Lettera a Platone

Caro Platone

Era un po’ che volevo scriverti. Non è stato facile, incuti un certa reverenza. Sei considerato il più importante dei filosofi greci. Certo c’è anche Aristotole, ma quest’ultimo è troppo cervellotico, e poi, onestamente, non ho poi mai capito quale grande contributo abbia dato alla filosofia se non quello di formalizzare in maniera sistematica quello che fino allora era stato detto. Tu invece sei considerato il "Filosofo”. C’e addirittura chi come Whitehaed, autore insieme a Bernard Russel dei Principia Mathematica, ha sostenuto che “tutta la storia della filosofia occidentale non è che una serie di note a margine su Platone” ¹⁾ e che quindi dopo di te non è stato detto in sostanza nulla di nuovo.

Certo, anche io ti rispetto, e ritengo che nessun altro abbia influenzato più di te il destino della filosofia occidentale. Ma onestamente credo che, nel tentativo di sistemare quanto detto dai filosofi presocratici, ti sei fatto, da un lato, prendere la mano da alcune questioni della politica dei tuoi tempi, e dall’altro influenzare un pò troppo dalle cervellotiche idee di Parmenide ignorando completamente Democrito e la sua ipotesi atomistica²⁾. Quando nei tuoi dialoghi parlavi delle sue teorie ti sei guardato bene dal citarlo e si dice che all’Accademia, la tua scuola, era addirittura vietato pronunciarne il nome.

Capisco che la condanna a morte del tuo maestro Socrate ti abbia profondamente segnato. Come poteva “il piu giusto tra gli uomini” ³⁾ essere considerato dalla politica un criminale? La filosofia e la politica sono così distanti? Ma non sono tutti, filosofi e politici, alla ricerca della conoscenza e della virtù? Ma il bene, la virtù, è conoscibile? E la conoscenza in generale è possibile? Giustamente ti sei posto con forza queste importanti questioni, anche perché intorno a te i sofisti andavano affermando che la conoscenza non era possibile. Il loro argomento era un pò forzato ma logicamente ineccepibile: o non si conosce quello che si cerca e quindi non lo si può riconoscere quando lo si è trovato, oppure qualora si conosca già quello che si cerca la ricerca diventa inutile⁴⁾. Ogni affermazione quindi può essere vera o falsa, è solo un questione di retorica.

Posso capire che affermazioni del genere possano averti dato fastidio, e quindi hai fatto bene  a cercare dei principi, ad affermare che conoscere e quindi distinguere tra vero o falso era possibile.

Dovendo gettare le basi di una gnoseologia a prova di sofista, hai pensato bene di partire dalla filosofia della conoscenza di Parmenide, che aveva fatto distinzione tra il mondo percepibile dalla mente (la verità, aleteia) e quello percettibile dai sensi (l'apparenza, doxa), relegando però quest'ultimo a mera apparenza e svalutando così la conoscenza sensoriale.

Tu hai ripreso il ragionamento di Parmenide introducendo un dualismo un poco più sofisticato, distinguendo tra doxa (conoscenza sensibile) ed episteme (conoscenza intellegibile). Nella tua visione la conoscenza sensoriale, rivalutata rispetto a Parmenide, fungeva da stimolo per fare riapparire le idee nella mente. Le idee continuavano però ad avere, come in Parmenide, caratteristiche opposte a quelle degli enti empirici: erano incorruttibili, ingenerate, eterne, non soggette a mutamento e stavano in un altro mondo, nell’iperuranio. Un'altra novità consisteva nel fatto che l’anima aveva contemplato l'iperuranio e le idee, prima di materializzarsi nei nostri corpi⁵⁾. Quindi l’apprendere ed il conoscere in realtà è un ricordare (anàmnesis).

Capisco che questa visione risolveva in modo elegante le aporie sofistiche, che permetteva di stabilire l’unicità della verità e della virtù. Inoltre il processo di conoscenza era ridimensionato ad un fare emergere i ricordi dell’anima e quindi in questo vedevi affermata la funzione del filosofo come “levatrice” d’idee. Sono convinto che questo ultimo aspetto  non è unicamente un tributo al tuo ego filosofico, ma ti dava anche la possibilita di dare fondamento al metodo del tuo maestro Socrate che della maieutica (l’arte dell'ostetricia filosofica) aveva fatto la sua bandiera.

Ma per sistemare i sofisti hai dovuto complicarti non poco la visione del mondo: Innanzitutto il fastidioso dualismo tra il mondo empirico e quello delle idee ti deve aver procurato parecchi grattacapi, visto tutte le complicazioni che ti sei andato a cercare per risolvere le più che apparenti contraddizione logiche nel definire una differenza ontologica tra essere (idea) ed ente:

• Prima la teoria della partecipazione (methexsis), le entità particolari parteciperebbero ognuna dell'idea corrispondente⁶⁾. 
• Poi la teoria dell'imitazione (mimesis), secondo la quale gli enti naturali sarebbero imitazioni della loro rispettiva idea⁷⁾. 
• Poi, a modo di deus ex machina delle tragedie,  hai introdotto  la figura del demiurgo, un semidio che aveva il ruolo di mediatore tra i due mondi⁸⁾.
• Alla fine, addirittura, ti sei rivoltato contro il tuo padre filosofico, Parmendide, commettendo quello che tu stesso hai definito un parricidio, e mettendo in discussione  perfino l’immobilità dell’essere e delle idee introducendo il principio della divisione (diairesis) che permetteva di creare una gerarchia della realtà ontologica e quindi un suo avvicinamento “graduale” alla realtà empirica⁹⁾.

Ma vada per il dualismo, ma dovevi proprio inventarti l’anima eterna che contempla le idee dell’iperuranio? Permettimi, ma è proprio una cosa ridicola: le anime che tra una reincarnazione e l’altra, simili a cocchi alati, riescono a scorgere tra gli squarci delle nuvole l’iperuranio dove risiedono le idee. Le anime poi, precipitano nei corpi, reincarnandosi, si dimenticano la loro visione delle idee e, prigioniere dei sensi, sono portate a identificare la realtà col mondo sensibile. I filosofi sarebbero poi quelli che hanno osservato le idee meglio degli altri ed il loro compito è quindi quello di aiutare le anime a ricordarsi di quella fugace visione dell'iperuranio¹⁰⁾.

Caro Platone con tutto il rispetto ma questa mi sembra proprio una grande boiata. Devo ammettere che da ragazzo ero affascinato da queste storie: il mito della caverna, il mito della biga alata, le idee incorruttibili. Del resto i giovani hanno bisogno di credere che la Verità e la Virtù (con la V maiuscola) esistano e quindi l’operazione che ti era riuscita con i sofisti funziona bene anche con loro. Ma con il senno del poi, forse era meglio se tu avessi ragionato un po’ di più sulla filosofia materialista di Leucippo e Democrito soprattutto vedendo i danni che, complici il tuo allievo Aristotele ed i padri della chiesa, hai apportato alla storia dell'occidente rallentando l’introduzione del metodo scientifico per quasi duemila anni.

E poi quella storia dei filosofi che, tra una metempsicosi e l’altra, sono riusciti a contemplare meglio le idee perché quel giorno l'iperuranio era poco nuvolo, ebbene quella a pensarci bene, di danni ne ha fatti proprio parecchi!

Caro Platone scusa l’irriverenza, ma te possino….

Federico 

Note:
1)  A. N. Whitehead (1861-1947), filosofo e matematico britannico in Process and Reality, p. 39, Free Press, 1979 
2)  Platone,, Timeo 
3)  Platone, Lettera VII, 324 e. 
4)  Platone, Menone, 80 d-e. 
5)  Platone, Menone 
6)  Platone, Parmenide 
7)  Platone, Parmenide 
8)  Platone, Timeo 
9)  Platone, Sofista, 241d 
10) Platone, Fedro, Mito del carro e dell'auriga, 246 a – 249 b

Lettera a Leucippo e Democrito

Caro Leucippo, Caro Democrito

Vi scrivo per ringraziarvi. Avete tentato di riportare la filosofia sui giusti binari. Voi del continente vi eravate lasciati sfuggire di mano la ricerca dell’essenza del mondo, dell’origine delle cose, dell’ἀρχή. Quei matti della Magna Grecia, ah les italiens…, ed in particolare quelli della scuola di Elea, avevano dato alla filosofia proprio una brutta piega:

Negare il divenire ed il moto, in virtù di cervellotici ragionamenti sull’essere o sulla divisione all’infinito.

Negare l’evidenza in virtù di ragionamenti fallaci. Fallaci proprio perché portavano ad un assurdo.

Si racconta che almeno tu, Leucippo, ad Elea ci sei andato, che li hai incontrato Parmenide e quelli della sua scuola. Spero tanto che tu gliele abbia cantate.

Basta stupidaggini sul vuoto che non esiste e sulla divisione all’infinito.

Il non essere (il vuoto) che non è, altro non è che un abile gioco di parole del maestro Parmedide.

La divisione all’infinito di Zenone sembra invece logicamente ineccepibile ma porta ai paradossi che negano il movimento. Negare il movimento è come negare lo spazio e il tempo, concetti che sono alla base della nostra esperienza; è semplicemente assurdo.

Ma se il risultato di un ragionamento che parte da una premessa (lo spazio si può dividere all’infinito) porta ad un assurdo allora la premessa del ragionamento non è vera. Quindi la divisone all’infinito non è possibile. Alla divisione quindi è posto un limite, ad un certo punto ci si imbatte in qualcosa che divisibile non lo è più, qualcosa che è α-τομος, in-divisibile.

Condivido assolutamente l’importanza che avete dato a questa proprietà della materia e che avete elevato l’indivisibile al rango di ἀρχή.

Il principio di tutto è quindi l’atomo, ατομος, l’indivisibile, la particella primordiale che non può essere più divisa in parti. E questa si muove e per muoversi ha bisogno dello spazio.

Nel primo novecento Joseph John Thomson, dopo la scoperta dell’elettrone, propose il primo modello fisico dell’atomo che però presto si rilevo tutt’altro che indivisibile. Purtroppo il nome è rimasto. Ma questo non invalida il vostro ragionamento, prima o poi se non si vuole riconsiderare la divisone all’infinito, con tutte le sue conseguenze, il processo di divisione deve avere fine. Oggi la fisica teorica postula la indivisibilità dei quark, le particelle primordiali di cui sono composti tutte le particelle subatomiche ad oggi note. Ma anche se si dovessero scoprire nuove particelle, che a loro volta sono parti dei quark, il vostro ragionamento resta sempre valido.

Ma torniamo un attimo indietro: fino a che la filosofia era rimasta nelle colonie ioniche, erano tutti rimasti abbastanza con i piedi per terra. La ricerca dell’ἀρχή si concertava su elementi come terra acqua aria fuoco. A dire il vero c’era qualcuno come Anassimandro che aveva tirato in ballo l'ἄπειρον, l’illimitato, ma era l’eccezione che confermava la regola. Gli altri filosofi, in particolare quelli di Mileto, erano considerati “naturalisti”.

Del resto anche Pitagora, che individuava l’ἀρχή nel numero, in fondo non diceva una cosa poi tanto campata in aria. Effettivamente se tutte le cose potevano essere divise in parti e se queste parti potevano essere messe in relazione tra di loro pensare che il numero fosse quello che le accomunasse non era poi così sballato. In fondo era andato molto vicino al concetto di ατομος, se tutto è numero e le cose si relazionano tra di loro attraverso i numeri allora ogni cosa può essere suddivisa in parti, in modo tale che possa essere messa in rapporto con le parti delle altre cose. Quindi ogni cosa può essere espressa come numero di parti. Più questi rapporti erano semplici, più c’era sintonia tra le cose. Ma la concezione di Pitagora che tutte le cose potevano essere messe in relazione attraverso il rapporto (λόγος) numerico aveva vacillato quando venne dimostrata la incommensurabilità della diagonale del quadrato rispetto al suo lato. Praticamente era stato dimostrato che non era possibile trovare un rapporto numerico finito che mettesse in relazione le due parti del quadrato. La scuola pitagorica purtroppo non aveva usato questo risultato per fermare una volta per tutte le speculazione sulla divisione all’infinito, attestando le contraddizioni che nascevano quando si consideravano forme geometriche ideali divisibili all’infinito (cioè non composte da atomi) per relegare queste a meri costrutti ausiliari. Erano state, purtroppo, poste le basi per una dicotomia tra “ragione” ed “esperienza” e quindi del concetto di “idea” non come attributo del reale ma come realtà in sé. Le conseguenze nefaste non si fecero attendere. Infatti sempre dalle parti della penisola italica, in Sicilia, Empedocle di Agrigento riteneva che i quattro elementi primordiali, terra acqua aria e fuoco, l’ ἀρχή della scuola di Mileto per capirci, in realtà si fondevano insieme in una sfera perfettamente omogenea:

ἀλλ’ ὅ γε πάντοθεν ἶσος <ἑοῖ> καὶ πάμπαν ἀπείρον 
Σφαῖρος κυκλοτερὴς μονίηι περιηγέι γαίων   (Diels-Kranz Fr. B 28)

Ma dappertutto eguale a se stesso e assolutamente senza limite è lo Sfero circolare, che gode della sua solitudine sferica. 

Qui la sostantivizzazione dell’idea e quindi la sua personificazione prede corpo. Lo “sfero” (Σφαῖρος con la sigma maiuscola!) gode! Il mondo delle idee, parallelo al nostro mondo, ormai è aperto a qualsiasi boiata.

Questi tipi di “ragionamenti” fioccavano ormai da tutte le parti culminando nella negazione totale dell’esperienza della scuola eleatica. In nome della ragione si negavano le più semplici osservazioni basate sulla “fallace” esperienza, che era relegata ormai a pura apparenza. Il mondo vero era quello delle “idee”.

Cari amici, per fortuna ci avete pensato voi, avete mostrato che esiste una via semplice per spiegare il mondo, che il finito è sufficiente e che non è necessario introdurre "il mondo delle idee". So che non è servito a molto, l’idealismo imperverserà nella storia dell’umanità ed in nome delle “idee” si giustificheranno le più terribili nefandezze, logiche e non.

Grazie comunque

Federico 

Il piacere del contare

Nel giugno 2008 ho partecipato ad un corso tenuto dal Prof Paolo Zellini, professore di Analisi Numerica presso l’Università di Roma Tor Vergata e autore del famoso “Breve storia del infinito” di cui Italo Calvino disse: “Tra i libri italiani degli ultimi anni quello che ho più letto, riletto e meditato è la Breve storia dell'infinito di Paolo Zellini”

 

Il corso dal titolo "Infinito e finito: dalla crisi dei fondamenti alla scienza del calcolo" tracciava il precorso del concetto di infinito fino alla scoperta delle antinomie nate dal tentativo di trovare una sistemazione della teoria degli insiemi che tenesse conto anche degli insiemi infiniti e che agli inizi del 900 avevano messo in crisi la matematica. Nel proseguo il corso poi, trattava le questioni del calcolo finito, quello basato sui numeri interi, quello per intenderci usato oggi dai calcolatori.

 

Fu durante il corso che definitamente capì che il concetto di infinito attuale era intrinsecamente incoerente e che l’aritmetica dei numeri interi era la sola matematica coerente.

 

A dire il vero Zellini, non era proprio di quest’opinione, anzi vedeva in certi problemi numerici, come l’inversione delle matrici mal condizionate, un limite teorico del calcolo digitale. Effettivamente un problema numerico non poteva sempre essere risolto con una precisone prestabilita, anche aumentato in modo appropriato il numero delle cifre usate per rappresentare i numeri all’interno dell’elaboratore elettronico e/o aumentando i cicli di iterazione. Infatti all'aumentare del numero di cifre usato per rappresentare i numeri all'interno di un elaboratore, la precisione del risultato certamente non peggiora ma non si può essere certi che converga verso la precisone desiderata. Una situazione simile si ha nelle serie di somme infinite convergenti. Infatti anche se alla somma si aggiungono infiniti contributi di volta in volta più piccoli questa può converge ad un numero finito e quindi fissato un limite qualunque non si può affermate che la serie delle somme infinite lo possa raggiungere.

 

In realtà durante il corso non capì se Paolo Zellini favorisse la matematica del continuo o quella del discreto. Da vero intellettuale forse non voleva prendere posizione.

 

Io invece, che avevo appena letto “l’illusione di Dio” di David Dawkins, avevo accolto l’appello dell’autore agli intellettuali di smetterla di definirsi, al più, agnostici (coloro che non sanno) o di essere riluttanti a prendere posizioni più marcate quando è possibile applicare il Rasoio di Occam, il principio metodologico che suggerisce, al fine di decidere tra più ipotesi possibili, di scegliere quella più semplice. Infatti i problemi logici e le antinomie conseguenti all’introduzione di insiemi con infiniti elementi erano a mio avviso molto più gravi che non i problemi di convergenza di certi algoritmi numerici.

 

Decisi quindi di prendere parte in maniera definitiva per il discreto, per il finito lasciandomi alle spalle “il paradiso che Cantor ha costruito per noi", come la aveva chiamato David Hilbert,

 

Ma se Paolo Zellini da un lato mi aveva privato del piacere delle elucubrazioni sull’infinito, dall’altro, aveva in me risvegliato l’interesse della matematica del finito che in fondo era più in sintonia con il resto della mia “Weltanschaung”. Mi ero scrollato di dosso gli ultimi rimasugli idealisti abbracciando in pieno la filosofia atomista. Avevo finalmente compreso a fondo la lezione del grande Epicuro.

 

Durante il corso Paolo Zellini ci raccontò di un passo dell’Odissea di Omero dove si associava la numerazione alla tranquillità del sonno. Tornato a casa, dopo il corso, mi misi a cercare e lo trovai nel IV libro dell’Odissea:

 

Il IV libro racconta di Telemaco che si era recato a Sparta da Menelao per chiedergli notizie del padre Ulisse. Menelao gli risponde raccontando un episodio del suo νόστος, il viaggio di ritorno da Troia, quando era finito in Egitto sull’isola di Faro, da dove non riusciva di ripartire a causa delle avverse condizioni del mare e dei venti.

Errando per l’isola Menelao incontrò Eidiotea figlia dell’antico dio marino Proteo, che vedendolo disperato decise di aiutarlo. Eidodea gli svelò come catturare nel sonno il padre Proteo, che ogni giorno si addormentava nella sua grotta in mezzo alle sue foche dopo avere accuratamente contate. Proteo una volta catturato gli avrebbe indicato la via per tornare a Sparta e gli avrebbe anche raccontato quello che nel frattempo era successo nella sua reggia.

Su indicazione di Eidotea Menelao e i suoi compagni si travestirono coprendosi con pelli di foca eludendo così i controlli di Proteo riuscendo ad entrare nella grotta. Proteo appena addormentato viene sopraffatto da Menelao ed i suoi compagni rivelando a Menelao il destino suo e di altri eroi achei tra i quali Aiace e Odisseo.

 

Odissea IV libro versi 450-453

 

ἔνδιος δ' ὁ γέρων ἦλθ' ἐξ ἁλός, εὗρε δὲ φώκας

ζατρεφέας, πάσας δ' ἄρ' ἐπῴχετο, λέκτο δ' αριθμόν.

ἐν δ' ἡμέας πρώτους λέγε κήτεσιν, οὐδέ τι θυμῷ

ὠΐσθη δόλον εἶναι· ἔπειτα δὲ λέκτο καὶ αὐτός.

 

 

In seguito gli stessi versi nella bellissima traduzione dell’Odissea di Ippolito Pindemonte (IV 565-569)

 

Uscio sul mezzogiorno il gran vegliardo

E trovò foche corpulente e grasse,

Che attento annoverò. Contò noi prima,

Nè di frode parea nutrir sospetto.

Ciò fatto, ei pur nella sua grotta giacque.

 

Ma soffermiamoci sull’ultima parte del secondo verso: λέκτο δ' αριθμόν. Qui compare la parola λέκτο che è, nella forma poetica, l’aoristo indicativo terza persona singolare di λέγο.  λέγο ha due significati ( raccogliere, enumerare) oppure (dire, parlare). Infatti λόγος  che ha la stessa radice vuol dire il computare, il calcolare, la ragione, il rapporto oppure anche parola, discorso. Questo doppio significato ha portato un po’ di confusione nelle traduzioni dei vangeli dove la parola λόγος imperversa e non si sa se tradurla come “ragione” o “parola” (di Dio). In questo caso non c’è dubbio l’accostamento con αριθμόν, (numero) indica l’azione del contare.

 

Nell’ultimo verso ritroviamo di nuovo λέκτο, ma questa volta si tratta del aoristo indicativo terza persona singolare di λέχο giacere, dormire (la stessa radice si ritrova nel latino lectus da cui l’italiano letto, nel gotico ligan da cui il tedesco liegen)

 

E’ un caso? oppure Omero ha voluto creare un collegamento tra i due concetti.  I due λέκτο si trovano inoltre accentati nella stessa posizione nella struttura ritmica della metrica dell’esametro, esaltandone cosi la corrispondenza.

Ma indipendentemente dal fatto che Omero abbia voluto, in modo così sottile, collegare coscientemente i due concetti o che si tratti di un’interpretazione a posteriori dell’esegesi omerica in nessun modo si può negare l’incredibile bellezza e l’armonia di questi versi.  

Contare, mettere in relazione, mettere in ordine, elencare, strutturare, ragionare o per dirlo in termini matematici: mettere in corrispondenza biunivoca con l’insieme dei numeri naturali da pace.

 

Mi piace pensare che questo sia dovuto al fatto che contando, ci si collega, attraverso il processo di corrispondenza con l’insieme dei numeri naturali, all’essenza stessa dell’essere, all’αρχή pitagorico: il numero. E, squarciato per un attimo il velo che lo nasconde, l’anima, contemplando, appagata si rilassa:

 

λέκτο δ' αριθμόν… ἔπειτα δὲ λέκτο καὶ αὐτός

 

Contare, poi giacere, dormire

 

 

 

Lettera a Zenone

Caro Zenone,

mi sei sempre stato simpatico, non solo per i tuoi divertenti paradossi, ma soprattutto per la strenua difesa delle opinioni del tuo maestro Parmenide. 

Opinioni difficili da sostenere poiché Parmenide negava la più semplice delle esperienze: il movimento. Il tuo maestro, attraverso il ragionamento ontologico sulla non esistenza del non essere, aveva affermato l’inesistenza del vuoto e quindi del movimento. Infatti quest’ultimo senza vuoto non poteva avvenire, poiché se lo spazio è pieno e senza vuoti il movimento non è possibile. I corpi stanno, uno attaccato all’altro, senza vuoti tra di loro, aggregati come in un unico blocco all’interno del quale nulla si può muovere.

Tu, per dare man forte al tuo maestro, avevi inoltre  tentato di dimostrare l’impossibilita del moto attraverso un ragionamento indipendente basato sui paradossi generati dalla divisione all’infinito: Achille che non raggiunge la tartaruga, e poi, quello che a me piace di più, la freccia che non raggiunge il bersaglio. Infatti questa deve, prima di raggiungere la meta, arrivare a metà del percorso e prima ancora a metà della metà e così via all’infinito. La freccia non partirà mai dovendo percorrere infiniti segmenti in un tempo finito. 

Caro Zenone, quando mia moglie, in preda all’astinenza da nicotina, mi chiedeva di andarle a comprare le sigarette, ho tentato più volte, per evitare l’interruzione di qualche oziosa attività, di usare il tuo ragionamento per farle capire che anche se avessi voluto arrivare fino dal tabaccaio non avrei mai più potuto raggiungerlo dovendo prima arrivare a metà strada e prima ancora a metà della metà e così via. 

Purtroppo mia moglie, che come la maggior parte delle donne ha i piedi saldamente per terra, non si faceva incantare da ragionamenti, ancorché rigorosi, che confutano l’esperienza.

Il ragionamento ontologico del maestro è sempre stato un po’ debole visto che giocava sui diversi significati del verbo essere. Inoltre la sostantivazione del verbo non implica che il così generato sostantivo esegua necessariamente l’azione descritta dal verbo e quindi “il non essere non è” è in realtà una forzatura

Il tuo ragionamento a prima vista sembra più difficile da confutare.

Sembrerebbe infatti, che la somma infinita di parti, ancorché piccole, è infinitamente grande e che quindi la freccia impiegherà un tempo infinito ad raggiungere il bersaglio, supposto che lo spazio da percorrere sia suddiviso in infinite parti attraverso la procedura di bisezione da te proposta.

Ma la somma di infiniti addendi, mio caro Zenone, è un problema insidioso.

Prendiamo per esempio la somma infinita 1+(−1)+1+(−1)+···, L’abate Guido Grandi (1671-1742) analizzandola trae conclusioni a dir poco temerarie:

Spostando le parentesi, da essa si ottiene sia 0 = (1 − 1) + (1 − 1) + (1-1)+….. che 1 = 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + ··· 

Da cui segue 0 = 1 ... ma allora l’idea della creazione ex nihilo risulterebbe plausibile!

Ma, caro Zenone, come già detto, le somme infinite sono insidiose. Qui l’abate fa un uso disinvolto della proprietà associativa della somma, che pero non vale in generale nel caso delle somme infinite.

Ancora più insidie si nascondono nelle somme di infiniti addendi sempre più piccoli. Infatti, queste serie a volte hanno somma infinita e a volte no.

Nicola d’Oresme (XIV sec.) mostra che la serie armonica:

H(n)=1/2 +···+1/n +… ha somma infinita. 

Infatti (1/2)+(1/3+1/4)+(1/5···+1/8)+··· ≥ 1/2 + 1/2 + 1/2 +··· → +∞.

La dimostrazione parte dall’idea che, raggruppando opportunamente più termini consecutivi della serie armonica, si può costruire una sottosuccessione della successione che manifestamente diverge.

A partire dal secondo termine, raggruppiamo i termini della serie armonica in blocchi costituiti da 1, 2, 4, 8, . . . addendi, in modo che l’ultimo termine di ciascun blocco sia del tipo 1/2^k :

(1/2) 

+ (1/3+1/4)

+ (1/5+1/6+1/7+1/8) 

+ ......

In ciascuno dei blocchi entro parentesi l’ultimo addendo è il più piccolo, dunque le quantità entro parentesi sono tutte ≥ 1/2. Infatti il k-esimo blocco contiene 2^k-1 addendi tutti maggiori o uguali a 1/2^k e quindi dato che 2^k-1/2^k = ½ 

Che somme infinite davano un risultato finito l’aveva probabilmente intuito già Eudosso di Cnido (IV sec. a.C.) a cui viene attribuita da Euclide la dimostrazione, con il metodo dell’esaustione, che il volume di un cono e la terza parte del volume del cilindro con la stessa base.

Questo metodo basto sulla somma di infinite aree geometriche può essere usato per dimostrare che la freccia arriva al bersaglio infatti:

La somma della serie geometrica: G(n)=1/2+1/4+1/8 ….. per infiniti elementi è uguale a 1.

come si vede dal disegno, si parte dal primo triangolo, che ha un area equivalente alla metà del quadrato e si aggiungono quindi  triangoli di area grande la metà del triangolo precedente. Se si immagina di continuare questo processo all’infinito si vede che l’intera area del quadrato viene riempita e quindi si può affermare che la somma infinita delle aree sia uguale ad 1. Quindi la somma di infiniti elementi può essere finita e quindi la freccia colpisce il suo bersaglio.

Caro Zenone, sembrerebbe che non hai potuto aiutare il tuo maestro Parmenide più di tanto. Comunque come avrei notato trattare le somme infinite non è cosa tanto semplice, anzi ogni volta che c’è di mezzo l'infinito bisogna andarci coi piedi di piombo. Comunque hai messo un dito nella piaga. Ne discuteranno filosofi e matematici per i prossimi millenni, distinguendo sottilmente tra i tipi di infinito: attuale o potenziale, categormatico o sincategormatico, con la cardinalità dei numeri naturali o con la cardinalità del continuo. 

Alla fine è risultato un gran casino. Il tentativo di includere gli insiemi infiniti in una teoria assiomatica degli insiemi ha prodotto addirittura affermazioni che sono sia coerenti, che non coerenti, all’interno della teoria stessa. Le fondamenta della matematica hanno per la prima volta subito un sussulto e alcuni matematici chiamati intuizionisti, a quali anche io mi associo, hanno rifiutato l’uso disinvolto dell’infinito attuale, rifondando la matematica e riportandola a trattare solo di quei enti che la mente può costruire, facendo a meno del concetto di infinito attuale o degli insiemi a cardinalità infinita. 

La somma della serie geometrica non “è” uguale a uno ma la successione delle somme parziali all’aumentare degli elementi si avvicina ad uno, senza pero mai raggiungerlo un quanto la somma “infinita” non esiste non essendo “costruibile”.

Caro Zenone, il tuo tentativo di “ragionare” con l’infinito ha generato un paradosso. Questo in parte è stato risolto utilizzando un formalismo che trattava insiemi con infiniti elementi, ma quando si è cercato di costruire una teoria degli insiemi che tenesse conto anche di quelli con cardinalità infinita sono nati altri paradossi, che questa volta però non si sono rilevati risolvibili. Il diavolo è uscito dalla porta per rientrare dalla finestra. 

Quindi, caro Zenone, bisogna fare attenzione, l’uso improprio del concetto di infinito è pericoloso, e come ben sai non solo in logica. Affermando l’infinito si creano paradossi che sembrano confutare l'esperienza comune. Del resto anche lo scopo dei tuoi ragionamenti era di evidenziare una differenza sostanziale tra il mondo della ragione e quello della esperienza. 

Sei quindi anche tu colpevole, come Parmenide, del fatto che l’occidente ha dovuto subire due millenni di delirio idealista, da Platone ai padri della Chiesa fino a Kant ed oltre. Voglio pensare che non era tua intenzione appiopparci tanto e quindi

ti saluto con simpatia

Federico.

La teoria eliocentrica di Aristarco da Samo

Aristarco da Samo, astronomo e fisico greco visse tra il 310 a.C. e il 230 a.C. Egli fu il primo a sviluppare una teoria eliocentrica del cosmo togliendo alla terra l'attributo di centro dell'universo. Inoltre in base ad un sottile ed elegante ragionamento riuscì a determinare la distanza tra la terra ed il sole e la distanza tra la terra e la luna e quindi le dimensioni relative fra la terra la luna ed il sole. Furono proprio queste misure che gli fecero capire che il sole era molto più grande della terra e che si trovava molto lontano dalla coppia terra luna, tra loro invece relativamente vicine. Questa disparità di dimensioni e di distanza fu certamente lo spunto per considerare il sole, l’astro più grande, al centro del sistema. Inoltre il sistema eliocentrico permetteva di spiegare in maniera molto più semplice i moti apparenti dei pianeti.

Il ragionamento di Aristarco per il calcolo dei rapporti tra le distanze ed i diametri dei tre corpi celesti era basato su semplici osservazioni. La versione qui riprodotta ne segue le linee generali, anche se non ne segue per filo e per segno lo svolgimento. Resta comunque la bellezza del ragionamento che portò Aristarco e la civiltà greca a capire le dimensioni del cosmo e a mettere quindi  in discussione il geocentrismo e di conseguenza l’antropocentrismo.

 

Vediamo innanzitutto alcune definizioni:

D_ts = distanza terra – sole

D_tl = distanza terra – sole

d_so =  diametro sole

d_te =  diametro terra

d_lu =  diametro luna

Aristarco osservando le fasi della luna e la relativa posizione del sole aveva capito che la luna era illuminata dal sole è che nelle quadrature ( primo ed ultimo quarto) , quando la luna presentava il suo disco illuminato a metà le semirette che congiungevano il sole alla luna(SL) ed la terra alla luna (TL) formavano un angolo retto.

  

Aristarco individuò quindi il triangolo TLS rettangolo in L. Misurando l’angolo α tra la luna ed il sole durante le quadrature della luna Aristarco era in grado di conoscere tutti gli angoli del triangolo TLS. Infatti, l’angolo β la terra ed la luna visti dal sole poteva facilmente essere calcolato sapendo che la somma degli angoli di un triangolo era uguale all’angolo piatto (180°).  L’angolo luna-sole visto dalla terra comunque doveva essere minore di 90°. Infatti, quando la luna si torva in quadratura il sole non e poi molto distante ed i due astri si possono vedere insieme nel cielo diurno.  La misura effettuata da Aristarco diede il valore di 87°  (il valore moderno è di 89° 51’).

L'errore era tutt'altro che trascurabile ma la misura con i mezzi di allora non era di semplice esecuzione, inoltre la determinazione del esatto istante della quadratura della luna presentava difficoltà ancora maggiori. Aristarco capì comunque che essendo l’angolo luna-sole molto vicino a 90°, il rapporto tra la distanza terra-luna ed la distanza terra-sole era molto piccolo e che quindi il sole distava dalla terra molto più della luna. Aristarco stimò il valore compreso tra 18 e 20 mentre il valore moderno e di circa 400. Questo errore relativamente grande è dovuto dal fatto che nel triangolo rettangolo TLS se l'angolo tra il cateto minore e l'ipotenusa (nel nostra caso l’angolo luna–sole) è molto vicino a 90° anche piccoli errori nella stima di questo angolo generano grandi errori nel rapporto tra lo stesso cateto minore e l’ipotenusa. Infatti, già una  stima di 89° darebbe un rapporto di 57 mentre a 89° 51” il valore sale a 382.

Chiamiamo k il rapporto tra le distanze terra-sole e terra-luna:

Il rapporto tra le distanze si riflette subito sul rapporto delle grandezze, in quanto il sole e la luna sono visti dalla terra in sostanza sotto lo stesso angolo (ca. 0.5°). Infatti la dimensione apparente del sole e della luna è quasi uguale.

Questo si nota soprattutto durante le eclissi totali di sole, quando la luna copre tutto il sole èd il periodo di eclisse totale è di solito molto breve.

Inoltre le eclissi totali di sole sono visibili come tali solo in regioni ristrette, già muovendosi di poche centinaia di chilometri l’eclisse non è più totale ma solamente parziale. Come si po’ vedere nella mappa sottostante che indica in porpora  la zona della terra in cui era visibile l’eclisse totale del luglio 2009 mentre la zona blu indicava quella parte da dove l’eclisse era vista come parziale.   

La considerazione che il cono d’ombra solare potesse essere considerato un triangolo isoscele con base il diametro solare e come vetrice la terra (la sua superficie) indusse Aristarco ad un ragionamento che lo porto a calcolare il rapporto tra il diametro della terra ed il diametro lunare e quindi attraverso il rapporto già trovato del rapporto tra il diametro lunare e d il diametro solare al rapporto tra il diametro terreste ed il diametro del sole.

Definiamo quindi

Per calcolare questo valore Aristarco si servì di un altra osservazione relativa questa volta alle eclissi di luna. Infatti osservando le eclissi lunari Aristarco aveva notato che al contrario di quelle solari la loro durata non poteva essere considerata un istante. Anzi il passaggio della luna nel cono d’ombra della terra durava tipicamente parecchi minuti e si potevano chiaramente distinguere quattro distinti momenti.

A)   il momento in cui la luna tocca il cono d’ombra della terra

B) il momento in cui la luna è entrata completamente nel cono d’ombra della terra.

C) il momento in cui la luna inizia da uscire dal cono d’ombra della terra

D) il momento in cui la luna è uscita dal cono d’ombra della terra.

Aristarco riuscì a determinare il rapporto tra il diametro della luna ed il diametro del cono d’ombra della terra in corrispondenza dell’orbita lunare (d_co) dal rapporto del tempo che intercorreva tra gli istanti A e B o C e D  (proporzionali al diametro lunare) ed il tempo che intercorreva tra gli istanti A e C oppure B e D (proporzionali al diametro del cono lunare in corrispondenza della orbita lunare).

Definito quindi d_co come dimensione del cono d’ombra della terra in corrispondenza dell'orbita lunare

chiamiamo quindi 

il rapporto tra diametro del cono d’ombra della terra in corrispondenza dell’orbita lunare e del diametro lunare.

Aristarco trovo per m il valore 2 mentre il valore moderno risulta 2,7

Ne risultava subito che la dimensione della terra non poteva essere molto più grande del luna. Infatti, se il cono d’ombra della luna si riduceva di un diametro lunare sulla distanza terra luna durante l’eclissi di sole, il diametro del cono d’ombra durante l’eclissi di luna si doveva ridurre di una grandezza equivalenti. Questo vale solo se i triangoli definiti dai coni d’ombra della terra e della luna possono essere considerati triangoli simili. Aristarco considerò i due triangoli in sostanza molto simili poiché la distanza sole luna era molto maggiore della distanza terra luna e quindi gli angoli al vertice dei triangoli isoceli aventi come base il sole e come vertice la punta dei rispettivi coni d’ombra dovevano differire di una quantità esegua.

quindi

dalla definizione di m nella (1.3)

Sostituendo la (1.5) nella (1.4)

raggruppando  d_lu 

e quindi evidenziando d_lu

considerando la (1.2)

si ottiene 

Ricapitolando, Aristarco aveva trovato per k il valore di 19 mentre  per m il valore 2. Applicando questi valori alla (1.8)  e alla (1.10) le risultanti dimensioni del sistema solare sono ricapitolate nelle seguenti:

Aristarco aveva eseguito errori nella determinazione di m e k e aveva quindi sottostiamo sopratutto la distanza terra sole. I valori coretti per k ed m sarebbero stati rispettivamente 382  e 2,7. Usando questi valori il diametro lunare e quello solare risultano:

    

       

molto vicini ai valori moderni.

Pur sbagliando le misure astrometriche Aristarco aveva intuito che il sole era un oggetto celeste di gran lungo più grande della terra e quindi le toglieva il primato che era alla base della visone geocentrica del cosmo.
La teoria eliocentrica fu però fermamente osteggiatata da Claudio Tolomeo astronomo del II secolo d.C che nella sua opera Almagesto affermò la centralità ed immobilità della Terra nell'universo.
Il Cristianesimo in seguito avallò la cosmologia tolemaica in quanto compatibile con le Sacre Scritture. Infatti in Giosuè, cap. X, si legge "fermati, o sole!" e quindi secondo la chiesa era il sole a muoversi e non la terra.
Dovranno passare quasi 2000 anni prima che Nicolò Copernico e dopo di lui Galileo riaffermeranno la visone eliocentrica del sistema solare togliendo definitivamente alla terra la posizione privilegiata al centro del universo.