La congettura di Ravà

Incontrai Tobia Ravà, artista veneziano, nel marzo del 2007 presso la sua casa, una villa veneta a Mirano, nell’hinterland di Venezia. Lo avevo cercato perché incuriosito da una sua opera raffigurata sulla copertina dei Racconti Matematici a cura di Claudio Bartocci edito da Enaudi, che ritraeva una donna realizzata con numeri e lettere ebraiche. Durante il nostro incontro Tobia mi parlò della tradizione esoterica ebraica, la cabbala, ed in particolare di una metodo di analisi delle scritture chiamato ghematria. Questo metodo sfrutta la proprietà della notazione numerica ebraica che rappresenta i numeri non usando simboli speciali, ma alla pari dei Greci, usa le lettere dell'alfabeto in una notazione additiva. Ogni parola scritta quindi oltre a rappresentare un concetto rappresenta quindi anche un numero. Questo permette lo studio delle parole e dei testi anche dal punto di vista numerologico. Ogni numero associato ad una parola può inoltre essere ridotto ad un unico numero minore di 10 sommandone le cifre ed ottenendo così un numero derivato. Se questo risulta maggiore o uguale di 10 questo processo viene ripetuto fino ottenere un numero ad una solo cifra. Tobia chiamava questo numero “numero teosofico” della parola o del numero di partenza. 

In matematica questo processo è definito come la radice digitale di un numero e trova applicazione nei criteri di divisibilità e nella “prova del nove” usata per il controllo della correttezza delle operazioni aritmetiche. 

I cabalisti, invece, usavano questi numeri per interpretare le scritture sacre. Secondo loro la struttura numerica della lingua ebraica e delle sacre scritture ne rivela la provenienza divina. Infatti, alcune coincidenze svelano un ordine nascosto nella lingua ebraica. Per esempio Tobia mi fece notare che la somma del numero teosofico della parola “padre” (av 3) e della parola “madre” (em 5) in ebraico risultava uguale al numero teosofico della parola “bambino”  (yeled 8). 

Tobia aveva inoltre uno spiccato interesse per le sequenze numeriche specialmente per la sequenza di Fibonacci. Mi raccontò che aveva scoperto che se calcolava i numeri teosofici della sequenza questi si ripetevano ogni 24 numeri della sequenza. Tobia aveva testardamente verificato la veridicità di questa regolarità della sequenza fino ad indici elevati e supponeva che questa regolarità si potesse protrarre all’infinito. La verifica numerica, anche se protratta per indici molto elevati della sequenza, chiaramente non dimostrava nulla, ma si poteva solo congetturarne la veridicità. Gli promisi di dimostrare la sua congettura in maniera deduttiva al più presto.

Congettura di Ravà

Le radici digitali in base 10 (numeri teosofici) della sequenza di Fibonacci sono una sequenza periodica con periodo 24.

In realtà la congettura vale non solo per la base 10 ma per tutte le basi numeriche possibili, anche se in basi diverse la successione delle cifre si ripete con periodi diversi.. Affronteremo quindi la dimostrazione per una base qualsiasi b.

Definizione di radice digitale

La radice digitale dr di un intero n si ottiene con un processo costituito da successivi k passi riduttivi ciascuno dei quali consiste nel ricavare da un intero la somma delle sue cifre nella notazione in base b.

n è rappresentato nella base b come

la sua radice digitale è ottenuta il ripetendo la somma 

con n_k+1 somma delle cifre che rappresentato n_k nella base b come

fino a che n_k+p  è rappresentato nel sistema a base b con una sola cifra.

il numero delle iterazioni p è chiamato persistenza additiva.

Chiameremo la radice digitale in base 10 di un numero il valore teosofico del numero.

La radice digitale di un intero n può essere calcolata usando la funzione modulo. Infatti il valore teosofico può anche essere calcolato come  (n) mod (b-1) che rappresenta il resto della divisone di n per (b-1). Nel caso della base 10 il numero teosofico può essere quindi calcolato anche come resto della divisione per 9. 




ovvero in forma compatta 

la (1.4) si può dimostrare a partire dalle proprietà additive e associative della funzione modulo.

infatti applicando la funzione modulo alla (1.1) per la proprietà additiva (1.3)

e quindi la (1.8)

ma (b^k) mod (b-1)=1 per ogni k e quindi

da cui si ricava la (1.4)

la seconda parte della (1.4) altro non è che il criterio di divisibilità per (b-1) dove b e la base della notazione numerica.

Proprietà della radice digitale

La radice digitale gode della proprietà additiva per cui la radice digitale dr della somma di due interi n e m è uguale alla radice digitale delle somme delle radici digitali degli addendi.

Infatti la somma delle radici digitali di m e n si può esprimere secondo la  (1.5) come:

applicando la proprietà additive della funzione modulo (1.6) ed (1.7)

e quindi

Successione di Fibonacci

La successione di Fibonacci è una successione di numeri interi naturali definibile assegnando i valori dei due primi termini, F₀=0 ed F₁=1, e chiedendo che per ogni  termine successivo sia F_n=F_n-1 + F_n-2 con n>1. Il termine F₀ viene aggiunto nel caso si voglia fare iniziare la successione con 0; storicamente il primo termine della successione è F₁= 1.

1,2,3,5,8,13,21,34,55,89......

Proprietà delle radici digitali della sequenza di Fibonacci

Ogni elemento della sequenza di Fibonacci è somma dei due predecessori e quindi in base alla (1.9) la radice digitale di un elemento della sequenza di Fibonacci è la radice digitale delle somme delle radici digitali dei due predecessori della sequenza di Fibonacci.

Dimostrazione della congettura

Chiamammo successione di Fibonacci radicale la sequenza delle radici digitali della sequenza di Fibonacci. Questa sequenza, in base alla (1.10), è una successione di Fibonacci nel Gruppo ℤ_(0..b-1) formato dall’insieme degli interi {0,1,2,.. b-1} associato all’operazione binaria della radice digitale.

Se in questa sequenza ricompaiano ad un certo punto due elementi successivi nello stesso ordine e valore la sequenza diventa periodica.

Visto che la sequenza di Fibonacci radicale è composta da numeri ad una sola cifra, diversi da zero ad eccezione di F₀, al più tardi dopo (b-1)² passi la sequenza diventa periodica essendo (b-1)² il numero massimo delle possibili combinazioni di due numeri scelti in {1,2,.. b-1}. Infatti, dopo al massimo (b-1)² passi tutte le possibile coppie di numeri consecutivi si saranno esaurite e quindi la prossima coppia dovrà essere una coppia già comparsa nella sequenza. Da questo punto in poi la sequenza si riproporrà in maniera periodica. 

Qed.

La ripetizione di una coppia avviene di solito prima di (b-1)² passi.

La sequenza di Fibonacci radicale di base 10 è detta sequenza di Fibonacci teosofica.

Nel caso della sequenza di Fibonacci teosofica la ripetizione di due elementi uguali avviene dopo 24 passi.

Le sequenze di Fibonacci radicali per le basi da 2 a 10 sono rappresentate nella tabella seguente

base	sequenza	periodo
2	1	1
3	1,2,1	3
4	1,2,3,2,2,1,3,1	8
5	1,2,3,1,4,1	6
6	1,2,3,5,3,3,1,4,5,4,4,3,2,5,2,2,4,1,5,1	20
7	1,2,3,5,2,1,3,4,1,5,6,5,5,4,3,1,4,5,3,2,5,1,6,1	24
8	1,2,3,5,1,6,7,6,6,5,4,2,6,1,7,1	16
9	1,2,3,5,8,5,5,2,7,1,8,1	12
10	1,2,3,5,8,4,3,7,1,8,9,8,8,7,6,4,1,5,6,2,8,1,9,1	24

L’impossibilità della quadratura del cerchio

Il problema della quadratura del cerchio, ovvero di trovare a partire da un cerchio dato, usando solo riga e compasso, un segmento sul quale costruire un quadrato di area uguale a quello del cerchio di partenza è stato per millenni uno dei problemi più studiati della matematica. Menti eccelse si sono scervellate per risolvere l’antico problema ma solo nel 1882 Carl Louis Ferdinand von Lindemann pose le basi per una soluzione del problema dimostrando quindi la impossibilita di trovare una soluzione.

La dimostrazione dell’impossibilità della quadratura del cerchio usando riga e compasso è basata sulla proposizione (Formula di Eulero)

dove e rappresenta il numero di Eulero (2,7182..) , π rappresenta il rapporto tra diametro e circonferenza (3,1415…) mentre i rappresenta l’unita immaginaria definita come la radice di –1  

ovvero

La (1.1) è una delle formule più misteriosamente belle della matematica, infatti, collega e il numero di Eulero, legato alla crescita e al divenire con π legato all’immutabile e perfetto cerchio attraverso l’unita immaginaria il numero impossibile. Qui dimostreremo la (1.1) e faremo vedere come questa implichi, attraverso il teorema di von Lindeman (che non dimostreremo) e basandoci su alcune proprietà dei numeri algebrici, l’impossibilità della quadratura del cerchio.

Per dimostrare la (1.1)  consideriamo gli sviluppi di Taylor delle funzioni e^x, cos(x) e sin(x)

 

oppure

   

    

per x=iπ la (1.7) diventa:

che a sua volta si può scrivere come:

per la (1.3) la (1.11) diventa:

li termini della (1.12) possono essere anche raggruppati in modo da dare la seguente relazione:

che messo in evidenziano i nella seconda parte diventa

che viste la (1.8) e la (1.9) si puo scrivere come

detta relazione di Eulero

ma  considerando che

risulta sostituendo la (1.16) e la (1.17) nella (1.15) si ottiene la (1.1)

QED

la (1.1) può essere rappresentata sul piano di Argand-Gauss in modo che i singoli termini del suo sviluppo in serie (1.12) sono rappresentati da vettori la cui parte reale e rappresentata sul asse delle x mentre la parte immaginaria sul asse delle y.

La (1.1) visualizza il legame tra e e π. La struttura della spirale é determinata dalla funzione esponenziale in funzione delle potenze dell'unita immaginaria mentre la lunghezza dei segmenti sono legate agli inversi delle potenze di π. La figura risultante parte dal punto 1,0 e converge velocemente nel punto -1,0. Un incredibile legame tra numeri complessi (mai nome fu più azzeccato) che può essere semplicemente ed empiricamente verificato.  

Definiamo ora alcune proprietà dei numeri:

1. Un numero θ∈ℝ si dice algebrico se esiste un’equazione polinomiale.
   dove n ≥1 ed i coefficienti a_i sono numeri razionali non tutti nulli e di cui il numero θ rappresenti una delle soluzioni.
2. (1.19) Un numero si dice trascendente se è irrazionale, quindi non esprimibile come una frazione di interi, ma non è algebrico.

Nel 1882 Carl Louis Ferdinand von Lindeman, matematico tedesco allievo di Felix Klein, dimostrò, partendo dalla relazione di Eulero,  l'impossibilità della quadratura del cerchio. 

(1.20) Teorema di Carl von Lindemann (1882).

se θ è un numero algebrico non nullo, allora e^θ è trascendente.

La dimostrazione fu pubblicata nel ventesimo volume dei Mathematische Annalen e si basava su un precedente lavoro di Charles Hermite che dimostrava che e è irrazionale ma non algebrico, e che quindi è trascendente. Il teorema fu generalizzato nel 1885 da Karl Weierstass e subito dopo David Hilbert ne fornì una dimostrazione semplificata. Negli anni sessanta il matematico americano Stephen Schaunel propose, come congettura, una formulazione ulteriormente generalizzata. La dimostrazione della congettura di Schaunel porterebbe alla non ancora dimostrata indipendenza algebrica di π ed e.

Ma torniamo alla dimostrazione della impossibilità della quadratura del cerchio. Questa si può ora ottenere dai seguenti passaggi.

Applicando il Teorema di von Lindeman alla (1.1) si deduce, visto che -1 non é trascendente, che iπ  non é algebrico. 

Ma si può dimostrare  che  

(1.21) Il prodotto di due numeri algebrici é algebrico.

Quindi dato che l’unita immaginaria i soddisfa l’equazione algebrica 

i ²+1 = 0

e quindi i é algebrico si deduce di conseguenza che π non é algebrico.

Quindi

(1.22) π non è soluzione di qualunque equazione algebrica.

Ma essendo π un numero irrazionale non algebrico, risulta in base alla definizione (1.19) trascendente.

Se π non è algebrico allora anche π^½ non e algebrico. Infatti, se per assurdo π^½ fosse algebrico allora per la (1.21) anche π, il quadrato di π^½, sarebbe algebrico contraddicendo l’ipotesi di partenza.

Consideriamo ora insieme di tutti i punti sul piano le cui coordinate siano numeri razionali Chiameremo questo insieme campo di razionalità, . 

Un punto del piano si dice costruibile, a partire da punti del campo di razionalità, con riga e compasso, se è possibile costruirlo attraverso un procedimento che preveda unicamente le seguenti operazioni:

Tracciare rette tra punti dati

Tracciare circonferenze con un dato centro e passanti per un dato punto

Intersecare tali rette

Intersecare tali rette e tali circonferenze

Intersecare tali circonferenze.

Si dimostra che le operazioni eseguite con la riga a partire da due punti a e b del campo  di razionalità portano ad un altro punto del campo di razionalità in quanto le operazioni possibili sono equivalenti alla somma a+b, alla differenza a-b, alla moltiplicazione a*b e alla divisone a/b.

Si dimostra inoltre che aggiungendo il compasso si possono realizzare punti che rappresentano una estensione quadratica del campo di razionalità costruendo per ogni numero a del campo di il numero  a^½ .

Applicano a sua volta l'estensione quadratica ai punti così ottenuti, attraverso una infinita regressione di estensioni quadratiche si aggiungono ad ogni numero a del campo di razionalità i numeri della forma  a^1/2n . Il campo di razionalità così esteso è chiamato campo euclideo. I numeri del campo euclideo sono i numeri razionali estesi con un sottoinsieme dei numeri algebrici. Detto in termini analitici, le coordinate dei "punti costruibili" sono soluzioni di equazioni che hanno come massimo grado una potenza di 2. 

Abbiamo così dimostrato che 

(1.23) Ogni numero costruibile partendo dal segmento unitario con riga e compasso é algebrico

Ma avevamo dimostrato che π^½ non è algebrico e quindi non costruibile in base alla (1.23) con riga è compasso.  Ma π^½ è la lunghezza del lato di un quadrato avente la stessa area di una circonferenza di raggio unitario. 

Finalmente risulta quindi che non è possibile quadrare il cerchio con riga è compasso.

Isotachia degli atomi nella fisica di Epicuro

Nella Lettera ad Erodoto Epicuro parlando degli atomi dice: 

Gli atomi hanno moto continuo ed eterno (i loro moti sono equiveloci perché il vuoto lascia passare sia i più leggeri che i più pesanti) [Epistula ad Herodotum 43,4] 

Sempre nella Lettera ad Erodoto conferma: 

E inoltre bisogna che gli atomi siano equiveloci quando si muovono nel vuoto senza che niente li urti [Epistula ad Herodotum 61,1] 

Per quello che riguarda gli aggregati diremo che uno e più veloce dell’altro, pur essendo equiveloci in assoluto gli atomi [Epistula ad Herodotum 61,21]

Il suo pensiero é inoltre confermato nel frammento:

e assolutamente equiveloci sono gli atomi... per il fatto di muoversi in una sola direzione

[Deperditorum librorum reliquiae 37]

L’ipotesi epicurea per la quale gli atomi hanno, nel vuoto, in assenza di influssi, moto rettilineo fa pensare ad Epicuro come ad un precursore di Galileo, ma la caratteristica del moto rettilineo equiveloce può anche essere vista come una anticipazione della teoria della relatività. Infatti, secondo la teoria della relatività generale i corpi soggetti alla gravitazione percorrono traiettorie rettilinee in uno spazio pluridimensionale la cui metrica è deformata dalle masse. Inoltre, come vedremo, l’equivelocità degli atomi implica le trasformazioni di Lorenz, che stanno alla base della relatività ristretta..

Queste furono scoperte e pubblicate per la prima volta da Joseph Larmor nel 1897. Nel 1905, Henri Poincaré, battezzò queste trasformazioni in onore del fisico e matematico olandese Hendrik Antoon Lorentz, il quale aveva pubblicato la propria versione finale nel 1904. Fu lo stesso Poincarè che revisionò il formalismo delle trasformazioni per convertirle nella forma coerente e del tutto solida che conosciamo oggi.

Lorentz nel tentativo di dare una giustificazione all’esperimento di Michelson e Morley del 1881, scoprì nel 1900 che le trasformazioni in questione preservavano le equazioni di Maxwell, che regolavano la natura delle onde elettromagnetiche.

L'esperimento di Michelson e Morley era nato per misurare la velocità della terra rispetto all'etere, attraverso l’influsso del vento d’etere che la terra genera con il suo moto intorno al sole. Infatti a quei tempi si riteneva, secondo la concezione meccanicistica della fisica, che l’etere fosse il mezzo di trasporto delle onde elettromagnetiche. Infatti, Michelson e Morley misurarono la velocità della luce su percorsi mutuamente ortogonali al moto della terra. Velocità che si sarebbe dovuta addizionare o sottrarre al moto della terra stessa ma che invece risulto sempre uguale indipendentemente dalla velocità relativa del osservatore. Lorenz non capi le implicazioni continuando a credere nell'ipotesi dell'etere.

Fu Albert Einstein che nel 1905 diede un appropriato fondamento alle trasformazioni di Lorenz nel contesto della teoria della relatività ristretta. Infatti nella teoria della relatività le trasformazioni di Lorenz sono conseguenza dell'assunzione (verificata sperimentalmente) della invarianza della velocità della luce. Le trasformata di Lorentz sono trasformazioni lineare che ci permettono di ricavare, a partire dalle coordinate spazio-temporali di un sistema di riferimento R(t,x,y,z), le coordinate rispetto al sistema di riferimento R'(t',x',y',z') in moto a velocità v rispetto a R. In particolare ci permettono di calcolare il rapporto tra il tempo t dell'osservatore in quiete rispetto al tempo t' dell'osservatore in moto.



Infatti il tempo del osservatore in moto scorre più lentamente di in fattore. 



Nelle applicazioni normali (non relativistiche) v è molto più piccolo della velocità della luce c e quindi     è molto piccolo da cui risulta che 





è molto vicino ad uno e quindi t e t' sono praticamente uguali ma a velocità più grandi l'effetto, sempre presente, si fa misurabile. Questo ragionamento aveva fatto formulare nel 1911 ad Albert Einstein il famoso "paradosso dei gemelli". In questo paradosso due gemelli si ritrovavano dopo che uno era partito con un astronave, a velocità vicina a quella della luce, verso le stelle mentre l'altro era rimasto sulla terra. Al ritorno il gemello, che si era allontanato dalla terra, risultava più giovane: per lui il tempo era trascorso più lentamente.
Dalle trasformazioni di Lorenz risultava in maniera evidente che la velocità della luce è una velocità limite che non può essere oltrepassata. Infatti se la v=c allora la (1.3) assume valore 0 e essendo la (1.3) al denominatore della (1.2) la (1.2) diventa indefinita. Addirittura se le v fosse maggiore di c allora la (1.3) diventerebbe la radice di un numero negativo, che nell'algebra dei numeri reali non è possibile. Infatti la radice quadrata di un numero reale a è un numero reale b per cui a = b². Ma, per a numero negativo, non si può trovare un numero b che soddisfa questa proprietà: il numero b² è infatti sempre positivo (che b sia positivo o negativo), e quindi non può essere uguale ad a. 

Le trasformazioni di Lorenz possono però anche essere dedotte postulando, invece della costanza della velocità della luce, la isotachia nello spazio-tempo, considerando che i corpi si muovano nello spazio-tempo alla "velocità" costante c. Per ogni corpo in movimento lo spazio si riduce ed il tempo si contrae all'aumentare della velocità relativa  in modo che la traiettoria nello spazio-tempo sia sempre rettilinea ed equiveloce (isotachos).
Un corpo fermo nello spazio si muove quindi alla velocità della luce lungo la coordinata temporale. Un corpo che si muove nello spazio riduce in proporzione il suo moto lungo la coordinata temporale (il tempo scorre più lentamente) in modo che la risultante spazio-temporale sia costante. 
Vediamo come dal semplice assioma epicureo sia possibile derivare le trasformazioni di Lorenz

Consideriamo:

s = Spostamento spaziale.

d = Distanza spazio-temporale.

t = Tempo di riferimento dell'atomo in quiete (osservatore).

t’ = Tempo di riferimento dell'atomo in moto.

Poniamoci nella situazione galileana dove t=t’

Supponiamo che un atomo si muova di uno spazio s lungo una direzione spaziale nel tempo t rispetto ad un osservatore in quiete. Descriviamo il suo stato su un diagramma spazio-temporale rappresentando la sua traiettoria in un sistema di coordinate cartesiane dove l’asse delle x rappresenti la direzione spaziale e l’asse delle y rappresenti il tempo.

L’osservatore dopo il tempo t si troverà nel punto (0,t) mentre l’atomo in moto si troverà in (s,t). L'atomo in quiete (osservatore) avrà percorso nello spazio-tempo una distanza di lunghezza d mente l’atomo in moto avrà percorso una distanza d’. Naturalmente d>d’ e quindi l’atomo in moto avrà percorso una distanza spazio temporale maggiore.
In generale, atomi che si spostano in punti diversi nello stesso periodo temporale saranno rappresentati da segmenti di retta con pendenze diverse. La lunghezza di questi segmenti rappresenta lo spostamento nel sistema di riferimento spazio-temporale che risulterà diverso a secondo della spostamento spaziale.

Infatti, un oggetto che si è spostato maggiormente nello spazio percorrerà anche nel diagramma spazio temporale una distanza spazio-temporale maggiore di un oggetto che ha percorso una distanza spaziale inferiore nella stessa unita di tempo.

Imponiamo ora un vincolo alle distanze spazio-temporale percorribili in un’unità di tempo. Imponiamo che tutti gli atomi siano “isotachoi”, percorrano cioè una distanza spazio-temporale uguale indipendentemente dallo spostamento spaziale, cioè che i vettori di spostamento spazio-temporale siano tutti di lunghezza uguale indipendentemente dalla distanza spaziale che percorrono nell’unita di tempo e quindi della "velocità" con la quale viaggiano.

Uno spostamento nello spazio richiede a questo punto che sia ridotto il tempo necessario a percorrerlo rispetto alla situazione galileiana. Per mantenere la stessa distanza spazio-temporale indipendentemente dalla distanza spaziale percorsa nell’unità temporale è necessario che i riferimenti temporali siano diversi per l’atomo in quiete ed l’atomo in movimento. In particolare prendendo come riferimento l’unità temporale dell’atomo in quiete l’atomo in movimento ha percorso meno tempo. Il suo tempo si è rallentato.

Una prima conseguenza del vincolo di “isotachia” spazio-temporale e che esiste una distanza spaziale massima percorribile in un’unita di tempo e quindi una velocità massima.

Infatti, la distanza massima percorribile nello spazio si avrà nella situazione dove il tempo percorso dall’atomo in moto rispetto all’atomo in quiete sia nullo. In rapporto all’atomo in quiete questa è la distanza massima raggiungibile da un atomo in moto nell’unita di riferimento dell’atomo in quiete. Definiamo questa velocità misurata come spazio percorso rispetto all’atomo in quiete nell’unita di tempo dell’atomo in quiete con la lettera c.

Quale è la relazione che lega il tempo dell'atomo in quiete con il tempo trascorso sull’atomo in moto.

A questo scopo consideriamo il diagramma con sull’asse delle ascisse il rapporto tra spazio percorso dall’atomo in moto s = vt e dal massimo spazio percorribile ct e sull’asse delle ordinate il rapporto tra t’ il tempo dell’atomo in moto e t il tempo dell’atomo in quiete.

In questo diagramma la lunghezza della distanza spazio-temporale percorribile nell’unità di tempo e 1.

Vale la relazione:

sostituendo s con vt

semplificando e mettendo in evidenza t

La relazione trovata, imponendo il vicolo Epicureo di equivelocità agli atomi nello spazio-tempo, é la stessa usata da Einstein e che risolsero una sua insoddisfazione, rispetto ad alcune asimmetrie dell’elettrodinamica, quando si supponeva costante la velocità della luce per qualunque osservatore in moto.

La costanza della velocità della luce che Einstein aveva postulato da considerazione “estetiche” sulle equazione di Maxwell rivoluzionò la fisica del ventesimo secolo e le trasformazioni di Lorenz sono alla base della teoria della relatività ristretta che produsse oltre alla relativazione del concetto di tempo la equivalenza tra massa ed energia.

Grande è la meraviglia nel vedere che l’ipotesi epicurea di “isotachia”, così anti-intuitiva e allo stesso tempo così incredibilmente semplice, contenga in nuce la moderna teoria della relatività.