L’impossibilità della quadratura del cerchio

Il problema della quadratura del cerchio, ovvero di trovare a partire da un cerchio dato, usando solo riga e compasso, un segmento sul quale costruire un quadrato di area uguale a quello del cerchio di partenza è stato per millenni uno dei problemi più studiati della matematica. Menti eccelse si sono scervellate per risolvere l’antico problema ma solo nel 1882 Carl Louis Ferdinand von Lindemann pose le basi per una soluzione del problema dimostrando quindi la impossibilita di trovare una soluzione.

La dimostrazione dell’impossibilità della quadratura del cerchio usando riga e compasso è basata sulla proposizione (Formula di Eulero)

dove e rappresenta il numero di Eulero (2,7182..) , π rappresenta il rapporto tra diametro e circonferenza (3,1415…) mentre i rappresenta l’unita immaginaria definita come la radice di –1  

ovvero

La (1.1) è una delle formule più misteriosamente belle della matematica, infatti, collega e il numero di Eulero, legato alla crescita e al divenire con π legato all’immutabile e perfetto cerchio attraverso l’unita immaginaria il numero impossibile. Qui dimostreremo la (1.1) e faremo vedere come questa implichi, attraverso il teorema di von Lindeman (che non dimostreremo) e basandoci su alcune proprietà dei numeri algebrici, l’impossibilità della quadratura del cerchio.

Per dimostrare la (1.1)  consideriamo gli sviluppi di Taylor delle funzioni e^x, cos(x) e sin(x)

 

oppure

   

    

per x=iπ la (1.7) diventa:

che a sua volta si può scrivere come:

per la (1.3) la (1.11) diventa:

li termini della (1.12) possono essere anche raggruppati in modo da dare la seguente relazione:

che messo in evidenziano i nella seconda parte diventa

che viste la (1.8) e la (1.9) si puo scrivere come

detta relazione di Eulero

ma  considerando che

risulta sostituendo la (1.16) e la (1.17) nella (1.15) si ottiene la (1.1)

QED

la (1.1) può essere rappresentata sul piano di Argand-Gauss in modo che i singoli termini del suo sviluppo in serie (1.12) sono rappresentati da vettori la cui parte reale e rappresentata sul asse delle x mentre la parte immaginaria sul asse delle y.

La (1.1) visualizza il legame tra e e π. La struttura della spirale é determinata dalla funzione esponenziale in funzione delle potenze dell'unita immaginaria mentre la lunghezza dei segmenti sono legate agli inversi delle potenze di π. La figura risultante parte dal punto 1,0 e converge velocemente nel punto -1,0. Un incredibile legame tra numeri complessi (mai nome fu più azzeccato) che può essere semplicemente ed empiricamente verificato.  

Definiamo ora alcune proprietà dei numeri:

1. Un numero θ∈ℝ si dice algebrico se esiste un’equazione polinomiale.
   dove n ≥1 ed i coefficienti a_i sono numeri razionali non tutti nulli e di cui il numero θ rappresenti una delle soluzioni.
2. (1.19) Un numero si dice trascendente se è irrazionale, quindi non esprimibile come una frazione di interi, ma non è algebrico.

Nel 1882 Carl Louis Ferdinand von Lindeman, matematico tedesco allievo di Felix Klein, dimostrò, partendo dalla relazione di Eulero,  l'impossibilità della quadratura del cerchio. 

(1.20) Teorema di Carl von Lindemann (1882).

se θ è un numero algebrico non nullo, allora e^θ è trascendente.

La dimostrazione fu pubblicata nel ventesimo volume dei Mathematische Annalen e si basava su un precedente lavoro di Charles Hermite che dimostrava che e è irrazionale ma non algebrico, e che quindi è trascendente. Il teorema fu generalizzato nel 1885 da Karl Weierstass e subito dopo David Hilbert ne fornì una dimostrazione semplificata. Negli anni sessanta il matematico americano Stephen Schaunel propose, come congettura, una formulazione ulteriormente generalizzata. La dimostrazione della congettura di Schaunel porterebbe alla non ancora dimostrata indipendenza algebrica di π ed e.

Ma torniamo alla dimostrazione della impossibilità della quadratura del cerchio. Questa si può ora ottenere dai seguenti passaggi.

Applicando il Teorema di von Lindeman alla (1.1) si deduce, visto che -1 non é trascendente, che iπ  non é algebrico. 

Ma si può dimostrare  che  

(1.21) Il prodotto di due numeri algebrici é algebrico.

Quindi dato che l’unita immaginaria i soddisfa l’equazione algebrica 

i ²+1 = 0

e quindi i é algebrico si deduce di conseguenza che π non é algebrico.

Quindi

(1.22) π non è soluzione di qualunque equazione algebrica.

Ma essendo π un numero irrazionale non algebrico, risulta in base alla definizione (1.19) trascendente.

Se π non è algebrico allora anche π^½ non e algebrico. Infatti, se per assurdo π^½ fosse algebrico allora per la (1.21) anche π, il quadrato di π^½, sarebbe algebrico contraddicendo l’ipotesi di partenza.

Consideriamo ora insieme di tutti i punti sul piano le cui coordinate siano numeri razionali Chiameremo questo insieme campo di razionalità, . 

Un punto del piano si dice costruibile, a partire da punti del campo di razionalità, con riga e compasso, se è possibile costruirlo attraverso un procedimento che preveda unicamente le seguenti operazioni:

Tracciare rette tra punti dati

Tracciare circonferenze con un dato centro e passanti per un dato punto

Intersecare tali rette

Intersecare tali rette e tali circonferenze

Intersecare tali circonferenze.

Si dimostra che le operazioni eseguite con la riga a partire da due punti a e b del campo  di razionalità portano ad un altro punto del campo di razionalità in quanto le operazioni possibili sono equivalenti alla somma a+b, alla differenza a-b, alla moltiplicazione a*b e alla divisone a/b.

Si dimostra inoltre che aggiungendo il compasso si possono realizzare punti che rappresentano una estensione quadratica del campo di razionalità costruendo per ogni numero a del campo di il numero  a^½ .

Applicano a sua volta l'estensione quadratica ai punti così ottenuti, attraverso una infinita regressione di estensioni quadratiche si aggiungono ad ogni numero a del campo di razionalità i numeri della forma  a^1/2n . Il campo di razionalità così esteso è chiamato campo euclideo. I numeri del campo euclideo sono i numeri razionali estesi con un sottoinsieme dei numeri algebrici. Detto in termini analitici, le coordinate dei "punti costruibili" sono soluzioni di equazioni che hanno come massimo grado una potenza di 2. 

Abbiamo così dimostrato che 

(1.23) Ogni numero costruibile partendo dal segmento unitario con riga e compasso é algebrico

Ma avevamo dimostrato che π^½ non è algebrico e quindi non costruibile in base alla (1.23) con riga è compasso.  Ma π^½ è la lunghezza del lato di un quadrato avente la stessa area di una circonferenza di raggio unitario. 

Finalmente risulta quindi che non è possibile quadrare il cerchio con riga è compasso.

Isotachia degli atomi nella fisica di Epicuro

Nella Lettera ad Erodoto Epicuro parlando degli atomi dice: 

Gli atomi hanno moto continuo ed eterno (i loro moti sono equiveloci perché il vuoto lascia passare sia i più leggeri che i più pesanti) [Epistula ad Herodotum 43,4] 

Sempre nella Lettera ad Erodoto conferma: 

E inoltre bisogna che gli atomi siano equiveloci quando si muovono nel vuoto senza che niente li urti [Epistula ad Herodotum 61,1] 

Per quello che riguarda gli aggregati diremo che uno e più veloce dell’altro, pur essendo equiveloci in assoluto gli atomi [Epistula ad Herodotum 61,21]

Il suo pensiero é inoltre confermato nel frammento:

e assolutamente equiveloci sono gli atomi... per il fatto di muoversi in una sola direzione

[Deperditorum librorum reliquiae 37]

L’ipotesi epicurea per la quale gli atomi hanno, nel vuoto, in assenza di influssi, moto rettilineo fa pensare ad Epicuro come ad un precursore di Galileo, ma la caratteristica del moto rettilineo equiveloce può anche essere vista come una anticipazione della teoria della relatività. Infatti, secondo la teoria della relatività generale i corpi soggetti alla gravitazione percorrono traiettorie rettilinee in uno spazio pluridimensionale la cui metrica è deformata dalle masse. Inoltre, come vedremo, l’equivelocità degli atomi implica le trasformazioni di Lorenz, che stanno alla base della relatività ristretta..

Queste furono scoperte e pubblicate per la prima volta da Joseph Larmor nel 1897. Nel 1905, Henri Poincaré, battezzò queste trasformazioni in onore del fisico e matematico olandese Hendrik Antoon Lorentz, il quale aveva pubblicato la propria versione finale nel 1904. Fu lo stesso Poincarè che revisionò il formalismo delle trasformazioni per convertirle nella forma coerente e del tutto solida che conosciamo oggi.

Lorentz nel tentativo di dare una giustificazione all’esperimento di Michelson e Morley del 1881, scoprì nel 1900 che le trasformazioni in questione preservavano le equazioni di Maxwell, che regolavano la natura delle onde elettromagnetiche.

L'esperimento di Michelson e Morley era nato per misurare la velocità della terra rispetto all'etere, attraverso l’influsso del vento d’etere che la terra genera con il suo moto intorno al sole. Infatti a quei tempi si riteneva, secondo la concezione meccanicistica della fisica, che l’etere fosse il mezzo di trasporto delle onde elettromagnetiche. Infatti, Michelson e Morley misurarono la velocità della luce su percorsi mutuamente ortogonali al moto della terra. Velocità che si sarebbe dovuta addizionare o sottrarre al moto della terra stessa ma che invece risulto sempre uguale indipendentemente dalla velocità relativa del osservatore. Lorenz non capi le implicazioni continuando a credere nell'ipotesi dell'etere.

Fu Albert Einstein che nel 1905 diede un appropriato fondamento alle trasformazioni di Lorenz nel contesto della teoria della relatività ristretta. Infatti nella teoria della relatività le trasformazioni di Lorenz sono conseguenza dell'assunzione (verificata sperimentalmente) della invarianza della velocità della luce. Le trasformata di Lorentz sono trasformazioni lineare che ci permettono di ricavare, a partire dalle coordinate spazio-temporali di un sistema di riferimento R(t,x,y,z), le coordinate rispetto al sistema di riferimento R'(t',x',y',z') in moto a velocità v rispetto a R. In particolare ci permettono di calcolare il rapporto tra il tempo t dell'osservatore in quiete rispetto al tempo t' dell'osservatore in moto.



Infatti il tempo del osservatore in moto scorre più lentamente di in fattore. 



Nelle applicazioni normali (non relativistiche) v è molto più piccolo della velocità della luce c e quindi     è molto piccolo da cui risulta che 





è molto vicino ad uno e quindi t e t' sono praticamente uguali ma a velocità più grandi l'effetto, sempre presente, si fa misurabile. Questo ragionamento aveva fatto formulare nel 1911 ad Albert Einstein il famoso "paradosso dei gemelli". In questo paradosso due gemelli si ritrovavano dopo che uno era partito con un astronave, a velocità vicina a quella della luce, verso le stelle mentre l'altro era rimasto sulla terra. Al ritorno il gemello, che si era allontanato dalla terra, risultava più giovane: per lui il tempo era trascorso più lentamente.
Dalle trasformazioni di Lorenz risultava in maniera evidente che la velocità della luce è una velocità limite che non può essere oltrepassata. Infatti se la v=c allora la (1.3) assume valore 0 e essendo la (1.3) al denominatore della (1.2) la (1.2) diventa indefinita. Addirittura se le v fosse maggiore di c allora la (1.3) diventerebbe la radice di un numero negativo, che nell'algebra dei numeri reali non è possibile. Infatti la radice quadrata di un numero reale a è un numero reale b per cui a = b². Ma, per a numero negativo, non si può trovare un numero b che soddisfa questa proprietà: il numero b² è infatti sempre positivo (che b sia positivo o negativo), e quindi non può essere uguale ad a. 

Le trasformazioni di Lorenz possono però anche essere dedotte postulando, invece della costanza della velocità della luce, la isotachia nello spazio-tempo, considerando che i corpi si muovano nello spazio-tempo alla "velocità" costante c. Per ogni corpo in movimento lo spazio si riduce ed il tempo si contrae all'aumentare della velocità relativa  in modo che la traiettoria nello spazio-tempo sia sempre rettilinea ed equiveloce (isotachos).
Un corpo fermo nello spazio si muove quindi alla velocità della luce lungo la coordinata temporale. Un corpo che si muove nello spazio riduce in proporzione il suo moto lungo la coordinata temporale (il tempo scorre più lentamente) in modo che la risultante spazio-temporale sia costante. 
Vediamo come dal semplice assioma epicureo sia possibile derivare le trasformazioni di Lorenz

Consideriamo:

s = Spostamento spaziale.

d = Distanza spazio-temporale.

t = Tempo di riferimento dell'atomo in quiete (osservatore).

t’ = Tempo di riferimento dell'atomo in moto.

Poniamoci nella situazione galileana dove t=t’

Supponiamo che un atomo si muova di uno spazio s lungo una direzione spaziale nel tempo t rispetto ad un osservatore in quiete. Descriviamo il suo stato su un diagramma spazio-temporale rappresentando la sua traiettoria in un sistema di coordinate cartesiane dove l’asse delle x rappresenti la direzione spaziale e l’asse delle y rappresenti il tempo.

L’osservatore dopo il tempo t si troverà nel punto (0,t) mentre l’atomo in moto si troverà in (s,t). L'atomo in quiete (osservatore) avrà percorso nello spazio-tempo una distanza di lunghezza d mente l’atomo in moto avrà percorso una distanza d’. Naturalmente d>d’ e quindi l’atomo in moto avrà percorso una distanza spazio temporale maggiore.
In generale, atomi che si spostano in punti diversi nello stesso periodo temporale saranno rappresentati da segmenti di retta con pendenze diverse. La lunghezza di questi segmenti rappresenta lo spostamento nel sistema di riferimento spazio-temporale che risulterà diverso a secondo della spostamento spaziale.

Infatti, un oggetto che si è spostato maggiormente nello spazio percorrerà anche nel diagramma spazio temporale una distanza spazio-temporale maggiore di un oggetto che ha percorso una distanza spaziale inferiore nella stessa unita di tempo.

Imponiamo ora un vincolo alle distanze spazio-temporale percorribili in un’unità di tempo. Imponiamo che tutti gli atomi siano “isotachoi”, percorrano cioè una distanza spazio-temporale uguale indipendentemente dallo spostamento spaziale, cioè che i vettori di spostamento spazio-temporale siano tutti di lunghezza uguale indipendentemente dalla distanza spaziale che percorrono nell’unita di tempo e quindi della "velocità" con la quale viaggiano.

Uno spostamento nello spazio richiede a questo punto che sia ridotto il tempo necessario a percorrerlo rispetto alla situazione galileiana. Per mantenere la stessa distanza spazio-temporale indipendentemente dalla distanza spaziale percorsa nell’unità temporale è necessario che i riferimenti temporali siano diversi per l’atomo in quiete ed l’atomo in movimento. In particolare prendendo come riferimento l’unità temporale dell’atomo in quiete l’atomo in movimento ha percorso meno tempo. Il suo tempo si è rallentato.

Una prima conseguenza del vincolo di “isotachia” spazio-temporale e che esiste una distanza spaziale massima percorribile in un’unita di tempo e quindi una velocità massima.

Infatti, la distanza massima percorribile nello spazio si avrà nella situazione dove il tempo percorso dall’atomo in moto rispetto all’atomo in quiete sia nullo. In rapporto all’atomo in quiete questa è la distanza massima raggiungibile da un atomo in moto nell’unita di riferimento dell’atomo in quiete. Definiamo questa velocità misurata come spazio percorso rispetto all’atomo in quiete nell’unita di tempo dell’atomo in quiete con la lettera c.

Quale è la relazione che lega il tempo dell'atomo in quiete con il tempo trascorso sull’atomo in moto.

A questo scopo consideriamo il diagramma con sull’asse delle ascisse il rapporto tra spazio percorso dall’atomo in moto s = vt e dal massimo spazio percorribile ct e sull’asse delle ordinate il rapporto tra t’ il tempo dell’atomo in moto e t il tempo dell’atomo in quiete.

In questo diagramma la lunghezza della distanza spazio-temporale percorribile nell’unità di tempo e 1.

Vale la relazione:

sostituendo s con vt

semplificando e mettendo in evidenza t

La relazione trovata, imponendo il vicolo Epicureo di equivelocità agli atomi nello spazio-tempo, é la stessa usata da Einstein e che risolsero una sua insoddisfazione, rispetto ad alcune asimmetrie dell’elettrodinamica, quando si supponeva costante la velocità della luce per qualunque osservatore in moto.

La costanza della velocità della luce che Einstein aveva postulato da considerazione “estetiche” sulle equazione di Maxwell rivoluzionò la fisica del ventesimo secolo e le trasformazioni di Lorenz sono alla base della teoria della relatività ristretta che produsse oltre alla relativazione del concetto di tempo la equivalenza tra massa ed energia.

Grande è la meraviglia nel vedere che l’ipotesi epicurea di “isotachia”, così anti-intuitiva e allo stesso tempo così incredibilmente semplice, contenga in nuce la moderna teoria della relatività. 

Der Raum und die Leere

Die Überlegungen über den Ursprung und der Natur des Seins  waren der Anfang unser abendländischen Kultur. Für Tales aus Milet war der Ursprung das Wasser,  Anaximenes sah in der Luft den Ursprung der Dinge. Während Pythagoras in der Zahlen die Natur des Seins suchte.

Parmenides lebte um 500 vor Christus in Elea, einer kolonialgriechischen Stadt in Unteritalien, in der Nähe von Paestum gelegen in der sich auch der etwa 40 Jahre ältere Xenophanes niedergelassen hatte. Der Überlieferung nach trat Parmenides zunächst mit Pythagoreern, aus dem nicht weit entfernten Kroton, in Verbindung. Doch bald entwickelte er seine eigene Lehre und somit eine unerreichten Höhe der Abstraktion.

Die Lehre des Parmenides hüllt sich ins altertümlich-feierliche Gewand des hexametrischen Epos

Hier ein  Ausschnitte aus den Fragmenten 1 bis 8:

“Die Rosse, die mich dahintragen, zogen mich fürder, soweit nur die Lust mich ankam..

Dort  ist das Tor der Bahnen von Nacht und Tag, das Tor selbst, das ätherische, hat eine Füllung von großen Türflügeln; davon verwaltet Dike, die vielstrafende, die wechselnden Schlüssel. ..

Und es nahm mich die Göttin huldreich auf, ergriff meine rechte Hand mit der ihren, und so sprach sie das Wort und redete mich an: "Jüngling, der du unsterblichen Wagenlenkern gesellt mit den Rossen, die dich dahintragen, zu unserem Hause gelangst, Freude dir! Denn keinerlei schlechte Fügung entsandte dich, diesen Weg zu kommen, sondern Gesetz und Recht. Nun sollst du alles erfahren, sowohl der wohlgerundeten Wahrheit unerschütterlich Herz wie auch der Sterblichen Schein-Meinungen, denen nicht innewohnt wahre Gewißheit.

Wohlan, so will ich denn sagen, welche Wege der Forschung allein zu denken sind: der eine Weg, daß SEIN  ist  und daß NICHTSEIN nicht ist, das ist die Bahn der Überzeugung , der andere aber, daß NICHTSEIN ist und daß NICHTSEIN erforderlich ist, dieser Pfad ist, so künde ich dir, gänzlich unerkundbar: denn weder erkennen könntest du das Nichtseiende noch aussprechen;

Aber nur noch ein Weg bleibt dann, daß IST ist. Auf diesem sind gar viele Merkzeichen: weil ungeboren ist es auch unvergänglich, denn es ist ganz in seinem Bau und unerschütterlich sowie ohne Ziel und es war nie und wird nie sein, weil es im Jetzt zusammen vorhanden ist als Ganzes, Eines, Zusammenhängendes....

Auch teilbar ist es nicht, weil es ganz gleichartig ist. Und es gibt nicht etwa hier oder da ein stärkeres Sein, das seinen Zusammenhang hindern könnte, noch ein geringeres; es ist vielmehr ganz von Seiendem erfüllt. Darum ist es ganz zusammenhängend; denn Seiendes stößt dicht an Seiendes”

Seiendes stößt dicht an Seiendes ohne Leerräume.

Der Raum ist voll mit SEIN.

Und im Ursprung ist es unteilbar und gleichartig.

Aber welche Form hat dieses unteilbare gleichartige atomare SEIN ?

Parmenides untersuchte es nicht weiter und für mehr als zwei Jahrtausende stelle sich auch niemand mehr diese Frage.

Der so gegen unsere Sinne stoßende Determinismus, der Bewegung und Werden verneinte, blieb zusammen mit den Paradoxen seines Schülers Zenon, ein beliebtes Gedankenspiel und nicht mehr.

Versuchen wir den Gedanken Parmenides weiter-zuverfolgen.

Das SEIN füllt den Raum ohne Leerräume

„Seiendes stößt dicht an Seiendes“

Nur wenige regelmäßige Körper füllen den Raum ohne Zwischenräume.

Im Zweidimensionalen, der Fläche, wenn man sich nur auf die regelmassigen geometrischen Formen beschränkt gelingt das nur mit Dreiecke, Rechtecke und Sechsecke

Aber auch andere Formen füllen die Flache

Das erkannten arabischen Künstler um 1300 beim dekorieren der Gewölbe ihrer Moscheen und Gebäuden. Da die moslemische Religion das Darstellen von realistischen Figuren unterstellte verwendeten sie geometrische Formen mit welchen sie die zu dekorierende Fläche füllten.

Die Alhambra in Grenada Spanien ist wohl das schönste Beispiel dieser Kunst.

Ganze Flächen sind über Rotationen, Reflexionen und Gleitverschiebungen mit symmetrischen Einzeln -Muster so gefüllt das sie keinen freien Raum zulassen.

Wie viele diese Mustertypen  gibt es?  In der Alhambra kann man mindestens 16 verschiedene Flächenfüllungen erkennen.

Sind die von den Künstlern intuitiv erkannten Flächenfüllungen alle möglichen Lösungen  oder gibt es weitere?

Die Antwort auf diese Frage musste noch lange auf sich warten lassen.

Erst 1832 wurden von einen jungen französischem Mathematiker die Grundlagen für die Lösung dieses Problems geschaffen. Der 23-jährige Evariste Galois verfasste in der Nacht vor einem Duell die Grundlagen der modernen Algebra, ein Werk das die moderne Mathematik auf vielen  Gebieten befruchtete.

In dieser Nacht  bestritt Galois wohl den dramatischsten Kampf eines Wissenschaftlers gegen die verrinnende  Zeit, den es je gab. Im Wettlauf mit der Uhr versuchte er, seine Theorien über die Bedingungen, unter denen eine  Gleichung beliebigen Grades algebraisch lösbar ist, zu Papier zu bringen. Er beschritt dabei völliges Neuland, indem  er die so genannte Gruppentheorie auf die Gleichungslehre anwandte.

Durch Anwendung der algebraischen Gruppentheorie gelingt es 1891 Fedorov, Schoenflies, und Barlow zu beweisen das es  17 verschiedene Möglichkeiten gibt die Fläche mit symmetrischen Figuren zu füllen. Diese werden auch Wallpaper Groups genannt.

Ungefähr zur selben Zeit, blüht in Wien der Judenstil, einer der Künstler  rund um die Wiener Werkstätte Koloman Moser entwirft einige flächenfüllende Muster für Tapetenpapier. Zum ersten Mal ist das Muster nichtgeometrisch sondern es werden natürliche Objekte dargestellt.

Die Vollendung der periodischen Flächenfüllung mit natürlichen Mustern wird vom niederländischen Künstler Mauritius Cornelius Escher in der Nachkriegszeit verwirklicht. Nach einen Besuch in der Alhambra, fasziniert von der regelmäßigen Flächenfüllung entwickelt MC Escher über 130 flächenfüllende Muster die ihm zum beliebtesten Künstler im Kreise der Wissenschaftler machen.

Die Geschichte der regelmäßigen Flachenfüllung hat in den letzten Jahren  noch ein Highlight hinter sich. Die 1960 von Wang erstellte die Vermutung daß es keine nicht-periodische regelmäßige Flächenfüllung gibt wird 1970 von Robert Berger widerlegt.

Die Lösung von Berger realisiert eine nicht-periodische Flächenfüllung mit 20.426 verschiedenen Mustern. 1971  entdeckt Sir Roger Penrose in Cambridge die Möglichkeit einer nicht-periodischen Flächenfüllung mit nur zwei symmetrischen Bausteinen. Auch Mauritius Cornelius Escher verwendete die Penrose’sche Flächenteilung für eine seiner letzten Flächenfüllungen.

Mauritius Cornelius Escher stirbt 1972 in Baarn Holland. Er hinterlässt wunderbare Intuitionen zur regelmäßigen Flächenfüllung und beschreibt somit die  Form des Seins vom Parmenides.

Inzwischen hat die Einstein’sche Relativitätstheorie mit der Definition des Raum-Zeit Kontinuums der Lehre des Parmenides neue Impulse gegeben.

Die Bewegung ist in einem vollem lückenlosen Raum-Zeit Kontinuum kein Widerspruch mehr, und die Atome des Raum-Zeit Kontinuums füllen ohne Leerräume unser All ohne dessen Dynamik einzuschränken.

Auch hat die algebraische Gruppen-Theorie gefruchtet. 1962  wurde sie von Murray Gell-Mann und Georg Zweig und später von Abdus Salam und Steven Weinberg auf die damals bekannten atomaren Elementarteilchen angewandt. Somit kam es zum so genannte Standard Modell und zur Vorhersage der Existenz der Elementarteilchen  W+, W- und Z⁰ die, wie von der Theorie vorgesehen,1982 am  CERN  Collider  in Genf von Carlo Rubbia und Simon van der Meer entdekt wurden. 

Heute versucht  man  ein weiterentwickeltes Standard Modell, die supersymmetrische algebraische Gauge Theorie durch die Entdeckung eines speziellen Elementarteilchen den Higgs Boson, das “Teilchen Gottes”, zu bestätigen.

Diese Theorie beschreibt alle Zustande der Materie unter den Einfluss aller bekannte Kräfte

Das Raum-Zeit Kontinuum und dessen Quantische Schwankungen wird dort durch Teilchen beschrieben die ohne Lücken alle Zustände füllen.

Hatte Parmenides vielleicht doch recht?

Die Zeit und die Freiheit

In der griechischen Mythologie war der Chaos der Ursprung aller Dinge, Chaos generierte Uranos, den Himmel und Gea, die Erde. Diese generierten Cronos, die Zeit und dieser generierte Zeus, den Herscher des Olymps Gott der Götter. Die Zeit wurde als eigenes Element der Cosmogonie empfunden. Unterschiedlich zur Hebräischen Mythologie wo Jahwe, der unaussprechliche, den Kosmos in 7 Tage schuf und eigentlich die Zeit schon vorfand.

Dieses moderne Konzept, dass die Zeit eigentlich nicht im Sein immanent ist, widerspiegelt sich in der presokratischen Philosophie, speziell in der elatischen Schule von Parmenides und Zenon, die Widersprüche und Paradoxe der Bewegung erarbeiteten und somit das Werden verneinten.

Das Fliesen der Zeit, der Übergang vom Vergangenheit in Gegenwart ist für Parmenides eine Illusion. Das Sein ist zeitlos, der Unterschied zwischen Vergangenheit Gegenwart und Zukunft eine Illusion. Die Argumentation Parmenides war von solider Einfachheit: Das Sein ist, das Nicht Sein ist nicht, das Vakuum, das Nicht Sein, ist nicht, das Vakuum existiert nicht, das Sein ist voll und somit ist die Bewegung, das Werden unmöglich. Das Werden eine reine Illusion.

Die Tradition überliefert uns Parmenides bei der Beobachtung der Mondfasen. Sowie die Phasen des Mondes, das Wachsen der Mondsichel zum Vollmond eigentlich die Natur des Mondes nicht verändern sondern nur unseren Beobachtungspunkt darstellt so ist auch die Bewegung Illusion.

Aber wenn das Werden nicht ist und die Zukunft nicht wird sondern ist, wenn alles schon ist, wo bleibt unsere Willensfreiheit.

Auch die ersten Philosophen des Christentums wie Plotin und Augustin empfanden das Werden in der Zeit als ein unvollkommenes Sein. Empfindet Gott das Werden oder ist  Gott einfach. Die Annahme, daß Gott außerhalb der Zeit ist, wurde zu einem der Grundgedanken der mittelalterlichen Teologie. Gott empfindet das Werden nicht, Gott empfindet Vergangenheit, Gegenwart und Zukunft gleichzeitig. Also ist die Zukunft in der Vernunft Gottes. Aber wenn die Zukunft ist, irgendwo in den Gedanken Gottes geschrieben, wo bleibt unsere Freiheit, wo bleibt unsere Entscheidungsmöglichkeit.

Diese Gedanken entfachten bis in die heutige Zeit heiße Debatten sowohl bei Theologen als auch bei Physiker. Die Deterministische Logik sowohl der Glaube an ein absolutes Wesen sind mit unserer Willensfreiheit im Wiederspruch.

Die Fortschritte der Wissenschaft in den Jahre der Renaissance, die Erkenntnisse von Galileo Galilei und Jsaac Newton brachten keine Lösungen Die Erkenntnis der Gesetzmäßigkeit der Bewegung der Körper nach den Regeln der klassischen Mechanik machten unser Weltall zu einem perfekten Uhrwerk, und nur die Komplexität der Anfangsbedingungen erlauben keine perfekte Voraussage aller Ereignisse. Aber in diesem, von den Absoluten Regeln der Natur, beherrschten Kosmos gibt es keinen Platz für unsere Freiheit.

Die Zeit Netwon’s ist absolut, messbar, voraussehbar. Und diese Zeit ist Grundlage unser modernes Zeitempfinden. Auch die Relativitätstheorie Albert Einstein’s brachte keine Lösung. Einstein relativierte zwar die Zeit: Meine Zeit ist nicht gleich deiner Zeit. Je nach Geschwindigkeit fliest die Zeit mit einem anderen Rhythmus. Aber auch der Kosmos Einsteins spielt sich wie ein Film im Raum-Zeit Kontinuum ab. Alle Vorgänge sind deterministisch vorhersehbar, für unsere Willensfreiheit gibt es keinen Platz

Neue Erkenntnisse brachte die Quantentheorie, die in den 20er Jahren von Max Plank und Niels Bohr entwickelt wurde. Im winzig Kleinem, gelten andere Kräfte, Wahrend die Gravitation und die Elektromagnetische Kraft einen unbegrenzten Aktionsraum besitzen, so wirken die nukleare Kräfte nur in einem begrenzten Raum, sie sind nur im Bereich des Atomnukleus tätig. Die von diesen Kräften hervorgerufene Phänomene sind nicht deterministisch vorzusehen, sie unterliegen zufälligen Bedingungen. In den Formeln der Quantenmechanischen Prozesse verschwindet interessanterweise der Faktor Zeit, die Zeit spielt keine Rolle, der Unterschied zwischen Vergangenheit und Zukunft existiert nicht und alle Prozesse sind reversierbar. 

Das Verhalten der Elementarteilchen ist nicht vorhersagbar und zeitlos. Sie sind frei.

Ist also die Natur der Zeit, ihre tiefste physische Deutung, mit der Willensfreiheit im Kontrast?

Gilt auch für Zeit und Freiheit die Heisenberg’sche Unschärfe?

Sind wir frei, oder werden wir erst dann frei wenn unsere Zeit abgelaufen ist?