La poetica dei numeri primi

La poetica dei numeri primi

Nel 2019 Matera è stata capitale europea della cultura. Il comitato organizzatore della manifestazione incaricò Piergiorgio Odifreddi di organizzare alcuni eventi di natura matematica inseriti in un progetto dal nome accattivante di “la poetica dei numeri primi”. Il progetto si sviluppava in due diversi sedi, Matera e Metaponto e doveva attraverso linguaggi diversi, quello della divulgazione e quello dell’arte, riproporre l’eredità intellettuale di Pitagora che proprio a Metaponto aveva trovato il suo ultimo riposo. Tra gli ospiti erano previsti, tra gli altri, il premio Nobel per la letteratura John Coetzee, scienziati del valore di Guido Tonelli e Ian Stewart e il più noto divulgatore italiano Pietro Angela. Era prevista anche una sezione dedicata all’arte ispirata alla matematica e Piergiorgio mi chiese di allestire una mostra sull’arte delle tassellazioni, l'uso di tasselli regolari, geometrici o dalla forma animata, per riempire il piano senza lasciare spazi vuoti. In particolare la mostra doveva, oltre a illustrare la teoria alla base della tassellazione regolare, esporre opere di artisti che si erano cimentati in questa difficile arte ed in particolar modo le opere dell’indiscusso maestro di questa disciplina: M.C Escher. Oltre alla mostra sulle tassellazioni, nella sezione dedicata all’arte erano previste altre mostre dedicate ad artisti che si erano ispirati alla matematica. Era prevista una mostra di Ugo Nespolo, una retrospettiva di Aldo Spizzichino e una mostra dell’artista veneziano Tobia Ravà, che per l’occasione aveva preparato la mostra “Elementi di calcolo trascendentale”. Conoscevo l’arte di Tobia basata sulla tradizione esoterica ebraica, la cabbala, ed in particolare sul metodo di analisi delle scritture chiamato ghematria. Questo metodo sfrutta la proprietà della notazione numerica ebraica, che rappresenta i numeri, senza usare simboli speciali ma con le lettere dell'alfabeto in una notazione additiva. Ogni parola scritta quindi oltre a rappresentare un concetto rappresenta quindi anche un numero. Questo permette lo studio delle parole e dei testi anche dal punto di vista numerologico. Ogni numero associato ad una parola può inoltre essere ridotto ad un unico numero minore di 10 sommando ripetutamente le cifre fino ottenere un numero ad una sola cifra. In matematica questo processo definisce la radice numerica di un numero. Tobia, con una tecnica divisionista, usava i numeri per formare le figure e visto che ai numeri corrispondevano parole e concetti, questi non erano disposti a caso, ma definivano percorsi descrittivi che formavano un ulteriore strato interpretativo dell'opera.

Partecipava alla manifestazione anche Claudio Bartocci docente di fisica matematica e storia della matematica all'università d Genova, che aveva per l’occasione insieme a Luigi Civalleri allestito la mostra dal titolo: “Numeri nel tempo. Contare, misurare, calcolare”. Era stato Claudio a farmi conoscere 12 anni fa Tobia, infatti sul frontespizio di una antologia di racconti matematici del edita da Enaudi nel 2006 e da lui curata, era raffigurata il volto di una donna realizzato da Tobia con numeri colorati. Incuriosito dall’uso dei numeri per raffigurare figure mi misi in contatto con Tobia, diventando in seguito un estimatore della sua particolare arte.

Il giorno prima del solstizio ci trovammo tutti quanti a Matera per controllare gli allestimenti delle mostre. La sera, stanchi per il lavoro svolto e per il continuo andirivieni da Matera a Metaponto, ci incontrammo tutti insieme a cena in un ristorante nei sassi materani. Durante la cena Tobia mi parlò di una sua osservazione fatta mentre calcolava le radici numeriche, che lui chiamava numeri teosofici, dei numeri primi. Infatti si era accorto che questi non assumevano mai il valore 3, 6 o 9. Di solito le affermazioni sulle regolarità o irregolarità dei primi sono difficili da affrontare e da dimostrare, ma in questo caso la soluzione era abbastanza semplice e Claudio Bertocci la intuì subito. La dimostrazione di questa congettura è conseguenza di un teorema noto anche ai ragazzi delle scuole elementari: il teorema sulla divisibilità di un numero per 3 o 9.  L'osservazione di Tobia aveva messo in risalto una proprietà dei primi, a posteriori abbastanza logica ma a prima vista interessante e sorprendente.

Tobia mi chiese se potevo fargli avere, in modo da pubblicarla nel catalogo di una mostra che stava allestendo a Venezia, una dimostrazione formale del criterio di divisibilità di un numero per 9, 6 o 3.  Intrapresi quindi la dimostrazione della congettura di Tobia, che chiamai seconda congettura di Ravà, in quanto già al nostro primo incontro 12 anni prima, Tobia mi aveva esposto una sua congettura sulla periodicità dei numeri teosofici della sequenza di Fibonacci. Per rendere la dimostrazione più generica mi proposi di dimostrarla per i numeri primi espressi in qualsiasi base numerica e non solo in quella di base 10. Infatti le altre basi numeriche non dovevano subire alcuna discriminazione nelle questioni di teoria dei numeri. La base 10 è una base numerica non ottimale, che deve la sua fortuna unicamente all'atteggiamento antropocentrico di alcune culture antiche, che hanno preferito facilitare il “tener di conto” con le dita della mano invece che rendere più semplice le operazioni di divisione. Infatti la base 12, come quella usata dai babilonesi, e ancora oggi in uso per misurare il tempo, è certamente più efficiente avendo 12 ben 4 divisori e non solamente 2 come 10.

Seconda congettura di Ravà

Le radici digitali, detti anche numeri teosofici, dei numeri primi espressi in base 10 non assumono mai il valore di 3, 6 o 9 in quanto i numeri la cui radice digitale e 3, 6  o 9 hanno per divisore 3 e quindi non possono essere primi

Un numero rappresentato in base 10 con radice digitale 3,6, o 9 è divisibile per 3 per il criterio di divisibilità dimostrato qui in seguito: 

Un numero n può essere rappresentato nel sistema posizionale in base b nel seguente modo:

Sostituendo b_k  con (b_k − 1 + 1)  si ottiene:

          

La 3) rappresenta n parzialmente come somma di fattori moltiplicati per (b^k − 1) che, essendo il numero che precede b^k, è espresso come sequenza ripetuta della cifra più alta della base numerica. Per esempio nel caso della base 10, (b^k − 1)) è rappresentato come (99…9)_k ossia la cifra 9 ripetuta k volte.

Ora 𝑎_k (b^k − 1) è divisibile per (b − 1) in quanto  (b^k − 1) è uguale a  (11…1)_k  * (b − 1)

La somma è quindi sempre divisibile per (b − 1). In base alla 3) n sarà divisibile per (b-1) se ancheè divisibile per  (b − 1) 

Ne consegue che un numero espresso in base dieci è divisibile per 9 se e solo se la sua radice digitale è divisibile per 9.

Qualora (b − 1) sia a sua volta scomponibile in fattori

allora  sarà divisibile anche per qualsiasi dei suoi fattori b_j  e di conseguenza se  è a sua volta divisibile per b_j allora n per la 3) sarà divisibile per b_j

Quindi se la radice digitale di un numero n rappresentato in una base b è uguale a (b − 1), a un fattore b_j di (b − 1)  o a un multiplo di  b_j allora n è un multiplo di  b_j  è quindi non può essere primo. Le radici digitali dei numeri primi possono quindi essere solo numeri che sono coprimi con il numero predecessore della base numerica in cui il primo è rappresentato. Dove per coprimi di un numero si intendono i numeri minori di un numero che non sono fattori o multipli dei fattori del numero stesso.

Nel caso della base 10 se la radice digitale di un numero n è uguale a 9 allora n è divisibile per 9, se invece la radice numerica di n è uguale a 3 o 6 allora n è divisibile per 3. Quindi in questo caso quando la radice digitale di un numero e 3, 6 o 9 allora il numero è divisibile per 3.

Le radici digitali (o numeri teosofici) dei numeri primi espresse in base 10 non saranno quindi mai multipli di 3.

I numeri teosofici dei primi in base 10 non saranno quindi mai 3, 6 o 9.

Qualora i numeri fossero espressi in altre basi le loro radici numeriche non assumerebbero mai il valore della cifra più alta della base o il valore di uno dei suoi fattori o di un multiplo di uno dei fattori qualora questo sia ancora inferiore alla cifra più alta della base.  Le radici numeriche dei primi espressi in una base b possono essere unicamente i coprimi di n dove n = b − 1

In seguito è riportata una tabella delle radici mancati nei primi espressi in diverse basi numeriche. Nel caso della base 2 ogni numero ha per radice digitale il numero 1, infatti tutti i numeri sono divisibile per 1.

	Radici digitali mancanti nei primi	n=(b-1)	Possibili valori della radice digitale nei primi (coprimi di n)	Numero dei coprimi
3	2	2	1	1
4	3	3	1,2	2
5	4,2	4	1,3	2
6	5	5	1,2,3,4	4
7	6,4,3,2	6	1,5	2
8	7	7	1,2,3,4,5,6	6
9	8,6,4,2	8	1,3,5,7	4
10	9,6,3	9	1,2,4,5,7,8	6

Andamento della 𝜑(n) fino a 1000

Mandai la dimostrazione anche a Claudio che mi confermò la correttezza dei ragionamenti facendomi notare che la sequenza che avevo evidenziato era una famosa sequenza numerica molto studiata in teoria dei numeri, la sequenza numerica del numero di coprimi di un numero n chiamata funzione di Eulero 𝜑(n) o toziente.

Questa funzione fu scoperta da Eulero, matematico svizzero, che è considerato il più importante matematico del Settecento, e uno dei massimi della storia. È noto per essere tra i più prolifici di tutti i tempi e ha fornito contributi storicamente cruciali in svariate aree: analisi infinitesimale, funzioni speciali, meccanica razionale, meccanica celeste, teoria dei numeri, teoria dei grafi. Sembra che Pierre Simon Laplace abbia affermato "Leggete Eulero; egli è il maestro di tutti noi".

Eulero dimostrò che la funzione 𝜑(n), che per ogni n indica il numero dei coprimi minori di n di n, può essere espressa anche come

            

Dove p∥n sono tutti e solo i primi che contribuiscono alla fattorizzazione di n.

Eulero partì dalla constatazione che ogni numero per il teorema fondamentale dell’aritmetica può essere espresso come

dove  p_i è un primo fattore di n e r è il numero dei diversi fattori primi di n e quindi per 𝜑(n), vale 

ma la funzione 𝜑(n) di Eulero è moltiplicativa: per ogni coppia di interi 𝑎 e b che siano coprimi, cioè tali che MCD(𝑎, b)=1, si ha:

Ma i valori p_i^k_i essendo potenze di primi sono coprimi tra loro e quindi  

      

in seguito Eulero dimostra che 𝜑(p_i^k_i) può essere espresso come:

            

Infatti i numeri non coprimi di p_i^k_i essendo p_i  primo sono tutti i multipli di p_i  fino a p_i^k_i-1

p_i,  2p_i , 3p_i, ...p_i^k_i-1

Questo insieme ha p_i^k_i-1 membri

Quindi 𝜑(p_i^k_i) il numero dei coprimi di p_i^k_i, sarà dato dalla differenza tra la quantità dei numeri minore o uguale a p_i^k_i cioè  p_i^k_i e la quantità dei numeri non coprimi di p_i^k_i e quindi:

𝜑(p_i^k_i)=p_i^k_i−p_i^k_i-1

Da qui si ottiene la 8)

Ora sostituendo la 8) nella 7) si ottiene

Moltiplicando e dividendo per p_i

Per la proprietà commutativa della moltiplicazione

ma

e quindi

QED

Eulero si pose la domanda quale valore avrebbe assunto il prodottoper tutti gli infiniti numeri primi.

Ora Eulero nel 1737 dimostro che l'inversa di , ovvero  è uguale alla somma della serie armonica:

Ma la serie armonica  diverge e quindi  tende a zero.

Eulero estesa la 9) definendo la funzione ζ(x) , oggi chiamata funzione zeta o prodotto di Eulero.

Dove x e un numero reale maggiore di 1 e dimostrò che

Bernhard Riemann, matematico tedesco, in un articolo pubblicato nel 1859 dal titolo “Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe” estese la funzione zeta di Eulero nel dominio dei numeri complessi e ne studio le caratteristiche. 

La funzione zeta estesa ai numeri complessi, chiamata zeta di Riemann, come risulta dalla 9), ha un polo in Re[1]Im[0]. Inoltre gli zeri della zeta di Riemann sono di due tipi. Gli zeri cosiddetti banali che si trovano tutti sull’asse reale negativo del piano immaginario in corrispondenza dei multipli di Re[-2]Im[0]. Oltre a questi, secondo l’ipotesi formulata da Riemann, la funzione ha zeri non banali che dovrebbero trovarsi tutti sulla retta parallela all’asse imaginario passante per Re[1/2]Im[0].

La dimostrazione o la refutazione dell’ipotesi di Riemann oggi conosciuta come la congettura di Riemann è il problema più importante della teoria dei numeri e forse di tutta la matematica. La soluzione della congettura di Riemann getterebbe luce sulla legge che governa la distribuzione dei numeri primi. Si spera che dalla risoluzione e dalle conseguenze della dimostrazione possa finalmente scaturire una formula che indichi la quantità di primi minori di un numero dato. Chissà che poi questo non apri la strada per trovare il sacro Graal della matematica: la formula che esprima solo e tutti i numeri primi e che quindi squarci il velo che gli avvolge misteriosamente.

Durante le conferenze e le mostre di quel solstizio d’estate materano i numeri primi e la congettura di Riemann furono un argomento ricorrente. Tobia Ravà con la sua osservazione sulle radici numeriche dei numeri primi aveva contribuito forse più di altri alla loro poetica dando pieno senso al nome della manifestazione.

L’influenza dell’Italia sull’arte di M.C. Escher

Il primo contatto con l’Italia avvenne nel marzo 1921. Insieme ai suoi genitori, Escher intraprese quell’anno un viaggio di 20 giorni lungo le coste del Mediterraneo, percorrendo prima il sud della Francia e quindi costeggiando la Côte d’Azur fino alla Liguria. Escher all’epoca aveva 22 anni ed era ancora studente alla scuola di architettura ed arti decorative di Haarlem sotto la guida di Jesserun de Mesquita, uno dei più importanti esponenti dell’Art Noveau olandese.

Escher scrisse al suo amico Jan van der Does di non essere particolarmente impressionato dal paesaggio mediterraneo: “all’inizio sembra tutto travolgente ma dopo una settimana tutto diventa ordinario.” [1].

L’anno dopo Escher ultimò i suoi studi ed iniziò la sua attività di incisore ad Haarlem; l’impatto con la vita lavorativa non fu dei migliori e presto arrivarono le prime delusioni. I suoi lavori non trovarono grande accoglienza così che, alla ricerca di nuova ispirazione decise, sulle orme dei grandi artisti mitteleuropei dell’ottocento, di intraprendere con due amici, il Gran Tour, un viaggio in Italia, visitando le regioni centro-settentrionali. Fu particolarmente colpito dalla campagna e dalle città della Toscana, in particolare da San Gimignano e Siena. Ricordandosi del viaggio in calesse alla volta di San Gimignano scrisse: “while the 17 towers of San Gimignano drew nearer and nearer. It was like a dream, witch could not possible be real”[2].

Innamoratosi dell’Italia, del suo paesaggio, della sua natura, della sua arte antica Escher venne in contatto anche con l’arte contemporanea italiana visitando la Biennale di Venezia dove quell’anno era rappresentata la prima retrospettiva di Modigliani.

Tornato in Olanda non riuscì a trovare pace e pochi mesi dopo nell’autunno del 1922, dopo un viaggio in Spagna, tornò in Italia fermandosi a Genova, Pisa, Roma e si spinse per la prima volta nel meridione sulla costiera Amalfitana, dove nel 1923 conoscerà la sua futura moglie Jetta Umiker, figlia di un industriale svizzero.

L’Italia ebbe un effetto positivo sul carattere introverso e malinconico di Escher tanto che nel 1923, dopo il matrimonio con Jetta a Viareggio, si stabilì a Roma.

In quel periodo si confronta con diversi movimenti artistici dei primi del novecento. Lo sviluppo di nuove teorie scientifiche, anticonvenzionali e anti intuitive come la teoria della relatività e la meccanica quantistica, avevano messo in discussione la visione euclidea dello spazio che era alla base delle leggi della prospettiva scientifica. Primo fra tutti il cubismo andava affermando che nessuna rappresentazione del vero, nessun disegno né quadro poteva competere con la realtà e che quindi tanto vale sfruttare le possibilità della rappresentazione bidimensionale sul foglio o sulla tela per sperimentare la simultaneità dei punti di vista e la mutazione delle immagini.  Sulla stessa scia si muovevano anche i movimenti artistici come le avanguardie divisioniste, simboliste e futuriste.

Escher fu introdotto nell’ambiente romano dal suo amico ed estimatore Goedfridus, Johannes Hoogewerff, direttore dell’istituto storico olandese dal 1924, che lo spinse a seguire le lezioni di storia dell’arte di Adolfo Venturini all’Università “La Sapienza” di Roma che lo spinse ad approfondire e ampliare la sua conoscenza sulla grafica antica e di trovare nuovi stimoli dall’esperienza diretta di opere d’arte e di architettura sparse nella capitale italiana.

Escher era affascinato dall’architettura medievale, molto presente negli antichi borghi italiani e aveva una predilezione per Borromini, a cui si sentiva spiritualmente affine [3].

fig.1 Giacomo Balla,
Mano di Violinista, 1912

Hoogewerff mise in contatto Escher con il Gruppo Romano Aristi Incisori, la cui sede era a palazzo Venezia a Roma, dove nel 1926 Federico Hermaninn, che era il fondatore del gruppo, organizzò per Escher una mostra personale.

Escher venne inoltre in contatto con l’ambiente artistico italiano attraverso l’amicizia con Haas Triverio, un artista grafico svizzero, che aveva conosciuto a Siena. Triverio che viveva a Roma da più di dieci anni, lo introdusse nell’ambiente artistico che si era formato intorno alla rivista “L’Eroica”.  Qui Escher conobbe lo scultore e incisore Publio Morbiducci, gli incisori Bruno da Osimo, Dario Neri e Lorenzo Viani[4]. In questo contesto ebbe modo di ulteriormente approfondire sia i linguaggi artistici del passato e di aprirsi a quelli a lui contemporanei.  Possono infatti essere notate influenze divisioniste nella sua opera grafica di quel periodo: in modo particolare in incisioni come Rossano, Morano, Chiostro di Monreale. Anche nella serie dei Notturnali Romani le immagini scaturiscono dal sapiente uso di motivi ricorrenti, linee o brevi trattini ortogonali, che ricordano le tecniche divisioniste.

fig 2 Giacomo Balla,
Compenetrazione Iridescente, 1912

Escher venne certamente in contatto con il nascente movimento futurista come si nota nell’incisione Vuurslag, L’Acciarino, numero X della serie Emblemata, dove il movimento delle mani, che si industriano a provocare le scintille sfregando la pietra focaia, appare così frenetico da ricordare quello di Mano del Violinista (Londra, Tate Gallery) dipinta nel 1912 da Giacomo Balla (fig.1). Fu molto probabilmente attraverso il suo amico Triverio, che esponeva nelle mostre dei Sindacati Regionali Fascisti, che Escher ebbe modo di vedere l’opera di Giacomo Balla che era considerato l'artista del fascismo per eccellenza, apprezzatissimo dalla critica di regime. Il gusto delle suddivisioni geometriche nella serie delle “Compenetrazione iridescente” del 1912 (fig.2), che segnano il passaggio di Balla dal divisionismo al futurismo, può aver contribuito a fare rafforzare in Escher quella vena geometrica già espressa in opere come la xilografia Beauty, del 1921 realizzata per illustrare il libretto Flor de Pascua, scritto dal suo amico Aad van Stockl, che prelude insieme ad altre opere come Scapegoat e Otto Teste, alla fase dell’analisi geometrica delle possibilità del riempimento del piano. Escher iniziò ad analizzare metodi per tassellare il piano già durante il periodo romano, sperimentando con tasselli di figure animate e realizzando diversi arazzi colorati. 

fig. 3 Gherardo Dottori,
Aurora Umbra, 1923

Un altro parallelo tra il linguaggio futurista e il modo in cui a Escher piaceva usare la prospettiva può essere intravisto in alcune opere come Scilla o Fiumara di Stilo. Queste sono ritratte dall’alto com’era in voga in una declinazione dello stile futurista codificato nel Manifesto dell'Aeropittura, redatto nel 1929 da esponenti del movimento futurista tra cui Marinetti, Balla, Depero, Dottori[5]. Soprattutto in opere di quest’ultimo, come Aurora umbra, 1923 (Museo del Novecento, Milano) (fig. 3),oppure Aurora sul Golfo, 1935 (Consiglio regionale dell’Umbria, Perugia) (fig. 4) i paralleli, legati all’uso della prospettiva aerea, sono evidenti. Un altro riferimento diretto all’Areopittura si trova nell’incisone Aeroplane above a Snowy Landscape del 1934 che Escher fece per illustrare la copertina della edizione invernale della rivista Timotheus. Questa immagine fu usata da Escher successivamente come base per Night and Day del febbraio del 1938, la prima stampa concettuale basata sulle tassellature.

fig. 4 Gherardo Dottori,
Aurora sul Golfo, 1923

Quest’opera esemplifica quanto Marinetti aveva affermato circa la nuova visone della realtà terrestre, trasfigurata dalla visione dall’alto, nella quale i campi arati, le montagne, il laghi, le strade si trasformano in altrettante linee astratte e figure geometriche contigue[5]. Del resto l’uso di un impianto prospettico con il punto di fuga al Nadir era già stato usato in San Pietro del 1935, commissionata da Hoogewerff a Escher, e prima ancora in Torre di Babele nel 1928. L’uso della  prospettiva dall’alto da sempre attrae Escher, difatti durante i suoi viaggi nei periodi primaverili per le regioni d’Italia, accompagnato dal suo amico Triverio, spesso si soffermava sui bordi di un precipizio, laddove lo sguardo poteva spaziare senza limiti che non fosse l’orizzonte. Per un nordico, abituato alla visione di un orizzonte basso, ampio e lineare, le ripide e scoscese montagne della dorsale appenninica, i paesini di pietra arroccati sulle colline della Calabria, le coste altissime a picco sul mare della penisola amalfitana esercitavano un fascino irresistibile. Molto probabilmente aveva potuto vedere durante i suoi studi con Adolfo Venturini i trattati prospettici rinascimentali, dove a titolo esemplificativo spesso erano illustrate prospettive con il punto di fuga al Nadir o allo Zenith.  

fig. 5 Franceso Borromini,
Scalone a Palazzo Borromini, Roma 

Anche se non particolarmente attratto dall’architettura barocca, Escher fu certamente sollecitato, nel dedicarsi a queste prospettive insolite, dalle opere del architetto che lui preferito, Francesco Borromini, come lo scalone di palazzo Barberini. (fig. 5) Anche un altro artista italiano, il veneziano Giovanni Battista Piranesi vissuto nella Roma del 700, influenzò in Escher lo sviluppo dell’approccio alla prospettiva. Escher, pur non nominandolo mai direttamente, conosceva Giovanni Battista Piranesi. Ne è conferma l’ampia biografia redatta da Wim Hazeu[6], nella quale si ricorda che alcune stampe di Piranesi, acquistate a Roma, avevano un posto d’onore nello studio dell’artista a Chateau d’Oex in Svizzera, dove Escher si era trasferito nel 1935. Escher inoltre avrebbe potuto conoscere in maniera approfondita le stampe di Piranesi attraverso la monografia che Federico Hermanin dedicò all’artista nel 1923 dove era rappresentata la celebre serie delle Carceri d’invenzione, edita nel 1761. Il turbinio di scale e le prospettive audaci lasciarono certamente un segno nella modalitá con cui Escher affronterà la prospettiva. Una particolare menzione merita la tavola XIV delle Carceri, Capriccio di Scale e 

fig. 6 Giovanni Battista Piranesi,
Carceri d'Invenzioni, tavola XIV, 1761

Capriate (fig.6). In questa incisione Piranesi con un abile gioco prospettico unisce due muri, che si trovano su due piani diversi, con un arco parallelo a ciascuno dei due muri, creando così una costruzione impossibile. Questa costruzione può essere considerata un precursore del triangolo di Penrose, usato con grade maestria da Escher in due dei suoi capolavori del periodo della maturità Belvedere del 1958 e Waterfall del 1961.

Non si sa se Escher notò la costruzione impossibile, certo sarebbe un’incredibile coincidenza se Escher, che diventerà il maestro incontrastato delle architetture paradossali e impossibili, non avesse notato quello che può essere considerato uno dei primi edifici impossibili raffigurati nella storia dell’arte[7].

Escher lasciò l’Italia nel 1936, a causa del clima politico sfavorevole dovuto all’inasprimento del fascismo, stabilendosi in Svizzera. Prima di partire l’istituto Olandese organizzò una sua ultima mostra. Questa fu recensita dall’”Osservatore romano”, il quotidiano della Santa Sede con queste parole: “A vero dire Escher è una vecchia conoscenza per chi frequenta il mondo artistico romano. Chi non conosce quell’alto biondo pittore olandese, che beve il sole con gli occhi…A forza di vivere in Italia non è più l’olandese fantastico e pur analitico di quando illustrava libri di leggende nordiche.”[8]

Escher lascia l’Italia con un bagaglio di esperienze che ha influenzato in maniera decisiva il suo percorso artistico. Egli non era uno sprovveduto in fatto di arte e il soggiorno italiano non passò su di lui senza lasciare traccia, facendogli assorbire, attraverso un’elaborazione del tutto personale, i diversi linguaggi che durante i primi del novecento si andavano sviluppando in Italia e nel mondo. Sia gli antichi maestri italiani che olandesi, sia i movimenti artistici dei primi del novecento come l’art noveau, il divisionismo, il futurismo fino al simbolismo plasmarono durante il soggiorno italiano il suo linguaggio pittorico. Escher era un uomo dei suoi tempi, e anche se quello che successe alla sua espressione artistica dopo il 1937 può essere considerato un unicum nella storia dell’arte, il suo linguaggio pittorico ha forti radici nel contesto culturale del suo tempo in un intreccio continuo tra correnti artistiche contemporanee e la memoria storica dei grandi maestri del passato.

Nel 1937 Escher intraprese un viaggio con una motonave della compagnia Adria che lo porterà per un’ultima volta lungo le coste del Mediterraneo. Toccherà la Sicilia, Malta e in particolare Granada in Spagna, dove era già stato nel 1922 poco prima che si stabilisse permanentemente in Italia. Qui, come aveva già fatto nel 1922, visitò l’Alhambra dove studiò, questa volta in maniera più approfondita, le tassellature moresche che ne decoravano le pareti. Questa visita, oltre a suggellare la chiusura di un ciclo della sua vita, innescò in maniera definitiva il suo linguaggio espressivo: lo studio sistematico del riempimento regolare del piano che caratterizzerà l’opera di Escher dopo l’illuminazione sulla strada dell’Alhambra. Se si prescinde da un periodo di transizione, durante il quale continuerà a produrre incisioni con paesaggi e edifici, Escher iniziò a usare le tassellature come base per le sue opere. Queste erano raccolte in diversi quaderni, contenenti 137 motivi base di tassellature, diligentemente catalogati secondo un suo originale schema logico[9].

fig. 7 M.C Escher,
Savona, disegno 1936

Nel 1941, a causa della guerra in Europa, Escher, che nel frattempo si era trasferito in Belgio, tornò nella natia Olanda stabilendosi nel paese di Baarn. Abbandona il paesaggio che non lo ispira più e si rivolse a strutture mentali interiori. In un primo momento l’ispirazione scaturiva principalmente dalle tassellature e le loro trasformazioni metamorfiche. In una seconda fase, dal contatto con la comunità dei matematici, avvenuto in occasione della sua mostra, in concomitanza con il congresso internazionale mondiale di matematica ad Amsterdam del 1954, inizia una proficua collaborazione con alcuni di essi. Queste frequentazioni dirette ed epistolari provocarono nuovi motivi d’ispirazione come le strutture impossibili rivelategli da Roger Penrose[10] o le proiezioni del piano infinito sul disco di Poincarè, stimolate da Harold Coexter[11]. A contorno di questi nuovi temi, sia per l’uso di elementi figurativi che per l’ambientazione paesaggistica, Escher ricorrerà alla memoria, ai ricordi e ai molteplici disegni realizzati durante i viaggi in Italia e lungo le coste del Mediterraneo. Primi esempi di fusione di elementi paesaggistici con elementi figurativi estranei al paesaggio stesso, si trovano in due incisioni di chiara influenza surrealista. La prima è Still Live with Mirror del 1934, una natura morta con una toeletta da camera con relativi oggetti personali, il cui specchio riflette, in maniera paradossale un vicolo della città di Siena. La seconda è Still Life with Street del 1937 nella quale Escher, ormai lontano dall’Italia, rappresenta una natura morta con diversi oggetti posti su un tavolo tra cui anche alcuni libri che si appoggiano direttamente ai palazzi di una veduta cittadina, con il tavolo che si confonde con la strada. Escher riprende l’immagine della strada da un disegno da lui fatto a Savona nel giugno del 1936 (fig.7).

fig. 8 M.C Escher,
Tropea, disegno 1930

Il riferimento all’uso del paesaggio italiano è evidente in Cycle, in cui l’elemento principale è una tassellatura del piano che si collega, attraverso un processo di trasformazione, a una realtà ormai presente nei suoi ricordi. La tassellatura è la 21ma del suo personale catalogo, realizzata nel 1938 a Ukkel in Belgio. L’architettura che fa da contorno alla metamorfosi del tassello che si immerge nel piano privo di spazi vuoti, s’ispira alle tipiche case della costiera Amalfitana già rappresentate in incisioni come Houses of Positano del 1934 mentre il paesaggio, che dietro le case sfuma verso l’orizzonte, è ripreso da Fiumara di Stilo stampa realizzata in seguito al suo viaggio in Calabria nel 1930.

Legato ai suoi ricordi italiani è anche Another World, dove è rappresentato il Simorgh, uccello mitologico della religione mazdaica che fu regalato a Jetta dal padre, di ritorno da un viaggio in Baku in Azerbaijan. Escher lo teneva in bella vista sul tavolino nel salotto della sua casa in via Poerio a Roma e ne aveva fatto diversi disegni, usati poi anche per l’incisione Still Life with Spherical Mirror del 1934.

Riferimenti all’Italia sono molteplici e compaiono in molte delle sue opere concettuali.

fig. 9 Luca Pacioli,

Solidi Platonici, Dodecaedro

In Reptile del 1943 la pianta in primo piano a sinistra è un’agave, pianta tipica dell’Italia meridionale, disegnata a Tropea in Calabria nel 1930 (fig.8). In Up and Down del 1947, oltre all’arco bicolore tipico dell’architettura mediterranea s’intravede una palma e in secondo piano le case di Calvi in Corsica disegnate nel 1933.

In Stars la costruzione dei solidi geometrici ricalca il modo in cui Leonardo da Vinci o Luca Pacioli rappresentavano i solidi regolari (fig.9).

Puddle, una stampa che Escher realizzò dopo aver osservato le pozzanghere camminando nelle campagne intorno a Baarn, a prima vista sembrerebbe esente da riferimenti italiani, ma gli alberi che si specchiano nell’acqua della pozzanghera sono presi in prestito dall’incisione Pineta a Calvi del 1933.

In Cubic Space Division del 1952, Escher s’ispira alle costruzioni reticolari del rinascimento italiano, molto probabilmente a un fregio della pavimentazione del Duomo di Siena[12], visitato più volte durante i suoi soggiorni nella città toscana (fig.10).

Le case arroccate di Tetrahedral Planetoid del 1954 assomigliano a quelle di Goriano Sicoli e di Morano.

fig. 10 Fregio della pavimentazione

 del Duomo di Siena

Le incisioni Print gallery del 1956 e Balcony del 1945 sono tutte e due derivate da schizzi fatti durante l’ultimo viaggio nel mediterraneo nel 1936 durante una sosta nel porto di Senglea a Malta da cui ricavò anche la litografia omonima.

In Belvedere del 1958 i riferimenti all’Italia sono molteplici. Innanzitutto il paesaggio ripreso da un disegno del paese di Pettorano affacciato sulla valle del Gizio, eseguito durante uno dei suoi viaggi nell’appennino abruzzese. L’architettura dell’edificio si ispira alla loggia presente in The Bridge, litografia realizzata da Escher nel 1929 dopo un viaggio, in compagnia del suo amico Haas Triverio nelle montagne Abruzzesi. Escher, di solito molto meticoloso, non segnò sul disegno il nome del luogo. Il ponte raffigurato in questa incisione è una costruzione quasi irreale che nessuno conosceva e faceva pensare a una composizione di fantasia o alla combinazione di più vedute prese da disegni diversi. Infatti Escher, nella realizzazione delle incisioni, non seguiva sempre con fedeltà gli schizzi realizzati sul luogo e spesso usava per un’incisone più disegni. 

fig. 11 M.C Escher,

Pentedattilo, disegno 1930

Ne è un esempio Dream dell’aprile 1935 nella quale Escher unisce tre disegni realizzati durante i suoi viaggi nel sud dell’Italia: una mantide religiosa disegnata a Pentedattilo nel 1930 (fig.11), gli archi della Chiesa dell’Ospedale di Ravello disegnati nel 1923 ed un disegno di sarcofago disegnato in data non nota. 

L’ultimo riferimento esplicito all’Italia si trova in Waterfall del 1961, in cui l’architettura è sempre quella tipica della costiera amalfitana con le case dal tipico tetto a cupola mentre il paesaggio che fa da sfondo è ripreso da alcuni schizzi dell’aprile 1925 raffiguranti i terrazzamenti nell’entroterra di Ravello.

Escher mori nel 1972. In tutti questi anni, a partire dal 1936, pur intraprendendo lunghi viaggi negli Stati Uniti e in Canada, non tornò mai più in Italia. Forse voleva che le immagini di quei paesaggi restassero ancorati ai ricordi di quello che certamente fu il periodo più bello della sua vita. Sulla porta dell’armadio del suo studio, dove teneva stipati, con funzione di memoria fisica, i disegni di quel periodo felice, erano collocate, fermate con puntine da disegno, immagini di cose a lui care: i figli, il suo maestro Jesserun de Mesquita, Anna Frank, un Buddha, una Madonna. In cima capeggiava una grande fotografia di Ravello, sulla costa Amalfitana, il luogo che Escher ha certamente amato più di tutti gli altri e che immortalò nella più importante delle sue stampe: Metamorphose[14].

M.C. Escher dettaglio di Metamorphose, 1939-1940

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[1] F.H Bool, J.R. Kist J.L Locher MC Escher His Life and Complete Grafic Work p 19

[2] F.H Bool, J.R. Kist J.L Locher MC Escher His Life and Complete Grafic Work p 21

[3] A.H Luijdjjens, Incontri Romani con Escher in MC Escher, catalogo della mostra (Roma Istituto Nazionale per la Grafica) Roma 1978 pp 11-12. Luijdjjens era segretario di  Goedfridus Johannes Hoogewerf e frequentò le lezioni di Venturini insieme ad Escher.

[4] Francesca Pirani, Antichi maestri e ricerche d’avanguardia: le molteplici visioni di Escher in Italia, in F. Pirani, B Treffers (a cura di) Nell’occhio di Escher catalogo della mostra (Roma, Musei Capitolini, ottobre 2004- gennaio 2005) pp 29-49

[5] Francesca Pirani, Un olandese a Roma, Studi incontri, visioni di Escher tra il 1923 ed il 1035, catalogo per la mostra di Escher a Roma, Chiostro del Bramante 20 settembre 2014- 22 febbraio 2015.

[6] W. Hazeu, M.C. Escher Een Biografie, Baarn,1998

[7] In Marco Bussagli, Escher: paradossi grafici e memoria dall'arte, catalogo per la mostra di Escher a Roma, Chiostro del Bramante 20 settembre 2014- 22 febbraio 2015 sono menzionate altre due due opere con architetture impossibili anteriori alla Carceri di Piranesi: Papa Onorio IV concede l’abito bianco ai Carmelitani di Pietro Lorenzetti del 1329 e Gazza sulla Forca di Bruegel il Vecchio del 1568.

[8] Recensione riportata in J.Offerhaus, Escher e l’Italia, 1985 p 6

[9] Doris Schnattscheider, M.C.Escher Visions of Symmetrie.

[10] Sir Roger Penrose (Colchester, 8 agosto 1931) è un  matematico, fisico, cosmologo e filosofo britannico noto per il suo lavoro nel campo della fisica matematica. Nel 1958 pubblicò insieme al padre L.S. Penrose l’articolo Impossible objects: a special type of visual illusion in British Journal of Psychology. L’articolo presentava sia il triangolo impossibile che la scala usati in seguito da Escher.

[11] Harold Scott MacDonald Coxeter (Londra, 9 febbraio 1907 – Toronto, 31 marzo 2003 è stato un matematico inglese. Inglese di nascita, svolse la maggior parte della sua attività in Canada; il suo campo principale d’investigazione è stata la geometria. 

[12] Marco Bussagli, op cit. pag 17.

[13] Metamorphose fu realizzata in tre versioni.  Il paese di Ravello è presente in tutte e tre le versioni che differiscono per lunghezza e numero di trasformazioni geometriche e logiche. La prima lunga 90 cm fu realizzata nel 1937, la seconda lunga 389,5 cm nel 1939-1940 mentre la terza commissionata ad Escher nel 1967 per decorare l’ufficio postale dell’Aia è lunga 680 cm.