Caro Pitagora
E’ tutta colpa tua! hai fatto proprio un bel casino.
Eri partito bene, convinto che a tutto poteva essere associato un numero, anzi ti eri spinto anche oltre affermando che ogni cosa era numero e che quindi ogni cosa poteva essere messa in rapporto con un'altra, bastava dividerle in parti sempre più piccole, fino a trovare un elemento di dimensione uguale. Le cose reali stavano in relazione tra di loro come i loro numeri associati. Più semplici erano questi rapporti e più in sintonia erano le cose tra loro. Infatti, avevi, con acume, notato che nella lira solo i suoni prodotti dalle stringhe di lunghezze tra di loro in semplice rapporto sono armoniosi.
Poi è arrivato quell’esaltato di Ippaso da Metaponto, tuo allievo a Crotone, che aveva dimostrato che la diagonale del quadrato non poteva essere messa in relazione con il lato. Ma che cosa andava cercando? Cose cervellotiche: anche se avessimo suddiviso il lato in parti sempre più piccole e lo stesso avessimo fatto con la diagonale, anche suddividendoli sempre di più, non si sarebbe mai arrivato a un elemento di dimensione comune.
Ippaso aveva dimostrato che la lunghezza della diagonale del quadrato con il lato di lunghezza unitaria, che in base al tuo famoso teorema, era uguale alla radice di due non poteva essere espressa come rapporto di due numeri interi e quindi non poteva essere messa in relazione numerica con il lato stesso. La dimostrazione la conosci ma voglio fartene conoscere un'altra, più generica, la quale si può adattare per dimostrare incommensurabilità di tutte le radici dei numeri interi che non siamo quadrati.
Consideriamo quindi la diagonale d del quadrato di lato unitari e applichiamo il tuo teorema
La dimostrazione, come del resto quella di Ippaso, è una dimostrazione per assurdo, nella quale si assume temporaneamente per vera una ipotesi e sviluppandone le conseguenze si giunge ad una conclusione assurda dimostrando cosi che l’assunto originale era falso.
Ipotizziamo quindi che la diagonale d possa essere espressa come rapporto di due numeri interi n e m
allora sostituendo la (1.3) nella (1.1)
in generale avremo
quindi
ora per il teorema fondamentale dell’Aritmetica sia m che n possono essere espressi in prodotto di fattori primi, e questa rappresentazione è unica, se si prescinde dall’ordine in cui compaiono i fattori.
all'interno di una singola fattorizzazione ci possono essere fattori ripetuti, naturalmente: ad esempio, 100 = 2×2×5×5
ma ora
sostituendo nella (1.5)
ora se k non è un quadrato nella sua fattorizzazione ci sarà almeno un fattore presente un numero dispari di volte. Ma i fattori primi di n² e di m² sono presenti tutti un numero pari di volte e quindi la uguaglianza non può essere vera in quando almeno un elemento fattore primo del lato sinistro e presente un numero dispari di volte mentre i fattori primi dell’ lato destro sono tutti pari.
Quindi la nostra temporanea premessa (1.5) ci ha portato ad una contraddizione e quindi la premessa è falsa.
Quindi non esiste un rapporto numerico (1.3) che possa esprimere la radice di un numero che non sia un quadrato di un numero intero. In particolare non essendo 2 il quadrato di un altro intero la radice di due non può essere espressa nella forma (1.3), non può essere un rapporto tra numeri interi, una “ratio”, la misura della diagonale del quadrato è un numero irrazionale.
Per te che eri convinto che tutto era numero e logos (rapporto, ratio), vedere che la diagonale non era “logica”, ma “illogica” nel vero senso della parola, deve essere stato proprio un brutto colpo.
Ma la tua reazione! La tua reazione! Va bene arrabbiarsi, ma tu, il povero Ippaso lo hai fatto fuori annegandolo.
Concordo, se lo era meritato! Ma, non dovevi dare tutta questa importanza alla scoperta. Soprattutto non dovevi tenerla nascosta. Bastava annoverarla tra quelle curiosità paradossali che s’incontrano quando si gioca con questi elementi irreali come punti senza dimensione o linee senza spessore che si sono inventati quei matti dei geometri. Anzi era proprio la dimostrazione che questi “enti” geometrici (scusa ma mi fa un po’ ribrezzo usare il participio presente del verbo essere per descrivere questi cosi) in realtà non esistono, non si meritano l’attributo dell’esistenza.
Era quindi molto più semplice affermare, usando ancora una volta la la reductio ad absurdum: ecco ho appena dimostrato che la diagonale del quadrato (quello fatto con le linee senza spessore) non esiste, poiché la supposizione della sua esistenza porta ad un assurdo. Esistono solo le diagonali dei quadrati che disegniamo sulla sabbia o su un foglio, esistono solo le cose che possiamo costruire e non ogni stronzata che possiamo pensare o immaginare. Esiste forse l’Ippogrifo?
Hai tenuto tutto nascosto. Così hai avvallato il pensiero, che il grande Pitagora, quello che credeva che tutto fosse finito, numerabile, aveva paura del concetto della divisone all’infinito. Così hai dato adito a Platone di inventarsi quella iattura del mondo delle idee: dove oltre alle diagonali dei quadrati con le linee senza spessore può esistere qualunque cosa, addirittura il concetto più contraddittorio della logica: l’infinito.
Ma va ....... !!!
Sempre con stima (nonostante tutto)
Federico
