Παν είναι αριθμός, ”tutto è numero” era il motto dei Pitagorici. E per numeri si intendevano quelli interi, i numeri naturali, quelli che servono per contare, per mettere in ordine.

Disintossicato dal Continuo e dall'Infinito, lasciatemi alle spalle le teorie di Cantor e la filosofia di Parmenide, voglio assaporare il Discreto, godere del Finito. Voglio elencare, numerare, mettere in ordine.

E mettere le cose in rapporto con i numeri finalmente mi da pace.

mercoledì 18 giugno 1997

Die Unendlichkeit



Die alten Griechen beschäftigten sich schon seit Anfang der Kulturgeschichte mit dem Gedanken der Unendlichkeit. Die alten Kosmogonien untersuchten das Problem des Ursprungs und des Sinn und Ende der Dinge. Zwei der vorgeschlagenen Lösungen hatten die Unendlichkeit in Anspruch genommen: Anaximander von Milet  im VI Jahrhundert vor Christi  lies alles aus dem Apeiron, dem Unbegrenztem, entstehen. Anaximenes , Anaximanders Schüler, sah den Ursprung aller Dinge in dem Element Luft dem er einen unendlichen Charakter zuordnete. Auch Pythagoras  von Samos lehrte von der Unendlichkeit im Zusammenhang mit der Entdeckung der Unmessbarkeit der Diagonale eines Quadrates. Er bewies daß das Verhältnis zwischen der Diagonale und der Seite eines Quadrates mit Hilfe der endlicher Zahlen nicht in numerischer Relation gesetzt werden konnte. Dieses Verhältnis konnte nur mit unendlich großen Zahlen dargestellt werden. Es war die Entdeckung der sogenannten irrationalen Zahlen die unendlich viele Nachkommastellen aufweisen. Diese entstanden aus dem Verhältnis von konkreten geometrischen Begriffen und gaben somit der Unendlichkeit eine aktuelle Realität. Diese Erkenntnis gehörte zu den esoterischen Wahrheiten der Pytagoreischen Schule im süditalienischem Kroton. Diese Wahrheiten durften von keinem Schüler in die Öffentlichkeit gebracht werden. Hippasus  aus Metaponto einer der Schüler Pythagoras fand den Tod da er das Geheimnis der Diagonale verbreitet hatte.

Spätere Philosophen  gaben der Unendlichkeit eine andere Deutung. Sie sahen darin nicht das Unbegrenzte sondern das Andeuten einer nicht geendeten und somit nicht perfekten Realität. Diese Einstellung zur Unendlichkeit prägte die ganze griechische Philosophie. So zeigten die Paradoxe des Zenons, wie das Paradox von Achilles, der die Schildkröte nicht aufholt, oder des Pfeiles, welcher nie sein  Ziel erreicht, die Absurdität und Irrationalität der Anwendung der Unendlichkeit in Zusammenhang mit Zahlen und Dimensionen. Im metaphysischen und ontologischen Sinn wurde die Vollkommenheit, die Perfektion und die Harmonie der endlichen Realität zugeschrieben während die Unendlichkeit als unmessbar und als unvollkommen betrachtet wurde. So erkennt Aristoteles die Unendlichkeit weder als Substanz als auch als Attribut, er gibt Ihr eine Deutung als Verneinung der vollkommenen Realität, etwas was nicht vollständig erfasst werden kann. 
Im Mittelalter wird die Unendlichkeit in Zusammenhang mit den Attributen Gottes analysiert. Klemens aus Alexandria um 200 nach Christi  erkennt als erster die Unendlichkeit als eines der Attribute Gottes.  Man versucht erste systematische Unterscheidungen und kommt somit zur Unterscheidung von kategormatischen Unendlichkeit und sinkategormatischen Unendlichkeit. Wobei letztere als eine Größe verstanden wird die in Potenz also im Werden unendlich ist und somit auch jederzeit größer werden kann, wahrend die Erste eine Unendlichkeit im Sein ist und man somit die aktuelle Realität der Unendlichkeit wieder behauptet. 
Zu den Anhängern letzteren gehörte Giordano Bruno der in seinem Werk “De l’infinito universo et mondi” die Unendlichkeit, als ein Attribut der Realität in der sich die Menschen befinden, verweltlicht. Anhänger der Heliozentrischen Weltanschauung des Kopernikus zieht er dessen metaphysischen Konsequenzen und behauptet mit Energie im Gegensatz zu Aristoteles die Aktualität der Unendlichkeit . Diese Aussagen sowie die Verfechtung der Magie als Mittel der Erkennung der Zusammenhänge der göttlichen Unendlichkeit und der Unendlichkeit des Universums werden ihm zum Verhängnis, denn im Jahre 1600 wird er von der Heiligen Inquisition als Ketzer in Campo dei Fiori in Rom bei lebendigen Leibe verbrannt.
Später beschäftigten sich fast alle große Philosophen mit dem Unendlichen. Descartes versuchte die Aristotelische Deutung wieder zu beleben. Andere wie Hegel und die Empiristen erteilten der Unendlichkeit einer reellere Deutung andere glaubten daß das  Problem durch die endliche menschliche Vernunft nicht lösbar wäre und so verbannte Imanuel Kant die Unendlichkeit zwischen den unlösbaren Antinomien.
In der modernen Philosophie entwickelte sich mit Newton und Leibnitz um 1700 neben der metaphysischen Deutung eine neue Analyse des Unendlichen welche über die Symbolisierung und Formalisierung  des Unendlich-kleinen die Infinitesimalrechnung einführte. Diese neue pragmatische Art mit dem Unendlichen umzugehen bedanken wir die gewaltigen Fortschritte der modernen Wissenschaft in welcher die Infinitesimalrechnug, das symbolische Kalkül, als Grundstein aller Disziplinen steht. Diese neue Anschauung ist der erste Schritt dem Undenklichen seiner Pardoxität zu nehmen und diese mit einer neuer bewältigbaren Deutung zu ersetzen welche in 19. Jahrhundert mit Cantor und Dedekind das Unendliche zu einem Grundelement einer sehr fruchtbaren Branche der modernen Mathematik macht. 
Cantor (1845-1918) beschäftigte sich mit der Unendlichkeit der natürliche Zahlen. Er gab dieser Unendlichkeit den Namen “Aleph null” und symbolisierte sie mit dem ersten Hebräischen Buchstaben. Sie ist die zählbare Unendlichkeit und alle unendliche Mengen die zählbar sind haben diese Unendlichkeit. So hat die Menge der geraden Zahlen, die Menge der Primzahlen die Potenz 0 (Aleph null). Cantor beweist daß die Menge der rationalen Zahlen, also der Zahlen die mit Brüchen darstellbar sind , auch zählbar sind, auch beweist er das die Menge der algebraischen irrationalen Zahlen, alle Zahlen die Lösungen von algebraischen Gleichungen sind auch zählbar sind. (Dazu gehören neben den rationalen Zahlen auch Zahlen wie Wurzel aus zwei. 1873 beweist Cantor daß es eine größere Unendlichkeit gibt. Er beschreibt eine neue Menge die er aus einer 0 unendlich großen Menge, also einer zahlbaren Menge, ableitet: die Menge aller Untermengen (wobei als Untermenge als Menge verstanden wird die nur einige und nur Elemente der Ursprungsmenge beinhaltet). Er beweist das diese Menge nicht zählbar ist und somit eine größere Unendlichkeit aufweist. Es ist die Unendlichkeit des Kontinuums auch 1 (Aleph eins) genannt. Es ist die Unendlichkeit der Punkte eines Linensegmentes oder einer Linie, der Punkte einer Flache , der Punkte des Raumes oder die Unendlichkeit der transzendenten irrationalen Zahlen. (Dazu gehören Zahlen wie die Zahl π oder die eulersche Zahl e). Diese hierarchische Struktur kann weiterentwickelt werden, in dem man neue immer unendlicherer Mengen definiert. So hat die Menge aller Untermengen einer 1 großen Menge die Potenz der Unendlichkeit (Aleph zwei) und so weiter. Cantor fragte sich auch ob es zwischen 0 und 1 also zwischen der Unendlichkeit der natürlichen Zahlen und der Unendlichkeit des Kontinuums andere Unendlichkeit existieren. Cantor war fest überzeugt das es keine andere Unendlichkeit gebe und beschäftigte sich sein ganzes Leben mit dieser Hypotese ohne sie nie beweisen zu können. Mit dieser Cantor’schen Hypothese auch Hypothese des Kontinuum genannt beschäftigen sich alle großen Mathematiker wie Richard Dedekind, Giuseppe Peano, Ernst Zermelo, Gottlob Frege, David Hilbert. Dieser letzte setzte die Hypothese des Kontinuums 1900 an der Spitze von 24 mathematischem Probleme die im darauffolgendem Jahrhundert von den Mathematiker vorrangig zu einer Lösung geführt werden sollten.


Aber die Paradoxe der Unendlichkeit kommen 2500 Jahre nach Zenon wieder zum Vorschein und auch diesmal mit verheerenden Folgen: 

1940 bzw. 1961 beweisen Gurt Gödel und Leonard Cohen daß weder die Hypothese des Kontinuum, weder seine Negation im Kontext der Mengenlehre beweisbar sind und somit weder wahr noch falsch ist. Für Jahrtausende hatte man geglaubt das es für jede Aussage nur zwei Möglichkeiten gebe: sie ist wahr oder sie ist falsch: Tertium non datur, war einer der Grundsätze der Logik des Aristoteles. Gödel beweist daß über gewisse Aussagen nicht entschieden werden kann daß sie nicht herleitbar sind , er beweist in seinem Unvollständigkeits Satz daß die Theorie der natürlichen Zahlen unvollständig ist , d.h. es gibt wahre Sätze, die nicht beweisbar sind. und somit unentscheidbar sind. Er bringt somit eine Unschärfe in die Mathematik. Ähnlich wie das von Werner Heisenberg eingeführte Unschärfe-Relation  und die darauffolgende von Max Plank entwickelte Quantentheorie, die die Physik auf neue Fundamente setzte so initiierten die Überlegungen Cantors eine neue axiomatische Grundlehre der Mathematik die zur Zermelo-Fränkel Mengenlehre führten die heute die meist akzeptierte Grundlage der modernen Mathematik bildet. 
Die Erkennung einer Struktur in der Unendlichkeit gibt dieser zwar neue Realität aber die daraus entstehenden Antinomien bringen die Endlichkeit und somit Unvollkommenheit unserer Sinne und unserer Denkvorgänge wieder stark in den Vordergrund. Durch die Erfahrung dieser Antinomien wird sowohl das Sinnlich-Räumliche als auch das Logisch-Erfassbare relativiert. Es entstehen im Extremen Fragen nach der Möglichkeit, daβ die gesamte Menschheitsgeschichte ein erdgeschichtliches relativ kurzes und bedeutungsloses Zwischenspiel im ewigen Fließen, Werden und Vergehen des Kosmos ist.
Aber die Schönheit der Gedanken der Philosophen und Mathematiker im Zusammenhang mit der Unendlichkeit sind wie Lichtblitze die durch den Schleier, der die komplexen logischen Strukturen des Universums umhüllt, durchsickern.