Die Zeit und die Freiheit

In der griechischen Mythologie war der Chaos der Ursprung aller Dinge, Chaos generierte Uranos, den Himmel und Gea, die Erde. Diese generierten Cronos, die Zeit und dieser generierte Zeus, den Herscher des Olymps Gott der Götter. Die Zeit wurde als eigenes Element der Cosmogonie empfunden. Unterschiedlich zur Hebräischen Mythologie wo Jahwe, der unaussprechliche, den Kosmos in 7 Tage schuf und eigentlich die Zeit schon vorfand.

Dieses moderne Konzept, dass die Zeit eigentlich nicht im Sein immanent ist, widerspiegelt sich in der presokratischen Philosophie, speziell in der elatischen Schule von Parmenides und Zenon, die Widersprüche und Paradoxe der Bewegung erarbeiteten und somit das Werden verneinten.

Das Fliesen der Zeit, der Übergang vom Vergangenheit in Gegenwart ist für Parmenides eine Illusion. Das Sein ist zeitlos, der Unterschied zwischen Vergangenheit Gegenwart und Zukunft eine Illusion. Die Argumentation Parmenides war von solider Einfachheit: Das Sein ist, das Nicht Sein ist nicht, das Vakuum, das Nicht Sein, ist nicht, das Vakuum existiert nicht, das Sein ist voll und somit ist die Bewegung, das Werden unmöglich. Das Werden eine reine Illusion.

Die Tradition überliefert uns Parmenides bei der Beobachtung der Mondfasen. Sowie die Phasen des Mondes, das Wachsen der Mondsichel zum Vollmond eigentlich die Natur des Mondes nicht verändern sondern nur unseren Beobachtungspunkt darstellt so ist auch die Bewegung Illusion.

Aber wenn das Werden nicht ist und die Zukunft nicht wird sondern ist, wenn alles schon ist, wo bleibt unsere Willensfreiheit.

Auch die ersten Philosophen des Christentums wie Plotin und Augustin empfanden das Werden in der Zeit als ein unvollkommenes Sein. Empfindet Gott das Werden oder ist  Gott einfach. Die Annahme, daß Gott außerhalb der Zeit ist, wurde zu einem der Grundgedanken der mittelalterlichen Teologie. Gott empfindet das Werden nicht, Gott empfindet Vergangenheit, Gegenwart und Zukunft gleichzeitig. Also ist die Zukunft in der Vernunft Gottes. Aber wenn die Zukunft ist, irgendwo in den Gedanken Gottes geschrieben, wo bleibt unsere Freiheit, wo bleibt unsere Entscheidungsmöglichkeit.

Diese Gedanken entfachten bis in die heutige Zeit heiße Debatten sowohl bei Theologen als auch bei Physiker. Die Deterministische Logik sowohl der Glaube an ein absolutes Wesen sind mit unserer Willensfreiheit im Wiederspruch.

Die Fortschritte der Wissenschaft in den Jahre der Renaissance, die Erkenntnisse von Galileo Galilei und Jsaac Newton brachten keine Lösungen Die Erkenntnis der Gesetzmäßigkeit der Bewegung der Körper nach den Regeln der klassischen Mechanik machten unser Weltall zu einem perfekten Uhrwerk, und nur die Komplexität der Anfangsbedingungen erlauben keine perfekte Voraussage aller Ereignisse. Aber in diesem, von den Absoluten Regeln der Natur, beherrschten Kosmos gibt es keinen Platz für unsere Freiheit.

Die Zeit Netwon’s ist absolut, messbar, voraussehbar. Und diese Zeit ist Grundlage unser modernes Zeitempfinden. Auch die Relativitätstheorie Albert Einstein’s brachte keine Lösung. Einstein relativierte zwar die Zeit: Meine Zeit ist nicht gleich deiner Zeit. Je nach Geschwindigkeit fliest die Zeit mit einem anderen Rhythmus. Aber auch der Kosmos Einsteins spielt sich wie ein Film im Raum-Zeit Kontinuum ab. Alle Vorgänge sind deterministisch vorhersehbar, für unsere Willensfreiheit gibt es keinen Platz

Neue Erkenntnisse brachte die Quantentheorie, die in den 20er Jahren von Max Plank und Niels Bohr entwickelt wurde. Im winzig Kleinem, gelten andere Kräfte, Wahrend die Gravitation und die Elektromagnetische Kraft einen unbegrenzten Aktionsraum besitzen, so wirken die nukleare Kräfte nur in einem begrenzten Raum, sie sind nur im Bereich des Atomnukleus tätig. Die von diesen Kräften hervorgerufene Phänomene sind nicht deterministisch vorzusehen, sie unterliegen zufälligen Bedingungen. In den Formeln der Quantenmechanischen Prozesse verschwindet interessanterweise der Faktor Zeit, die Zeit spielt keine Rolle, der Unterschied zwischen Vergangenheit und Zukunft existiert nicht und alle Prozesse sind reversierbar. 

Das Verhalten der Elementarteilchen ist nicht vorhersagbar und zeitlos. Sie sind frei.

Ist also die Natur der Zeit, ihre tiefste physische Deutung, mit der Willensfreiheit im Kontrast?

Gilt auch für Zeit und Freiheit die Heisenberg’sche Unschärfe?

Sind wir frei, oder werden wir erst dann frei wenn unsere Zeit abgelaufen ist?

Fisica epicurea

La fisica è il fondamento della filosofia epicurea. La constatazione che i fenomeni possono essere spiegati ricorrendo a una descrizione fisica dimostrava, secondo Epicuro, che si poteva fare a meno di concetti come l’anima o le divinità. Egli credeva che comprendendo i fenomeni della natura come conseguenza di leggi naturali, ci si poteva affrancare dalla paura degli dei e finalmente dalla paura della morte, riuscendo così a cogliere l’intimo piacere legato alle cose terrene.

La fisica di Epicuro ci è stata tramandata dalla lettera ad Erodoto:

“Prima di tutto nulla nasce dal nulla; perché qualsiasi cosa nascerebbe da qualsiasi cosa, senza alcun bisogno di semi generatori; e se ciò che scompare avesse fine nel nulla tutto sarebbe già distrutto, non esistendo più ciò in cui si è dissolto.”

[Epistula ad Herodotum 38,11]

Epicuro inizia la sua fisica con il principio di conservazione “nulla si crea, nulla si distrugge, tutto si trasforma”.  

Le moderne riformulazioni del Principio di Conservazione dell'Energia si sono avute nel 1842 (Mayer), 1843 (Joule), 1847 (Helmholtz), 1850 (Clausius). Le tesi sostenute erano talmente innovative che gli articoli di Mayer ed Helmholtz furono inizialmente rifiutati dalle riviste scientifiche dell'epoca.

Esse portarono alla formulazione del primo principio della termodinamica, che non è altro se non una generalizzazione del principio di conservazione dell'energia

Nella sua formulazione moderna il principio di conservazione dell’energia afferma che l'energia non può essere né creata, né distrutta, ma solo trasformata tra forme diverse. L'energia si presenta sotto moltissime forme, quali ad esempio l'energia meccanica (energia cinetica e potenziale ), il calore, l'energia chimica, energia nucleare, l'energia luminosa e quella acustica, che possono essere trasformate l'una nell'altra.

Dopo il 1905, anno in cui Albert Einstein pubblicò la teoria della relatività speciale dimostrando l'equivalenza tra massa ed energia, fu necessario includere anche la massa tra le forme d’energia contemplate dal principio di conservazione; pertanto tale principio è noto anche come principio di conservazione della massa-energia. 

Il ragionamento d’Epicuro è semplice, basato sull’esperienza di non aver mai visto nascere alcunché senza “seme“. Nascendo nulla da nulla, nulla può finire nel nulla altrimenti, con il tempo, l’universo sarebbe composto di solo nulla.

Nella lettera ad Erodoto Epicuro si pone inoltre il problema dell’origine e della fine del tutto (pan)

“Il tutto sempre fu com’è ora, e sempre sarà, poiché nulla esiste in cui possa tramutarsi, né oltre il tutto non vi è nulla che penetrandovi possa produrre mutazione”

[Epistula ad Herodotum 39,2]

Epicuro applica al Tutto il ragionamento ontologico di Parmenide. Il Tutto è l’essere, il non essere non è, e quindi nulla è al di fuori del Tutto. Ne consegue l’impossibilità teorica di un inizio e di una fine e l’immutabilità del Tutto. Nella moderna cosmologia la teoria più accreditata è quella dell’universo finito in espansione che prevede la creazione dello spazio-tempo da un’esplosione iniziale (big bang) posta all’incirca 15 miliardi d’anni fa. Questa teoria di uno spazio in espansione è confermata da diverse prove sperimentali, la più importante delle quali è l’allontanamento delle galassie secondo la legge di Hubble (la velocità di fuga delle galassie è proporzionale alla loro distanza). 

Alla domande cosa ci fosse prima del big bang, cosa ci sia fuori dell’universo (In che cosa si espande l’universo) i cosmologi rispondono che la domanda non ha senso, poiché la domanda cosa ci sia “prima” del tempo o “fuori” dallo spazio è una contraddizione in termini perché il concetto “prima” richiede il tempo, così come il concetto “dentro o “fuori” richiede lo spazio. I concetti “prima del tempo” e “fuori dello spazio” sono contraddittori. Il ragionamento è lo stesso che permetteva a Parmenide di affermare l’infinità dello spazio e l’infinità del tempo.  Questa risposta non è però soddisfacente per un universo finito. Il fatto che l’universo della teoria del big bang sia finito (anche se illimitato) ed abbia un inizio giustifica la domanda di cosa esiste oltre.

Sempre la teoria dell’espansione dell’universo prevede l’espansione dello spazio all’interno di un’altra dimensione, addirittura una sua curvatura in un'altra dimensione. Il nostro universo è come una bolla che si sta gonfiando in un qualcosa d’altro che i nostri sensi non riescono a percepire. Anche questa dimensione, impercettibile ai comuni sensi, e che si rivelata all’umanità solamente dopo 2500 anni d’attenta osservazione della struttura dell’universo, è parte del Tutto, dal punto di vista ontologico è.

Quindi considerando il Tutto come l’insieme di tutto l’essere, il ragionamento di Parmenide resta coretto: il Tutto comprende tutto l’essere (anche le sue infinite dimensioni), il Tutto è infinito.

Epicuro nella sua lettera ad Erodoto continua:

“Ed inoltre il tutto è costituito da corpi e vuoto. Che i corpi esistano, infatti, lo attesta di sé in ogni occasione la sensazione in base alla quale bisogna, con la ragione, giudicare di ciò che sotto i sensi non cade, come abbiamo detto prima; se poi non esistesse ciò che noi chiamiamo vuoto o luogo o natura intattile, i corpi non avrebbero né dove stare né dove muoversi, come vediamo che si muovono.“

[Epistula ad Herodotum 39,6]

Epicuro formula qui l’ipotesi atomista di Democrito. Essa era in contrapposizione alla ipotesi di Parmenide di un “essere” statico, indivisibile ed eterno, che Epicuro accetta per il Tutto nel suo insieme ma non per i suoi elementi. La dottrina atomista prendeva lo spunto proprio dalle considerazione della scuola d’Elea e dalle conclusioni della loro dottrina in così netto contrasto con l’esperienza. Infatti, Democrito aveva negato il moto ed il suo scolaro Zenone con i famosi paradossi ne aveva messo in luce le contraddizioni. Ma Democrito, cosi come Epicuro, non riusciva a sopprimere la sensazione empirica del moto. Il loro assioma era: “Il moto è” simile al “panta rei” (tutto scorre) di Eraclito. 

Ma partiamo dall’elenco razionalista di Parmenide:

Solo l’essere è

Il nulla, il non essere, non può essere

Il non essere é il vuoto.

Il vuoto non esiste.

Il mondo è pieno.

Il movimento è impossibile.

Questa conclusione è confutata dall’esperienza quindi considerando a ritroso le conseguenze all’elenco parmenideo si arriva a concludere: il vuoto è, senza il vuoto il movimento è impossibile, ma il movimento esiste e quindi anche il vuoto esiste. E con il vuoto esiste anche la materia.  Questa é formata da atomi, unita indivisibili, entità minimo comune denominatore della materia. Ogni forma di materia alla fine di un processo di divisione deve arrivare ad essere formata da un solo tipo di essenza che insieme al vuoto sono le sole cose che “sono”. Come interagiscono questi atomi ? quale sono le minime proprietà che permettono di spiegare la complessità del mondo ?

Nella Lettera ad Erodoto Epicuro parlando degli Atomi dice:

"Gli atomi hanno moto continuo ed eterno (i loro moti sono equiveloci perché il vuoto lascia passare sia i più leggeri che i più pesanti)"

 [Epistula ad Herodotum 43,4] 

Il suo pensiero e confermato nel frammento:

"e assolutamente equiveloci sono gli atomi... per il fatto di muoversi in una sola direzione" 

[Deperditorum librorum reliquiae 37]

Ipotesi epicurea per cui gli atomi hanno, nel vuoto, tutti la stessa velocità indipendentemente dalla loro massa fa pensare ad Epicuro come ad un precursore di Galileo, ma la caratteristica del moto rettilineo può anche essere vista come una anticipazione della teoria della relatività così rivela la sua semplicità. Infatti secondo la teoria della relatività generale i corpi soggetti alla gravitazione percorrono traiettorie rettilinee in uno spazio pluridimensionale deformato dalle masse . Ma la equivelocità degli atomi implica anche le trasformazioni di Lorenz (le trasformazioni che legano lo spazio al tempo nella teoria della relatività ristretta). Esse altro non sono che una metrica dello spazio-tempo che permette a tutti i corpi di seguire traiettorie rettilinee a velocità costante, quella della luce. Per ogni corpo in movimento lo spazio si riduce ed il tempo si contrae all'aumentare della velocità relativa (l'effetto, sempre presente, si fa misurabile solo ad velocità molto alte vicine alla velocità della luce) in modo che la traiettoria nello spazio-tempo sia sempre rettilinea ed equiveloce (isotachos). 

Un corpo fermo nello spazio si muove quindi alla velocità della luce lungo la coordinata temporale. Un corpo che si muove nello spazio riduce in proporzione il suo moto lungo la coordinata temporale (il tempo scorre più lentamente) in modo che la risultante spazio-temporale sia costante. Questo ragionamento aveva fatto formulare nel 1911 ad Albert Einstein il famoso "paradosso dei gemelli" Questo rende ancora più grande l'ipotesi del atomismo democriteo nella interpretazione di Epicuro. Infatti più semplice sono gli assiomi di una teoria che riesce a spiegare la complessità del mondo, più questa deve essere vicina alla effettiva essenza della struttura del cosmo. 

Questa considerazione è supportata dal principio di semplicità o rasoio di Occam 

"entia non sunt multiplicanda praeter necessitatem, frustra fit per plura quod fieri potest per pauciora "

Il dualismo (materia-energia) ed (spazio-tempo), la loro interdipendenza attraverso un principio di conservazione. Nel caso del dualismo (materia-energia) interdipendenza è legata alla conservazione della quantità totale di “essere” (materia-energia), mentre nel caso del dualismo (spazio-tempo) la interdipendenza è legata alla conservazione della quantità totale di “divenire” rendendo interdipendenti il moto nello spazio ed il moto nel tempo La conseguente ipotesi atomistica con il moto costante ed rettilineo degli atomi perturbato unicamente dal "clinamen", la “deviazione” degli atomi casuale che Epicuro introduce per rende imprevedibile il futuro sono il le ipotesi fondamentali di una "fisica" che coglie nella sua natura più intima la struttura del nostro cosmo.

Die Unendlichkeit

Die alten Griechen beschäftigten sich schon seit Anfang der Kulturgeschichte mit dem Gedanken der Unendlichkeit. Die alten Kosmogonien untersuchten das Problem des Ursprungs und des Sinns und Ende der Dinge. Zwei der vorgeschlagenen Lösungen hatten die Unendlichkeit in Anspruch genommen: Anaximander von Milet im VI Jahrhundert vor Christi lies alles aus dem Apeiron, dem Unbegrenztem, entstehen. Anaximenes, Anaximanders Schüler, sah den Ursprung aller Dinge in dem Element Luft dem er einen unendlichen Charakter zuordnete. Auch Pythagoras von Samos lehrte von der Unendlichkeit im Zusammenhang mit der Entdeckung der Unmessbarkeit der Diagonale eines Quadrates. Er bewies, dass das Verhältnis zwischen der Diagonale und der Seite eines Quadrates mit Hilfe der endlichen Zahlen nicht in numerischer Relation gesetzt werden konnte. Dieses Verhältnis konnte nur mit unendlich großen Zahlen dargestellt werden. Es war die Entdeckung der sogenannten irrationalen Zahlen die unendlich viele Nachkommastellen aufweisen. Diese entstanden aus dem Verhältnis von konkreten geometrischen Begriffen und gaben somit der Unendlichkeit eine aktuelle Realität. Diese Erkenntnis gehörte zu den esoterischen Wahrheiten der Pythagoreischen Schule im süditalienischen Kroton. Diese Wahrheiten durften von keinem Schüler in die Öffentlichkeit gebracht werden. Hippasus aus Metaponto einer der Schüler Pythagoras fand den Tod da er das Geheimnis der Diagonale verbreitet hatte.

Spätere Philosophen gaben der Unendlichkeit eine andere Deutung. Sie sahen darin nicht das Unbegrenzte, sondern das Andeuten einer nicht geendeten und somit nicht perfekten Realität. Diese Einstellung zur Unendlichkeit prägte die ganze griechische Philosophie. So zeigten die Paradoxe des Zenons, wie das Paradox von Achilles, der die Schildkröte nicht aufholt, oder des Pfeiles, welcher nie sein Ziel erreicht, die Absurdität und Irrationalität der Anwendung der Unendlichkeit in Zusammenhang mit Zahlen und Dimensionen. Im metaphysischen und ontologischen Sinn wurde die Vollkommenheit, die Perfektion und die Harmonie der endlichen Realität zugeschrieben, während die Unendlichkeit als unmessbar und als unvollkommen betrachtet wurde. So erkennt Aristoteles die Unendlichkeit weder als Substanz als auch als Attribut, er gibt ihr eine Deutung als Verneinung der vollkommenen Realität, etwas was nicht vollständig erfasst werden kann. 

Im Mittelalter wird die Unendlichkeit in Zusammenhang mit den Attributen Gottes analysiert. Klemens aus Alexandria um 200 nach Christi erkennt als erster die Unendlichkeit als eines der Attribute Gottes.  Man versucht erste systematische Unterscheidungen und kommt somit zur Unterscheidung von kategormatischen Unendlichkeit und sinkategormatischen Unendlichkeit. Wobei letztere als eine Größe verstanden wird die in Potenz also im Werden unendlich ist und somit auch jederzeit größer werden kann, während die Erste eine Unendlichkeit im Sein ist und man somit die aktuelle Realität der Unendlichkeit wieder behauptet. 

Zu den Anhängern letzteren gehörte Giordano Bruno der in seinem Werk “De l’infinito universo et mondi” die Unendlichkeit, als ein Attribut der Realität in der sich die Menschen befinden, verweltlicht. Als Anhänger der Heliozentrischen Weltanschauung des Kopernikus zieht er dessen metaphysischen Konsequenzen und behauptet im Gegensatz zu Aristoteles die Aktualität der Unendlichkeit. Diese Aussagen sowie die Verfechtung der Magie als Mittel der Erkennung als auch der Zusammenhang der göttlichen Unendlichkeit mit der Unendlichkeit des Universums werden ihm zum Verhängnis, denn im Jahre 1600 wird er von der Heiligen Inquisition als Ketzer in Campo dei Fiori in Rom bei lebendigen Leibe verbrannt.

Später beschäftigten sich fast alle großen Philosophen mit dem Unendlichen. Descartes versuchte die Aristotelische Deutung wieder zu beleben. Andere wie Hegel erteilten der Unendlichkeit eine reellere Deutung andere glaubten dass das Problem durch die endliche menschliche Vernunft nicht lösbar wäre und so verbannte Imanuel Kant die Unendlichkeit zwischen den unlösbaren Antinomien.

In der modernen Philosophie entwickelte sich mit Newton und Leibnitz um 1700 neben der metaphysischen Deutung eine neue Analyse des Unendlichen welche über die Symbolisierung und Formalisierung des Unendlich-kleinen die Infinitesimalrechnung einführte. Diese neue pragmatische Art mit dem Unendlichen umzugehen bedanken wir die gewaltigen Fortschritte der modernen Wissenschaft in welcher die Infinitesimalrechnung, das symbolische Kalkül, als Grundstein aller Disziplinen steht. Diese neue Anschauung ist der erste Schritt dem Undenklichen seiner Pardoxität zu nehmen und diese mit einer neuer bewältigbaren Deutung zu ersetzen welche in 19. Jahrhundert mit Cantor und Dedekind das Unendliche zu einem Grundelement einer sehr fruchtbaren Branche der modernen Mathematik macht. 

Cantor (1845-1918) beschäftigte sich mit der Unendlichkeit der natürlichen Zahlen. Er gab dieser Unendlichkeit den Namen “Aleph null” und symbolisierte sie mit dem ersten hebräischen Buchstaben. Sie ist die zählbare Unendlichkeit und alle unendlichen Mengen die zählbar sind haben diese Unendlichkeit. So hat zum Beispiel die Menge der geraden Zahlen, sowie die Menge der Primzahlen die Potenz ℵ0 (Aleph null). Denn diese Mengen sind zählbar denn man kann sie in eineindeutiger Zuweisung mit der Menge der natürlichen Zahlen setzen. Cantor beweist dass die Menge der rationalen Zahlen, also der Zahlen die mit Brüchen darstellbar sind, auch zählbar sind, auch beweist er dass die Menge der algebraischen irrationalen Zahlen, alle Zahlen die Lösungen von algebraischen Gleichungen  auch zählbar sind. (Dazu gehören neben den rationalen Zahlen auch Zahlen wie Wurzel aus zwei). 1873 beweist Cantor dass es eine größere Unendlichkeit gibt. Er beschreibt eine neue Menge die er aus einer ℵ0 unendlich großen Menge, also einer zahlbaren Menge, ableitet: die Menge aller Untermengen (wobei als Untermenge als Menge verstanden wird die nur einige und nur Elemente der Ursprungsmenge beinhaltet). Er beweist das diese Menge nicht zählbar ist und somit eine größere Unendlichkeit aufweist. Es ist die Unendlichkeit des Kontinuums auch ℵ1 (Aleph eins) genannt. Es ist die Unendlichkeit der Punkte eines Liniensegmentes oder einer Linie, der Punkte einer Fläche, der Punkte des Raumes oder die Unendlichkeit der transzendenten irrationalen Zahlen. (Dazu gehören Zahlen wie die Zahl π oder die Eulersche Zahl e). Diese hierarchische Struktur kann weiterentwickelt werden, in dem man neue immer unendlicherer Mengen definiert. So hat die Menge aller Untermengen einer ℵ1 großen Menge die Potenz der Unendlichkeit ℵ2 (Aleph zwei) und so weiter. Cantor fragte sich auch ob es zwischen ℵ0 und ℵ1 also zwischen der Unendlichkeit der natürlichen Zahlen und der Unendlichkeit des Kontinuums andere Unendlichkeit existieren. Cantor war fest überzeugt das es keine andere Unendlichkeit gebe und beschäftigte sich sein ganzes Leben mit dieser Hypothese ohne sie nie beweisen zu können. Mit dieser Cantor’schen Hypothese auch Hypothese des Kontinuums genannt beschäftigen sich alle großen Mathematiker wie Richard Dedekind, Giuseppe Peano, Ernst Zermelo, Gottlob Frege, David Hilbert. Dieser letzte setzte die Hypothese des Kontinuums 1900 an der Spitze von 24 mathematischem Probleme die im darauffolgenden Jahrhundert von den Mathematikern vorrangig zu einer Lösung geführt werden sollten.

Aber die Paradoxe der Unendlichkeit kommen 2500 Jahre nach Zenon wieder zum Vorschein und auch diesmal mit verheerenden Folgen: 

1940 bzw. 1961 beweisen Gurt Gödel und Leonard Cohen dass weder die Hypothese des Kontinuums, weder seine Negation im Kontext der Mengenlehre beweisbar sind und somit weder wahr noch falsch ist. Für Jahrtausende hatte man geglaubt das es für jede Aussage nur zwei Möglichkeiten gebe: sie ist wahr oder sie ist falsch: Tertium non datur, war einer der Grundsätze der Logik des Aristoteles. Gödel beweist dass über gewisse Aussagen nicht entschieden werden kann dass sie nicht ableitbar sind, er beweist in seinem Unvollständigkeit Satz dass die Theorie der natürlichen Zahlen unvollständig ist , d.h. es gibt Sätze, die weder beweisbar weder unbeweisbar sind, und somit unentscheidbar sind. Er bringt somit eine Unschärfe in die Mathematik. Ähnlich wie das von Werner Heisenberg eingeführte Unschärfe-Relation  und die darauffolgende von Max Plank entwickelte Quantentheorie, die die Physik auf neue Fundamente setzte so initiierten die Überlegungen Cantors eine neue axiomatische Grundlehre der Mathematik die zur Zermelo-Fränkel Mengenlehre führten die heute die meist akzeptierte Grundlage der modernen Mathematik bildet. 

Die Erkennung von Strukturen in der Unendlichkeit gibt dieser zwar neue Realität aber die daraus entstehenden Antinomien bringen die Endlichkeit und somit Unvollkommenheit unserer Sinne und unserer Denkvorgänge wieder stark in den Vordergrund. Durch die Erfahrung dieser Antinomien wird sowohl das Sinnlich-Räumliche als auch das Logisch-Erfassbare relativiert. Es entstehen im Extremen Fragen nach der Möglichkeit, daβ die gesamte Menschheitsgeschichte ein erdgeschichtliches relativ kurzes und bedeutungsloses Zwischenspiel im ewigen Fließen, Werden und Vergehen des Kosmos ist.

Aber die Schönheit der Gedanken der Philosophen und Mathematiker im Zusammenhang mit der Unendlichkeit sind wie Lichtblitze die durch den Schleier, der die komplexen logischen Strukturen des Universums umhüllt, durchsickern.

Mathematische Symbollehre

Zahlen sind abstrakte Einheiten die die Vielzahl der Dinge darstellen. Sie werden mit Symbolen dargestellt. Im Laufe der Entwicklung der verschiedenen Kulturen, die die menschliche Geschichte prägten, wurden verschieden Symbolsysteme verwendet.

Die Urbevölkerungen der Erde kannten nur die Zahlen eins, zwei und drei. Auch primitive Bevölkerungen wie die Pygmäen Afrikas, die Urbevölkerungen Australiens oder die Botocudos aus dem Amazonas kennen nur diese drei Zahlen wobei die Zahl Drei eigentlich die Mehrzahl bedeutet.

So wurde diesen Zahlen auch symbolische Wertung gegeben. Die Zahl Eins meistens mit einer senkrechten Linie dargestellt symbolisiert  den Menschen  der als einziges lebendes Geschöpf aufrecht gehen kann oder durch die Symbolisierung des Phallus das Männliche. Die Zahl Zwei symbolisierte schon immer den Dualismus zwischen Mann und Frau, zwischen Leben und Tod, zwischen Gutem und Bösem. Die Zahl Drei symbolisierte die Vielzahl. So wurde im alten Ägypten um die Mehrzahl eines Gegenstandes darzustellen, das den Gegenstand symbolisierende Hyroglyph dreimal wiederholt.

Auch in vielen modernen Sprachen gibt es noch Spuren dieser Bedeutung. So haben  im Französischem die Worte “trois” (drei) und “tres” (viel) die gleiche etymologische Wurzel. So bedeutet im Englischen das Wort “thrice” sowohl “dreimal” als auch “vielmals”. Die alte sächsische Wurzel “thria” aus der das deutsche  “drei” oder das englische “three” abstammt ist etymologisch mit dem fränkischen “throp” verwandt aus dem Worte wie das französische “trop” das italienische “troppo” das deutsche “Truppe” abstammen.

Die Zahlen wurden in diesen primitiven Bevölkerungen mit dem Wiederholen eines einzigen Symbols, meistens dem  senkrechten Strich symbolisiert. So stellt man “zwei” mit zwei,  “drei” mit drei, “vier” mit vier Strichen dar. Auch die nachfolgenden Zahlen wurden mit Strichen symbolisiert. Das Lesen dieser Zahlen war sicher nicht so einfach auch weil unser Hirn relativ einfach bis vier gleiche Symbole erkennt bei fünf wir aber schön zum Zählen gezwungen sind. Dies brachte sehr bald zu Definition einer anderen Schreibweise ab der Zahl  “Fünf”. So entwickelten sich die Zahlensysteme der Ägypter und der Kreteser die um “fünf” zu schreiben auf verschiedenen Zeilen die Zahlen zwei und drei schrieben. Später kam es zur Einführung eines eignes Symbol für die Zahl fünf , das die offene Hand symbolisierende “V”, und des additiven Symbolsystems so wie es uns von den Römischen Zahlen bekannt ist.  Diese System ermöglichte mit der Einführung neuer Symbole für die Zahlen zehn “X” (zweimal “V”) fünfzig “L”, hundert “C” ,fünfhundert “D” und tausend “M” das Darstellen auch relativ großen Zahlen. Auch ermöglichte dieses Zahlensystem mit Hilfe des “Abbacus”, dem antiken Rechenbrett, das Ausführen mathematischer Operationen wie das Addieren und das Subtrahierenden und, wenn auch auf sehr komplizierten Art und Weise, auch das Multiplizieren und Dividieren. Die Einführung eines Symbolsystemes hatte zur Entwicklung von Regeln geführt die das Verständnis von Zusammenhängen förderten. Das Verständnis dieser Zusammenhänge hatte es ermöglicht mit Zahlen Operationen durchzuführen die im Handel und in der Buchführung große Fortschritte brachte.  Diese Entwicklung wird mit der Erfindung der arabischen Ziffern  unter Verwendung des Stellenwertsystems noch markanter.

Zwischen den Jahren 800 bis 825 schrieb ein ostarabischer Mathematiker namens Muhamad Ibn Misa Alchworizimi aus Bagdad das grundlegende Werk über das Rechnen mit den indischen (den sogenannten arabischen Zahlen). In diesem Werk erscheint erstmals die Null die mit einem kleinen Kreis symbolisiert wurde.

Auf verschiedenen Wege durch die Kreuzzüge aber auch durch die arabischen Hochschulen in Toledo, Sevilla, Granada gelangten die arabischen Werke in lateinischer Übersetzung zur Kenntnis der abendländischen Gelehrten und unter diesen Werken auch das Buch Alchworizimis über die indischen Ziffern, die von Leonardo Fibonacci aus Pisa im Liber Abaci um 1202 übernommen wurden. Die Algorithmiker, so wurden, vom Namen Alchworizimis, die Verfechter des neuen Symbolsystems genannt, führten unter den Namen Algorithmus das indische Ziffernsystem mit Stellenwertberücksichtigung im Abendland ein.

Die Gegenüberstellung zwischen den Abbazisten, den Verfechter des Römischen Zahlensystems und des Abbacus, und den Algorithmiker markierte die Kulturgeschichte des späten Mittelalters bis zur Renaissance. Die Algorithmiker lieferten die Ergebnisse von Rechenoperationen über geheimnisvolle Symbole (unseren heutigen Zahlen)  die es gestatteten die verwickeltsten und größten Rechnungen mit unfehlbarer Sicherheit durchzuführen während die Abbazisten mühevoll die Kügelchen am Rechenbrett (Abaccus)  herschoben.

Die katholische Kirche, die um ihr Monopol in der Lehre und Erziehung bangte, war gegen eine Demokratisierung des Kalküls das bis dort Monopol einer privilegierten Kaste war. Dies brachte zu einem eklesiastischem Veto der neuen Methoden bis ins XV Jahrhundert. Die Algoristen mußten also im geheimen mit ihren “Ziffern” (Dieses Wort hat seinen Ursprung im arabischen Sifir (das Leere) mit dem die Null gekennzeichnet wurde) umgehen. Heute noch nennt man “Chiffrieren” die Umwandlung eines Textes mittels eines Geheimcodes.

Die Aussagekraft des neuen Symbolsytems war aber so stark das es, trotz der starken kirchlichen Opposition, sich langsam durchsetzte und nach der Französischen Revolution, die den Abbacus in den Schulen und Staatsämter verbat, endlich der Menschheit seinen vollen Dienst leisten konnte. Das Indische Zahlensystem ist ein klares Beispiel wie ein Symbolsystem, das aus Symbolen und Regeln die diese Symbole verwalten besteht, maßgebend für die Weiterentwicklung der Wissenschaft ist und somit das Verständnis der Regeln und Gesetze, die die  Natur verwalten,  fördert.

Das neue Zahlensystem ermöglichte die Geometrischen Intuitionen der Griechen zu vervollständigen und ermöglichte somit das Blühen der Wissenschaften und den geistigen Fortschritt während des Illuminismus bis zur heutigen Zeit.

Eins nach dem anderem wurden die maßgebenden Meilensteine der modernen Mathematik gesetzt. Die Symboltheorie wurde durch Gottfried Willhelm Leibnitz, der von 1646 bis 1716 lebte und Anhänger des Rosen-Kreuzes war auf soliden logischen Fundamente gesetzt. Er entwickelte die Lehre der Symbole die er “Kabbala Vera” nannte. Die mathematischen Zeichen sind maßgebende Bestandteile in dem Leibnizchen Symbol-kalkül. Die Anordnung der Symbole, ihre Form tragen einen wesentlichen Beitrag zur Algorithmik (das Wort erhält nun eine neue Bedeutung die sich nicht nur mehr auf die Arabischen Ziffern bezieht sondern im Allgemeinen Lösungsmethoden mittels Symbolsystemen darstellt). Der wichtigste Beitrag Leibnitz im Bereich der Naturwissenschaften ist das Symbolische Kalkül auch Sublimes Kalkül genannt, das endlich das Paradox des Achilles und der Schildkröte von Zenon löste.

Das Symbolische Kalkül wurde das Fundament der  moderne mathematische Differential und Integralrechnung. Diese mathematische Theorie ermöglichte Newtons Gravitation Theorie und im 19 Jahrhundert die Maxwellschen Gleichungen die die unsichtbare Welt des Elektromagnetismus symbolisch in geschlossener und eleganter Weise darstellte. Die Auswirkungen dieser Theorien stehen vor unseren Augen. Wieder zeigt es sich das wenn Symbole das “Wesen” der Natur treffen diese ein gewaltiges Mittel zur Weiterentdeckung und Aufschlüsselung der wunderbaren logischen Struktur des Universums werden.

Ein weiterer Fortschritt kam durch andere große Mathematiker wie Leonhard Euler (1707-1783) und Friedrich Gauss (1777-1855), mit der Einführung der Imaginären Zahlen. Diese entstanden aus der Definition der quadratischen Wurzel der Zahl -1. Wie bekannt ist die Wurzel einer Zahl jene Zahl die, wenn mit sich selber multipliziert, die Ausgangszahl ergibt. Nun gibt jede Zahl ob positiv oder negativ wenn mit sich selbst multipliziert ein positives Ergebnis. Diese Eigenschaft der Zahlenalgebra macht die Suche nach der Wurzel einer negativen Zahl unmöglich. Euler löste das Problem indem er diese unmögliche Zahlengröße mit dem Symbol i darstellte und  um diese imaginäre Zahl eine formelle Algebra entwickelte die auch Algebra der komplexen Zahlen genannt wurde. Dieser Formalismus ging weit über die Erwartungen Leonhard Eulers und der Mathematiker die auch später ihren Beitrag zur komplexen Algebra und Funktionstheorie gaben.

Heute basieren große Bereiche der Naturwissenschaften auf der Komplexen Algebra . So wie zum Beispiel die Signaltheorie in der Elektronik, die Aerodynamik, die Fluidodynamik, Teile der Quantenmechanik und der allgemeine Relativitätstheorie, wo die Zeitliche Dimension des Raum-Zeit Kontinuums als imaginäre Dimension dargestellt wird. Wieder hatte ein symbolischer Formalismus “getroffen” und somit wieder viele Geheimnisse der logischen Struktur unseres Universums entlarvt. Der symbolische Formalismus wird das Mittel zur Erkenntnis. Die Wissenschaftler bemühen sich, nicht immer bewußt, beim formulieren ihrer Theorien symbolische Darstellungen zu finden die nicht nur dem wissenschaftlichen Kriterien der Logik und Kohärenz entsprechen sondern die resultierende Formel und ihre symbolische Darstellung muß auch andere Kriterien erfüllen: Einfachheit, Eleganz, Schönheit. Nur dann hat es sich gezeigt wird die dazugehörende Theorie wissenschaftlichen Erfolg haben. Es ist als ob dann die Symbole durch eigener Kraft neue Aspekte der Natur enthüllen.

Abschließend möchte ich ein einfaches Beispiel bringen. Es handelt sich dabei um einen von Leonhard Euler, basierend auf Studien von Abraham de Moiree, bewiesener Satz. Dieser bindet unter sich heterogene Größen:

Als erste Größe die Kreiszahl pi (3,14159.....) welche mit dem griechischen Buchstaben π dargestellt wird. Diese Zahl symbolisiert das Verhältnis zwischen Kreis und seinen Durchmesser. Es ist eine sogenannte Transzendente Zahl da sie nicht in geschlossener Form mit den natürlichen Zahlen darstellen läßt. Das bedeutet das der Kreis mit seinem Durchmesser nicht in numerischer Relation gebracht werden kann. Ich kann den Kreis und seinen Durchmesser in unendlich kleine Teile aufteilen, werde aber nie auf einen gemeinsamen Teiler kommen. Das bedeutet das die Zahl π unendlich viele Stellen hinter den Komma hat.

Die Zahl π symbolisiert den Kreis und die Kugel. Das ewig Statische das aus jedem Blickwinkel gleich aussieht. Die Kugel ist in sich vollkommen. Diese Perfektion ertönt aus dem Vorsokratischem Fragment des Empedokles:

“Aber er, von allen Seite sich selbst gleich und überall endlos, Sphairos, der kugelförmige, über die ringsum herrschende Einsamkeit von frohem Stolz erfüllt”

Die zweite Große die wir in Betracht ziehen ist die Zahl e (2.7183...), auch Eulersche Zahl genannt. auch sie ist auch eine transzendente Zahl mit unendlich vielen Kommastellen die aber in einem ganz anderen Kontext entsteht. Sie prägt die sogenannte Wachstumkurve oder exponentielle Funktion. Sie ist überall dort zu treffen wo etwas wächst: ob es um verzinstes Kapital geht oder um Vermehrung von Zellen. Dort überall wo etwas wächst, wo etwas wird kommt immer die Zahl e zum Vorschein.

Diese zwei Größen die auf so unterschiedlicher Weise entstehen wurden durch Euler in Relation gesetzt. Und zwar beweist Euler daß:

               

Diese Relation verbindet unter sich 4 Größen. Die Zahlen π, e, 1 und i, die imaginäre Zahl die die Wurzel aus -1 symbolisiert, werden in einer bedeutungsvollen  und eleganten Weise in Relation gesetzt.   Sie verblüfft gleichfalls den Mathematiker, den Philosoph, den Wissenschaftler den Mystiker. Sie verbindet das “Werden” mit dem statischen “Sein” über das “Unmögliche” mit der “Negation” und der “Einheit”. Sie ist absolut paradox und trotzdem beweisbar im Kontext des mathematischen Formalismus und somit “wahr”. Die Formel reißt den Schleier, der das Absolute verbirgt, auf und läßt uns die Schönheit und die Komplexität des Universums ahnen.