Riempiere il vuoto

Figura 1

Nel 1957 Maurits Cornelis Escher ricevette dalla casa editrice De Roos Foundation l’incarico di scrivere un saggio sulla divisione regolare di un piano. Ai conoscitori della sua opera non erano sfuggiti i molti lavori che l’artista olandese aveva dedicato a questo ordine di problemi; Escher stesso, per parte sua, trovò occasione con quell’incarico di sistemare teoricamente tutta una serie di intuizioni e conoscenze che aveva accumulato nel suo lavoro di grafico. Il risultato di quella ricerca è un lungo articolo corredato da una serie di 6 incisioni. Nell’affrontare il problema, Escher parte dalla sua esperienza di illustratore notando: “un piano che sia considerato illimitato su tutti i lati, può essere riempito con, o diviso in, figure geometriche simili che confinano l’una con l’altra su tutti i lati senza lasciare spazi vuoti”. Torneremo a parlare di questi spazi vuoti; per intanto occorre notare che, già prima di concepire quel saggio, l’incisore olandese aveva sviluppato ben 130 tavole con esempi di figure regolari capaci di riempire una superficie – tutte riconducibili a figure geometriche regolari accostate secondo schemi che si ripetevano. Escher aveva avuto modo di raccogliere esempi e modelli durante una visita all’Alhambra di Granada, che accoglie un ricco repertorio di tali figure geometriche: gli artisti arabi, infatti, dovevano limitarsi ad esse nel decorare le superfici, dato che la loro religione proibisce le raffigurazioni realistiche (fig. 1). 

Figura 2

Tuttavia l’interesse per la divisibilità regolare (o periodica) dello spazio è decisamente più antico: i primi tentativi risalgono addirittura all’epoca degli antichi egizi, come testimoniano gli affreschi trovati nelle tombe della Valle dei Re. Il primo ad eseguire tassellazioni del piano usando figure non geometriche fu l’artista viennese Koloman Moser¹, uno dei fondatori della Secessione viennese che svolse gran parte della sua raffinata attività nel campo delle arti applicate, dedicandosi in particolar modo alla realizzazione di stoffe, vetrate e manifesti, creando altresì tassellature con elementi figurativi che rappresentavano oggetti animati (fig. 2).

Le diverse possibilità di riempire il piano e lo spazio con figure uguali era stato campo d'interesse dei cristallografi che, nel tentativo di classificare le strutture cristalline, si erano  chiesti in quanti diversi modi il piano o lo spazio potesse essere riempito con la stessa figura. Il problema specifico dalla tassellatura del piano venne affrontato dai cristallografi  Fedorov, Schoenflies e Barlow nel 1891:, essi applicarono le tecniche della teoria dei gruppi algebrici elaborata nel 1832 dal giovane matematico francese Evariste Galois² alle trasformazioni che si possono applicare alle figure del piano. Essi considerarono il caso delle trasformazioni isometriche che lasciano inalterata la forma e le dimensioni delle figure e che possono essere raggruppate in tre categorie: traslazione, rotazione, riflessione³. 

Figura 3

Dimostrarono quindi che, nel caso  isometrie del piano, le possibilità di riempire una superficie piana con figure regolari sono in tutto 17 (tali figure sono chiamate anche wallpaper groups (fig. 3)). Anche Escher aveva notato che il piano poteva essere riempito con la stessa figura ed aveva iniziato a formulare una propria metodologia di classificazione (vedi Doris Schattenschneider Visioni della Simmetria I disegni periodici di M.C. Escher Zanichelli 1992) riscoprendo per via grafica che erano diciassette i diversi modi in cui figure uguali potevano, giustapponendole senza lasciare spazi vuoti, riempire il piano. Egli era anche a conoscenza di un articolo di Pólya del 1924, inviatogli da suo fratellastro Beer Escher. (professore un geologia all' Università di Leida), in cui le 17 possibilità erano state riscoperte e illustrate. Escher aveva  poi spinto oltre la sua indagine considerando anche il colore come elemento distintivo (tasselli adiacenti non potevano condividere lo stesso colore); catalogò in un suo originale schema le diverse possibilità sviluppando una vera e propria teoria .

È il caso di mettere in evidenza un punto che ritegno fondamentale. Esso consiste nel fatto che il numero dei modi con i quali si può, usando una figura base, riempire il piano senza lasciare spazi vuoti applicando la traslazione la rotazione e la riflessione è appunto limitato: 17 nel caso di tasselli uniformi e 46 nel caso di tasselli a due colori. Tra l’altro, anche il numero delle possibili tassellazioni dello spazio con solidi soggetti ad isometrie è limitato, sia pure con un ventaglio assai maggiore di possibilità: 230, per la precisione. Anche ciò fu dimostrato dal cristallografo Evgraf S. Fedorov nel 1890. Il problema della suddivisione degli spazi generalizzati a n dimensioni era stato posto da David Hilbert durante il famoso secondo congresso mondiale della matematica tenutosi a Parigi nel 1900. In quell'occasione, Hilbert enunciò 23 problemi⁴ allora irrisolti, alle cui soluzioni si adoperarono intere generazioni di studiosi e che hanno poi scandito la storia della matematica moderna. Nel 1920 Ludwig Bieberbach dimostrò che per tutti gli spazi a qualunque dimensione la suddivisione regolare mediante trasformazioni isometriche è limitata oppure, secondo il linguaggio dei matematici, che il numero dei gruppi spaziali per qualsiasi dimensione è limitato⁵.

Queste conclusioni sono sorprendenti. Esse ci dicono che quella realtà che chiamiamo spazio è colmabile con forme uguali, o divisibile in elementi primordiali, non a piacere, ma solo partendo da determinate forme. Lo spazio insomma sembra esso stesso soggetto ad una legge che governa la sua struttura.

E’ il momento di tornare ora su quegli spazi vuoti, che Escher aveva lucidamente riconosciuto come l’essenza del compito che gli era stato dato. Ricordiamo: figure regolari possono riempire una superficie senza lasciare spazi vuoti. Questo compito fa tornare in mente uno dei testi più importanti della filosofia e della cultura occidentale, il trattato Della Natura di Parmenide di Elea⁶. Il passo che ci interessa è quello dove Parmenide scrive: “... l’essere all’essere è accosto”. : sentenza di non facile interpretazione, che ha fornito materia di discussione a generazioni di filosofi.

Di null’altro si occupa Parmenide che dell’essere, cioè di cosa il mondo sia e di come esso sia. I nostri sensi ci dicono che il mondo è uno spazio dove si alternano corpi e vuoti. La prova più evidente di ciò è il movimento, del quale tutti facciamo esperienza seguendo ad esempio un corpo che occupa porzioni successive di spazio attraversando il vuoto. Ma i sensi e l’esperienza, secondo Parmenide, non rivelano la verità; solo la ragione, procedendo per deduzioni, può condurci a quella meta. Parmenide era stato certamente a contatto con la scuola pitagorica probabilmente quale discepolo del pitagorico Aminia. 

Pitagora fu il primo filosofo a distinguere tra la realtà rilevata dall'apparenza da quella rivelata dalla ragione: convinto che ogni grandezza potesse essere espressa in forma numerica come rapporto tra numeri, da lui considerati l'archè di tutte le cose. Nel tentativo di trovare il rapporto tra il lato e la diagonale di un quadrato  si imbattè in un risultato inaspettato che andava contro il senso comune: trovò infatti che non era possibile esprimere il rapporto tra queste due grandezza,  il lato e la diagonale di un quadrato, attraverso il rapporto tra due numeri interi. In altre parole, comunque si suddivida in parti uguali sia la diagonale che il lato di un  quadrato, non si giungerà mai ad un segmento di lunghezza definita in modo tale che sia la diagonale che il lato ne rappresentino dei multipli interi. Pitagora aveva dimostrato l' incommensurabilità della diagonale del quadrato rispetto al lato⁶. Questa scoperta andava, oltre che contro il senso comune, sopratutto contro la sua stessa opinione che ogni cosa fosse esprimibile come rapporto di numeri interi. Per non fare crollare la certezza della corrispondenza tra il mondo dell'apparenza ed il mondo della ragione, confinò la scoperta all'interno della sua scuola. Ma fu partendo proprio dalla considerazione che questi due mondi non necessariamente dovevano coincidere che Parmenide sviluppò i suoi ragionamenti. Il principio della filosofia di Parmenide che partiva da una semplice affermazione: L’essere è, il non essere non è si sviluppa secondo un ragionamento che possiamo così riassumere (riprendendo l’elenchus proposto da Karl Popper⁷):

i)  se il non essere non è, ciò comporta che

ii)  il nulla non può esistere. Se il nulla non esiste, ciò

comporta che

iii)  il vuoto non esiste. Se il vuoto non esiste, ciò comporta

che

iv)  il mondo è pieno. Se il mondo è pieno, ciò comporta che

v)  non vi è spazio per il movimento e per il mutamento (considerato una forma di movimento). La conclusione è che 

vi)  il movimento e il mutamento sono impossibili. 

I fenomeni percepiti attraverso i nostri sensi, nella rivoluzionaria visione di Parmenide, sono apparenze ingannevoli. Il mondo è uno spazio pieno, unitario, immobile, senza tempo. 

Figura 4

È ora evidente a quale lido approda questo excursus nell’ontologia parmenidea. “L’essere all’essere è accosto”; ovvero, come abbiamo visto nella proposizione iv) il mondo è pieno. Riempire una superficie (o un volume) con forme regolari senza lasciare spazi vuoti è la missione di Escher (fig. 4). 

Parmenide illustrato da Escher, dunque? La risposta non è così semplice. Diciamo piuttosto che il filosofo e l’artista affrontano la stessa sfida: il primo con la ragione, deducendo il mondo da un assunto a priori; il secondo con le figure geometriche, studiando le loro combinazioni. “Scienza e arte, percepite per lo più come attività e linguaggi differenti dell’uomo, indagano spesso sugli stessi oggetti e hanno forme di rappresentazione comuni”, come nota il matematico Piergiorgio Odifreddi (cfr. Penna, pennello e bacchetta – Le tre invidie del matematico, Laterza, Bari, 2005). 

La scuola filosofica di Elea, una volta affermato il dualismo tra apparenza e verità, aveva proseguito alla ricerca di ulteriori contraddizioni tra la δοξα (l'apparenza) e la αλεθεια (la ragione) trovando ulteriori paradossi (παρα δοξα = contro l'apparenza). In particolar modo Zenone, discepolo di Parmenide, aveva formulato diversi paradossi che evidenziavano l'illusorietà del movimento.  Tra essi il più noto,  legato alla suddivisione all'infinito dello spazio, è quello della freccia che non raggiunge mai il bersaglio: infatti la freccia, prima di raggiungere il bersaglio, deve percorrere metà della strada e quindi la metà della metà e poi la metà del rimanente percorso in una regressione all'infinto per cui alla fine non raggiungerà mai il bersaglio.  In seguito, proprio nel tentativo di risolvere i paradossi generati dalla suddivisione all'infinito, Leucippo e Democrito (anch'essi filosofi della tradizione eleatica) introdussero il concetto di atomo (a-tomo dal greco τομος taglio, divisione, con l’aggiunta del-l’ α privativo) quale elemento primordiale indivisibile che compone il mondo.

Supposto il mondo pieno, sorge quindi spontanea la domanda come siano e come siano disposti gli atomi⁸ che lo compongono. Ora, come già è stato osservato, i modi attraverso i quali  elementi uguali riempiono il piano (ma anche lo spazio) senza lasciare vuoti sono limitati e la rappresentazione delle limitate possibilità è magistralmente raffigurata nelle tassellazioni di M.C. Escher. E' quindi affascinante ritenere che le tassellature di Escher rispecchino in qualche modo l’essenza stessa dello spazio e del tempo. 

Questa suggestione si rafforza al pensiero che la moderna fisica delle particelle, che si pone in chiave moderna il problema della ricerca dell'atomo (nel senso di Leucippo e Democrito) usa, nel ricercare gli elementi costituenti la materia, lo stesso formalismo algebrico usato dai cristallografi per dimostrare la finitezza del wallpaper group. La ricerca di elementi che mantengono le loro proprietà alla presenza di trasformazioni sono alla base della moderna fisica teorica.⁹ 

Figura 5

Ma la suggestione continua considerando le trasfor-mazioni di spazi tassellati, cioè quelle costruzioni che Escher chiamava metamorfosi, illustrate magistralmente in lavori come Verbum (fig. 5), oppure negli assoluti capolavori escheriani Metamorfosi II e Metamorfosi III, che suggeriscono mondi pieni, parmenidei, senza vuoti, ma in continua trasformazione. 

Questo modo di vedere il cambiamento come continuo passaggio tra mondi pieni, da una tassellatura all’altra, suggerisce una possibile soluzione della rappresentazione del tempo come ulteriore coordinata spaziale, così come esso viene considerato dalla teoria della relatività di Albert Einstein. Qui lo spazio-tempo è visto come un continuo ed il tempo è considerato come una ulteriore dimensione che si aggiunge alle tre dimensioni spaziali (alto-basso, destra-sinistra, avanti-indietro). Un punto quindi non si muove nello spazio ma rappresenta una traiettoria nello spazio-tempo: è come se ogni istante fosse già presente su di una pellicola cinematografica tridimensionale. In questo continuo spaziotemporale atomi quadridimensionali potrebbero riempire  il tutto senza lasciare spazi vuoti e senza ostacolare il movimento, risolvendo in modo definitivo il paradosso del moto di Parmenide. Questa interpretazione piaceva allo stesso Albert Einstein che, almeno in questo senso, arrivò a definirsi parmenideo. L’occasione gliela offrì un colloquio con Karl Popper, il quale aveva prospettato a Einstein questa idea, ossia: “che il mondo fosse un universo chiuso a quattro dimensioni, nel quale il cambiamento era un’illusione umana, o qualcosa di molto simile”. Ricorda Popper: “Egli era d’accordo che questa fosse la sua opinione e discutendo di ciò io lo chiamai Parmenide”.¹⁰ 

            

Figura 6

Fino al 1972, anno della sua morte, Escher produsse una serie di lavori stupefacenti basati sulla tassellazione del piano e dello spazio, esplorando 16 dei 17 gruppi di simmetrie. 

Le figure da lui sviluppate su questa linea di ricerca combinano elementi contrapposti come il giorno e la notte (fig. 6), l’acqua e l’aria, il bene ed il male, raffigurati come atomi che compongono senza lasciare spazi vuoti il nostro mondo. Essi illustrano in maniera suggestiva la costrizione del determinismo e la conseguente negazione del movimento (fig. 7).

Figura 7

         

^{1 Koloman Moser (1869 – 1918) curava la rivista della Secessione viennese Ver Sacrum. In più riprese pubblicò sulla rivista tassellature periodiche basate su figure che rappresentavano elementi naturali destinati ad essere usati come decori per carta da parati.}

^{2 Evariste Galois (1811- 1832) ragazzo prodigio e geniale matematico, di carattere focoso venne espulso dall’Ecole Normale e poi due volte arrestato per le sua attiva militanza politica repubblicana. Morì durante un duello. Avendo intuito che sarebbe morto durante quel duello, passò tutta la notte precedente a cercare di sistemare i suoi lavori matematici, infatti vi sono delle annotazioni in cui afferma che gli manca il tempo per un’esposizione più completa e chiara. In quella notte completò la teoria algebrica dei gruppi, definendo i gruppi di permutazioni che descrivono le radici di un dato polinomio.}

^{3 In termini più matematici, si chiama «isometria» una combinazione di traslazioni lungo una retta (verticale o orizzontale), rotazioni attorno a un punto (ad esempio, si passa da `b' a `p' mediante una rotazione di 180°, e riflessioni rispetto ad una retta (ad esempio, si passa da `b' a `d' mediante una riflessione rispetto ad una retta verticale, e da `b' a `p' mediante una riflessione rispetto ad una retta orizzontale).  Una tassellazione è isoedrica se dati due qualunque tasselli esiste una isometria che sposta localmente uno dei due tasselli nell'altro, ma lascia globalmente invariata la tassellazione.}

^{4 La questione fu posta da Hilbert nella prima parte del 18mo problema: esiste per qualsiasi spazio pluridimensionale un numero finito di gruppi basati su trasformazioni isomorfe che riempiono senza vuoti lo spazio. Nella seconda parte del 18mo problema Hilbert si domandava quale fosse la migliore disposizione di sfere per riempire lo spazio minimizzando lo spazio vuoto. Questo problema apparentemente banale è risultato particolarmente ostico e solo nel 1998 è stato dimostrato da Tomas Hales con una tecnica che prevede l’uso del calcolatore che a tutt’oggi si trova ancora al vaglio della comunità matematica.}

^{5 Il numero di gruppi di simmetria in uno spazio a quattro dimensioni ammonta a 4783.}

^{6 Parmenide è un filosofo presocratico di Elea, colonia greca situata sulla costa della Campania a sud di Paestum. Secondo la testimonianza di Platone, Parmenide nacque tra il 515 e il 510 a.C.; secondo la cronologia di Apollodoro accettata da Diogene Laerzio nacque intorno al 540 a.C. Discepolo della scuola pitagorica, è considerato il fondatore della scuola di Elea che annoverò tra i suoi discepoli Zenone. Il suo pensiero è esposto in un poema didascalico in versi che la tradizione ha intitolato Intorno alla Natura.}

^{7 Karl R. Popper (1902 - 1994), epistemologo viennese considerato uno dei più influenti filosofi della scienza del Novecento. L’elenchus è tratto dal articolo di Popper Come la luna può rischiarare le due vie di Parmenide tratto da Il Mondo di Parmenide (2001) .}

^{8 L'atomo, nella concezione della fisica moderna venne introdotto nel 1808 da John Dalton che lo chiamò così perché inizialmente era considerato l'unita più piccola ed indivisibile della materia è la più piccola parte di ogni elemento esistente in natura che ne conserva le caratteristiche chimiche. Verso la fine dell'Ottocento (con la scoperta dell'elettrone) fu dimostrato che l'atomo non era indivisibile, bensì a sua volta composto da particelle più piccole (alle quali ci si riferisce con il termine "subatomiche").} 

^{9 Il Modello Standard della fisica delle particelle è una teoria che descrive insieme tre delle quattro forze fondamentali, cioè l’interazione nucleare forte, l’elettromagnetismo e l’interazione nucleare debole (queste ultime due unificate nell’interazione elettrodebole), nonché la funzione e le proprietà di tutte le particelle (note ed osservate) che costituiscono la materia. Si tratta di una teoria di campo quantistica, coerente sia con la meccanica quantistica che con la relatività speciale, basata sulla teoria dei gruppi. Il comportamento delle particelle può essere descritto complessivamente in modo generale ed esatto usando un gruppo unitario chiamato gruppo di Gauge. Il gruppo di Gauge dell’interazione forte è chiamato SU(3), mentre quello dell’interazione elettrodebole è chiamato SU(2)×U(1): perciò il modello Standard è noto anche come SU(3)×SU(2)×U(1). I gravitoni, cioè le particelle che si pensa debbano mediare l’interazione gravitazionale, non sono ancora considerati nel Modello Standard il gruppo che comprende anche la loro presenza e chiamato SU(5) o la teoria del tutto è ancora in attesa di essere convalidato ed accettato dalla comunità dei fisici.}

^{10 cfr. K. Popper, La ricerca non ha fine. Autobiografia intellettuale, p. 133}

La congettura di Ravà

Incontrai Tobia Ravà, artista veneziano, nel marzo del 2007 presso la sua casa, una villa veneta a Mirano, nell’hinterland di Venezia. Lo avevo cercato perché incuriosito da una sua opera raffigurata sulla copertina dei Racconti Matematici a cura di Claudio Bartocci edito da Enaudi, che ritraeva una donna realizzata con numeri e lettere ebraiche. Durante il nostro incontro Tobia mi parlò della tradizione esoterica ebraica, la cabbala, ed in particolare di una metodo di analisi delle scritture chiamato ghematria. Questo metodo sfrutta la proprietà della notazione numerica ebraica che rappresenta i numeri non usando simboli speciali, ma alla pari dei Greci, usa le lettere dell'alfabeto in una notazione additiva. Ogni parola scritta quindi oltre a rappresentare un concetto rappresenta quindi anche un numero. Questo permette lo studio delle parole e dei testi anche dal punto di vista numerologico. Ogni numero associato ad una parola può inoltre essere ridotto ad un unico numero minore di 10 sommandone le cifre ed ottenendo così un numero derivato. Se questo risulta maggiore o uguale di 10 questo processo viene ripetuto fino ottenere un numero ad una solo cifra. Tobia chiamava questo numero “numero teosofico” della parola o del numero di partenza. 

In matematica questo processo è definito come la radice digitale di un numero e trova applicazione nei criteri di divisibilità e nella “prova del nove” usata per il controllo della correttezza delle operazioni aritmetiche. 

I cabalisti, invece, usavano questi numeri per interpretare le scritture sacre. Secondo loro la struttura numerica della lingua ebraica e delle sacre scritture ne rivela la provenienza divina. Infatti, alcune coincidenze svelano un ordine nascosto nella lingua ebraica. Per esempio Tobia mi fece notare che la somma del numero teosofico della parola “padre” (av 3) e della parola “madre” (em 5) in ebraico risultava uguale al numero teosofico della parola “bambino”  (yeled 8). 

Tobia aveva inoltre uno spiccato interesse per le sequenze numeriche specialmente per la sequenza di Fibonacci. Mi raccontò che aveva scoperto che se calcolava i numeri teosofici della sequenza questi si ripetevano ogni 24 numeri della sequenza. Tobia aveva testardamente verificato la veridicità di questa regolarità della sequenza fino ad indici elevati e supponeva che questa regolarità si potesse protrarre all’infinito. La verifica numerica, anche se protratta per indici molto elevati della sequenza, chiaramente non dimostrava nulla, ma si poteva solo congetturarne la veridicità. Gli promisi di dimostrare la sua congettura in maniera deduttiva al più presto.

Congettura di Ravà

Le radici digitali in base 10 (numeri teosofici) della sequenza di Fibonacci sono una sequenza periodica con periodo 24.

In realtà la congettura vale non solo per la base 10 ma per tutte le basi numeriche possibili, anche se in basi diverse la successione delle cifre si ripete con periodi diversi.. Affronteremo quindi la dimostrazione per una base qualsiasi b.

Definizione di radice digitale

La radice digitale dr di un intero n si ottiene con un processo costituito da successivi k passi riduttivi ciascuno dei quali consiste nel ricavare da un intero la somma delle sue cifre nella notazione in base b.

n è rappresentato nella base b come

la sua radice digitale è ottenuta il ripetendo la somma 

con n_k+1 somma delle cifre che rappresentato n_k nella base b come

fino a che n_k+p  è rappresentato nel sistema a base b con una sola cifra.

il numero delle iterazioni p è chiamato persistenza additiva.

Chiameremo la radice digitale in base 10 di un numero il valore teosofico del numero.

La radice digitale di un intero n può essere calcolata usando la funzione modulo. Infatti il valore teosofico può anche essere calcolato come  (n) mod (b-1) che rappresenta il resto della divisone di n per (b-1). Nel caso della base 10 il numero teosofico può essere quindi calcolato anche come resto della divisione per 9. 




ovvero in forma compatta 

la (1.4) si può dimostrare a partire dalle proprietà additive e associative della funzione modulo.

infatti applicando la funzione modulo alla (1.1) per la proprietà additiva (1.3)

e quindi la (1.8)

ma (b^k) mod (b-1)=1 per ogni k e quindi

da cui si ricava la (1.4)

la seconda parte della (1.4) altro non è che il criterio di divisibilità per (b-1) dove b e la base della notazione numerica.

Proprietà della radice digitale

La radice digitale gode della proprietà additiva per cui la radice digitale dr della somma di due interi n e m è uguale alla radice digitale delle somme delle radici digitali degli addendi.

Infatti la somma delle radici digitali di m e n si può esprimere secondo la  (1.5) come:

applicando la proprietà additive della funzione modulo (1.6) ed (1.7)

e quindi

Successione di Fibonacci

La successione di Fibonacci è una successione di numeri interi naturali definibile assegnando i valori dei due primi termini, F₀=0 ed F₁=1, e chiedendo che per ogni  termine successivo sia F_n=F_n-1 + F_n-2 con n>1. Il termine F₀ viene aggiunto nel caso si voglia fare iniziare la successione con 0; storicamente il primo termine della successione è F₁= 1.

1,2,3,5,8,13,21,34,55,89......

Proprietà delle radici digitali della sequenza di Fibonacci

Ogni elemento della sequenza di Fibonacci è somma dei due predecessori e quindi in base alla (1.9) la radice digitale di un elemento della sequenza di Fibonacci è la radice digitale delle somme delle radici digitali dei due predecessori della sequenza di Fibonacci.

Dimostrazione della congettura

Chiamammo successione di Fibonacci radicale la sequenza delle radici digitali della sequenza di Fibonacci. Questa sequenza, in base alla (1.10), è una successione di Fibonacci nel Gruppo ℤ_(0..b-1) formato dall’insieme degli interi {0,1,2,.. b-1} associato all’operazione binaria della radice digitale.

Se in questa sequenza ricompaiano ad un certo punto due elementi successivi nello stesso ordine e valore la sequenza diventa periodica.

Visto che la sequenza di Fibonacci radicale è composta da numeri ad una sola cifra, diversi da zero ad eccezione di F₀, al più tardi dopo (b-1)² passi la sequenza diventa periodica essendo (b-1)² il numero massimo delle possibili combinazioni di due numeri scelti in {1,2,.. b-1}. Infatti, dopo al massimo (b-1)² passi tutte le possibile coppie di numeri consecutivi si saranno esaurite e quindi la prossima coppia dovrà essere una coppia già comparsa nella sequenza. Da questo punto in poi la sequenza si riproporrà in maniera periodica. 

Qed.

La ripetizione di una coppia avviene di solito prima di (b-1)² passi.

La sequenza di Fibonacci radicale di base 10 è detta sequenza di Fibonacci teosofica.

Nel caso della sequenza di Fibonacci teosofica la ripetizione di due elementi uguali avviene dopo 24 passi.

Le sequenze di Fibonacci radicali per le basi da 2 a 10 sono rappresentate nella tabella seguente

base	sequenza	periodo
2	1	1
3	1,2,1	3
4	1,2,3,2,2,1,3,1	8
5	1,2,3,1,4,1	6
6	1,2,3,5,3,3,1,4,5,4,4,3,2,5,2,2,4,1,5,1	20
7	1,2,3,5,2,1,3,4,1,5,6,5,5,4,3,1,4,5,3,2,5,1,6,1	24
8	1,2,3,5,1,6,7,6,6,5,4,2,6,1,7,1	16
9	1,2,3,5,8,5,5,2,7,1,8,1	12
10	1,2,3,5,8,4,3,7,1,8,9,8,8,7,6,4,1,5,6,2,8,1,9,1	24

L’impossibilità della quadratura del cerchio

Il problema della quadratura del cerchio, ovvero di trovare a partire da un cerchio dato, usando solo riga e compasso, un segmento sul quale costruire un quadrato di area uguale a quello del cerchio di partenza è stato per millenni uno dei problemi più studiati della matematica. Menti eccelse si sono scervellate per risolvere l’antico problema ma solo nel 1882 Carl Louis Ferdinand von Lindemann pose le basi per una soluzione del problema dimostrando quindi la impossibilita di trovare una soluzione.

La dimostrazione dell’impossibilità della quadratura del cerchio usando riga e compasso è basata sulla proposizione (Formula di Eulero)

dove e rappresenta il numero di Eulero (2,7182..) , π rappresenta il rapporto tra diametro e circonferenza (3,1415…) mentre i rappresenta l’unita immaginaria definita come la radice di –1  

ovvero

La (1.1) è una delle formule più misteriosamente belle della matematica, infatti, collega e il numero di Eulero, legato alla crescita e al divenire con π legato all’immutabile e perfetto cerchio attraverso l’unita immaginaria il numero impossibile. Qui dimostreremo la (1.1) e faremo vedere come questa implichi, attraverso il teorema di von Lindeman (che non dimostreremo) e basandoci su alcune proprietà dei numeri algebrici, l’impossibilità della quadratura del cerchio.

Per dimostrare la (1.1)  consideriamo gli sviluppi di Taylor delle funzioni e^x, cos(x) e sin(x)

 

oppure

   

    

per x=iπ la (1.7) diventa:

che a sua volta si può scrivere come:

per la (1.3) la (1.11) diventa:

li termini della (1.12) possono essere anche raggruppati in modo da dare la seguente relazione:

che messo in evidenziano i nella seconda parte diventa

che viste la (1.8) e la (1.9) si puo scrivere come

detta relazione di Eulero

ma  considerando che

risulta sostituendo la (1.16) e la (1.17) nella (1.15) si ottiene la (1.1)

QED

la (1.1) può essere rappresentata sul piano di Argand-Gauss in modo che i singoli termini del suo sviluppo in serie (1.12) sono rappresentati da vettori la cui parte reale e rappresentata sul asse delle x mentre la parte immaginaria sul asse delle y.

La (1.1) visualizza il legame tra e e π. La struttura della spirale é determinata dalla funzione esponenziale in funzione delle potenze dell'unita immaginaria mentre la lunghezza dei segmenti sono legate agli inversi delle potenze di π. La figura risultante parte dal punto 1,0 e converge velocemente nel punto -1,0. Un incredibile legame tra numeri complessi (mai nome fu più azzeccato) che può essere semplicemente ed empiricamente verificato.  

Definiamo ora alcune proprietà dei numeri:

1. Un numero θ∈ℝ si dice algebrico se esiste un’equazione polinomiale.
   dove n ≥1 ed i coefficienti a_i sono numeri razionali non tutti nulli e di cui il numero θ rappresenti una delle soluzioni.
2. (1.19) Un numero si dice trascendente se è irrazionale, quindi non esprimibile come una frazione di interi, ma non è algebrico.

Nel 1882 Carl Louis Ferdinand von Lindeman, matematico tedesco allievo di Felix Klein, dimostrò, partendo dalla relazione di Eulero,  l'impossibilità della quadratura del cerchio. 

(1.20) Teorema di Carl von Lindemann (1882).

se θ è un numero algebrico non nullo, allora e^θ è trascendente.

La dimostrazione fu pubblicata nel ventesimo volume dei Mathematische Annalen e si basava su un precedente lavoro di Charles Hermite che dimostrava che e è irrazionale ma non algebrico, e che quindi è trascendente. Il teorema fu generalizzato nel 1885 da Karl Weierstass e subito dopo David Hilbert ne fornì una dimostrazione semplificata. Negli anni sessanta il matematico americano Stephen Schaunel propose, come congettura, una formulazione ulteriormente generalizzata. La dimostrazione della congettura di Schaunel porterebbe alla non ancora dimostrata indipendenza algebrica di π ed e.

Ma torniamo alla dimostrazione della impossibilità della quadratura del cerchio. Questa si può ora ottenere dai seguenti passaggi.

Applicando il Teorema di von Lindeman alla (1.1) si deduce, visto che -1 non é trascendente, che iπ  non é algebrico. 

Ma si può dimostrare  che  

(1.21) Il prodotto di due numeri algebrici é algebrico.

Quindi dato che l’unita immaginaria i soddisfa l’equazione algebrica 

i ²+1 = 0

e quindi i é algebrico si deduce di conseguenza che π non é algebrico.

Quindi

(1.22) π non è soluzione di qualunque equazione algebrica.

Ma essendo π un numero irrazionale non algebrico, risulta in base alla definizione (1.19) trascendente.

Se π non è algebrico allora anche π^½ non e algebrico. Infatti, se per assurdo π^½ fosse algebrico allora per la (1.21) anche π, il quadrato di π^½, sarebbe algebrico contraddicendo l’ipotesi di partenza.

Consideriamo ora insieme di tutti i punti sul piano le cui coordinate siano numeri razionali Chiameremo questo insieme campo di razionalità, . 

Un punto del piano si dice costruibile, a partire da punti del campo di razionalità, con riga e compasso, se è possibile costruirlo attraverso un procedimento che preveda unicamente le seguenti operazioni:

Tracciare rette tra punti dati

Tracciare circonferenze con un dato centro e passanti per un dato punto

Intersecare tali rette

Intersecare tali rette e tali circonferenze

Intersecare tali circonferenze.

Si dimostra che le operazioni eseguite con la riga a partire da due punti a e b del campo  di razionalità portano ad un altro punto del campo di razionalità in quanto le operazioni possibili sono equivalenti alla somma a+b, alla differenza a-b, alla moltiplicazione a*b e alla divisone a/b.

Si dimostra inoltre che aggiungendo il compasso si possono realizzare punti che rappresentano una estensione quadratica del campo di razionalità costruendo per ogni numero a del campo di il numero  a^½ .

Applicano a sua volta l'estensione quadratica ai punti così ottenuti, attraverso una infinita regressione di estensioni quadratiche si aggiungono ad ogni numero a del campo di razionalità i numeri della forma  a^1/2n . Il campo di razionalità così esteso è chiamato campo euclideo. I numeri del campo euclideo sono i numeri razionali estesi con un sottoinsieme dei numeri algebrici. Detto in termini analitici, le coordinate dei "punti costruibili" sono soluzioni di equazioni che hanno come massimo grado una potenza di 2. 

Abbiamo così dimostrato che 

(1.23) Ogni numero costruibile partendo dal segmento unitario con riga e compasso é algebrico

Ma avevamo dimostrato che π^½ non è algebrico e quindi non costruibile in base alla (1.23) con riga è compasso.  Ma π^½ è la lunghezza del lato di un quadrato avente la stessa area di una circonferenza di raggio unitario. 

Finalmente risulta quindi che non è possibile quadrare il cerchio con riga è compasso.