L’impossibilità della quadratura del cerchio

Il problema della quadratura del cerchio, ovvero di trovare a partire da un cerchio dato, usando solo riga e compasso, un segmento sul quale costruire un quadrato di area uguale a quello del cerchio di partenza è stato per millenni uno dei problemi più studiati della matematica. Menti eccelse si sono scervellate per risolvere l’antico problema ma solo nel 1882 Carl Louis Ferdinand von Lindemann pose le basi per una soluzione del problema dimostrando quindi la impossibilita di trovare una soluzione.

La dimostrazione dell’impossibilità della quadratura del cerchio usando riga e compasso è basata sulla proposizione (Formula di Eulero)

dove e rappresenta il numero di Eulero (2,7182..) , π rappresenta il rapporto tra diametro e circonferenza (3,1415…) mentre i rappresenta l’unita immaginaria definita come la radice di –1  

ovvero

La (1.1) è una delle formule più misteriosamente belle della matematica, infatti, collega e il numero di Eulero, legato alla crescita e al divenire con π legato all’immutabile e perfetto cerchio attraverso l’unita immaginaria il numero impossibile. Qui dimostreremo la (1.1) e faremo vedere come questa implichi, attraverso il teorema di von Lindeman (che non dimostreremo) e basandoci su alcune proprietà dei numeri algebrici, l’impossibilità della quadratura del cerchio.

Per dimostrare la (1.1)  consideriamo gli sviluppi di Taylor delle funzioni e^x, cos(x) e sin(x)

 

oppure

   

    

per x=iπ la (1.7) diventa:

che a sua volta si può scrivere come:

per la (1.3) la (1.11) diventa:

li termini della (1.12) possono essere anche raggruppati in modo da dare la seguente relazione:

che messo in evidenziano i nella seconda parte diventa

che viste la (1.8) e la (1.9) si puo scrivere come

detta relazione di Eulero

ma  considerando che

risulta sostituendo la (1.16) e la (1.17) nella (1.15) si ottiene la (1.1)

QED

la (1.1) può essere rappresentata sul piano di Argand-Gauss in modo che i singoli termini del suo sviluppo in serie (1.12) sono rappresentati da vettori la cui parte reale e rappresentata sul asse delle x mentre la parte immaginaria sul asse delle y.

La (1.1) visualizza il legame tra e e π. La struttura della spirale é determinata dalla funzione esponenziale in funzione delle potenze dell'unita immaginaria mentre la lunghezza dei segmenti sono legate agli inversi delle potenze di π. La figura risultante parte dal punto 1,0 e converge velocemente nel punto -1,0. Un incredibile legame tra numeri complessi (mai nome fu più azzeccato) che può essere semplicemente ed empiricamente verificato.  

Definiamo ora alcune proprietà dei numeri:

1. Un numero θ∈ℝ si dice algebrico se esiste un’equazione polinomiale.
   dove n ≥1 ed i coefficienti a_i sono numeri razionali non tutti nulli e di cui il numero θ rappresenti una delle soluzioni.
2. (1.19) Un numero si dice trascendente se è irrazionale, quindi non esprimibile come una frazione di interi, ma non è algebrico.

Nel 1882 Carl Louis Ferdinand von Lindeman, matematico tedesco allievo di Felix Klein, dimostrò, partendo dalla relazione di Eulero,  l'impossibilità della quadratura del cerchio. 

(1.20) Teorema di Carl von Lindemann (1882).

se θ è un numero algebrico non nullo, allora e^θ è trascendente.

La dimostrazione fu pubblicata nel ventesimo volume dei Mathematische Annalen e si basava su un precedente lavoro di Charles Hermite che dimostrava che e è irrazionale ma non algebrico, e che quindi è trascendente. Il teorema fu generalizzato nel 1885 da Karl Weierstass e subito dopo David Hilbert ne fornì una dimostrazione semplificata. Negli anni sessanta il matematico americano Stephen Schaunel propose, come congettura, una formulazione ulteriormente generalizzata. La dimostrazione della congettura di Schaunel porterebbe alla non ancora dimostrata indipendenza algebrica di π ed e.

Ma torniamo alla dimostrazione della impossibilità della quadratura del cerchio. Questa si può ora ottenere dai seguenti passaggi.

Applicando il Teorema di von Lindeman alla (1.1) si deduce, visto che -1 non é trascendente, che iπ  non é algebrico. 

Ma si può dimostrare  che  

(1.21) Il prodotto di due numeri algebrici é algebrico.

Quindi dato che l’unita immaginaria i soddisfa l’equazione algebrica 

i ²+1 = 0

e quindi i é algebrico si deduce di conseguenza che π non é algebrico.

Quindi

(1.22) π non è soluzione di qualunque equazione algebrica.

Ma essendo π un numero irrazionale non algebrico, risulta in base alla definizione (1.19) trascendente.

Se π non è algebrico allora anche π^½ non e algebrico. Infatti, se per assurdo π^½ fosse algebrico allora per la (1.21) anche π, il quadrato di π^½, sarebbe algebrico contraddicendo l’ipotesi di partenza.

Consideriamo ora insieme di tutti i punti sul piano le cui coordinate siano numeri razionali Chiameremo questo insieme campo di razionalità, . 

Un punto del piano si dice costruibile, a partire da punti del campo di razionalità, con riga e compasso, se è possibile costruirlo attraverso un procedimento che preveda unicamente le seguenti operazioni:

Tracciare rette tra punti dati

Tracciare circonferenze con un dato centro e passanti per un dato punto

Intersecare tali rette

Intersecare tali rette e tali circonferenze

Intersecare tali circonferenze.

Si dimostra che le operazioni eseguite con la riga a partire da due punti a e b del campo  di razionalità portano ad un altro punto del campo di razionalità in quanto le operazioni possibili sono equivalenti alla somma a+b, alla differenza a-b, alla moltiplicazione a*b e alla divisone a/b.

Si dimostra inoltre che aggiungendo il compasso si possono realizzare punti che rappresentano una estensione quadratica del campo di razionalità costruendo per ogni numero a del campo di il numero  a^½ .

Applicano a sua volta l'estensione quadratica ai punti così ottenuti, attraverso una infinita regressione di estensioni quadratiche si aggiungono ad ogni numero a del campo di razionalità i numeri della forma  a^1/2n . Il campo di razionalità così esteso è chiamato campo euclideo. I numeri del campo euclideo sono i numeri razionali estesi con un sottoinsieme dei numeri algebrici. Detto in termini analitici, le coordinate dei "punti costruibili" sono soluzioni di equazioni che hanno come massimo grado una potenza di 2. 

Abbiamo così dimostrato che 

(1.23) Ogni numero costruibile partendo dal segmento unitario con riga e compasso é algebrico

Ma avevamo dimostrato che π^½ non è algebrico e quindi non costruibile in base alla (1.23) con riga è compasso.  Ma π^½ è la lunghezza del lato di un quadrato avente la stessa area di una circonferenza di raggio unitario. 

Finalmente risulta quindi che non è possibile quadrare il cerchio con riga è compasso.