b> ist. Auf diesem sind gar viele Merkzeichen: weil ungeboren ist es auch unvergänglich, denn es ist ganz in seinem Bau und unerschütterlich sowie ohne Ziel und es war nie und wird nie sein, weil es im Jetzt zusammen vorhanden ist als Ganzes, Eines, Zusammenhängendes....<o:p></o:p></span></span></i></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<i><span lang="DE"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Auch teilbar ist es nicht, weil es ganz gleichartig ist. Und es gibt nicht etwa hier oder da ein stärkeres Sein, das seinen Zusammenhang hindern könnte, noch ein geringeres; es ist vielmehr ganz von Seiendem erfüllt. Darum ist es ganz zusammenhängend; denn Seiendes stößt dicht an Seiendes”<o:p></o:p></span></span></i></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span lang="DE"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Seiendes stößt dicht an Seiendes ohne Leerräume. <o:p></o:p></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span lang="DE"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Der Raum ist voll mit <b>SEIN. <o:p></o:p></b></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span lang="DE"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Und im Ursprung ist es unteilbar und gleichartig.<o:p></o:p></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span lang="DE"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Aber welche Form hat dieses unteilbare gleichartige atomare <b>SEIN ?<o:p></o:p></b></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span lang="DE"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Parmenides untersuchte es nicht weiter und für mehr als zwei Jahrtausende stelle sich auch niemand mehr diese Frage.<o:p></o:p></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span lang="DE"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Der so gegen unsere Sinne stoßende Determinismus, der Bewegung und Werden verneinte, blieb zusammen mit den Paradoxen seines Schülers Zenon, ein beliebtes Gedankenspiel und nicht mehr. <o:p></o:p></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span lang="DE"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Versuchen wir den Gedanken Parmenides weiter-zuverfolgen.<o:p></o:p></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span lang="DE"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Das <b>SEIN</b> füllt den Raum ohne Leerräume<o:p></o:p></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span lang="DE"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">„Seiendes stößt dicht an Seiendes“ <o:p></o:p></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span lang="DE"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Nur wenige regelmäßige Körper füllen den Raum ohne Zwischenräume.<o:p></o:p></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span lang="DE"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Im Zweidimensionalen, der Fläche, wenn man sich nur auf die regelmassigen geometrischen Formen beschränkt gelingt das nur mit Dreiecke, Rechtecke und Sechsecke<o:p></o:p></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span lang="DE"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Aber auch andere Formen füllen die Flache<o:p></o:p></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span lang="DE"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Das erkannten arabischen Künstler um 1300 beim dekorieren der Gewölbe ihrer Moscheen und Gebäuden. Da die moslemische Religion das Darstellen von realistischen Figuren unterstellte verwendeten sie geometrische Formen mit welchen sie die zu dekorierende Fläche füllten. <o:p></o:p></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgaaW2e_MZlwL8IcJU3KY0QhmRpHRX8Q-Dv4dY7cMfTum-ahNzMfN7jEbXi7K6nQgzKEvWEzonBY-CqjC_mA3GXEArdR8-7ducxX_Zzj8Fnbka40Sc5xvKQEky4WQhCXtx14qU5dFeZBy0/s1600/fig01.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgaaW2e_MZlwL8IcJU3KY0QhmRpHRX8Q-Dv4dY7cMfTum-ahNzMfN7jEbXi7K6nQgzKEvWEzonBY-CqjC_mA3GXEArdR8-7ducxX_Zzj8Fnbka40Sc5xvKQEky4WQhCXtx14qU5dFeZBy0/s400/fig01.png" height="332" width="400" /></span></a></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
</div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span lang="DE"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Die Alhambra in Grenada Spanien ist wohl das schönste Beispiel dieser Kunst. <o:p></o:p></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span lang="DE"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Ganze Flächen sind über Rotationen, Reflexionen und Gleitverschiebungen mit symmetrischen Einzeln -Muster so gefüllt das sie keinen freien Raum zulassen. <o:p></o:p></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span lang="DE"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Wie viele diese Mustertypen gibt es? In der Alhambra kann man mindestens 16 verschiedene Flächenfüllungen erkennen. <o:p></o:p></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span lang="DE"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Sind die von den Künstlern intuitiv erkannten Flächenfüllungen alle möglichen Lösungen oder gibt es weitere? <o:p></o:p></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span lang="DE"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Die Antwort auf diese Frage musste noch lange auf sich warten lassen.<o:p></o:p></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span lang="DE"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Erst 1832 wurden von einen jungen französischem Mathematiker die Grundlagen für die Lösung dieses Problems geschaffen. Der 23-jährige Evariste Galois verfasste in der Nacht vor einem Duell die Grundlagen der modernen Algebra, ein Werk das die moderne Mathematik auf vielen Gebieten befruchtete.<o:p></o:p></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjJTFpthLCMJ54wxkQ4RSPcsGsbDj3ynrzcLT_x3RulkXyrcm2sQL0ip8aP2HDtVd1buljvIMcSaSbUEN1X597hJxE8KcORwwtoia-A58jw9nPrPhCxPADr-rHNAUFKVxkcQhhLSQ28wRo/s1600/fig02.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjJTFpthLCMJ54wxkQ4RSPcsGsbDj3ynrzcLT_x3RulkXyrcm2sQL0ip8aP2HDtVd1buljvIMcSaSbUEN1X597hJxE8KcORwwtoia-A58jw9nPrPhCxPADr-rHNAUFKVxkcQhhLSQ28wRo/s400/fig02.png" height="288" width="400" /></span></a></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
</div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span lang="DE"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">In dieser Nacht bestritt Galois wohl den dramatischsten Kampf eines Wissenschaftlers gegen die verrinnende Zeit, den es je gab. Im Wettlauf mit der Uhr versuchte er, seine Theorien über die Bedingungen, unter denen eine Gleichung beliebigen Grades algebraisch lösbar ist, zu Papier zu bringen. Er beschritt dabei völliges Neuland, indem er die so genannte Gruppentheorie auf die Gleichungslehre anwandte. <o:p></o:p></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span lang="DE"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Durch Anwendung der algebraischen Gruppentheorie gelingt es 1891 Fedorov, Schoenflies, und Barlow zu beweisen das es 17 verschiedene Möglichkeiten gibt die Fläche mit symmetrischen Figuren zu füllen. Diese werden auch <b>Wallpaper Groups </b>genannt. <o:p></o:p></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgsxJkZEbiU5YKmz_VXIfIHOdPK3YaU9r6szFoWYzE0Oikun9sqKz6vCQsWcPNzedPFZEy9y-XHSQU7wHRK2DQgcXfHaSTYVhMwWHwjy1fNYLE1W_8qcWK1u1VvkICqfj1Sbp37tzuiHwk/s1600/fig03.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgsxJkZEbiU5YKmz_VXIfIHOdPK3YaU9r6szFoWYzE0Oikun9sqKz6vCQsWcPNzedPFZEy9y-XHSQU7wHRK2DQgcXfHaSTYVhMwWHwjy1fNYLE1W_8qcWK1u1VvkICqfj1Sbp37tzuiHwk/s400/fig03.png" height="366" width="400" /></span></a></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
</div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span lang="DE"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span lang="DE"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Ungefähr zur selben Zeit, blüht in Wien der Judenstil, einer der Künstler rund um die Wiener Werkstätte Koloman Moser entwirft einige flächenfüllende Muster für Tapetenpapier. Zum ersten Mal ist das Muster nichtgeometrisch sondern es werden natürliche Objekte dargestellt.<o:p></o:p></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjLKUQZ-tCSnVRvftfyQiU7g4HOlMs1ik4st_a5Qvu-d1RUKQ8Jg7UrOVQzEGDw99RcNEx4E8WWW2dukndD0yllYbvh_X7ScEJm0dBtDMbjitVWH-qrNpsgNHlgzv9bYcD92t4A05La3Jc/s1600/fig04.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjLKUQZ-tCSnVRvftfyQiU7g4HOlMs1ik4st_a5Qvu-d1RUKQ8Jg7UrOVQzEGDw99RcNEx4E8WWW2dukndD0yllYbvh_X7ScEJm0dBtDMbjitVWH-qrNpsgNHlgzv9bYcD92t4A05La3Jc/s400/fig04.png" height="282" width="400" /></span></a></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
</div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span lang="DE"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span lang="DE"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Die Vollendung der periodischen Flächenfüllung mit natürlichen Mustern wird vom niederländischen Künstler Mauritius Cornelius Escher in der Nachkriegszeit verwirklicht. Nach einen Besuch in der Alhambra, fasziniert von der regelmäßigen Flächenfüllung entwickelt MC Escher über 130 flächenfüllende Muster die ihm zum beliebtesten Künstler im Kreise der Wissenschaftler machen. <o:p></o:p></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiAMJCCQgOr0JHuFF1ywAMxwy_HCwCGvYiSRznWNFSnKRZlUhMGccgzPtJ9umIHJlE9NKd0Ej9k_udmzaodrbgCrMiNqFtSAEVCb7ZEoOutWQHNWiV_ZA6BF5i7oib4X22lGA3mfFlRD7Y/s1600/fig05.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiAMJCCQgOr0JHuFF1ywAMxwy_HCwCGvYiSRznWNFSnKRZlUhMGccgzPtJ9umIHJlE9NKd0Ej9k_udmzaodrbgCrMiNqFtSAEVCb7ZEoOutWQHNWiV_ZA6BF5i7oib4X22lGA3mfFlRD7Y/s400/fig05.png" height="277" width="400" /></span></a></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
</div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span lang="DE"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Die Geschichte der regelmäßigen Flachenfüllung hat in den letzten Jahren noch ein Highlight hinter sich. Die 1960 von Wang erstellte die Vermutung daß es keine nicht-periodische regelmäßige Flächenfüllung gibt wird 1970 von Robert Berger widerlegt. <o:p></o:p></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span lang="DE"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Die Lösung von Berger realisiert eine nicht-periodische Flächenfüllung mit 20.426 verschiedenen Mustern. 1971 entdeckt Sir Roger Penrose in Cambridge die Möglichkeit einer nicht-periodischen Flächenfüllung mit nur zwei symmetrischen Bausteinen. Auch Mauritius Cornelius Escher verwendete die Penrose’sche Flächenteilung für eine seiner letzten Flächenfüllungen.<o:p></o:p></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi7cAh5lIKuFfr628MTyDm5r_SgxP_1057a4trIEGVQQtC-vo7-4CHuhHPcYb40CVEL1N1pwuhsoWl1BXSFI-SZ0oQGw9kQxvgAXXyBikgTHqa4rZic_tzPEGf_KjqwcyWiEY3Rapueb7g/s1600/fig06.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi7cAh5lIKuFfr628MTyDm5r_SgxP_1057a4trIEGVQQtC-vo7-4CHuhHPcYb40CVEL1N1pwuhsoWl1BXSFI-SZ0oQGw9kQxvgAXXyBikgTHqa4rZic_tzPEGf_KjqwcyWiEY3Rapueb7g/s400/fig06.png" height="308" width="400" /></span></a></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
</div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span lang="DE"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Mauritius Cornelius Escher stirbt 1972 in Baarn Holland. </span></span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Er hinterlässt wunderbare Intuitionen zur regelmäßigen Flächenfüllung und beschreibt somit die Form des Seins vom Parmenides.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span lang="DE"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Inzwischen hat die Einstein’sche Relativitätstheorie mit der Definition des Raum-Zeit Kontinuums der Lehre des Parmenides neue Impulse gegeben. <o:p></o:p></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span lang="DE"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Die Bewegung ist in einem vollem lückenlosen Raum-Zeit Kontinuum kein Widerspruch mehr, und die Atome des Raum-Zeit Kontinuums füllen ohne Leerräume unser All ohne dessen Dynamik einzuschränken. <o:p></o:p></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span lang="DE">Auch hat die algebraische Gruppen-Theorie gefruchtet. 1962 wurde sie von Murray Gell-Mann und Georg Zweig und später von Abdus Salam und Steven Weinberg auf die damals bekannten atomaren Elementarteilchen angewandt. Somit kam es zum so genannte Standard Modell und zur Vorhersage der Existenz der Elementarteilchen W+, W- und Z</span><sup><span lang="DE">0</span></sup><span lang="DE"> die, wie von der Theorie vorgesehen,1982 am CERN Collider in Genf von Carlo Rubbia und Simon van der Meer entdekt wurden. <o:p></o:p></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span lang="DE"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Heute versucht man ein weiterentwickeltes Standard Modell, die supersymmetrische algebraische Gauge Theorie durch die Entdeckung eines speziellen Elementarteilchen den Higgs Boson, das “Teilchen Gottes”, zu bestätigen.<o:p></o:p></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span lang="DE"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Diese Theorie beschreibt alle Zustande der Materie unter den Einfluss aller bekannte Kräfte <o:p></o:p></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span lang="DE"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Das Raum-Zeit Kontinuum und dessen Quantische Schwankungen wird dort durch Teilchen beschrieben die ohne Lücken alle Zustände füllen. <o:p></o:p></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-layout-grid-align: none; mso-pagination: none; tab-stops: 28.0pt 56.0pt 84.0pt 112.0pt 140.0pt 168.0pt 196.0pt 224.0pt 252.0pt 280.0pt 308.0pt 336.0pt; text-align: justify; text-autospace: none; text-justify: inter-ideograph;">
<span lang="DE"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Hatte Parmenides vielleicht doch recht?<o:p></o:p></span></span></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
Federico Giudiceandreahttp://www.blogger.com/profile/12558070611627765134noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-5622501474661069545.post-25018063738449765022001-12-05T00:29:00.000+01:002012-01-11T19:40:20.912+01:00Die Zeit und die Freiheit<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjjiFllMKAsUqaGXYitlcCCgsxZ1JLHAMmKazK_cPDbCQgaHpcb7uDJz2txNxHZFIQOShXCMmcw1C3fF1aEzGBKXIvW3fQ7PXyt7KHnxkqxSMhImITcZXcBcHFCGecQzuj-5s5GDacsBrk/s1600/No+freedom.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="387" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjjiFllMKAsUqaGXYitlcCCgsxZ1JLHAMmKazK_cPDbCQgaHpcb7uDJz2txNxHZFIQOShXCMmcw1C3fF1aEzGBKXIvW3fQ7PXyt7KHnxkqxSMhImITcZXcBcHFCGecQzuj-5s5GDacsBrk/s400/No+freedom.png" width="400" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: large;"></span><br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: large;"><br /></span></div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: large;">
</span><br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: large;"><br /></span></div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">
</span><br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">In der griechischen Mythologie war der Chaos der Ursprung aller Dinge, Chaos generierte Uranos, den Himmel und Gea, die Erde. Diese generierten Cronos, die Zeit und dieser generierte Zeus, den Herscher des Olymps Gott der Götter. Die Zeit wurde als eigenes Element der Cosmogonie empfunden. Unterschiedlich zur Hebräischen Mythologie wo Jahwe, der <span style="background-color: white; line-height: 19px; text-align: -webkit-auto;">unaussprechliche</span>, den Kosmos in 7 Tage schuf und eigentlich die Zeit schon vorfand.</span></div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">
</span><br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">
<div style="text-align: justify;">
Dieses moderne Konzept, dass die Zeit eigentlich nicht im Sein immanent ist, widerspiegelt sich in der presokratischen Philosophie, speziell in der elatischen Schule von Parmenides und Zenon, die Widersprüche und Paradoxe der Bewegung erarbeiteten und somit das Werden verneinten.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Das Fliesen der Zeit, der Übergang vom Vergangenheit in Gegenwart ist für Parmenides eine Illusion. Das Sein ist zeitlos, der Unterschied zwischen Vergangenheit Gegenwart und Zukunft eine Illusion. Die Argumentation Parmenides war von solider Einfachheit: Das Sein ist, das Nicht Sein ist nicht, das Vakuum, das Nicht Sein, ist nicht, das Vakuum existiert nicht, das Sein ist voll und somit ist die Bewegung, das Werden unmöglich. Das Werden eine reine Illusion.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Die Tradition überliefert uns Parmenides bei der Beobachtung der Mondfasen. Sowie die Phasen des Mondes, das Wachsen der Mondsichel zum Vollmond eigentlich die Natur des Mondes nicht verändern sondern nur unseren Beobachtungspunkt darstellt so ist auch die Bewegung Illusion.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Aber wenn das <i>Werden</i> nicht <i>ist</i> und die Zukunft nicht <i>wird</i> sondern <i>ist</i>, wenn alles schon <i>ist</i>, wo bleibt unsere Willensfreiheit.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Auch die ersten Philosophen des Christentums wie Plotin und Augustin empfanden das Werden in der Zeit als ein unvollkommenes Sein. Empfindet Gott das Werden oder <i>ist</i> Gott einfach. Die Annahme, daß Gott außerhalb der Zeit ist, wurde zu einem der Grundgedanken der mittelalterlichen Teologie. Gott empfindet das Werden nicht, Gott empfindet Vergangenheit, Gegenwart und Zukunft gleichzeitig. Also ist die Zukunft in der Vernunft Gottes. Aber wenn die Zukunft ist, irgendwo in den Gedanken Gottes geschrieben, wo bleibt unsere Freiheit, wo bleibt unsere Entscheidungsmöglichkeit.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Diese Gedanken entfachten bis in die heutige Zeit heiße Debatten sowohl bei Theologen als auch bei Physiker. Die Deterministische Logik sowohl der Glaube an ein absolutes Wesen sind mit unserer Willensfreiheit im Wiederspruch.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Die Fortschritte der Wissenschaft in den Jahre der Renaissance, die Erkenntnisse von Galileo Galilei und Jsaac Newton brachten keine Lösungen Die Erkenntnis der Gesetzmäßigkeit der Bewegung der Körper nach den Regeln der klassischen Mechanik machten unser Weltall zu einem perfekten Uhrwerk, und nur die Komplexität der Anfangsbedingungen erlauben keine perfekte Voraussage aller Ereignisse. Aber in diesem, von den Absoluten Regeln der Natur, beherrschten Kosmos gibt es keinen Platz für unsere Freiheit.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Die Zeit Netwon’s ist absolut, messbar, voraussehbar. Und diese Zeit ist Grundlage unser modernes Zeitempfinden. Auch die Relativitätstheorie Albert Einstein’s brachte keine Lösung. Einstein relativierte zwar die Zeit: Meine Zeit ist nicht gleich deiner Zeit. Je nach Geschwindigkeit fliest die Zeit mit einem anderen Rhythmus. Aber auch der Kosmos Einsteins spielt sich wie ein Film im Raum-Zeit Kontinuum ab. Alle Vorgänge sind deterministisch vorhersehbar, für unsere Willensfreiheit gibt es keinen Platz</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Neue Erkenntnisse brachte die Quantentheorie, die in den 20er Jahren von Max Plank und Niels Bohr entwickelt wurde. Im winzig Kleinem, gelten andere Kräfte, Wahrend die Gravitation und die Elektromagnetische Kraft einen unbegrenzten Aktionsraum besitzen, so wirken die nukleare Kräfte nur in einem begrenzten Raum, sie sind nur im Bereich des Atomnukleus tätig. Die von diesen Kräften hervorgerufene Phänomene sind nicht deterministisch vorzusehen, sie unterliegen zufälligen Bedingungen. In den Formeln der Quantenmechanischen Prozesse verschwindet interessanterweise der Faktor Zeit, die Zeit spielt keine Rolle, der Unterschied zwischen Vergangenheit und Zukunft existiert nicht und alle Prozesse sind reversierbar. </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Das Verhalten der Elementarteilchen ist nicht vorhersagbar und zeitlos. Sie sind frei.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Ist also die Natur der Zeit, ihre tiefste physische Deutung, mit der Willensfreiheit im Kontrast?</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Gilt auch für Zeit und Freiheit die Heisenberg’sche Unschärfe?</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Sind wir frei, oder werden wir erst dann frei wenn unsere Zeit abgelaufen ist?</div>
</span>Federico Giudiceandreahttp://www.blogger.com/profile/12558070611627765134noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5622501474661069545.post-26830113525688559252001-03-11T23:27:00.000+01:002012-01-07T21:36:12.278+01:00Fisica epicurea<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgKkrKbVm799RRIUZxc-mTRuhdkGuk1kaiAdUxd9zL9IKYtL-Ne2Fm1JM9StoAeHY-umtxxcds3t7IhSCe_WjW1ER-FhCt7t5KnqjyeoffBzZUeFmZj3qPzeYXCEPv_MuL0qCCgiv_xbCs/s1600/Epicuro.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="239" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgKkrKbVm799RRIUZxc-mTRuhdkGuk1kaiAdUxd9zL9IKYtL-Ne2Fm1JM9StoAeHY-umtxxcds3t7IhSCe_WjW1ER-FhCt7t5KnqjyeoffBzZUeFmZj3qPzeYXCEPv_MuL0qCCgiv_xbCs/s320/Epicuro.png" width="320" /></a></div>
<div class="p1">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: large;"><br />
</span></span></div>
<div class="p1">
<div style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">La fisica è il fondamento della filosofia epicurea. La constatazione che i fenomeni possono essere spiegati ricorrendo a una descrizione fisica dimostrava, secondo Epicuro, che si poteva fare a meno di concetti come l’anima o le divinità. Egli credeva che comprendendo i fenomeni della natura come conseguenza di leggi naturali, ci si poteva affrancare dalla paura degli dei e finalmente dalla paura della morte, riuscendo così a cogliere l’intimo piacere legato alle cose terrene.</span></span></div>
</div>
<div class="p2">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span class="s1"></span></span></div>
<div class="p1">
<div style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">La fisica di Epicuro ci è stata tramandata dalla lettera ad Erodoto:</span></span></div>
</div>
<div class="p2">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span class="s1"></span></span></div>
<div class="p1">
<div style="text-align: justify;">
<span class="s1"><i><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">“Prima di tutto nulla nasce dal nulla; perché qualsiasi cosa nascerebbe da qualsiasi cosa, senza alcun bisogno di semi generatori; e se ciò che scompare avesse fine nel nulla tutto sarebbe già distrutto, non esistendo più ciò in cui si è dissolto.”</span></i></span></div>
</div>
<div class="p1">
<div style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">[Epistula ad Herodotum 38,11]</span></span></div>
</div>
<div class="p2">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span class="s1"></span></span></div>
<div class="p1">
<div style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Epicuro inizia la sua fisica con il principio di conservazione “nulla si crea, nulla si distrugge, tutto si trasforma”. </span></span></div>
</div>
<div class="p1">
<div style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Le moderne riformulazioni del Principio di Conservazione dell'Energia si sono avute nel 1842 (Mayer), 1843 (Joule), 1847 (Helmholtz), 1850 (Clausius). Le tesi sostenute erano talmente innovative che gli articoli di Mayer ed Helmholtz furono inizialmente rifiutati dalle riviste scientifiche dell'epoca.</span></span></div>
</div>
<div class="p1">
<div style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Esse portarono alla formulazione del primo principio della termodinamica, che non è altro se non una generalizzazione del principio di conservazione dell'energia</span></span></div>
</div>
<div class="p1">
<div style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Nella sua formulazione moderna il principio di conservazione dell’energia afferma che l'energia non può essere né creata, né distrutta, ma solo trasformata tra forme diverse. L'energia si presenta sotto moltissime forme, quali ad esempio l'energia meccanica (energia cinetica e potenziale ), il calore, l'energia chimica, energia nucleare, l'energia luminosa e quella acustica, che possono essere trasformate l'una nell'altra.</span></span></div>
</div>
<div class="p1">
<div style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Dopo il 1905, anno in cui Albert Einstein pubblicò la teoria della relatività speciale dimostrando l'equivalenza tra massa ed energia, fu necessario includere anche la massa tra le forme d’energia contemplate dal principio di conservazione; pertanto tale principio è noto anche come principio di conservazione della massa-energia. </span></span></div>
</div>
<div class="p1">
<div style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Il ragionamento d’Epicuro è semplice, basato sull’esperienza di non aver mai visto nascere alcunché senza “seme“. Nascendo nulla da nulla, nulla può finire nel nulla altrimenti, con il tempo, l’universo sarebbe composto di solo nulla.</span></span></div>
</div>
<div class="p2">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span class="s1"></span></span></div>
<div class="p1">
<div style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Nella lettera ad Erodoto Epicuro si pone inoltre il problema dell’origine e della fine del tutto (pan)</span></span></div>
</div>
<div class="p2">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span class="s1"></span></span></div>
<div class="p1">
<div style="text-align: justify;">
<span class="s1"><i><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">“Il tutto sempre fu com’è ora, e sempre sarà, poiché nulla esiste in cui possa tramutarsi, né oltre il tutto non vi è nulla che penetrandovi possa produrre mutazione”</span></i></span></div>
</div>
<div class="p1">
<div style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">[Epistula ad Herodotum 39,2]</span></span></div>
</div>
<div class="p2">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span class="s1"></span></span></div>
<div class="p1">
<div style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Epicuro applica al Tutto il ragionamento ontologico di Parmenide. Il Tutto è l’essere, il non essere non è, e quindi nulla è al di fuori del Tutto. Ne consegue l’impossibilità teorica di un inizio e di una fine e l’immutabilità del Tutto. Nella moderna cosmologia la teoria più accreditata è quella dell’universo finito in espansione che prevede la creazione dello spazio-tempo da un’esplosione iniziale (big bang) posta all’incirca 15 miliardi d’anni fa. Questa teoria di uno spazio in espansione è confermata da diverse prove sperimentali, la più importante delle quali è l’allontanamento delle galassie secondo la legge di Hubble (la velocità di fuga delle galassie è proporzionale alla loro distanza). </span></span></div>
</div>
<div class="p2">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span class="s1"></span></span></div>
<div class="p1">
<div style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Alla domande cosa ci fosse prima del big bang, cosa ci sia fuori dell’universo (In che cosa si espande l’universo) i cosmologi rispondono che la domanda non ha senso, poiché la domanda cosa ci sia “prima” del tempo o “fuori” dallo spazio è una contraddizione in termini perché il concetto “prima” richiede il tempo, così come il concetto “dentro o “fuori” richiede lo spazio. I concetti “prima del tempo” e “fuori dello spazio” sono contraddittori. Il ragionamento è lo stesso che permetteva a Parmenide di affermare l’infinità dello spazio e l’infinità del tempo. Questa risposta non è però soddisfacente per un universo finito. Il fatto che l’universo della teoria del big bang sia finito (anche se illimitato) ed abbia un inizio giustifica la domanda di cosa esiste oltre.</span></span></div>
</div>
<div class="p1">
<div style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Sempre la teoria dell’espansione dell’universo prevede l’espansione dello spazio all’interno di un’altra dimensione, addirittura una sua curvatura in un'altra dimensione. Il nostro universo è come una bolla che si sta gonfiando in un qualcosa d’altro che i nostri sensi non riescono a percepire. Anche questa dimensione, impercettibile ai comuni sensi, e che si rivelata all’umanità solamente dopo 2500 anni d’attenta osservazione della struttura dell’universo, è parte del Tutto, dal punto di vista ontologico è.</span></span></div>
</div>
<div class="p1">
<div style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Quindi considerando il Tutto come l’insieme di tutto l’essere, il ragionamento di Parmenide resta coretto: il Tutto comprende tutto l’essere (anche le sue infinite dimensioni), il Tutto è infinito.</span></span></div>
</div>
<div class="p2">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span class="s1"></span></span></div>
<div class="p1">
<div style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Epicuro nella sua lettera ad Erodoto continua:</span></span></div>
</div>
<div class="p2">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span class="s1"></span></span></div>
<div class="p1">
<div style="text-align: justify;">
<span class="s1"><i><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">“Ed inoltre il tutto è costituito da corpi e vuoto. Che i corpi esistano, infatti, lo attesta di sé in ogni occasione la sensazione in base alla quale bisogna, con la ragione, giudicare di ciò che sotto i sensi non cade, come abbiamo detto prima; se poi non esistesse ciò che noi chiamiamo vuoto o luogo o natura intattile, i corpi non avrebbero né dove stare né dove muoversi, come vediamo che si muovono.“</span></i></span></div>
</div>
<div class="p1">
<div style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">[Epistula ad Herodotum 39,6]</span></span></div>
</div>
<div class="p2">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span class="s1"></span></span></div>
<div class="p1">
<div style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Epicuro formula qui l’ipotesi atomista di Democrito. Essa era in contrapposizione alla ipotesi di Parmenide di un “essere” statico, indivisibile ed eterno, che Epicuro accetta per il Tutto nel suo insieme ma non per i suoi elementi. La dottrina atomista prendeva lo spunto proprio dalle considerazione della scuola d’Elea e dalle conclusioni della loro dottrina in così netto contrasto con l’esperienza. Infatti, Democrito aveva negato il moto ed il suo scolaro Zenone con i famosi paradossi ne aveva messo in luce le contraddizioni. Ma Democrito, cosi come Epicuro, non riusciva a sopprimere la sensazione empirica del moto. Il loro assioma era: “Il moto è” simile al “panta rei” (tutto scorre) di Eraclito. </span></span></div>
</div>
<div class="p2">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span class="s1"></span></span></div>
<div class="p1">
<div style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Ma partiamo dall’elenco razionalista di Parmenide:</span></span></div>
</div>
<div class="p2">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span class="s1"></span></span></div>
<div class="p1">
<div style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Solo l’essere è</span></span></div>
</div>
<div class="p1">
<div style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Il nulla, il non essere, non può essere</span></span></div>
</div>
<div class="p1">
<div style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Il non essere é il vuoto.</span></span></div>
</div>
<div class="p1">
<div style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Il vuoto non esiste.</span></span></div>
</div>
<div class="p1">
<div style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Il mondo è pieno.</span></span></div>
</div>
<div class="p1">
<div style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Il movimento è impossibile.</span></span></div>
</div>
<div class="p2">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span class="s1"></span></span></div>
<div class="p1">
<div style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Questa conclusione è confutata dall’esperienza quindi considerando a ritroso le conseguenze all’elenco parmenideo si arriva a concludere: il vuoto è, senza il vuoto il movimento è impossibile, ma il movimento esiste e quindi anche il vuoto esiste. E con il vuoto esiste anche la materia. Questa é formata da atomi, unita indivisibili, entità minimo comune denominatore della materia. Ogni forma di materia alla fine di un processo di divisione deve arrivare ad essere formata da un solo tipo di essenza che insieme al vuoto sono le sole cose che “sono”. Come interagiscono questi atomi ? quale sono le minime proprietà che permettono di spiegare la complessità del mondo ?</span></span></div>
</div>
<div class="p2">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span class="s1"></span></span></div>
<div class="p1">
<div style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Nella Lettera ad Erodoto Epicuro parlando degli Atomi dice:</span></span></div>
</div>
<div class="p2">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span class="s1"></span></span></div>
<div class="p1">
<div style="text-align: justify;">
<span class="s1"><i><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">"Gli atomi hanno moto continuo ed eterno (i loro moti sono equiveloci perché il vuoto lascia passare sia i più leggeri che i più pesanti)"</span></i></span></div>
</div>
<div class="p1">
<div style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"> [Epistula ad Herodotum 43,4] </span></span></div>
</div>
<div class="p2">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span class="s1"></span></span></div>
<div class="p1">
<div style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Il suo pensiero e confermato nel frammento:</span></span></div>
</div>
<div class="p2">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span class="s1"></span></span></div>
<div class="p1">
<div style="text-align: justify;">
<span class="s1"><i><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">"e assolutamente equiveloci sono gli atomi... per il fatto di muoversi in una sola direzione" </span></i></span></div>
</div>
<div class="p1">
<div style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">[Deperditorum librorum reliquiae 37]</span></span></div>
</div>
<div class="p2">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span class="s1"></span></span></div>
<div class="p2">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span class="s1"></span></span></div>
<div class="p1">
<div style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Ipotesi epicurea per cui gli atomi hanno, nel vuoto, tutti la stessa velocità indipendentemente dalla loro massa fa pensare ad Epicuro come ad un precursore di Galileo, ma la caratteristica del moto rettilineo può anche essere vista come una anticipazione della teoria della relatività così rivela la sua semplicità. Infatti secondo la teoria della relatività generale i corpi soggetti alla gravitazione percorrono traiettorie rettilinee in uno spazio pluridimensionale deformato dalle masse . Ma la equivelocità degli atomi implica anche le trasformazioni di Lorenz (le trasformazioni che legano lo spazio al tempo nella teoria della relatività ristretta). Esse altro non sono che una metrica dello spazio-tempo che permette a tutti i corpi di seguire traiettorie rettilinee a velocità costante, quella della luce. Per ogni corpo in movimento lo spazio si riduce ed il tempo si contrae all'aumentare della velocità relativa (l'effetto, sempre presente, si fa misurabile solo ad velocità molto alte vicine alla velocità della luce) in modo che la traiettoria nello spazio-tempo sia sempre rettilinea ed equiveloce (isotachos). </span></span></div>
</div>
<div class="p2">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span class="s1"></span></span></div>
<div class="p1">
<div style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Un corpo fermo nello spazio si muove quindi alla velocità della luce lungo la coordinata temporale. Un corpo che si muove nello spazio riduce in proporzione il suo moto lungo la coordinata temporale (il tempo scorre più lentamente) in modo che la risultante spazio-temporale sia costante. Questo ragionamento aveva fatto formulare nel 1911 ad Albert Einstein il famoso "paradosso dei gemelli" Questo rende ancora più grande l'ipotesi del atomismo democriteo nella interpretazione di Epicuro. Infatti più semplice sono gli assiomi di una teoria che riesce a spiegare la complessità del mondo, più questa deve essere vicina alla effettiva essenza della struttura del cosmo. </span></span></div>
</div>
<div class="p2">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span class="s1"></span></span></div>
<div class="p1">
<div style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Questa considerazione è supportata dal principio di semplicità o rasoio di Occam </span></span></div>
</div>
<div class="p2">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span class="s1"></span></span></div>
<div class="p1">
<div style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><i>"entia non sunt multiplicanda praeter necessitatem, frustra fit per plura quod fieri potest per pauciora</i> "</span></span></div>
</div>
<div class="p2">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span class="s1"></span></span></div>
<div class="p2">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span class="s1"></span></span></div>
<div class="p1">
<div style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Il dualismo (materia-energia) ed (spazio-tempo), la loro interdipendenza attraverso un principio di conservazione. Nel caso del dualismo (materia-energia) interdipendenza è legata alla conservazione della quantità totale di “essere” (materia-energia), mentre nel caso del dualismo (spazio-tempo) la interdipendenza è legata alla conservazione della quantità totale di “divenire” rendendo interdipendenti il moto nello spazio ed il moto nel tempo La conseguente ipotesi atomistica con il moto costante ed rettilineo degli atomi perturbato unicamente dal "clinamen", la “deviazione” degli atomi casuale che Epicuro introduce per rende imprevedibile il futuro sono il le ipotesi fondamentali di una "fisica" che coglie nella sua natura più intima la struttura del nostro cosmo.</span></span></div>
</div>Federico Giudiceandreahttp://www.blogger.com/profile/12558070611627765134noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-5622501474661069545.post-73410941296412435991997-06-18T00:25:00.003+02:002021-12-04T10:27:07.780+01:00Die Unendlichkeit<div class="p1" style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span face="Arial, Helvetica, sans-serif"><br />
</span></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjTkKfR0WK-7cglzjbbM1HzxhUHHZJohUS6B0PHWQlMwxqNBc-1U2s0Ul3MCdNZtToSoiqaxpedvHTqBK1YRhKmhtQmYsBBOEXU1oOtVpVBFzAF4FLqz1zzC67UIe_XZrqwPlCYLK4l1RI/s1600/Senza+titolo.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="400" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjTkKfR0WK-7cglzjbbM1HzxhUHHZJohUS6B0PHWQlMwxqNBc-1U2s0Ul3MCdNZtToSoiqaxpedvHTqBK1YRhKmhtQmYsBBOEXU1oOtVpVBFzAF4FLqz1zzC67UIe_XZrqwPlCYLK4l1RI/s400/Senza+titolo.png" width="351" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="p1" style="text-align: justify;">Die alten Griechen beschäftigten sich schon seit Anfang der Kulturgeschichte mit dem Gedanken der Unendlichkeit. Die alten Kosmogonien untersuchten das Problem des Ursprungs und des Sinns und Ende der Dinge. Zwei der vorgeschlagenen Lösungen hatten die Unendlichkeit in Anspruch genommen: Anaximander von Milet im VI Jahrhundert vor Christi lies alles aus dem Apeiron, dem Unbegrenztem, entstehen. Anaximenes, Anaximanders Schüler, sah den Ursprung aller Dinge in dem Element Luft dem er einen unendlichen Charakter zuordnete. Auch Pythagoras von Samos lehrte von der Unendlichkeit im Zusammenhang mit der Entdeckung der Unmessbarkeit der Diagonale eines Quadrates. Er bewies, dass das Verhältnis zwischen der Diagonale und der Seite eines Quadrates mit Hilfe der endlichen Zahlen nicht in numerischer Relation gesetzt werden konnte. Dieses Verhältnis konnte nur mit unendlich großen Zahlen dargestellt werden. Es war die Entdeckung der sogenannten irrationalen Zahlen die unendlich viele Nachkommastellen aufweisen. Diese entstanden aus dem Verhältnis von konkreten geometrischen Begriffen und gaben somit der Unendlichkeit eine aktuelle Realität. Diese Erkenntnis gehörte zu den esoterischen Wahrheiten der Pythagoreischen Schule im süditalienischen Kroton. Diese Wahrheiten durften von keinem Schüler in die Öffentlichkeit gebracht werden. Hippasus aus Metaponto einer der Schüler Pythagoras fand den Tod da er das Geheimnis der Diagonale verbreitet hatte.</div><div class="p1" style="text-align: justify;"><span class="s1"><span face="Arial, Helvetica, sans-serif"><div class="p1"><br /></div><div class="p1">Spätere Philosophen gaben der Unendlichkeit eine andere Deutung. Sie sahen darin nicht das Unbegrenzte, sondern das Andeuten einer nicht geendeten und somit nicht perfekten Realität. Diese Einstellung zur Unendlichkeit prägte die ganze griechische Philosophie. So zeigten die Paradoxe des Zenons, wie das Paradox von Achilles, der die Schildkröte nicht aufholt, oder des Pfeiles, welcher nie sein Ziel erreicht, die Absurdität und Irrationalität der Anwendung der Unendlichkeit in Zusammenhang mit Zahlen und Dimensionen. Im metaphysischen und ontologischen Sinn wurde die Vollkommenheit, die Perfektion und die Harmonie der endlichen Realität zugeschrieben, während die Unendlichkeit als unmessbar und als unvollkommen betrachtet wurde. So erkennt Aristoteles die Unendlichkeit weder als Substanz als auch als Attribut, er gibt ihr eine Deutung als Verneinung der vollkommenen Realität, etwas was nicht vollständig erfasst werden kann. </div><div class="p1"><br /></div><div class="p1">Im Mittelalter wird die Unendlichkeit in Zusammenhang mit den Attributen Gottes analysiert. Klemens aus Alexandria um 200 nach Christi erkennt als erster die Unendlichkeit als eines der Attribute Gottes. Man versucht erste systematische Unterscheidungen und kommt somit zur Unterscheidung von kategormatischen Unendlichkeit und sinkategormatischen Unendlichkeit. Wobei letztere als eine Größe verstanden wird die in Potenz also im Werden unendlich ist und somit auch jederzeit größer werden kann, während die Erste eine Unendlichkeit im Sein ist und man somit die aktuelle Realität der Unendlichkeit wieder behauptet. </div><div class="p1"><br /></div><div class="p1">Zu den Anhängern letzteren gehörte Giordano Bruno der in seinem Werk “De l’infinito universo et mondi” die Unendlichkeit, als ein Attribut der Realität in der sich die Menschen befinden, verweltlicht. Als Anhänger der Heliozentrischen Weltanschauung des Kopernikus zieht er dessen metaphysischen Konsequenzen und behauptet im Gegensatz zu Aristoteles die Aktualität der Unendlichkeit. Diese Aussagen sowie die Verfechtung der Magie als Mittel der Erkennung als auch der Zusammenhang der göttlichen Unendlichkeit mit der Unendlichkeit des Universums werden ihm zum Verhängnis, denn im Jahre 1600 wird er von der Heiligen Inquisition als Ketzer in Campo dei Fiori in Rom bei lebendigen Leibe verbrannt.</div><div class="p1"><br /></div><div class="p1">Später beschäftigten sich fast alle großen Philosophen mit dem Unendlichen. Descartes versuchte die Aristotelische Deutung wieder zu beleben. Andere wie Hegel erteilten der Unendlichkeit eine reellere Deutung andere glaubten dass das Problem durch die endliche menschliche Vernunft nicht lösbar wäre und so verbannte Imanuel Kant die Unendlichkeit zwischen den unlösbaren Antinomien.</div><div class="p1">In der modernen Philosophie entwickelte sich mit Newton und Leibnitz um 1700 neben der metaphysischen Deutung eine neue Analyse des Unendlichen welche über die Symbolisierung und Formalisierung des Unendlich-kleinen die Infinitesimalrechnung einführte. Diese neue pragmatische Art mit dem Unendlichen umzugehen bedanken wir die gewaltigen Fortschritte der modernen Wissenschaft in welcher die Infinitesimalrechnung, das symbolische Kalkül, als Grundstein aller Disziplinen steht. Diese neue Anschauung ist der erste Schritt dem Undenklichen seiner Pardoxität zu nehmen und diese mit einer neuer bewältigbaren Deutung zu ersetzen welche in 19. Jahrhundert mit Cantor und Dedekind das Unendliche zu einem Grundelement einer sehr fruchtbaren Branche der modernen Mathematik macht. </div><div class="p1"><br /></div><div class="p1">Cantor (1845-1918) beschäftigte sich mit der Unendlichkeit der natürlichen Zahlen. Er gab dieser Unendlichkeit den Namen “Aleph null” und symbolisierte sie mit dem ersten hebräischen Buchstaben. Sie ist die zählbare Unendlichkeit und alle unendlichen Mengen die zählbar sind haben diese Unendlichkeit. So hat zum Beispiel die Menge der geraden Zahlen, sowie die Menge der Primzahlen die Potenz ℵ0 (Aleph null). Denn diese Mengen sind zählbar denn man kann sie in eineindeutiger Zuweisung mit der Menge der natürlichen Zahlen setzen. Cantor beweist dass die Menge der rationalen Zahlen, also der Zahlen die mit Brüchen darstellbar sind, auch zählbar sind, auch beweist er dass die Menge der algebraischen irrationalen Zahlen, alle Zahlen die Lösungen von algebraischen Gleichungen auch zählbar sind. (Dazu gehören neben den rationalen Zahlen auch Zahlen wie Wurzel aus zwei). 1873 beweist Cantor dass es eine größere Unendlichkeit gibt. Er beschreibt eine neue Menge die er aus einer ℵ0 unendlich großen Menge, also einer zahlbaren Menge, ableitet: die Menge aller Untermengen (wobei als Untermenge als Menge verstanden wird die nur einige und nur Elemente der Ursprungsmenge beinhaltet). Er beweist das diese Menge nicht zählbar ist und somit eine größere Unendlichkeit aufweist. Es ist die Unendlichkeit des Kontinuums auch ℵ1 (Aleph eins) genannt. Es ist die Unendlichkeit der Punkte eines Liniensegmentes oder einer Linie, der Punkte einer Fläche, der Punkte des Raumes oder die Unendlichkeit der transzendenten irrationalen Zahlen. (Dazu gehören Zahlen wie die Zahl π oder die Eulersche Zahl e). Diese hierarchische Struktur kann weiterentwickelt werden, in dem man neue immer unendlicherer Mengen definiert. So hat die Menge aller Untermengen einer ℵ1 großen Menge die Potenz der Unendlichkeit ℵ2 (Aleph zwei) und so weiter. Cantor fragte sich auch ob es zwischen ℵ0 und ℵ1 also zwischen der Unendlichkeit der natürlichen Zahlen und der Unendlichkeit des Kontinuums andere Unendlichkeit existieren. Cantor war fest überzeugt das es keine andere Unendlichkeit gebe und beschäftigte sich sein ganzes Leben mit dieser Hypothese ohne sie nie beweisen zu können. Mit dieser Cantor’schen Hypothese auch Hypothese des Kontinuums genannt beschäftigen sich alle großen Mathematiker wie Richard Dedekind, Giuseppe Peano, Ernst Zermelo, Gottlob Frege, David Hilbert. Dieser letzte setzte die Hypothese des Kontinuums 1900 an der Spitze von 24 mathematischem Probleme die im darauffolgenden Jahrhundert von den Mathematikern vorrangig zu einer Lösung geführt werden sollten.</div><div class="p1"><br /></div><div class="p1">Aber die Paradoxe der Unendlichkeit kommen 2500 Jahre nach Zenon wieder zum Vorschein und auch diesmal mit verheerenden Folgen: </div><div class="p1"><br /></div><div class="p1">1940 bzw. 1961 beweisen Gurt Gödel und Leonard Cohen dass weder die Hypothese des Kontinuums, weder seine Negation im Kontext der Mengenlehre beweisbar sind und somit weder wahr noch falsch ist. Für Jahrtausende hatte man geglaubt das es für jede Aussage nur zwei Möglichkeiten gebe: sie ist wahr oder sie ist falsch: <i>Tertium non datur</i>, war einer der Grundsätze der Logik des Aristoteles. Gödel beweist dass über gewisse Aussagen nicht entschieden werden kann dass sie nicht ableitbar sind, er beweist in seinem Unvollständigkeit Satz dass die Theorie der natürlichen Zahlen unvollständig ist , d.h. es gibt Sätze, die weder beweisbar weder unbeweisbar sind, und somit unentscheidbar sind. Er bringt somit eine Unschärfe in die Mathematik. Ähnlich wie das von Werner Heisenberg eingeführte Unschärfe-Relation und die darauffolgende von Max Plank entwickelte Quantentheorie, die die Physik auf neue Fundamente setzte so initiierten die Überlegungen Cantors eine neue axiomatische Grundlehre der Mathematik die zur Zermelo-Fränkel Mengenlehre führten die heute die meist akzeptierte Grundlage der modernen Mathematik bildet. </div><div class="p1"><br /></div><div class="p1">Die Erkennung von Strukturen in der Unendlichkeit gibt dieser zwar neue Realität aber die daraus entstehenden Antinomien bringen die Endlichkeit und somit Unvollkommenheit unserer Sinne und unserer Denkvorgänge wieder stark in den Vordergrund. Durch die Erfahrung dieser Antinomien wird sowohl das Sinnlich-Räumliche als auch das Logisch-Erfassbare relativiert. Es entstehen im Extremen Fragen nach der Möglichkeit, daβ die gesamte Menschheitsgeschichte ein erdgeschichtliches relativ kurzes und bedeutungsloses Zwischenspiel im ewigen Fließen, Werden und Vergehen des Kosmos ist.</div><div class="p1">Aber die Schönheit der Gedanken der Philosophen und Mathematiker im Zusammenhang mit der Unendlichkeit sind wie Lichtblitze die durch den Schleier, der die komplexen logischen Strukturen des Universums umhüllt, durchsickern.</div><div><br /></div></span></span></div><div class="p1" style="text-align: justify;"><span class="s1"><span face="Arial, Helvetica, sans-serif"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><br /><br /></span></span></div><div class="p1" style="text-align: justify;"><span class="s1"><span face="Arial, Helvetica, sans-serif"><br /></span></span></div><div class="p1" style="text-align: justify;"><span class="s1"><span face="Arial, Helvetica, sans-serif"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><br /><br /></span></span></div>
<div class="p2" style="text-align: justify;">
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif" style="font-size: large;"><span class="s1"></span></span></div>
<div class="p2" style="text-align: justify;">
<span class="s1"></span></div>Federico Giudiceandreahttp://www.blogger.com/profile/12558070611627765134noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5622501474661069545.post-11675927982512429981996-03-02T00:04:00.000+01:002019-07-13T21:32:58.917+02:00Mathematische Symbollehre<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgyLTMVvucAHrshz3hhnBvxtQE_dkAJksE3Ua6nx62_O7uWKm-Uy3rfDOakXxssINQ48xVFFQFLM8O7JOstP5_ddWjEAmeHjSKza7awoMiENMGlkHQOYuuHttm1y0tT_OzfX7VpB4oehgo/s1600/eulero+grande.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="298" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgyLTMVvucAHrshz3hhnBvxtQE_dkAJksE3Ua6nx62_O7uWKm-Uy3rfDOakXxssINQ48xVFFQFLM8O7JOstP5_ddWjEAmeHjSKza7awoMiENMGlkHQOYuuHttm1y0tT_OzfX7VpB4oehgo/s400/eulero+grande.png" width="400" /></a></div>
<div class="p1" style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">Zahlen sind abstrakte Einheiten die die Vielzahl der Dinge darstellen. Sie werden mit Symbolen dargestellt. Im Laufe der Entwicklung der verschiedenen Kulturen, die die menschliche Geschichte prägten, wurden verschieden Symbolsysteme verwendet.</span></span></div>
<div class="p1" style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">Die Urbevölkerungen der Erde kannten nur die Zahlen <b>eins</b>, <b>zwei</b> und <b>drei</b>. Auch primitive Bevölkerungen wie die Pygmäen Afrikas, die Urbevölkerungen Australiens oder die Botocudos aus dem Amazonas kennen nur diese drei Zahlen wobei die Zahl Drei eigentlich die Mehrzahl bedeutet.</span></span></div>
<div class="p1" style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">So wurde diesen Zahlen auch symbolische Wertung gegeben. Die Zahl Eins meistens mit einer senkrechten Linie dargestellt symbolisiert den Menschen der als einziges lebendes Geschöpf aufrecht gehen kann oder durch die Symbolisierung des Phallus das Männliche. Die Zahl Zwei symbolisierte schon immer den Dualismus zwischen Mann und Frau, zwischen Leben und Tod, zwischen Gutem und Bösem. Die Zahl Drei symbolisierte die Vielzahl. So wurde im alten Ägypten um die Mehrzahl eines Gegenstandes darzustellen, das den Gegenstand symbolisierende Hyroglyph dreimal wiederholt.</span></span></div>
<div class="p1" style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">Auch in vielen modernen Sprachen gibt es noch Spuren dieser Bedeutung. So haben im Französischem die Worte “trois” (drei) und “tres” (viel) die gleiche etymologische Wurzel. So bedeutet im Englischen das Wort “thrice” sowohl “dreimal” als auch “vielmals”. Die alte sächsische Wurzel “thria” aus der das deutsche “drei” oder das englische “three” abstammt ist etymologisch mit dem fränkischen “throp” verwandt aus dem Worte wie das französische “trop” das italienische “troppo” das deutsche “Truppe” abstammen.</span></span></div>
<div class="p1" style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">Die Zahlen wurden in diesen primitiven Bevölkerungen mit dem Wiederholen eines einzigen Symbols, meistens dem senkrechten Strich symbolisiert. So stellt man “zwei” mit zwei, “drei” mit drei, “vier” mit vier Strichen dar. Auch die nachfolgenden Zahlen wurden mit Strichen symbolisiert. Das Lesen dieser Zahlen war sicher nicht so einfach auch weil unser Hirn relativ einfach bis vier gleiche Symbole erkennt bei fünf wir aber schön zum Zählen gezwungen sind. Dies brachte sehr bald zu Definition einer anderen Schreibweise ab der Zahl “Fünf”. So entwickelten sich die Zahlensysteme der Ägypter und der Kreteser die um “fünf” zu schreiben auf verschiedenen Zeilen die Zahlen zwei und drei schrieben. Später kam es zur Einführung eines eignes Symbol für die Zahl fünf , das die offene Hand symbolisierende “V”, und des additiven Symbolsystems so wie es uns von den Römischen Zahlen bekannt ist. Diese System ermöglichte mit der Einführung neuer Symbole für die Zahlen zehn “X” (zweimal “V”) fünfzig “L”, hundert “C” ,fünfhundert “D” und tausend “M” das Darstellen auch relativ großen Zahlen. Auch ermöglichte dieses Zahlensystem mit Hilfe des <b>“Abbacus”</b>, dem antiken Rechenbrett, das Ausführen mathematischer Operationen wie das Addieren und das Subtrahierenden und, wenn auch auf sehr komplizierten Art und Weise, auch das Multiplizieren und Dividieren. Die Einführung eines Symbolsystemes hatte zur Entwicklung von Regeln geführt die das Verständnis von Zusammenhängen förderten. Das Verständnis dieser Zusammenhänge hatte es ermöglicht mit Zahlen Operationen durchzuführen die im Handel und in der Buchführung große Fortschritte brachte. Diese Entwicklung wird mit der Erfindung der arabischen Ziffern unter Verwendung des Stellenwertsystems noch markanter.</span></span></div>
<div class="p1" style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">Zwischen den Jahren 800 bis 825 schrieb ein ostarabischer Mathematiker namens <b>Muhamad Ibn Misa Alchworizimi</b> aus Bagdad das grundlegende Werk über das Rechnen mit den indischen (den sogenannten arabischen Zahlen). In diesem Werk erscheint erstmals die Null die mit einem kleinen Kreis symbolisiert wurde.</span></span></div>
<div class="p1" style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">Auf verschiedenen Wege durch die Kreuzzüge aber auch durch die arabischen Hochschulen in Toledo, Sevilla, Granada gelangten die arabischen Werke in lateinischer Übersetzung zur Kenntnis der abendländischen Gelehrten und unter diesen Werken auch das Buch Alchworizimis über die indischen Ziffern, die von <b>Leonardo Fibonacci</b> aus Pisa im Liber Abaci um 1202 übernommen wurden. Die <b>Algorithmiker</b>, so wurden, vom Namen Alchworizimis, die Verfechter des neuen Symbolsystems genannt, führten unter den Namen Algorithmus das indische Ziffernsystem mit Stellenwertberücksichtigung im Abendland ein.</span></span></div>
<div class="p1" style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">Die Gegenüberstellung zwischen den <b>Abbazisten, </b>den Verfechter des Römischen Zahlensystems und des Abbacus, und den Algorithmiker markierte die Kulturgeschichte des späten Mittelalters bis zur Renaissance. Die Algorithmiker lieferten die Ergebnisse von Rechenoperationen über geheimnisvolle Symbole (unseren heutigen Zahlen) die es gestatteten die verwickeltsten und größten Rechnungen mit unfehlbarer Sicherheit durchzuführen während die Abbazisten mühevoll die Kügelchen am Rechenbrett (Abaccus) herschoben.</span></span></div>
<div class="p1" style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">Die katholische Kirche, die um ihr Monopol in der Lehre und Erziehung bangte, war gegen eine Demokratisierung des Kalküls das bis dort Monopol einer privilegierten Kaste war. Dies brachte zu einem eklesiastischem Veto der neuen Methoden bis ins XV Jahrhundert. Die Algoristen mußten also im geheimen mit ihren “Ziffern” (Dieses Wort hat seinen Ursprung im arabischen <b>Sifir</b> (das Leere) mit dem die Null gekennzeichnet wurde) umgehen. Heute noch nennt man “Chiffrieren” die Umwandlung eines Textes mittels eines Geheimcodes.</span></span></div>
<div class="p1" style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">Die Aussagekraft des neuen Symbolsytems war aber so stark das es, trotz der starken kirchlichen Opposition, sich langsam durchsetzte und nach der Französischen Revolution, die den Abbacus in den Schulen und Staatsämter verbat, endlich der Menschheit seinen vollen Dienst leisten konnte. Das Indische Zahlensystem ist ein klares Beispiel wie ein Symbolsystem, das aus Symbolen und Regeln die diese Symbole verwalten besteht, maßgebend für die Weiterentwicklung der Wissenschaft ist und somit das Verständnis der Regeln und Gesetze, die die Natur verwalten, fördert.</span></span></div>
<div class="p2" style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">Das neue Zahlensystem ermöglichte die Geometrischen Intuitionen der Griechen zu vervollständigen und ermöglichte somit das Blühen der Wissenschaften und den geistigen Fortschritt während des Illuminismus bis zur heutigen Zeit.</span></span></div>
<div class="p1" style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">Eins nach dem anderem wurden die maßgebenden Meilensteine der modernen Mathematik gesetzt. Die Symboltheorie wurde durch <b>Gottfried Willhelm Leibnitz</b>, der von 1646 bis 1716 lebte und Anhänger des Rosen-Kreuzes war auf soliden logischen Fundamente gesetzt. Er entwickelte die Lehre der Symbole die er <b>“Kabbala Vera”</b> nannte. Die mathematischen Zeichen sind maßgebende Bestandteile in dem Leibnizchen Symbol-kalkül. Die Anordnung der Symbole, ihre Form tragen einen wesentlichen Beitrag zur <b>Algorithmik</b> (das Wort erhält nun eine neue Bedeutung die sich nicht nur mehr auf die Arabischen Ziffern bezieht sondern im Allgemeinen Lösungsmethoden mittels Symbolsystemen darstellt). Der wichtigste Beitrag Leibnitz im Bereich der Naturwissenschaften ist das Symbolische Kalkül auch Sublimes Kalkül genannt, das endlich das Paradox des Achilles und der Schildkröte von Zenon löste.</span></span></div>
<div class="p1" style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">Das Symbolische Kalkül wurde das Fundament der moderne mathematische Differential und Integralrechnung. Diese mathematische Theorie ermöglichte Newtons Gravitation Theorie und im 19 Jahrhundert die Maxwellschen Gleichungen die die unsichtbare Welt des Elektromagnetismus symbolisch in geschlossener und eleganter Weise darstellte. Die Auswirkungen dieser Theorien stehen vor unseren Augen. Wieder zeigt es sich das wenn Symbole das “Wesen” der Natur treffen diese ein gewaltiges Mittel zur Weiterentdeckung und Aufschlüsselung der wunderbaren logischen Struktur des Universums werden.</span></span></div>
<div class="p1" style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">Ein weiterer Fortschritt kam durch andere große Mathematiker wie Leonhard Euler (1707-1783) und Friedrich Gauss (1777-1855), mit der Einführung der Imaginären Zahlen. Diese entstanden aus der Definition der quadratischen Wurzel der Zahl -1. Wie bekannt ist die Wurzel einer Zahl jene Zahl die, wenn mit sich selber multipliziert, die Ausgangszahl ergibt. Nun gibt jede Zahl ob positiv oder negativ wenn mit sich selbst multipliziert ein positives Ergebnis. Diese Eigenschaft der Zahlenalgebra macht die Suche nach der Wurzel einer negativen Zahl unmöglich. Euler löste das Problem indem er diese unmögliche Zahlengröße mit dem Symbol <b>i</b> darstellte und um diese imaginäre Zahl eine formelle Algebra entwickelte die auch Algebra der komplexen Zahlen genannt wurde. Dieser Formalismus ging weit über die Erwartungen Leonhard Eulers und der Mathematiker die auch später ihren Beitrag zur komplexen Algebra und Funktionstheorie gaben.</span></span></div>
<div class="p1" style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">Heute basieren große Bereiche der Naturwissenschaften auf der Komplexen Algebra . So wie zum Beispiel die Signaltheorie in der Elektronik, die Aerodynamik, die Fluidodynamik, Teile der Quantenmechanik und der allgemeine Relativitätstheorie, wo die Zeitliche Dimension des Raum-Zeit Kontinuums als imaginäre Dimension dargestellt wird. Wieder hatte ein symbolischer Formalismus <b>“getroffen”</b> und somit wieder viele Geheimnisse der logischen Struktur unseres Universums entlarvt. Der symbolische Formalismus wird das Mittel zur Erkenntnis. Die Wissenschaftler bemühen sich, nicht immer bewußt, beim formulieren ihrer Theorien symbolische Darstellungen zu finden die nicht nur dem wissenschaftlichen Kriterien der Logik und Kohärenz entsprechen sondern die resultierende Formel und ihre symbolische Darstellung muß auch andere Kriterien erfüllen: Einfachheit, Eleganz, Schönheit. Nur dann hat es sich gezeigt wird die dazugehörende Theorie wissenschaftlichen Erfolg haben. Es ist als ob dann die Symbole durch eigener Kraft neue Aspekte der Natur enthüllen.</span></span></div>
<div class="p2" style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">Abschließend möchte ich ein einfaches Beispiel bringen. Es handelt sich dabei um einen von Leonhard Euler, basierend auf Studien von Abraham de Moiree, bewiesener Satz. Dieser bindet unter sich heterogene Größen:</span></span></div>
<div class="p1" style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">Als erste Größe die Kreiszahl pi (3,14159.....) welche mit dem griechischen Buchstaben </span><b><span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;">π</span></b><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"> dargestellt wird. Diese Zahl symbolisiert das Verhältnis zwischen Kreis und seinen Durchmesser. Es ist eine sogenannte Transzendente Zahl da sie nicht in geschlossener Form mit den natürlichen Zahlen darstellen läßt. Das bedeutet das der Kreis mit seinem Durchmesser nicht in numerischer Relation gebracht werden kann. Ich kann den Kreis und seinen Durchmesser in unendlich kleine Teile aufteilen, werde aber nie auf einen gemeinsamen Teiler kommen. Das bedeutet das die Zahl </span><b><span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;">π</span></b><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"> unendlich viele Stellen hinter den Komma hat.</span></span></div>
<div class="p1" style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">Die Zahl </span><b><span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;">π</span></b><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"> symbolisiert den Kreis und die Kugel. Das ewig Statische das aus jedem Blickwinkel gleich aussieht. Die Kugel ist in sich vollkommen. Diese Perfektion ertönt aus dem Vorsokratischem Fragment des Empedokles:</span></span></div>
<div class="p2" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="p1" style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">“Aber er, von allen Seite sich selbst gleich und überall endlos, Sphairos, der kugelförmige, über die ringsum herrschende Einsamkeit von frohem Stolz erfüllt”</span></span><br />
<span class="s1"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br /></span></span></div>
<div class="p3" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span class="s1"></span></span></div>
<div class="p1" style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">Die zweite Große die wir in Betracht ziehen ist die Zahl <b><i>e</i> (2.7183...)</b>, auch Eulersche Zahl genannt. auch sie ist auch eine transzendente Zahl mit unendlich vielen Kommastellen die aber in einem ganz anderen Kontext entsteht. Sie prägt die sogenannte Wachstumkurve oder exponentielle Funktion. Sie ist überall dort zu treffen wo etwas wächst: ob es um verzinstes Kapital geht oder um Vermehrung von Zellen. Dort überall wo etwas wächst, wo etwas <b>wird</b> kommt immer die Zahl <b><i>e</i></b> zum Vorschein.</span></span></div>
<div class="p2" style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">Diese zwei Größen die auf so unterschiedlicher Weise entstehen wurden durch Euler in Relation gesetzt. Und zwar beweist Euler daß:</span></span></div>
<div class="p4" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span class="s1"></span></span></div>
<div class="p1" style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"> </span></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi7YgkWV-I3WfYarFmdYe36s_gnxXLZ6EGeGK-zY9jaxf72Q0wM7C-gM8uwHfutXJn755LAIZGF860Ouk_bMXsU8v4bIovMOxXrlKHtrsJn4Xg_TI_5KvlUl3xc59eyiqLjGtLVFsQs9As/s1600/eulero+piccolo.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="118" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi7YgkWV-I3WfYarFmdYe36s_gnxXLZ6EGeGK-zY9jaxf72Q0wM7C-gM8uwHfutXJn755LAIZGF860Ouk_bMXsU8v4bIovMOxXrlKHtrsJn4Xg_TI_5KvlUl3xc59eyiqLjGtLVFsQs9As/s320/eulero+piccolo.png" width="320" /></a></div>
<div class="p1" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="p3" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span class="s1"></span></span></div>
<div class="p3" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span class="s1"></span></span></div>
<div class="p1" style="text-align: justify;">
<span class="s1"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">Diese Relation verbindet unter sich 4 Größen. Die Zahlen </span><b><span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;">π</span></b><i><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">, </span><b style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">e</b></i><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">, </span><b style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">1 </b><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">und</span><b style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"> </b><b><span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;"><i>i</i></span></b><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">, die imaginäre Zahl die die Wurzel aus -1 symbolisiert, werden in einer bedeutungsvollen und eleganten Weise in Relation gesetzt. Sie verblüfft gleichfalls den Mathematiker, den Philosoph, den Wissenschaftler den Mystiker. Sie verbindet das </span><b style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">“Werden”</b><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"> mit dem statischen </span><b style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">“Sein”</b><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"> über das </span><b style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">“Unmögliche”</b><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"> mit der </span><b style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">“Negation”</b><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"> und der </span><b style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">“Einheit”</b><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">. Sie ist absolut paradox und trotzdem beweisbar im Kontext des mathematischen Formalismus und somit </span><b style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">“wahr”. </b><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">Die Formel reißt den Schleier, der das Absolute verbirgt, auf und läßt uns die </span><b style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Schönheit</b><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"> und die </span><b style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Komplexität</b><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"> des Universums ahnen.</span></span></div>
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<br /></div>
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Federico Giudiceandreahttp://www.blogger.com/profile/12558070611627765134noreply@blogger.com0